1. MODELAMIENTO DE SISTEMAS: FUNDAMENTOS

1. MODELAMIENTO DE SISTEMAS: FUNDAMENTOS
1.1 INTRODUCCION
Un sistema representa una unidad donde se hacen tratamientos físicos o químicos de
materiales que puede ser contrastada con un modelo que representa una descripción
matemática del sistema real. La disposición de varios sistemas unidos entre sí por
flujos comunes de materiales y/o información constituye un proceso. La salida del
proceso es una función no solamente de las características de sus sistemas (o
subsistemas) sino también de sus interacciones o interrelaciones. Una propiedad del
sistema o de su entorno a la que se le puede asignar valores numéricos arbitrarios se
denomina como un parámetro. También puede ser una constante o el coeficiente de
una ecuación.
El estudio de un proceso, mediante la manipulación de su representación matemática
o de su modelo físico, constituye una simulación. Los estudios clásicos de un
proceso en estado estacionario se complementan con un análisis dinámico, lo que
exige un conocimiento de los criterios de estabilidad y de los métodos de operación
para evaluar exitosamente el funcionamiento del proceso
El análisis de sistemas se refiere al reconocimiento y definición de problemas, su
planteamiento o modelamiento mediante la aplicación de principios científicos y el
desarrollo de procedimientos de solución con cuyos resultados se adquiera una total
comprensión de la situación.
El análisis y la simulación de procesos presentan las siguientes ventajas:
1. Experimentación Continua: Es posible estudiar procesos existentes en una
forma mas rápida, económica y completa que en la planta real. La simulación
puede aumentar o reducir el tiempo real de una forma análoga a como una
cinematográfica acelera o retarda las imágenes; de esta forma se puede
observar más fácilmente la operación del sistema.
2. Extrapolación: Con un modelo matemático adecuado se pueden ensayar
intervalos extremos de las condiciones de operación, que pueden ser
impracticables o imposibles de realizar en una planta real. También es posible
establecer características de funcionamiento
3. Estudio de conmutabilidad y evaluación de otros planes de actuación: Se
pueden introducir nuevos factores o elementos de un sistema y suprimir otros
antiguos al examinar el sistema con el fin de ver si estas modificaciones son
compatibles. La simulación permite comparar distintos diseños y procesos
2
que todavía no están en operación y ensayar hipótesis sobre sistemas o
procesos antes de llevarlos a la práctica
4. Repetición de experimentos: La simulación permite estudiar el efecto de la
modificación de las variables y parámetros con los resultados producibles. En
el modelo matemático se puede introducir o retirar a voluntad un error, lo
cual no es posible en la planta real
5. Control de cálculo: La simulación constituye una importante ayuda material
para el estudio de los sistemas de control con lazos abiertos y cerrados
6. Ensayo de sensibilidad: Se puede ensayar la sensibilidad de los parámetros
de costos y básicos del sistema; por ejemplo, un incremento de un 10 % en la
velocidad de alimentación podrá tener, según los casos, un efecto mínimo o
muy importante sobre el funcionamiento del sistema
7. Estudio de la estabilidad del sistema: Se puede examinar la estabilidad de
sistemas y subsistemas frente a diferentes perturbaciones
1.2 TIPOS DE MODELOS DE SISTEMAS
Debido a su utilización en diversos campos de la ciencia, es imposible incluir dentro
de una sola definición las diferentes acepciones de la palabra modelo. Un sistema se
puede modelar mediante, ya sea, una construcción física o analógica, una
representación gráfica o un mapa, un enunciado teórico o un planteamiento
matemático. Es decir, se pueden describir los siguientes tipos de modelos:
1. Modelos Físicos: Son construcciones materiales que representen sistemas
como barcos, plantas pilotos, maquetas de edificios y otros
2. Modelos Analógicos: Son construcciones materiales que representen circuitos
eléctricos, electrónicos o mecánicos
3. Teorías Provisionales: Son postulaciones que explican comportamientos
fenomenológicos en sistemas como la de los gases ideales o la de la gota de
líquido para la nucleación
4. Gráficos o Mapas: Son representaciones mediante símbolos convencionales
de estructuras de sistemas que explican en algunos casos su organización o su
distribución o su logística, etc. Por ejemplo, la representación de un proceso
químico mediante su diagrama de flujo
Mach
2
3
5. Enunciados matemáticos y modelos en forma de símbolos: Son sistemas de
ecuaciones que expresan simbólicamente el fenómeno que se desarrolla en el
sistema. Por ejemplo, el modelamiento matemático que exprese el flujo y los
cambios de materia y energía a través de un reactor ideal de mezcla completa.
1.3 MODELOS MATEMATICOS
Los modelos matemáticos son los que mas utiliza el ingeniero químico para el
análisis de sus procesos. El tipo mas aplicado es el que modela los fenómenos de
transporte de masa, energía y cantidad de movimiento a través de un sistema, pero
en algunos casos se hace necesario el planteamiento de un modelo del tipo balance
de población o el ajuste de una información conocida a un modelo matemático que
empíricamente permita su análisis. La descripción de cada uno de estos tipos de
modelos matemáticos es la siguiente:
1. Modelos de Fenómenos de Transporte: Se aplican en sistemas donde se
desarrollan fenómenos de transporte de entidades como materia, energía y
cantidad de movimiento, como el flujo de fluidos en tuberías y el flujo de
materia y calor en reactores y columnas de destilación.
2. Modelos de Balance de Población: Se aplican en sistemas donde se hace
necesario plantear un modelo de balance de población para describir las
propiedades de la masa reaccionante en una localización puntual, como su
concentración, temperatura o tiempo de residencia. Por ejemplo, en un
reactor agitado que no se cumple el idealismo de un mezclado perfecto y, por
lo tanto, no se cumple la consideración de una igualdad de condiciones en
cada una de las localidades en la masa reaccionante.
3. Modelos Empíricos: Se aplican a un sistema del que se tiene conjunto de
datos discretos de sus propiedades y pueden ajustarse a una ecuación
matemática que satisfaga la correspondencia dato a dato. Puede utilizarse
como recurso de interpolación
1.3.1 MODELOS DE FENOMENOS DE TRANSPORTE
Para un ingeniero químico, los sistemas que le competen son aquellos en los que se
realizan transformaciones físicas o químicas ya sea en forma continua o discontinua.
Estos sistemas se pueden modelar aplicando los principios de conservación de masa,
energía y cantidad de movimiento, es decir, como modelos de fenómenos de
transporte.
Mach
3
4
Los modelos de fenómenos de transporte son representaciones matemáticas de los
procesos reales en distintos niveles de descripción que se relacionan con la
complejidad del detalle físico interno.
Tipos de Modelos de Fenómenos de Transporte
Una clasificación, en orden descendente, de acuerdo al grado de detalle de la
descripción fisicoquímica es:
1. Descripción Atómica y Molecular: Se caracteriza porque trata un sistema
arbitrario como si estuviese compuesto de entidades individuales, cada una de
las cuales sigue ciertas leyes. En consecuencia, las propiedades y las
variables de estado del sistema se obtienen como suma de todas las entidades.
La mecánica cuántica, la mecánica estadística de equilibrio y no equilibrio,
así como la mecánica clásica constituirían métodos típicos de análisis
mediante los cuales se podrían calcular teóricamente todas las propiedades y
formas de respuesta de un sistema.
2. Descripción Microscópica: Corresponde a un tratamiento fenomenológico
del problema y admite que el sistema puede considerarse como continuo. Se
ignoran las interacciones moleculares detalladas y se plantean ciertas
ecuaciones de balance diferencial para materia, energía y cantidad de
movimiento. Cada balance, a través del sistema, puede expresarse en la
siguiente forma:
 Rapidez Neta   Flujo Neto   Flujo Neto  Rapidez Neta   Rapidez Neta 
 


 
 
 
de
de
de
de
de

=
−
+
−

 Acumulación   Entrada   Salida   Generación   Consumo 


 
 
 
 
Al construir el modelo se reemplaza cada uno de los términos anteriores por
expresiones matemáticas que sean tan rigurosas y a la vez contengan tan
pocos parámetros desconocidos como sea posible. Cada balance se plantea
para cada una de las direcciones en el espacio en que se considera el sistema
y, por lo tanto, el modelo lo constituye una ecuación diferencial parcial. Se
aplica, por ejemplo, a fenómenos de transporte laminar y teorías estadísticas
de la turbulencia.
3. Descripción de Gradiente Múltiple: En este nivel se incorpora menos
información detallada acerca de las características internas del sistema que en
Mach
4
5
el caso de la descripción microscópica. Las formas de las ecuaciones
matemáticas están sugeridas y corresponden a las ecuaciones de transporte
microscópico pero con coeficientes modificados. La característica esencial de
la descripción de gradiente múltiple es que son importantes uno o más
términos de dispersión que deben ser retenidos en el modelo, con o sin los
términos convectivos. El modelo de gradiente múltiple se aplica en procesos
con flujo turbulento o en el flujo con pasos muy complicados como el que
tiene lugar en lechos de relleno o medios porosos, procesos en los que no se
puede medir ni calcular el campo de velocidad local.
4. Descripción de Gradiente Máximo: Es una forma menos detallada de
descripción que se puede considerar como un modelo simplificado de
gradiente múltiple en el que se suprimen los términos de dispersión y
solamente se conserva una derivada en términos del flujo global. Cuando no
se intenta analizar el detalle interno de los modelos de gradiente múltiple se
realizan suposiciones simplificables adicionales con lo cual se obtienen
ecuaciones matemáticas de fácil tratamiento que resultan, no obstante, muy
satisfactorias para numerosos fines. En el modelo de gradiente máximo se
desprecia toda la dispersión y solamente el mayor componente
(unidimensional) del gradiente de la variable independiente se considera en
cada balance. Por ejemplo, en la representación de gradiente máximo de un
reactor químico o sistema de absorción de gases, solamente se consideran los
gradientes de concentración en la dirección axial originados por el flujo
global, mientras que los gradientes que los gradientes radiales, la dispersión,
etc, se ignoran. Los modelos de gradiente máximo son los generalmente
considerados en los libros elementales para los procesos continuos y se
pueden generalizar a un balance con los siguientes términos:
 Transporte 
{Acumulación} + {Transporte Global} = {Generación} + a traves de la 
 sup erficie 


El balance de materia para cada especie “i” y el balance de energía se
expresan, respectivamente, con las siguientes ecuaciones:
Balance de materia de la especie i,
Mach
5
∂ci ∂ (v z ci )
= Ri + mi( t )
+
∂t
∂z
6
Balance de energía
∂T 
 ∂T
(t )
+ vz
 = SR + E
∂z 
 ∂t
ρC p 
La descripción del gradiente máximo reduce los principios fisicoquímicos a
ecuaciones diferenciales menos detalladas. El balance de cantidad de
movimiento se ignora puesto que normalmente se supone que la velocidad es
constante o bien una función sencilla de “z”. En el balance de energía el
término S R representa la energía neta desprendida por el proceso durante
la(s) reacción(es) que se representa por Ri en el balance(s) de materia. El
término mi(t ) tiene en cuenta la velocidad de transferencia molar, por unidad
de volumen de la especie “i”, a través de los límites del sistema de área “S”
( mi(t ) es positivo cuando se introduce materia). En el balance de energía E (t )
representa la transferencia de interfase de energía a través de los límites del
sistema por unidad de volumen por uno o bien una combinación de los
siguientes mecanismos: conducción, convección, radiación, trabajo mecánico
o transferencia de materia que le acompaña. Finalmente, en el modelo de
gradiente máximo es importante recordar que las concentraciones y
temperaturas ya no son valores puntuales sino valores promediados para la
sección transversal y son funciones de una sola dirección coordenada. La
descripción del gradiente máximo reduce los principios fisicoquímicos a unas
ecuaciones diferenciales menos detalladas.
5. Descripción Macroscópica: En este nivel se ignora todo detalle dentro del
subsistema especificado y, en consecuencia, en el planteamiento matemático
no intervienen gradientes espaciales. En los balances generales, solamente el
tiempo permanece como una variable diferencial independiente. Las variables
dependientes, tales como concentración y temperatura, no son funciones de la
posición y, por tanto, representan valores medios para todo el volumen del
subsistema. Esta pérdida de detalle simplifica grandemente la descripción
matemática, pero como contrapartida, lleva consigo una pérdida de
información concerniente a las características del comportamiento del
sistema. Este tipo de modelo es el que se planteará en los siguientes capítulos
para el análisis dinámico de sistemas.
1.4 CARACTERIZACION DE UN MODELO MATEMATICO
Diferentes criterios son significativos para la caracterización de un modelo
matemático como determinístico o probabilístico, de variable continua o discreta, en
estado estacionario o dinámico, de parámetro globalizado o distribuido.
Mach
6
7
Según la caracterización del modelo se requerirán procedimientos y restricciones
matemáticas específicas para su solución. Un modelo de parámetro globalizado se
plantea con una ecuación diferencial ordinaria mientras que uno de parámetro
distribuido se expresa mediante una ecuación diferencial parcial. Un modelo en
estado estacionario no incluye las variaciones de las propiedades del sistema en el
tiempo y, por lo tanto, su descripción puede ser una ecuación algebraica en el caso
de un modelo de parámetro globalizado o una ecuación diferencial en el caso de un
modelo de parámetro distribuido
Modelo Determinístico y Modelo Probabilístico
Los modelos determinísticos son aquellos en los que cada variable y parámetro
puede asignarse a un número fijo definido o una serie de números fijos para una
serie dada de condiciones. Por el contrario, en los modelos probabilísticas o
estocásticos se introduce el principio de incertidumbre y, por lo tanto, las variables o
parámetros utilizados para describir las relaciones entrada-salida y la estructura de
los elementos (y las restricciones) no son conocidos con precisión.
Modelo de Variable Continua – Modelo de Variable Discreta
Un modelo es de variación continua si su variable dependiente puede asumir
cualquier valor incluido dentro de un intervalo de la variable independiente, pero si
solo puede tomar algunos valores, entonces el modelo es de variación discreta, por
ejemplo, una variable que solo puede tomar valores enteros. En los procesos propios
de la ingeniería química suelen encontrarse tanto variables continuas como discretas
en un mismo problema, Por ejemplo, al optimizar un sistema de compresión de un
gas se deben seleccionar un número entero de etapas de compresión (variable
discreta) además de las presiones de succión y descarga en cada etapa (variables
continuas).
Modelo en Estado Estacionario – Modelo en Estado Dinámico
El modelamiento de un sistema en estado estacionario se refiere a su planteamiento
considerando que los términos correspondientes a la acumulación en los distintos
balances son iguales a cero. Otra forma equivalente de expresar la misma idea
consiste en decir que cuando el tiempo tiende hacia el infinito desaparecen los
estados transitorios y el sistema es invariante con respecto al tiempo y, por lo tanto,
los términos derivativos se hacen iguales a cero Los procesos en estado no
estacionario también se pueden llamar transitorios o dinámicos.
Mach
7
8
Aun cuando ha sido una práctica usual de los procedimientos de diseño de procesos,
desarrollarlos para la operación en estado estacionario, cuando comenzó a estudiarse
ampliamente el control de procesos se encontró que la operación en estado no
estacionario era muy importante. Por supuesto que el análisis y el diseño de un
proceso en estado no estacionario requiere mas tipos diferentes y detallados de
información que en el caso de estado estacionario, pero el análisis dinámico de la
operación prolongada suele con frecuencia conducir a un mejor diseño desde el
punto de vista económico, que al fin y al cabo, es lo que importa.
Un ejemplo típico de un proceso en estado no estacionario puede ser la puesta en
marcha de una columna de destilación, que alcanzará eventualmente un conjunto de
condiciones de operación en estado estacionario. De hecho, cuando se examina con
más detalle, se encuentra que la columna siempre opera en estado estacionario con
pequeñas fluctuaciones de temperatura y concentración, que se producen en todo
momento, pero que posiblemente oscilan alrededor de los valores medios en estado
estacionario. El análisis dinámico ayuda a minimizar las desviaciones de las
especificaciones del producto durante la puesta en marcha, parada o cambios en los
niveles de operación.
Modelo de Parámetro Globalizado – Modelo de Parámetro Distribuido
En un modelo de parámetro globalizado se ignoran las variaciones espaciales y las
distintas propiedades y las variables dependientes se pueden considerar homogéneas
en todo el sistema. En un modelo de parámetro distribuido se tienen en cuenta en
forma detallada las variaciones en el comportamiento del sistema en todo su
conjunto. Todos los sistemas reales son, por supuesto, distribuidos porque existen
algunas variaciones en todo el conjunto. Sin embargo, las variaciones son con
frecuencia relativamente pequeñas de tal forma que se pueden ignorar y, entonces, el
sistema se puede considerar globalizado.
La respuesta a la pregunta de si la globalización de parámetros es válida dista mucho
de ser sencilla. Una buena regla aproximada es que si la respuesta del elemento, para
todos los fines prácticos, es instantánea en el conjunto de todo el elemento, entonces
el parámetro del elemento puede ser globalizado. Si la respuesta presenta diferencias
instantáneas a lo largo del elemento, ya no sería globalizado. Por respuesta se
entiende la velocidad de propagación de la señal de entrada a través del elemento.
Así, para ver si debe utilizarse una ecuación de parámetro distribuido o globalizado,
es necesario conocer algo acerca de los detalles internos del elemento en cuestión.
Debido a que los procedimientos matemáticos para la resolución de sistemas de
parámetro globalizado son más sencillos que para los sistemas de parámetro
distribuido, con frecuencia se aproxima este último por un sistema equivalente de
Mach
8
9
parámetro globalizado. Mientras que la globalización resulta, con frecuencia, posible
es preciso tener mucho cuidado en evitar el enmascaramiento de las características
sobresalientes del elemento distribuido (lo que dará lugar a la construcción de un
modelo inadecuado) debido a la globalización. Además, la variabilidad o no
linealidad del modelo de parámetro globalizado puede dar lugar a un tratamiento
matemático tan difícil como el modelo original no globalizado.
Un ejemplo importante es el tanque de mezcla que se emplea para el mezclado de
fluidos o para efectuar reacciones químicas. Generalmente, se basan los cálculos en
la suposición de que el tanque está perfectamente agitado de forma que todo el
volumen del mismo consiste en un material homogéneo de características idénticas
al producto que sale del tanque. Ahora bien, en un tanque real existen placas
deflectoras, esquinas, etc., y la mezcla no es perfecta en todas las regiones, lo que
conduce a falta de uniformidad en el tanque. Con frecuencia se ignoran estas
variaciones y se emplean ciertos valores medios para las propiedades del material
contenido en el tanque. Para muchos propósitos la suposición globalizada resulta
bastante satisfactoria, aunque para ciertos tipos de reacciones químicas el mezclado
no ideal puede tener efectos importantes.
Las variaciones espaciales consideradas en los modelos de parámetro distribuido
pueden ser para una dimensión solamente o para dos o tres. Por ejemplo, en los
métodos habituales de diseño de un absorbedor de gases con relleno se supone que
las concentraciones varían en forma continua en la dirección axial o de flujo, pero en
cambio se ignoran en la dirección radial. En un reactor tubular o de partículas de
relleno se le considera, generalmente, en la misma forma pero en este caso los
gradientes radiales de temperatura pueden ser importantes. Para tener en cuenta lo
anterior se hace necesario utilizar un modelo de parámetro distribuido de dos o tres
dimensionasen el que se consideren las variaciones radial y axial de la temperatura y
la concentración.
1.5 ESTRUCTURA MATEMATICA DE UN MODELO
Ecuaciones Diferenciales – Ecuaciones Algebraicas
El modelamiento de un sistema en estado dinámico se plantea mediante sistemas de
ecuaciones diferenciales o ecuaciones de diferencias de acuerdo a que el sistema sea
de variación continua o discreta. Los modelos de variación continua también se
pueden plantear mediante ecuaciones integrales.
Los modelos de variación continua tanto de parámetro globalizado en estado no
estacionario como de parámetro distribuido en estado estacionario se expresan
Mach
9
10
mediante ecuaciones diferenciales ordinarias. En los de parámetro globalizado la
variable independiente es el tiempo mientras que en los de parámetro distribuido es
una dirección espacial.
Los modelos de variación continua de parámetro distribuido se expresan mediante
ecuaciones diferenciales parciales tanto para descripción en estado estacionario
como no estacionario. Si el modelo se describe en estado estacionario, las variables
independientes son las direcciones espaciales y si su descripción es en estado no
estacionario se agrega el tiempo como variable independiente.
Los modelos de variación discreta se expresan mediante ecuaciones de diferencias
finitas, que también pueden ser unidimensionales o multidimensionales según el
número de conexiones entre los subsistemas de parámetro globalizado.
En condiciones estacionarias, las ecuaciones diferenciales de un modelo de
parámetro globalizado se transforman en ecuaciones algebraicas mientras que las
ecuaciones diferenciales parciales de un modelo de parámetro distribuido se
transforman en ecuaciones diferenciales que expresan las variaciones del sistema
con respecto a las direcciones espaciales
1.6 MODELOS DE PARAMETRO GLOBALIZADO
Los modelos de parámetro globalizado son modelos matemáticos de fenómenos de
transporte descritos macroscópicamente, es decir, que solo se consideran las
variaciones del sistema con el tiempo y se omiten las variaciones espaciales. En su
planteamiento se aplican un conjunto de leyes fundamentales de la física y la
química como los principios de conservación de la masa, energía o cantidad de
movimiento, las ecuaciones de transporte superficial, las ecuaciones de estado, las
ecuaciones de equilibrio químico y físico y las ecuaciones cinéticas de reacciones.
Ecuación de balance de materia total
En el flujo total de materia a través de un sistema se cumple el principio de
conservación y su balance se puede expresar de la siguiente manera:
Flujo Másico Flujo Másico Rapidez de Acumulación

−
=

de Entrada  de Salida
 de Masa

Mach
10
(1.1)
11
En la ecuación (1.1) cada uno de los términos expresa unidades de masa por unidad
de tiempo. El miembro derecho de la ecuación corresponde a un término rapidez de
cambio de masa, es decir, a una derivada con respecto al tiempo
Ecuaciones de balance de materia de componente
En el flujo de materia a través de un sistema, el principio de conservación de cada
componente se plantea mediante un balance que se puede expresar de la siguiente
manera:
FlujoMolar FlujoMolar RapidezMolar RapidezMolar RapidezMolar
 
 
 
 


de
de
de
+
−
=
 (1.2)
 de
 −  de
 Entrada   Salida   Generación   Consumo  Acumulac i ó n
 
 


 
 
En la ecuación (1.2) cada uno de los términos expresa una cantidad de moles de
componente por unidad de tiempo. Los flujos molares de entrada y salida son tanto
convectivos como difusivos. Los términos Rapidez de Generación, Rapidez de
consumo y Rapidez de Acumulación se expresan como derivadas con respecto al
tiempo. En el planteamiento de un modelo se requieren tantos balances de materia
como componentes estén presentes en el sistema.
Ecuación de balance de energía
En el modelamiento de un sistema abierto, el principio de la conservación de la
energía se expresa mediante la primera ley de la termodinámica de la siguiente
manera:
FlujoTotal FlujoTotal  Flujo de Calor  Trabajo Re alizado Rapidezde Cambio

 
 
 

 
por el
de Energía 
=
de Energia −  de Energia +  Añadido al  − 
 
 
 Entrada   Salida   Sistema
Sistema
en el Sistema 
 
 
 

 
(1.3)
En la ecuación (1.3) cada uno de los términos expresa una cantidad de energía por
unidad de tiempo. Los flujos energéticos totales de entrada y salida incluyen energía
interna, cinética y potencial tanto por convección como difusión. El flujo calórico
Mach
11
12
añadido al sistema incluye las transferencias por conducción, radiación y de
reacción. El trabajo realizado por el sistema sobre los alrededores incluye trabajo de
eje y de tipo presión por flujo volumétrico. El término rapidez de cambio de energía
en el sistema es la del cambio en energía interna y potencial del sistema.
Ecuaciones de transferencia de masa y energía
Para modelamiento de parámetro globalizado, la ecuación de transferencia de masa
relaciona el flujo másico superficial con el cambio de concentración mientras que la
ecuación de transferencia de energía relaciona el flujo superficial de calor con el
cambio de temperatura. Las constantes de proporcionalidad son los coeficientes
globales de transferencia. Las ecuaciones de transferencia de masa y energía se
pueden escribir así:
 FlujodeMasa 

 = {CoeficienteGlobaldeTransferencia}{CambiodeConcentración}
Superficial 
(1.4)
 FlujodeCalor 

 = {CoeficienteGlobaldeTransferencia}{CambiodeTemperatura}
Superficial 
(1.5)
Ecuaciones de estado
En el planteamiento de un modelo pueden necesitarse las relaciones entre algunas
propiedades físicas o termodinámicas con la temperatura, presión o concentración.
Lo anterior se puede plantear con respecto a la densidad y a la entalpía de la
siguiente forma:
{DensidadLíquido} = ρ L = f ( P, T , xi )
{DensidadVapor} = ρV = f ( P, T , yi )
{EntalpíaLíquido} = h = f ( P, T , xi )
{EntalpíaVapor} = H = f ( P, T , yi )
(1.6)
(1.7)
(1.8)
(1.9)
Algunas simplificaciones que suelen hacerse sin afectar considerablemente la
exactitud del modelo son:
h = C PT
Mach
12
(1.10)
13
H = C P T + λV
(1.11)
Si se considera la influencia de la temperatura en el valor del calor específico, se
plantea algo más riguroso así:
T
h = ∫ C P (T )dT
To
(1.10)
Suele considerarse una relación polinomial entre el calor específico y la temperatura,
de tal manera que disponiendo de los coeficientes de cada uno de los términos se
puede integrar la ecuación (1.10) y expresar una relación entre la entalpía de líquido
y la temperatura.
La entalpía de una mezcla de “N” componentes líquidos se puede calcular,
despreciando los efectos calóricos de mezclado, mediante un promedio de la
siguiente manera:
N
h=
∑x h M
i =1
N
i i
∑x M
i =1
i
i
(1.11)
i
Las densidades de los líquidos pueden asumirse como constantes siempre y cuando
no se observen grandes cambios en ellas con los cambios de temperatura y
composición. Las densidades de los vapores no pueden considerarse constantes y
para sus cálculos se aplica, generalmente, una ecuación de estado. Considerando un
comportamiento ideal, la densidad de un vapor se puede calcular con la ecuación
ρV =
nM MP
=
V
RT
(1.12)
Estado de Equilibrio
La segunda ley de la termodinámica nos facilita las ecuaciones que nos expresan las
condiciones de un sistema para que se mantenga en estado de equilibrio, ya sea que
Mach
13
14
se trate del equilibrio de un sistema reaccionante (Equilibrio Químico) o del
equilibrio entre varias fases (Equilibrio Físico)
Equilibrio Químico
En una reacción química en estado de equilibrio se cumple que la suma total de los
potenciales químicos de cada uno de los componentes de la reacción es igual a cero
(considerando al potencial de los reaccionantes con signos negativos y el de los
productos con signos positivos). La forma usual de aplicar lo anterior es en términos
de la constante de equilibrio para una reacción. Para una reacción en fase acuosa de
la forma
aA + bB ⇔ cC + dD
(1.13)
La expresión para la constante de equilibrio es una relación entre las
concentraciones de los componentes de la reacción en equilibrio escrita de la
siguiente manera:
c
d
[
C ]e [D ]e
Ke =
[A]ea [B]be
(1.14)
Para una reacción en fase gaseosa, se puede transformar la expresión en términos de
las presiones parciales de la siguiente manera:
Ke =
Pcc,e Pdd,e
Paa,e Pbb.e
(1.15)
Equilibrio Físico
El equilibrio entre dos fases ocurre cuando el potencial químico de cada componente
es el mismo en ambas fases. Para un sistema de dos fases líquido y vapor se pueden
aplicar las siguientes leyes o considerandos:
Mach
14
15
Ley de Dalton: Para una fase vapor con comportamiento ideal se aplica la ley de
Dalton que calcula la presión parcial de cada componente como el producto de la
fracción molar del componente en la fase vapor y la presión total
Pi = y i PT
(1.16)
Ley de Raoult: Para una fase líquida con comportamiento ideal se aplica la ley de
Raoult en la cual se iguala la presión parcial de un componente en la fase vapor con
la presión de saturación del componente puro en la fase líquida de la siguiente
manera:
yi PT = xi Pi o
(1.17)
De lo anterior se puede demostrar que la presión total de la fase vapor se puede
calcular en función de la composición de la fase líquida con la siguiente ecuación:
N
PT = ∑ xi Pi o
(1.18)
i =1
Las presiones de vapor son función de la temperatura, solamente; y esta dependencia
se puede expresar mediante relaciones como la de Antoine.
Volatilidad Relativa: La volatilidad relativa α ij del componente “i” con respecto
al componente “j” se define mediante la siguiente relación;
α ij =
y i / xi
yj / xj
(1.19)
Las volatilidades relativas son constantes en un cierto número de sistemas y son
frecuentemente usadas debido a esta ventaja.
Mach
15
16
Al aplicar la ecuación (1.19) a un sistema binaria para el componente más volátil
con respecto al menos volátil se demuestra una ecuación muy usual para calcular las
composiciones de la fase vapor en equilibrio con una fase líquida y que es la
siguiente:
y=
αx
1 + (α − 1) x
(1.20)
Constantes de distribución de fases: Las relaciones entre la composición de la
fase vapor y la de la fase líquido en equilibrio son las denominadas Constantes de
distribución de fases, Se utilizan ampliamente, especialmente en la industria del
petróleo
Ki =
yi
xi
(1.21)
Las constantes de distribución de fases dependen de la temperatura y la composición
y en menor extensión de la presión
Cinética Química
El modelamiento de reactores requiere del manejo de las relaciones y la
terminología que se utiliza al describir la cinética de las reacciones químicas
mediante sus ecuaciones de velocidad de reacción. Estas ecuaciones expresan la
dependencia de la velocidad de una reacción con la concentración de los
reaccionantes y la temperatura de la reacción.
Ley de acción de masas
Esta ley establece que la velocidad global de una reacción depende de la temperatura
y de la concentración de los reaccionantes elevada a sus respectivas potencias. Si la
velocidad depende de la concentración de los reaccionantes A y B, suele expresarse
mediante la denominada ecuación de velocidad de reacción con la siguiente forma:
r = k [ A] [B ]
a
Mach
16
b
(1.22)
17
Los exponentes a y b son los órdenes de la reacción con respecto a cada uno de los
reaccionantes Con esta definición suelen caracterizarse las reacciones desde el punto
de vista cinético como de primer orden, segundo orden, etc.
Ecuación de Arrhenius
La dependencia de la velocidad de reacción con la temperatura se incluye en la
constante específica de velocidad de reacción. La ecuación de Arrhenius es muy
usual para considerar la influencia de la temperatura en la constante de velocidad de
reacción de la siguiente forma:
 E 
k = A exp −

 RT 
(1.23)
“A” es el denominado factor preexponencial y “E” es la energía de activación de la
reacción, “R” es la constante de los gases (1.99 cal/mol-K) y “T” es la temperatura
en grados K
1.6.1 MODELOS DE PARAMETRO GLOBALIZADO: Características
Al analizar un modelo de parámetro globalizado y para el desarrollo de su posible
solución, se hace necesario identificar los parámetros, las constantes, las variables y
el tipo de ecuaciones que lo conforman. Esto hace que el sistema modelado se pueda
caracterizar como univariable o multivariable y lineal o no lineal
Constantes, Parámetros y Variables
Las constantes son los términos físicos o químicos independientes del tiempo, las
direcciones espaciales y las condiciones del sistema como la constante de los gases o
el peso mol de una sustancia. Los parámetros son todos aquellos valores que pueden
ser variables pero que en el sistema se toman como constantes como el diámetro y la
altura de un recipiente cilíndrico. Las variables son aquellas propiedades del sistema
que pueden cambiar mediante algún efecto externo sobre ellas mismas o como
consecuencia de los cambios externos realizados sobre algunas propiedades del
sistema. A las primeras se les llama variables de entrada y a las segundas variables
de salida
Mach
17
18
Sistemas univariables (SISO) y multivariables (MIMO)
Un modelo de parámetro globalizado univariable se expresa mediante una ecuación
diferencial con una variable de entrada y una variable de salida. Esto suele referirse
como un modelo SISO (Single Input Single Output). Un modelo multivariable
incluye varias variables de entrada o salida y se refiere como un modelo MIMO
(Multiple Input Multiple Output). Se requieren tantas ecuaciones diferenciales como
variables de salida se identifiquen en el sistema. Las variables de salida son las
propiedades que cambian con el tiempo y, por lo tanto, los términos derivadas de
dichas propiedades con respecto al tiempo se observan en las ecuaciones
diferenciales.
Orden y Linealidad de un sistema
El orden de la dinámica de un sistema univariable está dado por el orden de la
ecuación diferencial que expresa su modelamiento. Si la ecuación diferencial es
lineal el sistema es lineal, en caso contrario es no lineal. La siguientes ecuaciones
diferenciales son las forma estándares de escribir los modelos dinámicos de un
sistema univariable lineal de primer y segundo orden, respectivamente.
dY (t )
+ Y (t ) = KX (t )
dt
Primer Orden:
τ
Segundo Orden:
τ2
d 2Y (t )
dY
+ 2ζτ
+ Y (t ) = KX (t )
2
dt
dt
(1.24)
(1.25)
Siendo τ , ζ y K, parámetros que caracterizan dinámicamente al sistema y que se
calculan con algunas de sus características físicas. Y(t) es la variable de salida y X(t)
es la variable de entrada
Por ejemplo, la dinámica de algunas válvulas de control es de un modelo lineal de
segundo orden con la forma de la ecuación (1.25) pero con algunas consideraciones
se puede ajustar a un modelo lineal de primer orden con la forma de la ecuación
(1.24) y hasta en algunos casos se puede despreciar el parámetro τ y, entonces, su
dinámica solo se caracteriza por el parámetro K.
Algunos sistemas de flujo a través de un tanque se ajustan a un modelo no lineal
porque al introducir algunas consideraciones físicas en su planteamiento, su
Mach
18
19
descripción matemática es una ecuación diferencial no lineal de primer orden, como
por ejemplo, la siguiente:
τ
dY (t )
+ Y (t ) = KX (t )
dt
(1.26)
La solución de un modelo no lineal puede hacerse en algunos casos por métodos
analíticos, pero en casos complejos se tiene que recurrir a la solución mediante
métodos numéricos. Es una práctica importante la linearización de los sistemas no
lineales alrededor de un valor de referencia y la comparación de los resultados
encontrados en ambos casos. Lo anterior, es necesario para simplificar el diseño de
los lazos de control de sistemas no lineales.
1.7 ANALISIS DINAMICO DE UN SISTEMA
El análisis dinámico de un sistema consiste en su modelamiento y la solución
matemática correspondiente para un determinado cambio en algunas de sus variables
de entradas con respecto a sus valores invariantes en el tiempo mientras se encuentre
en estado estacionario.
En sistemas lineales es usual expresar sus ecuaciones diferenciales de tal manera que
las variables representen los cambios con respecto a sus valores iniciales o en estado
estacionario. Estas representaciones se denominan Variables Desviación y se
simbolizan, generalmente, con el mismo de la variable pero en mayúscula. Es decir,
que:
X (t ) = x(t ) − x(o)
(1.27)
De la definición (1.27) se deduce que el valor inicial de una variable desviación es
igual a cero. Esta transformación permite que se analice la dinámica de un sistema
observando las desviaciones de sus variables de salida cuando las variables de
entrada se desvían de sus valores iniciales.
1.7.1 PERTURBACION Y RESPUESTA DE UN SISTEMA
Se emplean los términos Perturbación y Respuesta para referirse al tipo de cambio
considerado en la variable de entrada y al perfil que muestran las variables
Mach
19
20
desviación de salida, respectivamente. Algunas perturbaciones con respuestas de
sencilla solución matemática para el análisis dinámico de un sistema son las
denominadas Paso, Pulso, Impulso, Rampa y Sinusoidal.
Respuesta Paso o Escalón (Step)
Las perturbaciones paso son funciones que cambian instantáneamente desde un
valor a otro y son, por lo tanto, constantes. Si el cambio paso es de un tamaño ∆x ,
la perturbación se denomina Función Paso, x(t), y se define como:
x(t ) = ∆x
x(t ) = 0
para t > 0
para t ≤ 0
(1.28)
La función paso en términos desviación es:
X (t ) = ∆x
para t > 0
(1.29)
La representación gráfica de una función paso es una línea recta horizontal como se
observa en la Figura 1.1.:
Figura 1.1. Función Paso (Rojo)
Si el tamaño del paso es igual a la unidad, la perturbación se Función Paso Unitario
y se simboliza
Mach
20
21
U (t ) = 1
para t > 0
(1.30)
La respuesta de un sistema a una perturbación paso en su variable de entrada se
denomina Respuesta Paso o Respuesta Paso unitario según el tamaño del cambio
paso.
Respuesta Pulso (Pulse)
Un pulso es una función de forma arbitraria (usualmente rectangular) que comienza
y termina en el mismo valor. Un pulso rectangular es, simplemente, la suma de una
función paso positiva a partir de un tiempo cero y una función paso negativa a partir
de t o minutos después, siendo t o el denominado Tiempo Muerto. Por lo tanto, una
Función Pulso de altura h y anchura t o se expresa como
x(t ) = h(t ) − h(t − t o )
(1.31)
La representación gráfica de una función pulso rectangular con altura h y una
anchura igual t o se observa en la Figura 1.2:
Figura 1.2 Función Pulso Rectangular
La función pulso rectangular de altura uno y anchura t o se expresa como
Mach
21
22
x(t ) = u (t ) − u (t − t o )
(1.32)
Respuesta Impulso (Impulse)
La función impulso es un pulso de altura infinita, longitud cero y área igual a k
unidades. Es como una ficción puramente matemática pero de mucha utilidad en
ciertos tratamientos matemáticos para el análisis dinámico de sistemas. Cuando el
área del impulso es igual a la unidad, la función se define como la Función Delta
Dirac, δ (t ) . La función impulso de área k suele escribirse como un factor de la
función Delta Dirac de la siguiente manera:
x(t ) = kδ (t )
(1.33)
La representación gráfica de una función impulso de área k se observa en la Figura
1.3:
Figura 1.3 Función Impulso de área k
Respuesta Rampa (Ramp)
Las variaciones rampas son funciones que cambian linealmente con el tiempo de la
siguiente manera:
x(t ) = kt
Mach
22
(1.34)
23
Siendo k, una constante. Este tipo de cambio se aplica, por ejemplo, en el modo de
variar con el tiempo del valor deseado de la presión o de la temperatura de un
reactor operado por lotes
La representación gráfica de una función rampa de pendiente k se observa en la
Figura 1.4:
Figura 1.4. Función rampa de pendiente k
Respuesta Sinusoidal
La variación sinusoidal de una variable de entrada se expresa como una función
seno con una determinada frecuencia, w, y amplitud, A, de la siguiente manera:
x(t ) = ASen( wt )
(1.35)
La representación gráfica de la función (1.35) se observa en la Figura 1.5. Las
variaciones sinusoidales son muy poco aplicadas en los procesos de la ingeniería
química. Sin embargo, las respuestas de un sistema a un cambio sinusoidal en sus
variables de entrada son de una importancia tan grande que su estudio ha
introducido unas estrategias adicionales para el análisis dinámico de sistemas
conocido como las respuestas en el dominio de la frecuencia.
Mach
23
24
Figura 1.5. Función Seno de amplitud A y frecuencia w
1.7.2 DOMINIOS PARA EL ANALISIS DINAMICO DE UN SISTEMA
El estudio de la dinámica de un sistema en el Dominio del Tiempo significa que las
ecuaciones diferenciales que constituyen el modelo matemático se resuelven
directamente, es decir, en términos de las funciones dependientes del tiempo. Pero si
las ecuaciones diferenciales se transforman según la definición de Laplace el análisis
dinámico o el comportamiento del sistema se estudia en el Dominio de Laplace. En
capítulos posteriores, se explican los fundamentos que facilitan un conjunto de
conceptos y propiedades para el análisis dinámico de un sistema en el Dominio de la
Frecuencia y para el caso de sistemas cuyos modelos son multivariables se hace uso
del álgebra matricial para el análisis dinámico de su respuesta en lo que se denomina
el Espacio de los Estados.
Dominio Tiempo
En el dominio del tiempo, las variables se manejan directamente en función del
tiempo y los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales, tanto analíticos
como numéricos, se resuelven directamente en términos del tiempo. Para cada uno
de los cambios descritos anteriormente para una variable de entrada, las funciones
empleadas son las definidas en función del tiempo.
Dominio Laplace
Al aplicar transformada de Laplace tanto a las variables de entrada como a las
ecuaciones diferenciales, el análisis no se plantea en términos del tiempo sino de una
nueva variable “s”. Para cada una de las perturbaciones anteriores las
correspondientes transformadas de Laplace son:
Mach
24
25
Respuesta Paso:
X ( s) =
∆x
s
(1.36)
Respuesta Pulso:
X (s) =
h ( s ) h ( s )e − t o s h
−
= (1 − e −to s )
s
s
s
(1.37)
Respuesta Impulso:
X (s) = k
Respuesta Rampa:
X (s) =
k
s2
(1.39)
Respuesta Seno:
X ( s) =
Aw
s + w2
(1.40)
(1.38)
2
La transformada de Laplace solo puede aplicarse a ecuaciones diferenciales lineales
y es de mucha utilidad para el análisis dinámico de sistemas lineales porque
transforma una ecuación diferencial de tal manera que su representación es mucho
más compacta y conveniente que la correspondiente representación en función del
tiempo. Por ejemplo, la ecuación diferencial en términos del tiempo que modela a un
sistema lineal de primer orden con una variable de entrada y una variable de salida
suele escribirse en su forma estándar de la siguiente manera:
τ
dY (t )
+ Y (t ) = KX (t )
dt
La correspondiente transformada de Laplace se expresa de tal manera que muestre
una relación entre las variables de entrada y salida del sistema y que escrita como
una función de transferencia es la descripción del sistema en el dominio de Laplace:
Y (s)
K
=
X (s)
τs + 1
Dominio Frecuencia
El estudio dinámico de un sistema en el dominio de la frecuencia se fundamenta en
las características que muestra la respuesta de un sistema de primer orden lineal ante
una perturbación sinusoidal de cierta frecuencia y amplitud en su variable de
Mach
25
26
entrada. A partir de estas características se definen unas propiedades que dependen
de la frecuencia de la onda sinusoidal de entrada como son la relación entre las
amplitudes entre la función sinusoidal de entrada y la respuesta del sistema y el
desfase entre ellas y a partir de estas se plantean unos conceptos como los de Bode y
Nyquist muy útiles y aplicables en el análisis de cualquier sistema.Los métodos de
análisis en el dominio de la frecuencia son un poco más abstractos que los
correspondientes en los otros dominios y se apoyan en el concepto de función de
transferencia propio de los estudios en el dominio de Laplace.
Espacio de los Estados
La escritura de un modelo en forma del Espacio de los Estados se puede aplicar a
sistemas lineales con múltiples variables de entrada y salida. Lo anterior significa
que el modelo lo constituyen tantas ecuaciones diferenciales lineales como variables
de salida hayan y este conjunto puede compactarse en una escritura matricial de la
siguiente forma:
X& = AX + Bu
Y = CX + Du
Cada una de las letras A, B, C, D representa una matriz. “X” es el vector de las
variables de estado del sistema y el punto arriba simboliza el vector de sus derivadas
con respecto al tiempo; “Y” es el vector de las variables de salida del sistema y “u”
es el vector de las variables de entrada. A y B son las matrices de los coeficientes de
cada uno de los términos lineales en cada una de las ecuaciones diferenciales. C y D
son matrices que expresan una relación entre las variables de estado y de entrada con
las de salida
Bibliografía
Bequette W.B. Process Dynamics. Modeling, Analysis and Simulation. Prentice Hall
International Series. 1998
Edgar T.F., Himmelblau D.M. Optimization of Chemical Processes. McGraw-Hill
International Editions. 1989
Himmelblau D.M., Bischoff K.B. Análisis y Simulación de Procesos. Editorial
Reverte S.A. 1976
Luyben W.L. Process Modeling, Simulation and Control for Chemical Engineers.
Second Edition. McGraw-Hill International Editions. 1990
Mach
26