5 Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 25 PÁGINA 121 42 Construye funciones definidas a trozos que cumplan las siguientes condiciones y dibújalas. a) Es continua y está compuesta por dos trozos de rectas. Tiene pendiente 0 en x = 1 y pendiente –2 en x = 4. Tiene un máximo en (3, 7). b) Es continua y está compuesta por un trozo de parábola y un trozo de recta. Tiene un mínimo en (0, 0) y un máximo en (2, 4). Y a) Por ejemplo: ° 7 £ –2x + 13 f(x) = ¢ si x < 3 si x Ó 3 X 3 Y b) Por ejemplo: ° x2 £ –x + 6 f(x) = ¢ si x Ì 2 si x > 2 4 X 2 43 Todas las funciones exponenciales de la forma y = a x pasan por un mismo punto. Di cuál es y justifícalo. ¿En qué casos la función es decreciente? Todas pasan por el punto (0, 1), ya que a0 = 1. Si a < 1, la función es decreciente. 44 Calcula b y c para que el vértice de la parábola y = x 2 + bx + c esté en el punto (3, 1). ¿Cuál es su eje de simetría? ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes? Vértice en x = 3 8 – b = 3 8 –b = 6a = 6 8 b = –6 2a Pasa por (3, 1) 8 1 = 9 – 18 + c 8 c = 10 y = x 2 – 6x + 10 Su eje de simetría es x = 3. Cortes con los ejes: x = 0 8 y = 10 8 Punto (0, 10) x 2 – 6x + 10 = 0 8 x = ta al eje X. Unidad 5. Funciones elementales 6 ± √ 36 – 40 8 No tiene solución, por tanto, no cor2 5 Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 26 45 ax 2 La parábola y = + bx + c pasa por el origen de coordenadas. ¿Cuánto valdrá c ? Si, además, sabes que pasa por los puntos (1, 3) y (4, 6), halla a y b y representa la parábola. c=0 y = ax 2 + bx ° a = 3 – b 8 a = –1/2 (1, 3) 8 3 = a + b ¢ (4, 6) 8 6 = 16a + 4b £ 6 = 16(3 – b) + 4b 8 b = 7/2 y = – 1 x2 + 7 x 2 2 Y 6 3 1 46 Calcula a y b para que la función y = a pase por los puntos (2, 2) x–b y (–1, –1). a 2=— 2–b a –1 = — –1 – b y= 2 x–1 47 X 4 ° § § a = 4 – 2b ° 1 + b = 4 – 2b 8 b = 1 ¢ ¢ § a=1+b £ a=2 § £ Representa gráficamente la función exponencial y = 1,2x haciendo uso de una tabla de valores. ¿Cuál es la función inversa o recíproca de y = 1,2x ? Represéntala en los mismos ejes. La función inversa de y = 1,2x es y = log 1,2 x. 16 –4 0 1 2 4 8 10 12 16 0,48 1 1,2 1,44 2,07 4,3 6,2 8,9 18,5 Unidad 5. Funciones elementales 14 12 y = log1,2 x 10 x Y y= X 8 6 y = 1,2x 4 2 –4 2 –4 4 6 8 10 12 14 16 5 Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 27 P ROFUNDIZA 48 Representa las siguientes funciones: °x a) f (x) = ¢ — £√x si x < 0 si x Ó 0 °x 2 § b) f (x) = ¢ 1 §— £x a) Y b) si x < 1 si x Ó 1 Y X X 49 a) Representa la función y = | x |, donde | x | es el valor absoluto de x. °–x si x < 0 b) Representa: y = ¢ £ x si x Ó 0 Compara las dos gráficas, a) y b). a) y b) Y X Son la misma gráfica. 50 Haz la gráfica de las siguientes funciones: a) y = | x – 1| a) b) y = 1 + | x | b) Y X Unidad 5. Funciones elementales Y X 5 Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 28 51 Aplica la definición de logaritmo para calcular x en cada caso: a) log 2 (2x – 2) = 3 b) log 2 (x – 1,5) = –1 c) log 2 4x = 2 d) log2 (x 2 – 8) = 0 a) log 2 (2x – 2) = 3 8 2x – 2 = 23 8 2x = 10 8 x = 5 b) log 2 (x – 1,5) = –1 8 x – 1,5 = 2–1 8 x = 1 + 3 = 2 2 2 2 c) log 2 4x = 2 8 4x = 2 8 x = 1 d) log2 (x 2 – 8) = 0 8 x 2 – 8 = 20 8 x 2 = 9 8 x = ±3 52 53 Resuelto en el libro de texto. Resuelve estas ecuaciones exponenciales, expresando como potencia el segundo miembro: a) 3x 2 –5 b) 22x – 3 = 1/8 = 81 3 c) 2x + 1 = √4 2 d) 2x + 1 = 0,53x – 2 2 = 81 8 3 x – 5 = 3 4 8 x 2 – 5 = 4 8 x 2 = 9 8 x = ±3 b) 2 2x – 3 = 1 8 2 2x – 3 = 2 –3 8 2x – 3 = –3 8 x = 0 8 a) 3 x –5 3 c) 2 x + 1 = √4 8 2 x + 1 = 2 2/3 8 x + 1 = 2 8 x = 2 – 1 8 x = – 1 3 3 3 () d) 2 x + 1 = 0,5 3x – 2 8 2 x + 1 = 1 2 3x – 2 8 2 x + 1 = 2 –(3x – 2) 8 8 x + 1 = –(3x – 2) 8 4x = 1 8 x = 1 4 54 Sabemos que el lado desigual de un triángulo isósceles mide 6 cm. Llama x al otro lado y escribe la ecuación de la función que nos da su área. Represéntala. x x 3 cm 6 cm 25 Y 20 15 La altura del triángulo es h = √x 2 – 9 . 10 A(x) = 3√x 2 – 9 5 3 X Unidad 5. Funciones elementales 5 Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 29 55 Un móvil que inicialmente llevaba una velocidad de 8 m/s frena con una aceleración de –1 m/s2. Escribe la ecuación de la velocidad en función del tiempo y represéntala. v=8–t Y X 56 Tenemos 200 kg de naranjas que hoy se venderían a 0,40 €/kg. Cada día que pasa se estropea 1 kg y el precio aumenta 0,01 €/kg. ¿Cuándo hemos de vender las naranjas para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál será ese beneficio? Sea t el tiempo, en días. La función que da el precio de las naranjas según transcurren los días es (kilos de naranjas Ò precio de cada kilo): P(t) = (200 – t)(0,40 + 0,01t) P(t) = 80 + 2t – 0,40t – 0,01t 2 = –0,01t 2 + 1,60t + 80 El máximo de la función está en el punto de abscisa: –b = –1,60 = 80 2a –0,02 Las naranjas se deben vender, para obtener el máximo beneficio, dentro de 80 días, y se venderán por 144 euros. Unidad 5. Funciones elementales