= ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS
DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
PRIMER EXAMEN FINAL
RESOLUCIÓN
SEMESTRE 2010-2
DURACIÓN MÁX. 2.5 HORAS
TIPO 1
MIÉRCOLES 2 DE JUNIO DE 2010
NOMBRE______________________________________________________________________________
1.
En el grupo 32 de Probabilidad y Estadística al observarse las calificaciones, se registró un promedio
de 75 y una desviación estándar de tres. Si cada una de las calificaciones se incrementan cinco
unidades, determinar la media y la variancia de las nuevas calificaciones.
15 Puntos
Resolución
La media está definida por
1
x=
n
∑
n
xi
i =1
para los nuevos datos, incrementando 5 unidades cada calificación
x1 + c, x2 + c,..., xn + c
sustituyendo
1
x=
n
∑
n
i =1
1
( x1 + c + x2 + c+, ..., + xn + c ) =
n
∑(
n
xi + c )
i =1
por propiedades
1
x=
n
∑ ∑ ∑
n
n
xi +
i =1
i =1
1
c=
n
n
xi +
i =1
nc
= x +c
n
entonces la media sumando 5 unidades a cada calificación es
x = 75 + 5 = 80
La variancia está definida por
1
S =
n
2
n
∑(
n
xi − x )
2
i =1
para los nuevos datos, incrementando 5 unidades a cada calificación
x1 + c, x2 + c,..., xn + c y con media x + c , sustituyendo
1
S =
n
2
n
∑(
n
xi + c − x − c )
i =1
2
1
=
n
∑(
n
xi − x )
2
i =1
que es igual, por lo tanto la variancia de los nuevas calificaciones es sn2 = 9
2.
Una oficina tiene cuatro secretarias que manejan respectivamente 20, 60, 15 y 5 % del archivo de
reportes. La probabilidad de que “archiven mal” tales reportes es 0.05, 0.10, 0.10 y 0.05,
respectivamente.
a)
¿Cuál es la probabilidad de tener un reporte mal archivado?
b)
¿Cuál es la probabilidad de que un reporte mal archivado haya sido causa de la secretaria uno?
15 Puntos
Resolución
PyE_ EF1_TIPO1_2010-2
1
Sean
I el evento que representa la secretaria uno maneja el archivo de reportes.
II el evento que representa la secretaria dos maneja el archivo de reportes.
III el evento que representa la secretaria tres maneja el archivo de reportes.
IV el evento que representa la secretaria cuatro maneja el archivo de reportes.
M el evento que representa archivan mal los reportes.
Del enunciado
P ( M I ) = 0.05
P ( I ) = 0.2
P ( M II ) = 0.10
P ( II ) = 0.6
P ( M III ) = 0.10
P ( III ) = 0.15
P ( M IV ) = 0.05
P ( IV ) = 0.05
a)
La probabilidad de tener un reporte mal archivado, entonces
P ( M ) = P ( I ∩ M ) + P ( II ∩ M ) + P ( III ∩ M ) + P ( IV ∩ M )
P ( M ) = P ( I ) P ( M I ) + P ( II ) P ( M II ) + P ( III ) P ( M III ) + P ( IV ) P ( M IV )
sustituyendo
P (M ) =
b)
( 0.2 )( 0.05) + ( 0.6 )( 0.10 ) + ( 0.15)( 0.10 ) + ( 0.05)( 0.05) = 0.0875
La probabilidad de que un reporte mal archivado haya sido causa de la secretaria uno, por el
Teorema de Bayes se tiene
P(I M ) =
P (I ∩ M )
P(M )
=
P(I ) P(M I )
P(M )
sustituyendo
P(I M ) =
3.
( 0.2 )( 0.05) = 0.01 ≈ 0.1143
( 0.0875) 0.0875
En los alrededores de CU, en los últimos años, las autoridades de la Delegación Coyoacán han
proporcionado licencias de uso de suelo a comerciantes, con el argumento de que el giro es alimentos.
Dadas las condiciones por la falta de supervisores en la zona de Coyoacán. La Delegación
recientemente tiene denuncias de los vecinos en donde manifiestan que los giros no son los de origen,
por ello piden a la Delegación una supervisión a dichos negocios. Los responsables se dieron a la tarea
de hacer un análisis y encontraron que los supervisores visitan al año los comercios, con la siguiente
función de probabilidad, siendo X la variable aleatoria que representa el número de visitas a los
establecimientos con el giro de alimentos.
x
fX ( x)
a)
b)
c)
0
0.4
1
0.4
2
0.1
3
0.05
4
0.05
Obtener la probabilidad de que un negocio de ese giro y ubicado en esa zona, sea visitado por un
supervisor al menos dos veces en un año.
Con la función de probabilidad acumulada, obtener la probabilidad de que uno de estos
negocios, sea visitando entre dos y cinco veces, inclusive.
Obtener las medidas de tendencia central. Usted como estudiante de la FI y asesor de un
despacho de consultoría, ¿cuál sería su sugerencia al ser abordado por un posible inversionista en
este tipo de giros y bajo las condiciones iniciales establecida?
20 Puntos
PyE_ EF1_TIPO1_2010-2
2
Resolución
a)
La probabilidad a calcular es
P ( X ≥ 2 ) = P ( X = 2 ) + P ( X = 3) + P ( X = 4 )
sustituyendo
P ( X ≥ 2 ) = 0.1 + 0.05 + 0.05 = 0.2
b)
La función de distribución acumulativa está dada por
∑ f (i )
x
FX ( x ) = P ( X ≤ x ) =
X
i =−∞
por lo que
0
0.4
x
FX ( x )
1
0.8
2
0.9
3
0.95
4
1
entonces la probabilidad que se va a calcular, usando propiedades de FX ( x )
P ( 2 ≤ X ≤ 5 ) = FX ( X = 5 ) − FX ( X = 2 ) + f X ( X = 2 )
sustituyendo se tiene
P ( 2 ≤ X ≤ 5 ) = 1 − 0.9 + 0.1 = 0.2
c)
Las medidas de tendencia central son: media, mediana y moda, entonces
E ( X ) = μ = μX =
∑
x fX ( x)
∀x
μ X = (1)( 0.4 ) + ( 2 )( 0.1) + ( 3)( 0.05 ) + ( 4 )( 0.05 ) = 0.95
se espera una visita al año.
La mediana está definida por
P ( X ≤ x ) =
1
2
entonces es x =
1
= 0.25
4
La moda es la variable aleatoria con mayor probabilidad asociada, entonces
xmo = 0, 1
xmo =
0 +1
= 0.5
2
f X ( x ) es bimodal
A criterio del profesor.
4.
En un quiosco de periódicos se supone que las ventas diarias se distribuyen normalmente con media de
30 y variancia dos.
a)
Determinar la probabilidad de que las ventas en un día sean entre 13 y 31
b)
Calcular la máxima cantidad de ventas en un día para que sea del 90%
c)
Supóngase que en una ciudad hay 10 quioscos independientes del mismo tipo y con las mismas
características. Determinar la probabilidad de que más de dos quioscos vendan en un día entre 13
y 31
20 Puntos
Resolución
Sea X la variable aleatoria que representa las ventas diarias de un quiosco de periódicos.
X ~ Normal ( μ = 30, σ 2 = 2 )
PyE_ EF1_TIPO1_2010-2
3
a)
La probabilidad de que las ventas en un día sean entre 13 y 31, está dado por
31 − 30 ⎞
⎛ 13 − 30
P (13 ≤ X ≤ 31) ≈ P ⎜
≤Z≤
⎟ = P ( −12.02 ≤ Z ≤ 0.71) = Fz ( 0.71) − Fz ( −12.02 )
2
2 ⎠
⎝
sustituyendo valores de la tabla de distribución acumulativa normal estándar
P (13 ≤ X ≤ 31) = Fz ( 0.71) − Fz ( −12.02 ) = 0.7611 − 0 ≈ 0.7611
b)
La máxima cantidad de ventas en un día, para que sea de 90%, está dada por
P ( X ≤ x ) = 0.9
aproximando mediante la distribución normal estándar
x − 30 ⎞
⎛ X − μ x − 30 ⎞
⎛
P⎜
≤
= P⎜Z ≤
⎟
⎟ = 0.9
2 ⎠
2 ⎠
⎝ σ
⎝
sustituyendo los valores de la tabla de distribución acumulativa normal estándar, para el valor
correspondiente
x − 30
= 1.29
2
despejando la variable x
x = 1.29 2 + 30 = 31.824
los cuales son 32 ventas al día como máximo.
a)
Sea Y la variable aleatoria que representa el número de quioscos que venden periódicos en la
ciudad con las características dadas
Y ~ Binomial ( n = 10, p = 0.7611)
la probabilidad a calcular es
∑ f ( y)
2
P (Y > 2 ) = 1 − ⎡⎣ P (Y = 0 ) + P (Y = 1) + P (Y = 2 ) ⎤⎦ = 1 −
Y
y =0
sustituyendo en el modelo probabilístico
∑
2
P (Y > 2 ) = 1 −
y =0
⎛ 10 ⎞
y
10 − y
⎜ ⎟ ( 0.7611) ( 0.2389 )
⎝ y⎠
P (Y > 2 ) = 1 − 0.000296 ≈ 0.9997
5.
Supóngase que X y Y son variables aleatorias independientes con función de densidad
⎧8
⎪
g X ( x ) = ⎨ x3
⎪0
⎩
;
x>2
; en otro caso
0 < y <1
⎧2 y ;
hY ( y ) = ⎨
0
;
en
otro caso
⎩
a)
Obtener la función de densidad conjunta de X y Y
b)
Determinar el valor esperado de Z = XY
15 Puntos
Resolución
a)
La función de densidad conjunta para dos variables aleatorias, está dada definida por
f XY ( x, y ) = g X ( x ) hY ( y )
sustituyendo
PyE_ EF1_TIPO1_2010-2
4
⎧16 y
⎪
f XY ( x, y ) = ⎨ x3
⎪ 0
⎩
b)
; x>2
;
0 < y <1
,
en otro caso
El valor esperado, por independencia de variables aleatorias y propiedades es
E ( Z ) = E ( XY ) = E ( X ) E (Y )
Calculando los valores esperados con las funciones de densidad marginales
E(X ) =
∫
∞
2
8
( x ) dx = 8
x3
∫
∞
2
1
dx = 8 lim
R →∞
x2
∫
R
R
⎡ x −2+1 ⎤
x dx = 8 lim ⎢
⎥
R →∞ −2 + 1
⎣
⎦2
−2
2
R
⎡1⎤
⎡ 1 1⎤
⎛ 1⎞
E ( X ) = − 8 lim ⎢ ⎥ = −8 lim ⎢ − ⎥ = −8 ⎜ − ⎟ = 4
R →∞ x
R →∞ R
2⎦
⎣ ⎦2
⎣
⎝ 2⎠
El otro valor esperado es
E (Y ) =
∫
1
2 y ( y ) dy = 2
0
∫
1
0
1
2
2
2
y 2 dy = ⎡⎣ y 3 ⎤⎦ = [1 − 0] =
0
3
3
3
por lo tanto
⎛2⎞ 8
E ( Z ) = E ( X ) E (Y ) = ( 4 ) ⎜ ⎟ = ≈ 2.6667
⎝3⎠ 3
6.
El peso neto por lote en una marca de sopa tiene distribución normal con media de 565 [gr] y
desviación estándar de 15 [gr]. Si se eligen al azar nueve lotes y se anota el peso, ¿cuál es la
probabilidad de que la media muestral esté entre 555 y 575 [gr]?
15 Puntos
Resolución
Sea X i la variable aleatoria que representa el peso neto por lote. i = 1, 2,...,9
(
X i ~ Normal μ X i = 565, σ X2 i = (15 )
2
)
entonces
⎛
σ X2 (15 )2 ⎞
X ~ Normal ⎜ μ X = μ X i = 565, σ X2 = i =
⎟
⎜
⎟
9
n
⎝
⎠
La probabilidad de que la media muestral esté entre dos valores, si se conoce σ X2 i , por el Teorema del
Límite Central, es
⎛
⎞
⎜ 555 − 565 X − μ
⎟
−
575
565
X
P ( 555 ≤ X ≤ 575 ) = P ( 555 < X < 575 ) ≈ P ⎜
≤
≤
⎟=
σX
15
15
⎜
⎟
⎜
⎟
n
9
9
⎝
⎠
= P ( −2 ≤ Z ≤ 2 ) = FZ ( 2 ) − FZ ( −2 )
con valores de la tabla de distribución acumulativa normal estándar
P ( 555 ≤ X ≤ 575 ) = FZ ( 2 ) − FZ ( −2 ) = 0.9772 − 0.0228 ≈ 0.9544
Es muy probable que el peso medio de los lotes esté entre los valores de peso especificado.
PyE_ EF1_TIPO1_2010-2
5