PROBLEMA 1 grao de dificultade fácil Nota: neste exercicio e o seguinte, os beneficios relativos aparecen cambiados de signo (en relación a como traballamos en clase) a) Variables de decisión: Xi = Número de horas dedicadas al subprograma i Restricciones Disponibilidad en horas para programar X1 +X2+X3+X4 40 El segundo subprograma le cuesta el doble que el primero -2X1 +X2 =0 El tiempo empleado en el tercer y cuarto subprograma es el mismo X3 –X4 =0 La suma del tiempo empleado en los subprogramas 1 y 2 supone al menos el 60% del tiempo total 0.6(X1 +X2+X3+X4) X1 +X2 No negatividad de las variables de decisión X1, X2, X3, X4 0 Función objetivo max z = 10 X1 + 12 X2 + 14 X3 + 16 X4 MODELIZACIÓN max z = 10 X1 + 12 X2 + 14 X3 + 16 X4 s.a X1 +X2+X3+X4 40 -2X1 +X2 =0 X3 –X4 =0 0.6(X1 +X2+X3+X4) X1 +X2 X1, X2, X3, X4 0 b) Añadimos dos variables de holgura asociadas a las restricciones 1 y 4 y dos variables artificiales, asociadas a las restricciones 2 y 3. Aplicamos el método del Simplex para obtener la solución óptima. Método del Simplex 0 -M 0 -M 0 -M 0 14 0 12 0 14 10 12 0 14 10 12 16 14 X5 X6 X7 X8 X5 X6 X7 X3 X5 X2 X7 X3 X1 X2 X7 X3 X1 X2 X4 X3 10 X1 1 -2 -4 0 2M-10 12 X2 1 1 -4 0 -M-12 14 X3 1 0 6 1 -M-14 16 X4 1 0 6 -1 M-6 0 X5 1 0 0 0 0 -M X6 0 1 0 0 0 0 X7 0 0 1 0 0 -M X8 0 0 0 1 0 10 X1 1 -2 -4 0 2M-10 12 X2 1 1 -4 0 -M-12 14 X3 0 0 0 1 0 16 X4 2 0 12 -1 -30 0 X5 1 0 0 0 0 -M X6 0 1 0 0 0 0 X7 0 0 1 0 0 -M X8 -1 0 -6 1 M+16 40 0 0 0 0 10 X1 3 -2 -12 0 -34 12 X2 0 1 0 0 0 14 X3 0 0 0 1 0 16 X4 2 0 12 -1 -30 0 X5 1 0 0 0 0 -M X6 -1 1 4 0 M+12 0 X7 0 0 1 0 0 -M X8 -1 0 -6 1 M+16 40 0 0 0 0 0 X7 0 0 1 0 0 -M X8 -1/3 -2/3 -10 1 M+14/3 10 X1 1 0 0 0 0 10 X1 1 0 0 0 0 12 X2 0 1 0 0 0 14 X3 0 0 0 1 0 12 X2 0 1 0 0 0 16 X4 2/3 4/3 20 -1 -22/3 14 X3 0 0 0 1 0 0 X5 1/3 2/3 4 0 34/3 -M X6 -1/3 1/3 0 0 M+2/3 16 X4 0 0 1 0 0 0 -M X5 X6 1/5 -1/3 2/5 1/3 1/5 0 1/5 0 64/5 M+2/3 40 0 0 0 0 40/3 80/3 160 0 1360/3 0 -M X7 X8 -1/30 0 8 -1/15 -1/2 16 1/20 -1/2 8 1/20 ½ 8 11/30 M+1 512 c) La solución es única ya que todos los valores indicadores de las variables no básicas son mayores que cero. PROBLEMA 2 grao de dificultade fácil Variables de decisión : X1 = Número de horas dedicadas a la producción de tiras X2 = Número de horas dedicadas a la producción de espirales Restricciones Disponibilidad en horas de producción la próxima semana X1 +X2 40 Cantidad máxima que se puede producir de tiras y de espirales 200X1 6000 140X2 4000 Condiciones de no negatividad de las variables de decisión X1 0 X2 0 Función objetivo max z = 25 200 X1 + 30 140 X2 X2 MODELIZACIÓN 40 R2 R1 max z = 5000 X1 + 4200 X2 s.a X1 +X2 40 (R1) 200X1 6000 (R2) 140X2 4000 (R3) X1 0 X2 0 30 R3 20 F 10 (30, 10) X1 10 20 30 40 0 X5 0 0 1 0 40 30 200/7 0 Método del Simplex 0 0 0 X3 X4 X5 5000 X1 1 1* 0 -5000 4200 X2 1 0 1 -4200 0 X3 1 0 0 0 0 X4 0 1 0 0 0 5000 0 4200 5000 0 X3 X1 X5 X2 X1 X5 Solución óptima : x1* 5000 X1 0 1 0 0 4200 X2 1* 0 1 -4200 0 X3 1 0 0 0 0 X4 -1 1 0 5000 0 X5 0 0 1 0 10 30 200/7 15000 5000 X1 0 1 0 0 4200 X2 1 0 0 0 0 X3 1 0 -1 4200 0 X4 -1 1 1 800 0 X5 0 0 1 0 10 30 130/2 192000 30, x 2* 10, x3* x 4* 0, x5* 65, z * 192.000euros PROBLEMA 3 grao de dificultade media. Quizá teñades algunha dificultade para expor a función do obxectivo. Para as restricións non deberiades ter moitas dificultades. Variables de decisión : Xi = Número de horas dedicadas a la asignatura i, i=1,2,3,4. Restricciones El alumno debe aprobar las cuatro asignaturas X1 ≥ 12 X2 ≥ 20 X3 ≥ 25 X4 ≥ 18 El alumno, lógicamente, no puede sacar más de un diez en cada asignatura luego no tiene sentido estudiar en cada una de ellas más del tiempo necesario para sacar un 10 X1 ≤ 20 X2 ≤ 45 X3 ≤ 60 X4 ≤ 30 El alumno dispone de un total de 120 horas X1+X2+X3+X4 ≤120 Los tiempos dedicados a cada asignatura no deben diferir en más de 5 horas |X1-X2| ≤ 5 |X1-X3| ≤ 5 |X1-X4| ≤ 5 |X2-X3| ≤ 5 |X2-X4| ≤ 5 |X3-X4| ≤ 5 Æ X1 - X2 ≤ 5 y Æ X1 - X3 ≤ 5 y Æ X1 - X4 ≤ 5 y Æ X2 - X3 ≤ 5 y Æ X2 - X4 ≤ 5 y Æ X3 - X4 ≤ 5 y X1 - X2 ≥ -5 X1 - X3 ≥ -5 X1 - X4 ≥ -5 X2 - X3 ≥ -5 X2 - X4 ≥ -5 X3 - X4 ≥ -5 Función objetivo max z = ( X 1 − 12) ⎞ ⎛ ( X − 20) ⎞ ⎛ ( X − 25) ⎞ ⎛ ( X − 18) ⎞⎤ 1 ⎡⎛ ⎟⎟ + ⎜⎜ 5 × 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 5 × 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 5 × 1 ⎟⎥ ⎢⎜⎜ 5 × 4 ⎣⎝ (20 − 12) ⎠ ⎝ (45 − 20) ⎠ ⎝ (60 − 25) ⎠ ⎝ (30 − 18) ⎟⎠⎦ MODELIZACIÓN max z = ( X 1 − 12) ⎞ ⎛ ( X − 20) ⎞ ⎛ ( X − 25) ⎞ ⎛ ( X − 18) ⎞⎤ 1 ⎡⎛ ⎟⎟ + ⎜⎜ 5 × 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 5 × 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 5 × 1 ⎟⎥ ⎢⎜⎜ 5 × 4 ⎣⎝ (20 − 12) ⎠ ⎝ (45 − 20) ⎠ ⎝ (60 − 25) ⎠ ⎝ (30 − 18) ⎟⎠⎦ s.a X1 ≥ 12 X2 ≥ 20 X1 ≤ 20 X2 ≤ 45 X1+X2+X3+X4 ≤120 X1 - X2 ≤ 5 X1 - X2 ≥ -5 X1 - X3 ≤ 5 X1 - X3 ≥ -5 X1 - X4 ≤ 5 X1 - X4 ≥ -5 X2 - X3 ≤ 5 X2 - X3 ≥ -5 X2 - X4 ≥ -5 X2 - X4 ≤ 5 X3 - X4 ≤ 5 X3 - X4 ≥ -5 Xi ≥ 0 X3 ≥ 25 X3 ≤ 60 X4 ≥ 18 X4 ≤ 30 PROBLEMA 4 Nota: grao de dificultade media 1. a) Las variables de decisión se indican en el enunciado, siendo éstas xi : número de unidades a fabricar del producto i = 1, 2. El esquema de los procesos para la fabricación de ambos productos se muestra en la figura A partir de este esquema construimos primero las restricciones debidas a las limitaciones mensuales en los tiempos de producción con cada taller, siendo éstas Taller A: x 1 x2 + 4 2 400 Taller B: x 1 x2 + 3 6 300 Taller C: x 1 x 1 x2 + + 8 2 2 700 A continuación consideramos las limitaciones por producciones máximas por mes, que serán x1 800 y x2 900, además de las condiciones de no negatividad. Finalmente, la función objetivo es max B = 20x1 + 30x2 donde B es el beneficio total debido a un programa de producción (x1 , x2 ). Operando y simplificando las restricciones, se tiene el programa lineal max B s. a = 20x1 + 30x2 x1 + 2x2 2x1 + x2 5x1 + 4x2 x1 x2 x1 , x 2 0 1600 1800 5600 800 900 (r1 ) (r2 ) (r3 ) (r4 ) (r5 ) b) La resolución gráfica se muestra en la figura La solución óptima es el punto extremo intersección de las restricciones (como igualdades) primera (r1 ) y segunda (r2 ), dada por x1 = 666.67, x2 = 466.67 con B = 27333.33 Observamos de la resolución gráfica que las restricciones tercera (r3 ) y quinta (r5 ) son redundantes. Además, si calculamos los valores de las restricciones en la solución óptima tendremos que las holguras (hi ) para las restricciones r1 y r2 son nulas, es decir, h1 = 0 y h2 = 0, y por tanto, se consumen en su totalidad los tiempos disponibles para los talleres A y B. Sin embargo, ya que h3 = 400, se tendrá que (deshaciendo la transformación sobre la restricción r3 ) de la disponibilidad total para el taller C, no se utilizan 50h. Finalmente, observemos que la producción máxima no se alcanza en ambos productos ya que se dejan de producir h4 = 133.3 unidades del producto 1 y h5 = 433.3 unidades del producto 2. 1 Figure 1: PROBLEMA 5 grao de dificultade: media Variables de decisión : i = Viajeros que van de Ithaca a Newark en la clase i, i=1,2,3. X IN i = Viajeros que van de Newark a Boston en la clase i, i=1,2,3. X NB i = Viajeros que van de Ithaca a Boston en la clase i, i=1,2,3. X IB Restricciones Experiencia en número de pasajeros: X 1IN 4 2 X IN 8 3 X IN 22 X 1NB 8 2 X NB 13 3 X NB 20 X 1 IB 3 X 2 IB 10 X 3 IB 18 Capacidad del avión de 30 personas en los trayectos Ithaca-Newark y Newark-Boston 2 3 1 2 3 X 1IN + X IN + X IN + X IB + X IB + X IB 30 2 3 1 2 3 X 1NB + X NB + X NB + X IB + X IB + X IB 30 No negatividad de las variables de decisión i X IN i 0, X NB i 0, X IB 0 i =1,2,3 Función objetivo 2 3 2 +160 X 1NB +130 X NB max z = 300 X 1IN +220 X IN +100 X IN + 3 3 80 X NB +360 X 1IB +280 X IB2 +140 X IB MODELIZACIÓN 2 3 2 +160 X 1NB +130 X NB max z = 300 X 1IN +220 X IN +100 X IN + 3 3 80 X NB +360 X 1IB +280 X IB2 +140 X IB s.a X 1IN 3 X IN 22 X 3 NB 20 3 10 X X X 2 3 1 2 X + X IN + X IN + X IB + X IB + X 3 IB 3 IB 18 30 X 1 NB 4 2 X IN 8 2 NB 1 IB 1 IN X 8 13 2 IB 2 3 1 2 3 + X NB + X IB + X IB + X IB 30 X 1NB + X NB i X IN i 0, X NB i 0, X IB 0 i =1,2,3 PROBLEMA 6 grao de dificultade: difícil Variables de decisión: NX = Número de secretarias que trabajan el miércoles NJ = Número de secretarias que trabajan el jueves NV = Número de secretarias que trabajan el viernes ABX = Número de alumnos que piden beca el miércoles (se matriculan y piden beca) ABJ = Número de alumnos que piden beca el jueves (se matriculan y piden beca) AX = Número de alumnos que no piden beca el miércoles (sólo se matriculan) AJ = Número de alumnos que no piden beca el jueves (sólo se matriculan) AV = Número de alumnos que no piden beca el viernes (sólo se matriculan) Restricciones Restricciones sobre el número de alumnos que se matriculan y piden beca ABX + ABJ=200 AX+ AJ+ AV=300 Restricciones en el tiempo de servicio que se presta ABX 5 + AX 10 NX 300 ABJ 5 + AJ 10 NJ 300 AV 5 Nv 300 Un día no pueden recogerse más de 10 becas que el otro | ABX - ABJ | 10 ABX - ABJ 10 y ABJ - ABX Condición de no negatividad de las variables de decisión ABX, ABJ, AX, AJ, AV, NX, NJ, Nv 0 Función objetivo min z = NX+ NJ+ Nv MODELIZACIÓN min z = NX+ NJ+ Nv s.a ABX + ABJ=200 AX+ AJ+ AV=300 ABX 5 + AX 10 NX 300 ABJ 5 + AJ 10 NJ 300 AV 5 Nv 300 ABX - ABJ 10 ABJ - ABX 10 ABX, ABJ, AX, AJ, AV, NX, NJ, Nv 0 10