Matemáticas - La manzana de Newton

NÚMEROS COMPLEJOS
1 Define los siguientes términos relacionados con el conjunto C de los números
complejos: UNIDAD IMAGINARIA ; ARGUMENTO ; CONJUGADO ; FORMA
POLAR ; MÓDULO ; FORMA BINÓMICA ; AFIJO ; PLANO COMPLEJO.
2 Realiza estas operaciones con números complejos en forma binómica:
a)
b)
c)
d)
3i · (2 – 5i) + (4 – i)2
(3 – i) · (5 + 3i) – 2 (6 – 2i)
4i
−5
2 − 2i
(- 3 + 2i)-2 · (1 + i)
e)
f)
(2 – i)4
(2i)11
g)
(7 − 3i) · (14 + i) −
h)
( 3 − 2i) 6
1
3i
3 Dados z1 = 5 + 5i y z2 = - 3 + 2i, calcula:
a)
| z1 | - 3 | z2 |
c)
| z1 + z 2 |
b)
( z1 − z 2 ) · z1
d)
z1 · z 2
4 Sea el número z = x – 2i. Calcula el valor o valores que debe tomar x en cada
uno de los siguientes casos:
a) El módulo de z es igual a 8.
b) El argumento de z está comprendido entre 225º y 270º.
c) El cuadrado de z es un número imaginario puro.
d) El cociente entre z y el número 3 – 3i es un número real.
5 Completa la siguiente tabla:
Forma binómica
Forma polar
Forma trigonométrica
3 – 3i
735º
2 (cos 225º + i sen 225º)
-1+
3i
32π/5
15 - 5 3 i
6 Realiza estas operaciones, dados z1 = 530º y z2 = 24π/3 :
a)
z1 · z2
c)
z22 · z1
e)
z1 + z2
b)
z2 : z1
d)
z16
f)
z 13 : z 2
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7 ¿Verdadero o falso? Justifica tu respuesta.
a) Un número de la forma r180º es imaginario puro.
b) Cualquier número complejo tiene n raíces n-ésimas.
c) El afijo del conjugado de z es el punto simétrico del afijo de z con respecto al
origen de coordenadas.
d) El conjugado de la suma es la suma de los conjugados.
e) El opuesto de rα es r-α.
f) El doble de rα es 2r2α.
8 Halla las raíces cúbicas de los siguientes números complejos:
a)
1–i
b)
830º
c)
15 (cos 300º + i sen 300º)
9 Calcula las raíces indicadas en cada caso:
a)
4
3 + 2i
c)
6
− 64
e)
5
1120 º
b)
10
− 4i
d)
5
− 4 + 4i
f)
8
−2−i
10 Para hallar un número complejo z nos dicen que su módulo es 5 y que la
suma z + z es igual a 6.
a) Calcula el número y exprésalo en forma polar.
b) Halla sus raíces cuartas y represéntalas de forma aproximada en el plano
complejo.
11 El cuadrado de un número complejo es 470º.
a) ¿Podemos afirmar que el afijo de dicho número se encuentra en el primer
cuadrante? Justifica tu respuesta.
b) Si nos dicen que sus partes real e imaginaria tienen el mismo signo,
¿sabremos de qué número se trata?
12 Resuelve estas ecuaciones polinómicas en el conjunto C:
a)
c)
x3 – 2x2 + 25x – 50 = 0
x5 – 32 = 0
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b)
d)
x4 – x2 – 12 = 0
x3 + x2 + x = 0
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SOLUCIONES
1. UNIDAD IMAGINARIA: Es igual a la raíz cuadrada de -1. Se simboliza como
i.
ARGUMENTO: Es el ángulo positivo que forma con el semieje positivo de
abscisas el vector de posición del afijo de un número complejo.
CONJUGADO: Es el número complejo que se obtiene cambiando el signo de la
parte imaginaria de otro número dado.
FORMA POLAR: Es la forma de escribir un número complejo indicando su
módulo y su argumento como subíndice.
MÓDULO: Es el módulo (longitud) del vector de posición del afijo de un número
complejo.
FORMA BINÓMICA: Es la forma de escribir un número complejo indicando sus
partes real e imaginaria.
AFIJO: Es el punto que representa un número complejo en el plano.
PLANO COMPLEJO: Es el plano cartesiano en el que se representan los
números complejos, indicando su parte real en el eje de abscisas y su parte
imaginaria en el de ordenadas.
2. a) 30 – 2i
− 7 + 17i
d)
169
g)
101 – 104/3 i
5 2 − 3 13 .
3. a)
b)
6 + 8i
c)
-6+i
e)
- 7 – 24i
f)
- 2048i
h)
143 + 180
b)
5 + 75i
c)
53
d)
- 25 + 5i
4. a)
x = ± 2 15
b)
-2<x<0
3i
c)
x=±2
d)
x=2
5.
Forma binómica
Forma polar
3 2
3 – 3i
315 º
Forma trigonométrica
3 2 (cos 315º + i sen 315 º )
5,73 + 4,02 i
735º
7 (cos 35º + i sen 35º)
− 2− 2i
2225º
2 (cos 225º + i sen 225º)
-1+ 3i
0,93 + 2,85 i
2120º
2 (cos 120º + i sen 120º)
32π/5
3 (cos 2π/5 + i sen 2π/5)
10 3
15 - 5 3 i
330 º
10 3 (cos 330º + i sen 330 º )
6. a) 10270º
b)
2
 
 5  210 º
c)
d)
e)
5,33 + 0,77 i
f)
15625180º
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20150º
 125 


 2  330 º
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7. a) Falso. Se trata de un número real negativo.
b) Verdadero.
c) Falso. Es el simétrico con respecto al eje de abscisas.
d) Verdadero.
e) Falso. El opuesto sería de la forma r180º + α.
f) Falso. El doble es 2rα.
8. a)
6
c)
3
15 100 º , 15 220 º , 15 340 º
9. a)
8
13 8,4 º , 8 13 98,4 º , 8 13 188,4 º , 8 13 278,4 º
b)
c)
d)
e)
f)
5
2 105 º , 6 2 225 º , 6 2 345 º
3
b)
210º , 2130º , 2250º
3
2 27 º , 5 2 63 º , 5 2 99 º , 5 2 135 º , 5 2 171º , 5 2 207 º , 5 2 243 º , 5 2 279 º , 5 2 315 º , 5 2 351º
230º , 290º , 2150º, 2210º, 2270º, 2330º
2 27 º , 2 99 º , 2 171º , 2 243 º , 2 315 º
124º, 196º, 1168º, 1240º, 1312º
16
5 25,8 º , 16 5 70,8 º , 16 5 115,8 º , 16 5 160,8 º , 16 5 205,8 º , 16 5 250,8 º , 16 5 295,8 º , 16 5 340,8 º
10. a) z = 3 + 4i → 553,13º
b)
4
5 13,3 º , 4 5 103,3 º , 4 5 193,3 º , 4 5 283,3 º
11. a) No, ya que puede estar tanto en el primer como en el tercer cuadrante.
b) No, pues seguiremos sin poder decidir en cuál de los dos posibles
cuadrantes se encuentra.
12. a) x1 = 2 ; x2 = 5i ; x3 = - 5i
b)
x1 = 2 ; x2 = - 2 ; x3 = 3 i ; x4 = - 3 i
c)
x1 = 20º ; x2 = 272º ; x3 = 2144º ; x4 = 2216º ; x5 = 2288º
− 1 + 3i
− 1 − 3i
d)
x1 = 0 ; x 2 =
; x3 =
2
2
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