conceptos y problemas en redes complejas

Complejidad sin Matematicas
Geofisica
MacroEconomía
Biología
Dante R. Chialvo
Email: d-chialvo@northwestern.edu
Ecología
Psicologia
Meteorología
Northwestern University. Chicago, IL, USA.
www.chialvo.net
1
● Motivación y elementos de redes
● Conceptos básicos
● Ejemplos de redes complejas
2
Algunas referencias y sitios.
1.
Simplemente Google por: Complex Networks o Redes Complejas!
2.
Ricard Sole :
http://complex.upf.es/
3.
Albert Diaz-Guilera:
http://www.ffn.ub.es/~albert
4.
Albert Barabasi:
http://www.nd.edu/~alb/
5.
D. J. Watts, and S. Strogaz, Nature 393, 440–442 (1998).
6.
A. L. Barabási, and R. Albert, Science 286, 509–512 (1999).
7.
S. H. Strogatz, Nature 410, 268–276 (2001).
8.
A. L. Barabási, and R. Albert, Review of Modern Physics 74, 47–97 (2002).
9.
S. Dorogovtsev, and J. F. F. Mendes, Advances in Physics 51, 1079–1187 (2002).
10.
M. E. J. Newman, SIAM Review 45, 167–256 (2003).
11.
S. Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno, M. Chavez, and D.-U. Hwang, Physics Reports 424, 175–308 (2006).
12.
13.
14.
15.
16.
S. Bornholdt, and H. G. Schuster, editors, Handbook of Graphs and Networks - From the Genome to the Internet,WileyVCH, Berlin, 2002.
R. Pastor-Satorras, M. Rubí, and A. Díaz-Guilera, editors, Statistical Mechanics of Complex Networks,
Springer, 2003.D. J. Watts y S. H. Strogatz (1998). “Collective Dynamics of ‘Small World’ Networks” Nature Vol. 393.
Sporns O, Chialvo DR, Kaiser M, and Hilgetag CC. Organization, Development and Function of Complex Brain Networks.
Trends in Cognitive Sciences, 8 (9): 387-433 (2004).
Sole et al, Selection, Tinkering, and Emergence in Complex Networks, Complexity vol. 8(1), 20-33 (2003)
3
Una red compleja es el esqueleto de un sistema complejo
Vista de Satelite
New York
Vista del usuario
New York
4
Que impulsó el estudio de redes complejas?
„
„
„
La incapacidad de las redes aleatorias de capturar algunas
características básicas de las redes complejas.
Los avances recientes en computación y obtención de datos de
sistemas reales produjo gran cantidad de información en
diferentes sistemas complejos. Esto reveló una discordancia seria
entre lo que se creia y lo que actualmente se veia en redes
“reales”.
La red, en muchos casos, es una “forma comprimida” del sistema
complejo, y entonces sintetiza y disminuye el monto de
informacion a estudiar.
5
Milgram
„
El psicólogo S. Milgram (Yale U.) realizó un experimento que partía
seleccionando 300 personas al azar en USA (Boston y Omaha),
debidamente instruídos para enviar una carta a única persona
“objetivo” en Boston.
Estos diseminadores disponían de ciertas guías acerca de la persona
objetivo, tal como su localización geográfica y ocupación.
Con base en esta información, los diseminadores debieron mandar
una carta a una persona que ellos conocían y que se ajustaba lo
mejor posible a esta información.
Este proceso se repitió hasta que las cartas eventualmente llegaron
finalmente a la persona objetivo.
6
Milgram
„
„
„
Milgram publicó los resultados (Psychology Today) diciendo que
60 de las 300 cartas llegaron a la persona correcta y que
pasaron, en promedio, por seis conjuntos de manos hasta llegar
a la persona correcta. (note que solo el 1/5 llego)
La conclusión de Milgram fue que las personas están mucho más
cercanas entre si de lo que uno podria imaginar.
Esta experiencia generó un hito en lo que ahora se conoce como
propiedad de mundos pequeños o los seis grados de separación o
los seis grados de Kevin Bacon que veremos en un momento en
detalle.
7
Milgram
„
Después del experimento de Milgram, pasaron muchos años
antes de continuar con ese tipo de trabajos, principalmente por
las limitaciones en cuanto al manejo de grandes cantidades de
información.
8
Que es una red?
„
„
„
„
Describen amplia variedad de sistemas naturales, tecnológicos y
sociales.
Se representan por medio de grafos dirigidos o no-dirigidos.
Tenemos nodos y enlaces. Un enlace (i,j) conecta los nodos i y j
Cada nodo tiene un número de enlaces conectados que se lo llama
grado del nodo.
enlace
Nodo con grado=2
9
Hay muchos modos de conectarse
Pinochet
10
Como caracterizar la red
„
Grado del nodo: k(n)
k( ) = 4
Friendship
11
„
Clustering Coefficient: C(n)
Friendship
12
„
Clustering Coefficient: C(n)
„
Numero de conecciones: 2
Friendship
13
„
Clustering Coefficient: C(n)
„
Numero de conecciones: 2
„
Friendship
Numero total posible:
½·kn·(kn-1) = ½·(4·3) = 6
14
„
„
„
„
Clustering Coefficient: C(n)
Numero de conecciones : 2
Numero total posible:
½·kn·(kn-1) = ½·(4·3) = 6
Cn = 2 / 6 = 0.333
15
„
„
„
Friendship
„
Clustering Coefficient: C(n)
Numero de conecciones: 2
Numero total posible:
½·kn·(kn-1) = ½·(4·3) = 6
Cn = 2 / 6 = 0.333
Dice cuan buena es la conectividad con el vecindario
16
„
Distancia (pathlength)
Friendship
17
„
Distancia (pathlength)
j
Friendship
i
18
„
Distancia (pathlength)
j
Friendship
i
19
„
Distancia (pathlength)
j
Friendship
i
20
Matriz de distancia todos a todos:
Lij = Largo de la via mas corta
„
3
Lij =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
1
1
2
2
2
3
3
4
2
1
2
1
1
1
2
2
3
4
3
1
1
2
2
2
1
3
2
3
4
2
1 2
2
1
2
1
2
3
5
2
1
2
1
2
1
1
2
3
6
2
2
1
2
1
2
2
2
0
7
3
2
3
1
1
2
2
1
2
8
3
3
2
2
2
1
1
2
1
9
4
4
3
3
3
2
2
1
2
2
1
3
2
1
0
1
2
21
Modelos de redes aleatorias
Modelo de WATTS - STROGATZ
„
Grado?
„
Clustering?
„
Distancia (Pathlength)?
Modelos de redes aleatorias
Modelo de WATTS - STROGATZ
Reconectar un enlace con probabilidad p
Modelos de redes aleatorias
Modelo de WATTS - STROGATZ
Modelos de redes aleatorias
Modelo de WATTS - STROGATZ
Medir L y C en cada caso
„
SMALL - WORLD =
„ Clustering alto
„ Distancia corta
Watts, Strogatz. Nature 393/4, 1998
Modelos de redes aleatorias
Grilla Regular
Red Small-World
Aleatorio
Distribucion de Grado
26
Mirando el grado de las redes en la Naturaleza se ve que estas no
son homogeneas, son no uniformes
Homogeneas
Scale-free
γ
P(k) ~ k -
En redes aleatorias la mayoria de los nodos estan enlazados por mas
o menos el mismo numero de nodos, mientras que en redes scalefree ( o libres de escala) hay unos pocos muy bien conectados
(hubs)
27
Libre de escala (o scale-free) “mucho de poco y poco de mucho”
Ejemplos de redes scale-free
semantica
actores
www
internet
proteina
metabolica
28
Como se originan las redes no uniformes (libres de escala)
“El rico se vuelve mas rico, al final unos
pocos tienen mucho y muchos poco”
“Complex networks: Statics and Dynamics” Diaz-Guilera, (2006)
29
Resumiendo
Homogeneas
The “few well connected”
No Uniforme
Aleatoria
zDistancia
De pequeño mundo
minima promedio: L (distancia mas corta
entre dos nodos)
zClustering:
C(k) (cuantos de tus enlaces estan
tambien mutualmente enlazados)
Es de pequeño
mundo si
z
C >> Crand
z
L ~ Lrand
30
Algunos consecuencias importantes de la no-uniformidad
La red de carreteras es
uniforme
Las consecuencias de borrar un
nodo (ciudad o aeropuerto) es muy
diferente en cada caso
La red de aerolineas es NO uniforme
Red robusta al daño aleatorio pero
fragil al daño selectivo
31
Nature July 27, 2000
32
Acerca de expresiones Populares de Redes de Small Worlds
„
1
PE-0
1
„
1
“¿A cuántos saludos estás tú de
Bill Clinton?”
“Seis grados de separacion”
2
2
3
„
“Los números de Kevin Bacon y de
Paul Erdös”
33
El oraculo
„
„
Tres estudiantes inventaron el juego “Los seis grados de Kevin
Bacon” y es posible jugarlo on-line en una página de CS-D de
Virginia U. (o los 4 grados de KB)
( http://oracleofbacon.org/)
El grafo para el oráculo de Bacon es provisto por la base de datos
de películas de Virginia U.
34
El oraculo
•The Oracle says: alfredo alcon has a Bacon number of 3.
•Alfredo Alcon was in Jandro (1965) with Luis Induni
•Luis Induni was in Bianco, il giallo, il nero, Il (1975) with Eli
Wallach
•Eli Wallach was in Mystic River (2003) with Kevin Bacon
•The Oracle says: Palito Ortega has a Bacon number of 3.
•Palito Ortega was in Amor en el aire (1967) with Cris Huerta
•Cris Huerta was in Bianco, il giallo, il nero, Il (1975) with Eli
Wallach
•Eli Wallach was in Mystic River (2003) with Kevin Bacon
35
La Topología de Redes Reales: Números de Erdös
„
Números de Erdös
Erdös (1919-1996), el matemático actualmente con
más publicaciones y con más co-autores es el origen
de una red y tiene número de Erdös 0, sus co-autores
tienen número 1, los co-autores de éstos tiene
número 2, y así sucesivamente.
Veamos la distribución de los números de Erdös
considerando solamente aquellos autores que han
colaborado y que además están a una distancia finita
de Erdös. Existen (a la fecha del estudio) 268.000 de
estos autores.
36
La Topología de Redes Reales: Números de Erdös
Número de Erdös
Media:4.65
Media:4.65
Mediana
Mediana: :55
Dante
DanteChialvo
Chialvo
tiene
tienenúmero
número44
Número de Autores
0
1
1
504
2
6593
3
33605
4
83642
5
87760
6
40014
7
11591
8
3146
9
819
10
244
11
68
12
23
13
5
37
38
Un poupurri incompleto y desactualizado de redes
Ejemplos (con referencias) de redes
complejas se pueden ver accediendo a la
WWW red:
http://www.visualcomplexity.com/vc/
39
Internet
Internet es una red compleja donde los nodos son computadoras y
routers y los enlaces comunican computadoras.
40
Internet
41
Internet
42
La WWW
WWW es una red virtual compleja donde los nodos son las
páginas web y las enlaces son los hyperlinks. Se pueden
establecer a nivel de dominios y de páginas.
www.chialvo.net
www.ucm.es
www.ucla.edu/~dchialvo/
43
Redes Lingüísticas
„
„
„
Redes Lingüísticas : palabras son nodos y los enlaces conectan
palabras consecutivas o casi consecutivas en un texto.
En otras redes lingüísticas los nodos son palabras pero las enlaces
son los sinónimos, antónimos, etc.
En otras redes los enlaces puedenser las asociaciones libres
evocadas por una palabra (perfume Æ flor; futbol Æ Madrid, etc).
44
45
Redes Metabólicas
„
los nodos son substratos y los enlaces las reacciones entre los
substratos.
http://www.expasy.ch/cgi-bin/show_thumbnails.pl
46
Redes Metabólicas
47
Redes Metabólicas
E. Almaas, B. Kovacs, T. Vicsek, Z.N. Oltvai and A.-L. Barabási Global organization of metabolic fluxes
48
in the bacterium Escherichia coli. Nature 427, 839-843 (2004).
Proteoma
Interacciones entre proteínas : los nodos son proteínas y los
enlaces conectan aquellas proteínas que a través de experimentos
se demuestra su interacción
Una motivación es determinar patrones mas típicos de interacción en salud y
enfermedad, interferir y manipularlos en aplicaciones de diagnostico y
tratamiento, diseños de nuevas drogas etc.
49
Redes de genes
Nature 408 307 (2000)
…“One way to understand the p53 network is to compare it to the Internet.The
cell, like the Internet, appears to be a ‘scale-free network’.”
50
Redes Sociales
„
Red Social: Es un conjunto de personas, cada una
de ellas conocida para un subconjunto de las
restantes. Se puede definir en diferentes contextos
particulares, como por ejemplo, la Universidad
Complutense, o generales; por ejemplo, el mundo
entero.
Una motivación para su estudio es conocer los patrones de
interacción humana, y otra puede ser investigar implicaciones
para la difusión de información, dinámica de formación de
opiniones , contagio de ideas o enfermedades.
51
Red de amistades (niños de escuela)
Amarillo- Raza Blanca
Verde – Afroamericanos
Rosa - Otros
http://www-personal.umich.edu/~mejn/networks/
52
Red Social:
53
„
Collaborativas (co-autoría de papers) donde los nodos son
científicos y los enlaces representan co-autoría en un paper.
El ejemplo más famoso de este tipo de red es en torno al
matemático Paul Erdös (número de Erdös).
54
„
Citaciones en artículos científicos donde los nodos son artículos
publicados y un enlace apunta a una referencia de un artículo
publicado. (no debería tener ciclos dirigidos)
(Physical Review Letters 1975-94, ISI)
„
Actores de cine (y/o TV) donde los nodos son los actores y una
enlace representa una participación conjunta de actores en una
película.
55
Ejemplos de Redes Complejas
„
„
„
Llamadas Telefónicas (larga distancia). Los nodos son números
telefónicos y las aristas son arcos dirigidos del nodo origen al nodo
destino de la llamada.(duró el experimento un día - USA)
Redes Ecológicas en las cuales los nodos son especies y Los
enlaces representan relaciones tipo predador-presa entre las
especies. [se estudiaron 7 webs de comida]
Contactos sexuales humanos. Los nodos son personas y las enlaces
conectan dos personas que se han relacionado sexualmente.
(Experimento conducido en Suecia )
56
Sex-web
Nodos: Personas
Enlaces: relation sexual
4781 Suecos; 18-74;
59% respondio.
Liljeros et al. Nature 2001
57
Food Web (red troficas)
Nodes: trophic species
Links: trophic interactions
R.J. Williams, N.D. Martinez Nature (2000)
R. Sole (cond-mat/0011195)
58
Ejemplos de Redes Complejas
„
„
Redes Neuronales en las cuales los nodos son
neuronas y los enlaces son sinapsis o correlaciones
entre (grupos de) neuronas.
[C elegans, Corteza Cerebral, Fmri]
Redes de Potencia donde los nodos son generadores,
transformadores y subestaciones, y los enlaces son
líneas de transmisión de alto voltaje. [Western USA ]
Otras Redes
„
„
Circuitos Electrónicos
Evolución Viral
59
Mapa del sistema nervioso del C. Elegans
60
Nature July 27, 2000
61
La Topología de Redes Reales: varios casos
Red
n
<k>
l
WWW
153127
35.21
3.1
Internet
domain
3015-6209
Actores
225226
61
3.65
2.99
0.79
0.00027
Medline
coautoría
1520251
18.1
4.6
4.91
0.066
1.1·10-5
NCSTRL
coautoría
11994
3.59
9.7
7.34
0.496
3·10-4
Neurosc.
coautoría
209293
11.5
6
5.01
0.76
5.5·10-5
7.35
2.9
3.04
0.32
0.026
70.13
2.67
3.03
0.437
0.0001
E. Coli
grafo sub
Co-ocurr.
palabras
282
460902
3.52-4.11
lrand
3.7-3.76
3.35
6.36-6.18
C
Crand
0.1078
0.00023
0.18-0.3
0.001
62
La Topología de Redes Reales: varios casos
Net
n
<k>
γout
γin
lreal
lrand
2.72
2.1
16
8.85
4
6.3
WWW
2·108
WWW
site
26000
Internet
domain
30154389
3.423.76
2.1-2.2
2.1-2.2
Internet
router
3888
2.57
2.48
2.48
12.15
9.75
Coauth.
Math.
70975
3.9
2.5
2.5
9.5
8.2
Phone
Call
53·106
3.16
2.1
2.1
Co-ocur
words
460902
70.13
2.7
2.7
7.5
1.94
63