Capı́tulo 4 Convexidad 1. Conjuntos convexos En este capı́tulo estudiaremos el concepto de convexidad, el cual es sumamente importante en el análisis. Estudiaremos conjuntos convexos y funciones convexas en Rn , ası́ como las propiedades y relaciones entre sus puntos y valores extremos. En esta sección estudiaremos los conjuntos convexos. Recordemos que un conjunto K ⊂ Rn es convexo si, para todo x, y ∈ K y t ∈ [0, 1], (1 − t)x + ty ∈ K. Ejemplo 4.1. Un semiespacio H = {x ∈ Rn : x · x0 ≥ c} es convexo: Si x, y ∈ H, t ∈ [0, 1], ((1 − t)x + ty) · x0 = (1 − t)x · x0 + ty · x0 ≥ (1 − t)c + tc = c, ası́ que (1 − t)x + ty ∈ H. Proposición 4.2. La intersección de conjuntos convexos es convexo. Demostración. Sea {Kα }α una colección de conjuntos convexos, y sean T x, y ∈ α Kα . Entonces x, y ∈ Kα para todo α y, si 0 ≤ t ≤ 1, (1 − t)x + ty ∈ Kα T para todo α. Por lo tanto (1 − t)x + ty ∈ α Kα . 65 66 4. Convexidad Definición 4.3. Decimos que Ω ⊂ Rn es un polı́topo convexo si es la intersección de un número finito de semiespacios cerrados. Es decir, Ω= m \ Hi , i=1 Hi = {x · xi ≥ ci }. La proposición 4.2 justifica el adjetivo convexo en la definición anterior. Definición 4.4. Sea K un conjunto convexo cerrado. Un hiperplano de apoyo para K es un hiperplano P = {x ∈ Rn : x · x0 = c} tal que P ∩ K 6= ∅ y K ⊂ HP = {x ∈ Rn : x · x0 ≥ c}. Es decir, el hiperplano P interseca al convexo K, y K se encuentra de un solo lado de P . El siguiente teorema establece que un conjunto convexo cerrado tiene un hiperplano de apoyo en cada punto de su frontera. Teorema 4.5. Sea K un conjunto convexo cerrado y x0 ∈ fr K. Entonces existe un hiperplano de apoyo P para K tal que x0 ∈ P . Demostración. Sea (yk ) una sucesión en Rn \ K tal que yk → x0 . Para cada k, sea zk ∈ K un punto más cercano a yk en K, es decir |zk − yk | ≤ |x − yk | para todo x ∈ K. Tal punto existe por la proposición 1.34. Sea zk − yk uk = . |zk − yk | Como (uk ) es acotada, entonces existe una subsucesión que converge por el teorema de Bolzano-Weierstrass. Para simplificar, supongamos que uk → u. Sea P = {x ∈ Rn : (x − x0 ) · u = 0}. Vamos a demostrar que P es un hiperplano de apoyo para K. Es decir, tenemos que mostrar que K ⊂ {x ∈ Rn : (x − x0 ) · u ≥ 0}. Sea x ∈ K y ε > 0. Vamos a mostrar que (x − x0 ) · u ≥ −ε Demostraremos primero que (x − zk ) · uk ≥ 0 para todo k. Si t ∈ [0, 1] y y = (1 − t)zk + tx, entonces y ∈ K y |y − yk | ≥ |zk − yk |. 67 1. Conjuntos convexos En otras palabras, |y − yk |2 ≥ |zk − yk |2 . Además |y − yk |2 = |(1 − t)zk + tx − yk |2 = |t(x − zk ) + (zk − yk )|2 = t2 |x − zk |2 + 2t(x − zk ) · (zk − yk ) + |zk − yk |2 , por lo que, si t 6= 0, t|x − zk |2 + 2(x − zk ) · (zk − yk ) ≥ 0. Como t ∈ (0, 1] es arbitrario, obtenemos 2(x − zk ) · (zk − yk ) ≥ 0. Por lo tanto (x − zk ) · uk ≥ 0. Dado ε > 0, tomamos k tal que ε |uk − u| < 2(|x − x0 | + 1) y ε |yk − x0 | < . 4 Entonces, como |uk | = 1, |(x − x0 ) · u − (x − zk ) · uk | ≤ |(x − x0 ) · u − (x − x0 ) · uk | + |(x − x0 ) · uk − (x − zk ) · uk | ≤ |x − x0 ||u − uk | + |uk ||zk − x0 | ε < + |zk − yk | + |yk − x0 | 2 ε ε ε ≤ + 2|x0 − yk | < + 2 = ε, 2 2 4 donde también hemos usado el hecho que |zk − yk | ≤ |x − yk |. Por lo tanto, como (x − zk ) · uk ≥ 0, (x − x0 ) · u ≥ (x − x0 ) · u − (x − zk ) · uk ≥ −ε. Por lo tanto, como ε > 0 es arbitrario, (x − x0 ) · u ≥ 0. Corolario 4.6. Sea K un conjunto convexo cerrado no vacı́o y tal que K 6= Rn . Entonces K es la intersección de semiespacios cerrados. Demostración. Para cada x ∈ fr K, tomamos un hiperplano de apoyo Px T con x ∈ Px K. Dejamos como ejercicio (ejercicio 2) verificar que \ K= H Px . x∈fr K 68 2. 4. Convexidad Combinaciones convexas y simplejos Definición 4.7. Una combinación convexa de x1 , . . . , xm ∈ Rn es una combinación lineal m X t i xi i=1 tal que ti ≥ 0, i = 1, . . . , m, y m X ti = 1. i=1 Ejemplo 4.8. El vector (1 − t)x + ty, t ∈ [0, 1], es una combinación convexa de x y y: t, 1 − t ≥ 0 y (1 − t) + t = 1. Proposición 4.9. K ⊂ Rn es convexo si, y solo si, es cerrado bajo combinaciones convexas. Demostración. Si K es cerrado bajo combinaciones convexas, entonces es convexo simplemente por la definición de convexidad y el ejemplo 4.8. P Sea K convexo, x1 , . . P . , xm ∈ K, y t1 , . . . , tm ≥ 0 tales que ti = 1. Queremos demostrar que m t x ∈ K. Esto lo haremos por inducción en i=1 i i m: si m = 2, (1 − t)x1 + tx2 ∈ K por la definición de convexo. PmSea m > 2 y suponemos que el resultado es cierto para m − 1. Si tm = 1, i=1 ti xi = xm ∈ K. Supongamos entonces que tm < 1. Sabemos que t1 + t2 + . . . + tm−1 = 1 − tm . Entonces y, por inducción, x̄ = t1 t2 tm−1 + + ... + =1 1 − tm 1 − tm 1 − tm t2 tm−1 t1 x1 + x2 + . . . + xm−1 ∈ K. 1 − tm 1 − tm 1 − tm Entonces, como K es convexo y x̄, xm ∈ K, t1 x1 + . . . + tm−1 xm−1 + tm xm = (1 − tm )x̄ + tm xm ∈ K. La siguiente proposición implica que, en toda combinación convexa, solo n + 1 puntos son suficientes. Proposición 4.10. Sea S ⊂ Rn , y sea x la combinación convexa de puntos en S. Entonces x es la combinación convexa de a lo más n + 1 puntos de S 69 2. Combinaciones convexas y simplejos Demostración. Supongamos que m X t i xi , ti ≥ 0, x= i=1 m X ti = 1, i=1 y m > n + 1. Vamos a demostrar que x es la combinación convexa de a lo más m − 1 de las xi . Claramente podemos asumir que todo ti > 0. Como m − 1 > n, x1 − xm , x2 − xm , . . . , xm−1 − xm son linealmente dependientes, ası́ que existen c1 , c2 , . . . , cm−1 , no todos cero, tales que c1 (x1 − xm ) + c2 (x2 − xm ) + . . . + cm−1 (xm−1 − xm ) = 0. Sea cm = −(c1 + c2 + . . . + cm−1 ). Entonces c1 x1 + c2 x2 + . . . + cm−1 xm−1 + cm xm = 0 y m X ci = 0. i=1 Sea α tal que 1 c1 cm = máx{ , . . . , }, α t1 tm y si = ti − αci . Observamos que α > 0. Como αci ≤ ti para todo ci 6= 0, si ≥ 0 y m m m X X X ci = 1. ti − α si = i=1 i=1 i=1 Además, si0 = 0 para algún i0 . Entonces m X i=1 i0 6=0 s i xi = X X X (ti − αci )xi = t i xi − α ci xi = x, por lo que x es combinación convexa de los m − 1 i, i 6= i0 . Definición 4.11. Sean x0 , x1 , ..., xr ∈ Rn tales que x1 − x0 , x2 − x0 , . . . , xr − x0 son linealmente independientes. El r-simplejo generado por x0 , x1 , . . . , xr es el conjunto de todas las combinaciones convexas de x0 , x1 , . . . , xr . Véase la figura 1. Si K es el r-simplejo generado por P x0 , x1 , . . . , xr y x ∈ K, entonces existen únicos t0 , t1 , . . . , tr tales que x = ri=0 ti xi (ejercicio 4.) A las coordenadas del vector (t0 , t1 , ..., tr ) se les llama coordenadas baricéntricas de K. El simplejo estándar en Rn es el n-simplejo generado por 0, e1 , e2 , . . . , en . 70 4. Convexidad . x0 x0 0−simplejo x1 1−simplejo x2 x2 x3 x0 x1 x0 2−simplejo x1 3−simplejo Figura 1. r-simplejos con r = 0, 1, 2, 3. 3. Funciones convexas En esta sección estudiaremos a las funciones complejas y algunas de sus propiedades analı́ticas. Definición 4.12. Sea K ⊂ Rn convexo y f : K → R. Decimos que f es convexa si, para x1 , x2 ∈ K y t ∈ [0, 1], f (tx1 + (1 − t)x2 ) ≤ tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ). Es fácil verificar que si f : K → R es convexa y nación convexa de x1 , . . . , xm ∈ K, entonces f m X i=1 m X ti f (xi ). t i xi ≤ Pm i=1 ti xi es una combi- i=1 Véase el ejercicio 8. Ejemplo 4.13. f : Rn → R, f (x) = |x| es una función convexa: |tx1 + (1 − t)x2 | ≤ t|x1 | + (1 − t)|x2 |, por la desigualdad del triańgulo y el hecho que t, 1 − t ≥ 0. Para f : K → R, definimos el conjunto K + ⊂ Rn+1 como K + = {(x, z) ∈ K × R : z ≥ f (x)}. K + es entonces el conjunto de puntos en Rn+1 que están arriba de la gráfica de f . Proposición 4.14. f : K → R es convexa si, y solo si, K + es convexo. 71 3. Funciones convexas Demostración. Supongamos que f es convexa y sean (x1 , z1 ), (x2 , z2 ) ∈ K + . Entonces z1 ≥ f (x1 ) y z2 ≥ f (x2 ), y queremos mostrar que, para t ∈ [0, 1], t(x1 , z1 ) + (1 − t)(x2 , z2 ) = (tx1 + (1 − t)x2 , tz1 + (1 − t)z2 ) ∈ K + , es decir, tz1 + (1 − t)z2 ≥ f (tx1 + (1 − t)x2 ). Pero, como f es convexa, f (tx1 + (1 − t)x2 ) ≤ tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) ≤ tz1 + (1 − t)z2 . Entonces K + es convexo. Supongamos ahora que K + es convexo. Tomamos x1 , x2 ∈ K. Entonces (x1 , f (x1 )) ∈ K + y (x2 , f (x2 )) ∈ K + . Como K + es convexo, para t ∈ [0, 1] t(x1 , f (x1 ))+(1−t)(x2 , f (x2 )) = (tx1 +(1−t)x2 , tf (x1 )+(1−t)f (x2 )) ∈ K + . Pero esto quiere decir tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) ≥ f (tx1 + (1 − t)x2 ). Por lo tanto f es convexa. La siguiente proposición nos será de utilidad más adelante. Primero definimos, para c ∈ R, el conjunto Kc = {x ∈ K : f (x) ≤ c}, el corte de f a la altura c. Véase la figura 2. y c c x Kc Figura 2. El conjunto de las x tal que f (x) queda por debajo de c es Kc . Proposición 4.15. Si f es convexa en K, entonces cada Kc es convexo. Demostración. Sean x1 , x2 ∈ Kc . Entonces f (x1 ) ≤ c, f (x2 ) ≤ c. Como f es convexa, para t ∈ [0, 1], f (tx1 + (1 − t)x2 ) ≤ tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) ≤ tc + (1 − t)c = c, por lo que entonces tx1 + (1 − t)x2 ∈ Kc . 72 4. Convexidad La inversa de la proposición 4.15 es falsa. Ejemplo 4.16. Consideremos f : R → R dada por f (x) = x3 . Entonces √ K = R y cada Kc es el intervalo (−∞, 3 c), ası́ que es convexo. Sin embargo, f no es convexa. Ejemplo 4.17. Sea A ⊂ Rn un conjunto cerrado tal que A 6= ∅. Definimos f : Rn → R como f (x) = mı́n{|x − y| : y ∈ A}. Tal mı́nimo existe por la proposición 1.34. Demostraremos que f es convexa si, y solo si, A es convexo. Si f es convexa, entonces, como A = K0 , A es convexo, por la proposición 4.15. Supongamos ahora que A es convexo. Sean x1 , x2 ∈ Rn y t ∈ [0, 1]. Tomamos y1 , y2 ∈ A tales que f (x1 ) = |x1 − y1 |, f (x2 ) = |x2 − y2 |. Como A es convexo, ty1 + (1 − t)y2 ∈ A, ası́ que f (tx1 + (1 − t)x2 ) ≤ |tx1 + (1 − t)x2 − (ty1 + (1 − t)y2 )| ≤ t|x1 − y1 | + (1 − t)|x2 − y2 | = tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ). Entonces f es convexa. Ahora estudiaremos la continuidad de las funciones convexas. Primero, observemos que no todas las funciones convexas son continuas. Ejemplo 4.18. Sea f : [0, 1] → R dada por ( 1, x = 0, 1 f (x) = 0, 0 < x < 1 Entonces f es convexa, pero no es continua en 0 ni en 1. Sin embargo, notemos que la función f no es continua precisamente en los extremos de [0, 1]. Teorema 4.19. Sea K ⊂ Rn convexo y abierto, y f : K → R convexa. Entonces f es continua. Lema 4.20. Sea R un rectángulo cerrado. Entonces R es el conjunto de todas las combinaciones convexas de sus vértices. En otras palabras, si R = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ], el conjunto V de sus vértices es el conjunto V = {(c1 , c2 , ..., cn ) : ci = ai o bi }. Entonces R es el conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos en V . La demostración del lema 4.20 la dejamos como ejercicio (ejercicio 7). 73 3. Funciones convexas Demostración. Sea x0 ∈ K y R ⊂ K un rectángulo con centro en x0 y de lado 2r, como se muestra en la figura 3. Sea B la bola cerrada Br (x0 ) y x0 + u x x0 r x0 − u 2r Figura 3. El rectángulo de la demostración del teorema 4.19. x ∈ B. Entonces la recta que pasa por x0 y x corta a fr B en dos vectores, |x − x0 | digamos x0 + u y x0 − u, con |u| = r. Entonces, si t = , x y x0 r satisfacen las siguientes relaciones convexas: x = (1 − t)x0 + t(x0 + u), t 1 x+ (x0 − u). x0 = t+1 t+1 Sea V el conjunto de vértices de R, y M = máx{f (y) : y ∈ V }. Como f es convexa, el lema 4.20 implica que, para z ∈ R, f (z) ≤ M . Además f (x) ≤ (1 − t)f (x0 ) + tf (x0 + u) (4.1) y (4.2) f (x0 ) ≤ 1 t f (x) + f (x0 − u). t+1 t+1 De (4.1) obtenemos por lo que De (4.2), f (x) ≤ (1 − t)f (x0 ) + tM, f (x) − f (x0 ) ≤ t(M − f (x0 )). f (x0 ) ≤ t 1 f (x) + M, t+1 t+1 ası́ que Entonces t(f (x0 ) − M ) ≤ f (x) − f (x0 ). |f (x) − f (x0 )| ≤ t|M − f (x0 )| = |M − f (x0 )| |x − x0 |. r 74 4. Convexidad Dado ε > 0, escogemos n δ = mı́n r, o rε . |M − f (x0 )| + 1 Entonces |x − x0 | < δ implica que |f (x) − f (x0 )| < ε. El siguiente teorema establece un criterio para la convexidad de funciones diferenciables. Teorema 4.21. Sea f diferenciable en K. Entonces f es convexa si, y solo si, f (x) ≥ f (x0 ) + Df (x0 )(x − x0 ) (4.3) para todo x, x0 ∈ K. Demostración. Supongamos que f es convexa, y sea h = x − x0 . Como f es convexa, para t ∈ (0, 1] f (x0 + th) ≤ (1 − t)f (x0 ) + tf (x0 + h), por lo que f (x0 + th) − f (x0 ) ≤ t(f (x0 + h) − f (x0 )). Restamos Df (x0 )(th) = tDf (x0 )(h)) de la desigualdad, dividimos entre t y obtenemos f (x0 + th) − f (x0 ) − Df (x0 )(th) ≤ f (x0 + h) − f (x0 ) − Df (x0 )(h). t Como f es diferenciable, el lado izquierdo de la desigualdad va a 0 cuando t → 0. Entonces f (x0 + h) − f (x0 ) − Df (x0 )(h) ≥ 0, es decir f (x) ≥ f (x0 ) + Df (x0 )(x − x0 ). Supongamos ahora que la desigualdad (4.3) es cierta para todo x0 , x ∈ K. Sean x1 , x2 ∈ K, x1 6= x2 , t ∈ (0, 1) y x = (1− t)x1 + tx2 . Demostraremos que f (x) ≤ (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ). Tenemos f (x1 ) ≥ f (x) + Df (x)(x1 − x) y f (x2 ) ≥ f (x) + Df (x)(x2 − x), 4. Puntos y valores extremos 75 ası́ que (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ) ≥ (1 − t) f (x) + Df (x)(x1 − x) + t f (x) + Df (x)(x2 − x) = f (x) + Df (x) (1 − t)x1 + tx2 − x = f (x). Como f (x0 ) + Df (x0 )(x − x0 ) es la aproximación lineal de f en el punto x0 , entonces el teorema 4.21 establece que una función diferenciable es convexa si, y solo si, su gráfica se encuentra arriba de la gráfica de su aproximación lineal en cada punto. 4. Puntos y valores extremos En esta sección estudiaremos los puntos extremos de conjuntos convexos, y su relación con los valores extremos (máximos y mı́nimos) de las funciones convexas. Definición 4.22. Sea K ⊂ Rn convexo. Decimos que x ∈ K es un punto extremo de K si no existen x1 , x2 ∈ K, t ∈ (0, 1) tales que x = (1−t)x1 −tx2 . Es decir, los puntos extremos de un conjunto convexo K son aquéllos que no son combinaciones convexas no triviales de puntos en K. No es difı́cil ver que los puntos extremos de K se encuestran en su frontera (ejercicio 14). Proposición 4.23. Sea K ⊂ Rn convexo y compacto. Entonces todo punto de K es combinación convexa de puntos extremos de K. Demostración. Demostraremos esta proposición por inducción en n. Cuando n = 1, K es un intervalo cerrado, y la proposición es cierta porque, si x ∈ [a, b], entonces b−x x−a x= a+ b. b−a b−a Suponemos entonces que el resultado es cierto para n − 1. Sea K ⊂ Rn convexo y compacto. Primero, tomemos x0 ∈ T fr K. Sea P un hiperplano de apoyo a K tal que x0 ∈ K ∩ P . Pero K P puede ser identificado con un subconjunto convexo en Rn−1 (ejercicio 15). Por inducción, x0 es combinación convexa de puntos extremos de K ∩ P , que a su vez son puntos extremos de K (ejercicio 16). Si x0 ∈ K 0 , sea L una recta que contiene a x0 . Entonces, como K es convexo y compacto, L ∩ fr K = {x1 , x2 }, y x0 es combinación convexa de x1 y x2 , que a su vez son, cada uno, una combinación convexa de puntos extremos de K. 76 4. Convexidad Corolario 4.24. Si f : K → R es continua y convexa en el conjunto convexo compacto K, entonces su máximo ocurre en algún punto extremo de K. Demostración. Si x ∈ K, entonces m X t i xi , x= i=1 donde P i ti = 1 y los xi son puntos extremos de K. Entonces f (x) ≤ donde m X i=1 ti f (xi ) ≤ m X ti M = M, i=1 M = sup{f (y) : y es punto extremo de K}. Como f es continua, f toma su máximo, y entonces lo debe tomar en un extremo. La hipótesis de continuidad en el corolario fue utilizada para garantizar que f toma su máximo en K, aunque no siempre es necesaria esta hipótesis. Por ejemplo, si K es un polı́topo convexo compacto, entonces tiene solamente un número finito de puntos extremos (ejercicio 17). Ası́ que el máximo de f sobre K es simplemente M = máx{f (y) : y es punto extremo de K}, el cual siempre existe porque {f (y) : y es punto extremo de K} es finito. Si f : Rn → R es lineal, entonces claramente es convexa. Si K ⊂ R es convexo y compacto, sea M el máximo de f en K y definimos K ′ = {x ∈ K : f (x) = M }. Corolario 4.25. x ∈ K ′ si, y solo si, x es combinación convexa de puntos extremos de K contenidos en K ′ . P P Demostración. Sea x ∈ K ′ , y x = i ti xi , ti > 0, i ti = 1, donde los xi son puntos extremos de K. Si f (xj ) < M para algún j, entonces, como tj > 0, X X M = f (x) = ti f (xi ) ≤ ti M + tj f (xj ) < M, i i6=j una contradicción. Entonces f (xi ) = M para todo i, es decir, xi ∈ K ′ para todo i. P Si x = i ti xi , con xi ∈ K ′ para todo i, f (x) = k X i=1 ti f (xi ) = M, 77 Ejercicios porque f es lineal y P i ti = 1. Ejercicios 1. Muestra que si P es un hiperplano de apoyo del conjunto convexo cerrado K, entonces P ∩ K ⊂ fr K. 2. Termina la demostración del corolario 4.6. 3. Sea K ⊂ Rn un conjunto convexo cerrado no vacı́o tal que Rn \ K 6= ∅ es convexo. Muestra que K es un semiespacio cerrado. 4. Muestra que si x se puede representar como combinación convexa de x0 , x1 , . . . , xr de dos formas distintas, entonces los vectores x1 − x0 , x2 − x0 , . . . , xr − x0 son linealmente dependientes. 5. Sea x una combinación convexa de x1 , . . . , xm , y cada xj una combinación convexa de yj1 , . . . , yjmj . Muestra que x es una combinación convexa de de todos los yjk . 6. Sea S ⊂ Rn . Sea Ŝ la cerradura convexa de S: el conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos en S. a) Muestra que Ŝ es convexo; y b) Muestra que si K es convexo y S ⊂ K, entonces Ŝ ⊂ K. 7. Demuestra el lema 4.20. 8. Muestra que si f : K → R es convexa y convexa de x1 , . . . , xr ∈ K, entonces f r X i=1 Pr i=1 ti xi es una combinación r X ti f (xi ). t i xi ≤ i=1 9. Sean f, g : K → R convexas y sea h : K → R dada por h(x) = máx{f (x), g(x)}. Muestra que h es convexa. 10. Sea f : K → R continua tal que 1 1 f (x1 + x2 ) ≤ f (x1 ) + f (x2 ) 2 2 para todo x1 , x2 ∈ K. Muestra que f es convexa. 11. Sea f : (a, b) → R doblemente diferenciable. Entonces f es convexa si, y solo si, f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ (a, b). 78 4. Convexidad 12. Sean a, b > 0 y 0 < t < 1. Muestra que a1−t bt ≤ (1 − t)a + tb. (Sugerencia: Muestra que la función t → a(b/a)t es convexa utilizando el ejercicio anterior.) 13. Muestra la desigualdad de Hölder: si x, y ∈ Rn , y p, q > 1 son tales que 1 1 + = 1, entonces p q n n n 1/q 1/p X X X |y i |q . |xi |p |xi y i | ≤ i=1 i=1 i=1 (Sugerencia: Utiliza el ejercicio anterior.) 14. Muestra que si x es un punto extremo del conjunto convexo K, entonces x ∈ fr K. 15. Sea P un hiperplano en Rn y x0 ∈ P . Muestra que existe una isometrı́a ψ : P → Rn−1 tal que ψ(x0 ) = 0. 16. Muestra que si P es un hiperplano de apoyo del conjunto convexo K y x es un punto extremo de K ∩ P , entonces x es un punto extremo de K. 17. Sea K un polı́topo convexo. Muestra que K tiene un número finito de puntos extremos. 18. Muestra que un polı́topo compacto es la unión finita de simplejos. Si el polı́topo tiene r vectores linealmente independientes, muestra que es la unión finita de r-simplejos.