Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Universidad Nacional Autónoma de México Análisis de Facultad de Sistemas Ingenieríay Señales Análisis de Sistemas y Señales Transformada Inversa: Laplace Alumnos: Anzures Robles Jorge García Luciano Laura Quezada Borja Arnulfo Rojas Arteaga I. Karina Fecha de entrega: Abril-2008. Transformada Inversa: Laplace Transformada 1.- [Ejercicio que se le asignó al equipo para exponer] Sea X(s) la siguiente función: , calcular su transformada inversa Realizamos una división para obtener una ecuación que pueda solucionarse, ya que podemos ver que el grado de el denominador es mayor, se debe de simplificar a lo máximo para poder realizar la operación. s‐4 +4s‐2 +0 +4s‐4 … Dividiendo tenemos: ‐ ‐4 +2s ‐4 +4s‐4 4 +16s‐8 20s‐12 Sustituyendo nos queda la siguiente expresión: X(s)=s-4+ , para resolver necesitamos encontrar las raíces de la última expresión: Resolviendo por la fórmula de resolución de ecuaciones de 2 grado: √ = √ √ = , las raíces de esta ecuación son: x1= 0.449 y x2=-4.449 Sustituyendo en la ecuación para resolverlas por fracciones parciales: v(s)= Descomponiendo: v(s)= a) Si s=0.449 b) Si s=-4.449 v(s)= . . X(s)= s-4+ . B=20.616 , con esta expresión tenemos la expresión completa, . . A=-0.616 20(-4.449)-12=A(-4.449-0.449) , , ; calculando A y B para sustituirlos. 20(0.449)-12=A(0.449+4.449) . . , . aplicando la anti-transformada , 4 4 . 0.616 0.616 . . 20.616 20.616 . ; ; 0 0 Análisis de Sistemas y Señales 2 Transformada Inversa: Laplace Ejercicios: 1.- Sea X(s)= hallar su anti-transformada x(t) 2 +4s+2 2 ‐9s‐35 ‐2 ‐8s‐4 ‐17s‐39 Sustituyendo nos queda la siguiente expresión: X(s)=2+ , para resolver necesitamos encontrar las raíces de la última expresión: Dividiendo tenemos: Resolviendo por la fórmula de resolución de ecuaciones de 2 grado: √ = √ = √ , las raíces de esta ecuación son: x1= -0.585 y x2=-3.414 Sustituyendo en la ecuación para resolverlas por fracciones parciales: v(s)= Descomponiendo: v(s)= . -17(-0.585)-39=A(0.585-3.414) A=-10.27 b) Si s=-3.414 -17(-3.414)-39=A(-0.585+3.414) B=-6.72 X(s)= 2+ . . . ;, con esta expresión tenemos la expresión completa, . . . . , aplicando la anti-transformada 9 9 . ; calculando A y B para sustituirlos. . a) Si s=-0.585 v(s)= . 2 2 ; ; 0 0 2 2 . 10.27 10.27 . . 6.72 6.72 . ; ; 0 0 Análisis de Sistemas y Señales 3 Transformada Inversa: Laplace hallar su anti-transformada x(t) 2.- Sea la siguiente ecuación X(s)= Vemos que se puede factorizar, se tiene la siguiente expresión: X(s)= Comprobando cuáles son sus raíces por división sintética: 1 -2 1 5 8 4 -2 -6 -4 3 S=-2 2 0 -2 0 0 0 -2 0 -2 1 1 S=-2 0 -1 ² 0 y resolvemos, para obtener las constantes A, B y C. 3[(-2)²+2(-2)+1] ) = B(-2+1) B=-9 b) Si s=-1 3[(-1)²+2(-1)+1] ) = C(-1+2) C=2 1=A(2)+(-9)+2(4) A=1 Sustituyendo el valor de las constantes nos queda la función así: x(s) = Aplicando 0 S=-2 y descomponemos en a) Si s=-2 c) Si s=0 -1 Entonces comprobamos que tenemos la siguiente expresión: fracciones parciales: 0 1 ² entonces tenemos que la función en términos de t es: 9 9 2 2 ; ; 0 0 Análisis de Sistemas y Señales 4 Transformada Inversa: Laplace 3.- Sea la señal X(s)= s2 + 1 A Bs + C Ds + E = + 2 + Obtener su anti-transformada 5 3 s + 18s + 81s s s + 9 ( s 2 + 9)2 s 2 + 1 = A( s 2 + 9) 2 + ( Bs + C )( s )( s 2 + 9) + ( Ds + E ) s s 2 + 1 = A( s 4 + 18s 2 + 81) + Bs 2 + Cs ( s 2 + 9) + Ds 2 + Es s 2 + 1 = As 4 + 18 As 2 + 81A + Bs 4 + 9 Bs 2 + Cs 3 + 9Cs + Ds 2 + Es Agrupando los coeficientes en sistemas de ecuaciones y determinando su valor: 0 = A+ B ⇒ B = −A = − 1 81 0=C 1 = 18 A + 9 B + D 0 = 9C + E ⇒ 1− 18 9 72 + = D; D = 81 81 81 ⇒E=0 1 81 1 = 81A ⇒ A = Sustituyendo en ecuación de fracciones parciales los valores de A, B, C, D y E: 1 1 72 s Ds 81 − 81 + 81 s s 2 + 9 ( s 2 + 9) 2 aplicando D −1 : 1 72 ⎧1 ⎫ ⎧1⎫ ⎧ 1 ⎫ ⎧ 72 ⎫ s Ds ⎪ s ⎪ s ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −1 81 D −1 ⎨ 81 − 81 + 81 = D −1 ⎨ 81 ⎬ − D −1 ⎨ 81 ⎬+D ⎨ 2 2 2 2⎬ 2 2⎬ + + + s s 9 ( s 9) s s 9 ( s ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + 9) ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ 72 ⎫ s ⎪ ⎪ 1 1 = e − st − cos(3t ) + D −1 ⎨ 281 2 ⎬ 81 81 ⎪ ( s + 9) ⎪ ⎩ ⎭ Por tablas identificamos a qué función se parece y sustituimos: ⎧ 2as ⎫ D −1 ⎨ 2 = tsen(at ) 2 2⎬ ⎩ (s + a ) ⎭ ⎧ 72 ⎫ s ⎪ ⎪ 72 tsen(3t ) ⇒ D −1 ⎨ 281 2 ⎬ = ⎪ ( s + 9) ⎪ 486 ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ 1 − st 1 s2 + 1 72 D −1 ⎨ 5 tsen(3t ) ⎬ = e − cos(3t ) + 3 81 486 ⎩ s + 18s + 81s ⎭ 81 Análisis de Sistemas y Señales 5 Transformada Inversa: Laplace 4.- Sea la expresión X(S) hallar su transformada inversa. = X(S) = = ² = ² = ² = ² = ² ² ² Igualando coeficientes A+B=0; A=‐B 18A+9B+D=1; ‐18B+9B+D=1 9B+D=1 D=1‐9B D=1+ (9/81) D=90/81 = 10/9; C=0; 9C+E=0; E= 0 A81=1; A= 1/81 y B=‐1/81 Sustituyendo tenemos: 3 3 −s 1 2e 2 2 Y aplicando la transformada inversa − + 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 (s + ) + (s + ) + (s + ) + 2 4 2 4 2 4 s+ 1 2 tenemos que la ecuación con su transformada inversa es: 1 t e 2 cos 1 1 3 1 2t 3 2 2t 3 t− e sen t+ e sen t(u(t + 1)) 2 2 2 3 3 Análisis de Sistemas y Señales 6 Transformada Inversa: Laplace 5.- Tenemos la siguiente función: x(s)= , calcular su transformada inversa. ² Para poder resolver aplicando división al primer término de la suma: Sustituyendo el resultado obtenido en la función x(s) = 1 ² ² (1) De (1) ² ² (2) ; Tenemos: y = 1 s+1 s ‐s‐1 ‐1 ² y tomamos solo , una vez separadas en fracciones resolvemos el valor de las constantes: 2A+B=1 A+B=0 s= A(s+1)² + B(s+1) Resolviendo el sistema de ecuaciones: A=1, B=-1 Sustituyendo queda de la siguiente manera: ² ² = X(s´), y sabemos que Recordando una propiedad: = f(x)h(t-x)dx tenemos entonces que: Calculando su F[s]= H[s]= 1 f(t)= h(t)= 1 … . 1´ Quedando la transformada inversa de X(t´)= (2-t) De (2) Tenemos que: es ahora: ² 0 s´´ y calculando su transformada inversa queda la ecuación de la siguiente manera aplicando las siguientes propiedades . A partir de esto calculamos: y F[s]= f(t)= Calculando su H[s]= 2 h(t)= 2 … . 2´ Quedando la transformada inversa de X(t´´)= (t-2) 0 Agregando estas transformadas inversas a la ecuación X(s) para obtener x(t) es: 2 2 t t 1 1 t t 2 2 2 ; 2 ; 0 0 Análisis de Sistemas y Señales 7 Transformada Inversa: Laplace Exposiciones 3s 2 + 4s + 1 3s 2 + 4s + 1 = 1.- Sea la función x(s)= 3 . Calcular su transformada s + 2s 2 + s + 2 ( s + 2)( s 2 + 1) inversa Factorizando s 3 + 2 s 2 + s + 2 agrupando: ( s 3 + s ) + (2 s 2 + 2) sacando factor común: s ( s 2 + 1) + 2( s 2 + 1) = ( s + 2)( s 2 + 1) por fracciones parciales: 3s 2 + 4s + 1 A Bs + C = + 2 .....1 Tenemos el sistema de ecuaciones que resolveremos: 2 ( s + 2)( s + 1) S + 2 s + 1 3s 2 + 4s + 1 = A( s 2 + 1) + ( Bs + C )( s + 2) 3s 2 + 4s + 1 = As 2 + A + Bs 2 + 2 Bs + Cs + 2C Agrupando términos e igualando coeficientes: 3s 2 = As 2 + Bs 2 ⇒ 3 = A + B....2 4 s = 2 Bs + Cs ⇒ 4 = 2 B + C....3 Despejando: 1 = A + 2C.....4 de...4 ⇒ A = 1 − 2C...4 ' sust 4 ' en 2 ⇒ 3 = 1 − 2C + B...2 ' despejando B de 2 ⇒ B = 2 + 2C...3' sust 3' en 3 ⇒ 4 = 4 + 4C + C 0 = 5C ⇒ C = 0 1= A 3 = 1+ B ⇒ B = 2 sust A, B y C en 1: 3s 2 + 4 s + 1 1 2s = + 2 3 2 s + 2s + s + 2 S + 2 s + 1 −1 aplicando D : 2s ⎫ ⎧ 1 + 2 ⎬ = e 2t + 2 cos t. D −1 ⎨ ⎩ S + 2 s + 1⎭ 2 2 Análisis de Sistemas y Señales 8 Transformada Inversa: Laplace 2.-Sea X(s) la siguiente función: , calcular su transformada inversa Realizamos una división para obtener una ecuación que pueda solucionarse, ya que podemos ver que el grado de el denominador es mayor, se debe de simplificar a lo máximo para poder realizar la operación. s‐4 +4s‐2 +0 +4s‐4 … Dividiendo tenemos: ‐ ‐4 +2s ‐4 +4s‐4 4 +16s‐8 20s‐12 Sustituyendo nos queda la siguiente expresión: X(s)=s-4+ , para resolver necesitamos encontrar las raíces de la última expresión: Resolviendo por la fórmula de resolución de ecuaciones de 2 grado: √ = √ √ = , las raíces de esta ecuación son: x1= 0.449 y x2=-4.449 Sustituyendo en la ecuación para resolverlas por fracciones parciales: v(s)= Descomponiendo: v(s)= a) Si s=0.449 b) Si s=-4.449 v(s)= . . X(s)= s-4+ . B=20.616 , con esta expresión tenemos la expresión completa, . . A=-0.616 20(-4.449)-12=A(-4.449-0.449) , , ; calculando A y B para sustituirlos. 20(0.449)-12=A(0.449+4.449) . . , . aplicando la anti-transformada , 4 4 . 0.616 0.616 . . 20.616 20.616 . ; ; 0 0 Análisis de Sistemas y Señales 9 Transformada Inversa: Laplace calcular su transformada inversa de Laplace. 3.- Sea la función X(s)= y descomponiendo den Factorizando el término del denominador tenemos: y resolviendo el fracciones parciales tenemos a la ecuación de la siguiente manera: valor de las constantes A, Bs y C efectuamos las siguientes operaciones. 1 4 8 1 0 0 1 De esta matriz se ve el valor de: 2 A +4As+BA+B +Cs= +2+16 y resolviendo tenemos: 16 0 1 0 A=2; B=-1y C=-6 2 6 4 cos 2 =2- 8 2 4.-Teniendo la siguiente función H(s)= H(s)= 4 8 2 =2- H(s)= 6 2 cos 2 2 2 , calcular su transformada inversa de Laplace. , buscamos sus raíces para poder descomponerla en fracciones parciales que son: ; Descomponiendo tenemos: H(s)= A=[s{x(s)}]s=0 = B=[s+{x(s)}]s=-1 = s=0 Y calculando el valor de A y B. = A=4 s=-1 = B=-1 Y sustituyendo: H(s)= Tenemos a la siguiente ecuación a la que hallaremos su transformada inversa. 4 1 1 4 Análisis de Sistemas y Señales 10 Transformada Inversa: Laplace , obteniendo las raíces 5.- Tenemos a la siguiente señal con ecuación x(s)= de la parte del denominador que le llamaremos D(s) tenemos que son las siguientes: S1=2.7+1.6i, S2=-2.7-1.6i y S3=0.6 Y como vemos que tuvimos dos raíces complejas separamos de la siguiente manera en fracciones parciales: Se obtiene de hacer D(s) = (s+27.1.6i)(s+27+1.6i)(s+0.6)=( X(s) = . +27s)+(8.6)(s+0.6) lo siguiente: . Calculando C2 haremos: C2= [s+0.6 ]= . s=0.6 0.65 27 8.6)(s+0.6)=(Cs-d)(s-0.6)+0.65( 27 3.3 10.22 5.16 = C +ds+0.65+0.6d+0.65 +1.76s+5.59=(c+0.65) 8.6) ( Igualando términos C+0.65=3.3 C=2.65 Quedando x(s)= . +(d+0.6C+1.76)s+0.6d+5.59 d+0.6 (2.65)+1.76=10.22 d=6.88 . . . . Redondeamos para facilitar cálculos: … 1 Completamos el trinomio (1) y queda: x(s)= x(s)= Y por propiedades resolvemos: x(s)= = 3 x´(s)= x´´(s)= x´´´(s)= Entonces: = = Quedando la transformada inversa completa de la siguiente manera: X(t)= 3 + + 3 2 3 3 2 X(t)= 3 25 4 + 5 2 3 2 1 1 25 4 + Análisis de Sistemas y Señales 11 Transformada Inversa: Laplace = 6.- Teniendo la ecuación x(s)= 2 ² Factorizando 5 Hallar su transformada inversa. 2 este polinomio tenemos: ( +5) + (25² +2) Agrupando Sacado el factor común (S +2) (S² +1) Y desarrollado por fracciones: = 3 +4 1 3 +4 1 + …..(1) ² 1 2 2 1 2 Calculando sus coeficientes: 3 ² 4s = 2Bs + Cs 3 = A+B… (2) 4 = 2B+C…. (3) 1 = A+2i…. (4) Despejando de 4; A = 1-2c… (4) Substituyendo 4´ en 2 3 = 1-2c+B… (2´) Despejando B de 2´ B =2+2c… (3´) substituyendo 3´en 3 O = 5c 4 = 4+4c+C C=O ; A = 1 ; B = 2 Substituyendo A, B y C en (1) = 2 1 2 1 ² 1 2 2 ² 1 2 cos t 2 cos t Análisis de Sistemas y Señales 12 Transformada Inversa: Laplace 7.‐ Sea la señal cuya transformada de Laplace es la siguiente x su transformada inversa. = ² Calcular Buscando raíces s²+7s+12 = 0 Factorizando (S+3) (S+4) = 0 Sus raíces son: S1 = ‐3 y S2 = ‐4 Reescribiendo la ecuación x Calculando A=1 y sustituyendo… x = = 8.-Sea x ² + + = = ‐ +2 = ‐ +2 Hallar su transformada inversa de Laplace Obteniendo raíces S (s²+ 5s+7) =0 a partir de la resolución de la ecuación de segundo grado. Aplicando la ecuación cuadrática S1 = 0 √ = = √ √ S2 = β=√3 2 √ S3 = α=- 5 2 Aplicando las raíces como son complejas realizamos: x √ √ = 1 7 C 1 C2 C2 √3 ‐ √ + √ i C2 i x (t) =2(c1) αt cos (β+ < C1) (C2)= 1/√7 ‹ = 180°‐ 79.10 ‹ = 100.89° Sustituyendo tenemos que es: = 1/7 + 2(1√7 ) 2.5 cos √ 100.89 ; t >, 0 = 1/7 + 2(1√7 ) 2.5 cos √ 100.89 ; t >, 0 Análisis de Sistemas y Señales 13 Transformada Inversa: Laplace ‐2 1 1 = 9.- X(s) = 3 ‐2 1 3 ‐2 1 2 ‐2 0 , determinando raíces por división sintética acomodando y resolviendo el valor de las constantes: en fracciones parciales: 3 4 1= C1(s+2) 3 4 1= C1 ( Agrupando... 3 y Tenemos entonces que es: x(s)= 1)+(c2s( 3 4 3 2 +(C2 1=(C1+C2+C3) C1+C2+C3=0…(1) 3C1+C2+2C3+C4=3…(2) 3C1+C2+2C4=4…(3) 2C1=1…(4) 1))+(c3s+c4)(s(s+2)) ))+C3( +(3C1+C2+2C3+C4) 2 )+C4( 2 ) +(3C1+C2+2C4)s+2C1 De (4) C1=1/2 y sustituyendo C1 en (1,2 y 3) C2+C3=-1/2 C2+2C3+C4=3/2 C2+2C4=5/2 Despejando C3 y C4 de (1) y (3) C3=-1/2-C2…(5) 2C4=5/2-C2 C4=5/4-1/2C2…(6) Sustituyendo (5) y (6) C2+2(-1/2-C2)+(5/4-1/2C2)=3/2 Análisis de Sistemas y Señales 14 Transformada Inversa: Laplace 10.- Sea la señal X(s)= 2s² + 12s + 20 Hallar su transformada inversa de Laplace: S3 + 6s2 + 10s + 8 X3 + 6x2 + 10x + 8 F(-x) = (-x )3 + 6 (-x ) + 10 (-x ) + 8 = x3 + 6x – 10 ( -x ) + 8 = 8 = 4(2)(1) -4 -1/4 -1/5 -1/2 1 6 10 8 -4 -8 -8 (x+4) (x2 +2x +2) -1 1 2 2 0 1 6 10 8 -1 -5 -5 1 5 5 3 2s2 + 8 A S+4 + Bs + D s2 + 2s +2 …….(A) 2s2 + 8s + 10 (s+4) (s2 + 2s +2 ) (s+4) (s2 + 2s + 2) Determinando el valor de las constantes tenemos: 2(s2 +8+10) = A(s2 + 2s + 2) + ( 8s + D) (s+4) A+B = 2…………………(1) Resolviendo el sistema de ecuaciones... 2A +2B+16 = 16 ……….(2) 2(A + 2) = 20…………….(3) 8 S2+4 + 2s +24 s2 + 25 + 2 Transformando a partir de las tablas nos queda de la siguiente manera: 8 S+4 = 2s + 24 s2 + 2s + 2 2(s+1) (s+1)2 +1 8 e -4j = + 2s+2+22 (s+1) 2 + 1 22 = = 2 e-j cos j + 22 e-j sen j (s+1) 2 + 1 Análisis de Sistemas y Señales 15 Transformada Inversa: Laplace 11.- Sea la función X(s)= ² Calculando las raíces de el denominador y vemos que contiene raíces complejas r1= 5/2 + √3/2 j r2 = 5/2 - √3/2 j ( s2 – r1) ( s + r2) y sustituyendo en la ecuación α = 5/2 β= √3/2 p= α + pj x(s) = c1 + c2 Calculando el valor de las constantes (S-r 1) (S- r 2) C1 = -3 / 2/√3 j C2 = C1 C2= (3 / 2/√3) j + ½ +½ X(t) = 2 (C1) e2t cos (β + α c1) + c3 e β3t tan-1 (ln C1/ R2 C1 ) cuando Re C1 > 0 } α C1 180º + tan -1 (ln C1/ R2 C1) cuando Re C1 < 0 α C1 = 180º + tan -1 ( -3 ( 2√3) / ½ ) = 120º Entonces tenemos que la transformada inversa de esta función es: x(t) = 2 e-2t cos (√3/2 t +120º) Análisis de Sistemas y Señales 16 Transformada Inversa: Laplace = 12.- Teniendo la ecuación x(s)= 2 ² Factorizando 5 Hallar su transformada inversa. 2 este polinomio tenemos: ( +5) + (25² +2) Agrupando Sacado el factor común (S +2) (S² +1) Y desarrollado por fracciones: = 3 +4 1 3 +4 1 + …..(1) ² 1 2 2 1 2 Calculando sus coeficientes: 3 ² 4s = 2Bs + Cs 3 = A+B… (2) 4 = 2B+C…. (3) 1 = A+2i…. (4) Despejando de 4; A = 1-2c… (4) Substituyendo 4´ en 2 3 = 1-2c+B… (2´) Despejando B de 2´ B =2+2c… (3´) substituyendo 3´en 3 O = 5c 4 = 4+4c+C C=O ; A = 1 ; B = 2 Substituyendo A, B y C en (1) = 2 1 2 1 ² 1 2 2 ² 1 2 cos t 2 cos t Análisis de Sistemas y Señales 17