www.clasesalacarta.com Tema 4.- Números Complejos Unidad imaginaria Se llama así al número -1 y se designa por la letra i. Número complejo en forma binómica C = a+ bi a , b ∈ R a + b·i → a: parte real → a = 0 → Número imaginario puro (bi) b: parte imaginaria → b = 0 →Número real (a) Opuestos Conjugados a + b·i − a – b·i z = a + b·i z = a − b·i Iguales z = a + b·i z = a + b·i siendo a y b iguales Representación gráfica Y Eje Imaginario Afijo del nº complejo b z =a + b·i a X Eje Real Potencias de la unidad imaginaria i0 = 1 i2 = −1 i4 = 1 i1 = i i3 = −i i5 = i Operaciones Suma y diferencia a + bi + c + di = a + c + b + d i a + bi - c + di = a - c + b - d i Propiedad Conmutativa Propiedad Asociativa z1 + z2 = z2 + z1 z1 + z2 + z3 = z1+ z2 + z3 Elemento Neutro Elemento Opuesto z1 + 0 = 0 + z1 = z 1 z1 +(-z) = 0 1 á á 2 Matemáticas _ B_ 1º Bach. Multiplicación a + bi · c + di = ac - bd + ad + bc i Propiedad Conmutativa Propiedad Asociativa z1 · z2=z2 · z1 z1 · z2 · z3=z1 · z2 · z3 Elemento Neutro Elemento Inverso z1 · 1 = 1 · z1 = z1 Para todo Z ∈ C: ∃ 1 z z· 1 =1 z Cociente a + bi a + bi ·(c - di) ac + bd + bc - ad i ac + bd bc - ad = = = + i 2 2 2 c + di c + di ·(c - di) c2 + d c2 + d c2 + d Nº Complejos en forma Polar y Trigonométrica Módulo De un C es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|. z = a + bi → r = z = a2 + b 2 Argumento De un C es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg (z) arg (z)= α → z = rα α = arctg b a a = r cos α b = r sen α Resumen Binómica Z = a + bi Polar Z = r Trigonométrica Z = r (cos + i sen ) Producto de Complejos en forma Polar rα · r´β = r · r´ α +β Producto por un complejo de módulo 1 Al multiplicar un C (z = r) por 1β se gira z un β alrededor del origen. rα · 1β = rα + β Cociente de Complejos en forma Polar rα r = r´β r´ α-β Potencia de Complejos en forma Polar rα n = r n nα www.clasesalacarta.com 3 Tema 4.- Números Complejos Números Complejos Iguales, Conjugados y Opuestos Iguales rα = r´α´ ↔ r = r´ α´= α + 2πk Conjugados rα conjugado r´α´ ↔ Opuestos r = r´ α´= -α + 2πk rα opuesto r´α´ ↔ r = r´ α´= α+π +2πk r Opuesto Conjugado r- r + x Fórmula de Moivre r cos α +i sen α n = rn cos n α + i sen n α Raíz n-ésima de Complejos en forma Polar Siempre en forma polar: z = rα r´= n r α´= α + 2πk n k = 0, 1, 2, 3, ⋯ n-1