Fórmula de Taylor. 1 Aproximación de una función mediante un polinomio Cuando y=f(x) tiene una expresión complicada y necesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproximar mediante funciones sencillas (polinómicas). El teorema del valor medio permite aproximar el valor de una función para un punto en concreto y acotar el error cometido en dicha aproximación. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c∈(a,x) tal que f (x) − f (a) f '(c) = ⇒ f (x) = f (a) + f '(c)(x − a) . x−a Ejemplo: Dar una cota del valor 101 utilizando el teorema del valor medio. Definimos f (x) = x que es una función continua y derivable en R+, en particular lo es en el intervalo [100,101]. Aplicando el teorema del valor medio en este intervalo, se obtiene 1 1 f (101) = f (100) + (101 − 100) ⇒ 101 = 10 + con c ∈ (100,101) , es decir, 100<c<101 con lo 2 c 2 c 1 1 1 1 < ⇔ < = 0, 05 , por consiguiente, cual 10 < c < 101 ⇔ c 10 2 c 20 101 = 10 + 1 2 c < 10 + 0, 05 = 10, 05 En general, buscamos un polinomio que coincida con f(x) en un punto dado x=a y que sea aproximadamente igual en las cercanías de dicho punto (entorno del punto). La aproximación más sencilla corresponde a la recta tangente a f(x) en x=a: y-f(a)=f '(a)(x-a) ⇒ f (x) = f (a) + f '(a)(x − a) Ejemplo: Dar una aproximación de ln(0.9) utilizando la recta tangente. La función a utilizar es f(x)=lnx en el punto a=1, puesto que se conoce f(1)=ln1=0, obteniendo: f(0.9)=ln(0.9)=f(a)+f ’(a)(x-a)=f(1)+f ’(1)(0,9-1)=-0.1, ya que f ’(x)=1/x. U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 1 Fórmula de Taylor. En un punto x próximo a “a” el error al utilizar la recta tangente en lugar de la expresión de la función, será: E(x)=f(x)-f(a)-f ’(a)(x-a) 2 Construcción del polinomio Buscamos un polinomio Pn(x) tal que f(a)=Pn(a), f’(a)=P’n(a),…, fn)(a)=Pnn(a). El método debe ser consistente, es decir, si consideramos f(x)=P(x) la aproximación no debe producir ningún error. n Sea el polinomio de grado n: Pn (x) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n = ∑ a k x k que ordenado k =0 según las potencias de x-a resulta: n Pn (x) = b 0 + b1 (x − a) + b 2 (x − a) 2 + ... + b n (x − a) n = ∑ b k (x − a) k con Pn(a)=bo k =0 para calcular el resto de los coeficientes bk calculamos las derivadas sucesivas del polinomio: n P 'n (x) = b1 (x − a) + 2b 2 (x − a) + ... + nb n (x − a) n −1 = ∑ kb k (x − a) k −1 ; P 'n (a) = b1 k =1 n P ''n (x) = 2b 2 + ... + n(n − 1)b n (x − a) n − 2 = ∑ k(k − 1)b k (x − a) k − 2 ; P ''n (a) = 2b 2 k =2 ………………………………………………………………………….. n Pi) n (x) = ∑ k(k − 1)...(k − i + 1)b k (x − a) k −i ; Pi) n (a) = bi i! k =i ………………………………………………….. P n ) n (x) = n(n − 1)(n − 2)...3.2.1.b n ; P n ) n (a) = b n n! Pnk ) (a) y el polinomio queda: En consecuencia los coeficientes han de ser: b k = k! Pnk (a) Pn (x) = ∑ (x − a) k k! k =0 n Ejemplo: Ordenar 5x3+7x2+3x+8 según las potencias de x-2. Para Pn (x) = 5x 3 + 7x 2 + 3x + 8 en a=2 resulta Pn(2)=82 y las sucesivas derivadas: P 'n (x) = 15x 2 + 14x + 3; P 'n (2) = 91 P ''n (x) = 30x + 14; P ''n (2) = 74 P '''n (x) = 30; P '''n (2) = 30 U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 2 Fórmula de Taylor. que sustituyendo en la expresión anterior: n =3 Pnk (a) P ' (a) P '' (a) P3 (a) (x − a) k = Pn (a) + n (x − a) + n (x − a) 2 + n (x − a)3 = k! 1! 2! 3! k =0 91 74 30 = 82 + (x − 2) + (x − 2) 2 + (x − 2)3 = 82 + 91(x − 2) + 37(x − 2) 2 + 5(x − 2)3 1! 2! 3! Pn (x) = ∑ Definición: Dada una función y=f(x) con derivadas hasta un cierto orden n en un punto a, se denomina polinomio de Taylor de grado n de f en a: Pn ( x ) = f (a ) + f ′(a ) f " (a ) f n ) (a ) (x − a ) + ( x − a ) 2 + ... + (x − a )n 1! 2! n! f k ) (a ) (x − a ) k k ! k =0 n o abreviadamente Tn [f ( x ), a ] = ∑ Ejemplo: Determinar el polinomio de Taylor de grado n=3 de f(x)=lnx en a=1. Calculamos las derivadas sucesivas en a=1: f (x) = ln x ⇒ f (1) = ln1 = 0 f '(x) = 1/ x ⇒ f '(1) = 1 f ''(x) = − x −2 ⇒ f ''(1) = −1 f '''(x) = 2x −3 ⇒ f '''(1) = 2 f k ) (1) (x − 1) 2 (x − 1)3 k (x − 1) = f (1) + f '(1)(x − 1) + f ''(1) + f '''(1) = Tn =3 [ f (x) = ln x, a = 1] = ∑ k! 2! 3! k =0 n =3 = 0 + 1(x − 1) − 1 (x − 1) 2 (x − 1)3 (x − 1) 2 (x − 1)3 +2 = (x − 1) − + 2! 3! 2 3 Definición: Para el valor concreto de a=0 el polinomio de Taylor se dice Polinomio de f k ) ( 0) k Tn [f ( x ),0] = ∑ x k! k =0 n MacLaurin: Ejemplo: Determinar el polinomio de Maclaurin de grado n=2 de f(x)=chx. Calculamos las derivadas sucesivas en a=0: f (x) = chx ⇒ f (0) = ch0 = 1 f '(x) = shx ⇒ f '(0) = sh0 = 0 f ''(x) = chx ⇒ f ''(0) = 1 U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 3 Fórmula de Taylor. n =2 f k ) (0) x2 x2 x2 (x − 0) k = f (0) + f '(0)x + f ''(0) = 1 − 0 ⋅ x + 1 = 1 + k! 2! 2! 2! k =0 Tn = 2 [ f (x) = chx, a = 0] = ∑ Ejemplo: Usar el polinomio de Maclaurin de grado n=4 para dar una aproximación del número e. En este caso utilizaremos la función f(x)=ex para la cual f(1)=e: Tn = 4 ⎡⎣ f (x) = e x , a = 0 ⎤⎦ = n =4 f k ) (0) x2 x3 x4 x2 x3 x4 = 1 + 1⋅ x + 1 + 1 + 1 (x − 0) k = f (0) + f '(0)x + f ''(0) + f '''(0) + f ''''(0) k! 2! 3! 4! 2! 3! 4! k =0 =∑ Para x=1 resulta e ≈ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 12 13 14 65 +1 +1 = = 2, 708 2! 3! 4! 24 Definición: Sea f(x) una función para la cual existe el Polinomio de Taylor de orden n en el punto a, se define resto de orden n de f (x) en a: R n [f ( x ), a ] = f ( x ) − Tn [f ( x ), a ] 3 Cálculo del resto: Busquemos una función Q(x) tal que sea R n ( f (x), a ) = Q(x) (x − a) n +1 . (n + 1)! Como f (x) = Tn [ f (x), a ] + R n [ f (x), a ] , entonces: f (x) = f (a) + f ′(a) f "(a) f n ) (a) Q(x) (x − a) + (x − a) 2 + ... + (x − a) n + (x − a) n +1 1! 2! n! (n + 1)! Sea x fijo. Utilizamos la función auxiliar: F(t) = f (x) − f (t) − f ′(t) f "(t) f n ) (t) Q(x) (x − t) − (x − t) 2 − ... − (x − t) n − (x − t) n +1 definida en 1! 2! n! (n + 1)! t ∈ [a,x]. F verifica las hipótesis del Teorema de Rolle, ya que: F(a) = f (x) − f (a) − f ′(a) f "(a) f n ) (a) Q(x) (x − a) − (x − a) 2 − ... − (x − a) n − (x − a) n +1 = 0 1! 2! n! (n + 1)! F(x) = f (x) − f (x) − f ′(x) f "(x) f n ) (x) Q(x) (x − x) − (x − x) 2 − ... − (x − x) n − (x − x) n +1 = 0 1! 2! n! (n + 1)! Luego, F(a)=F(x). Además F(t) es continua en [a,x] y derivable en(a,x) siendo: U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 4 Fórmula de Taylor. f "'(t) f "(t) f n +1) (t) f n ) (t) (x − t) 2 + 2(x − t) − ... − (x − t) n + n(x − t) n −1 + 2! 2! n! n! Q(x) f "'(t) + (n + 1)(x − t) n = F'(t) = −f '(t) − f ''(t)(x − t) + f '(t) − (x − t) 2 + f ''(t)(x − t) − ... (n + 1)! 2! F'(t) = −f '(t) − f ''(t)(x − t) + f '(t) − .. − f n ) (t) Q(x) f n +1) (t) Q(x) f n +1) (t) (x − t) n −1 + (x − t) n = − (x − t) n + (x − t) n (x − t ) n + (n − 1)! n! n! (n)! n! Entonces, ∃c ∈ (a, x) tal que F’(c)=0, es decir, F'(c) = − f n +1) (c) Q(x) (x − c) n + (x − c) n = 0 ⇒ Q(x) = f n +1) (c) n! n! resultando que el resto n-ésimo es: R n [ f (x), a ] = f (x) − Tn [ f (x), a ] = f n +1) (c) (x − a) n +1 con a<c<x ó x<a<c expresión que se conoce (n + 1)! como el resto de Lagrange o término complementario. 4 Acotación del error: Al aproximar f (x) ≈ Tn [ f (x), a ] se comete un error: E(x) = R n [ f (x), a ] = f n +1) (c) (x − a) n +1 (n + 1)! y=f(x) Tn( f(x),a) f(x0 Rn( f(x),a) Tn( f(x0),a) x=a x0 U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 5 Fórmula de Taylor. Si fn+1) es una función acotada en un entorno de a (por ejemplo, si es continua) f n +1) (c) (x − a) n +1 (x − a) n +1 n +1 n +1) (x − a) ≤ máx f (c) ≤k c∈[a ,x ] (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! Podemos aproximar f(x) por P(x) en un entorno de x=a con la precisión deseada sin más (x − a) n +1 = 0. n →∞ (n + 1)! que tomar n suficientemente grande ya que para cada x fijo, lim 5 Fórmula de Cauchy para el término complementario o resto: Otra forma equivalente del resto se obtiene escribiendo c = a + θ(x − a) siendo 0 < θ < 1 R n (x) = f n +1) (c) f n +1) (a + θ(x − a)) f n +1) (a + θh) n +1 (x − a) n +1 = (x − a) n +1 = h siendo h=x-a (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! En particular, si a=0: R n (x) = f n +1) (θx) n +1 x (n + 1)! 6 Fórmula de Taylor: Sea f(x) una función derivable hasta el orden n+1, con derivadas continuas hasta el orden n en un entorno del punto a, entonces, existe c ∈ (a , x ) tal que: f ′(a ) f " (a ) f n ) (a ) f n +1) (c) 2 n f ( x ) = f (a ) + (x − a ) + ( x − a ) + ... + (x − a ) + ( x − a ) n +1 1! 2! n! (n + 1)! Si a=0 se obtiene la fórmula de Maclaurin: f ′(0) f " (0) 2 f n ) (0) n f n +1) (θx ) n +1 f ( x ) = f (0) + x+ x + ... + x + x con 0 < θ < 1 1! 2! n! (n + 1)! Ejemplo: ¿Qué error se comete al adoptar 65/24 como valor del número e? Tenemos: f(x)=ex; a=0; n=4 y x=1 (véase el ejemplo anterior) y el error 5 f n +1) (θx) n +1 θx x E(x) = R n (x) = x = e (n + 1)! 5! 5 15 15 1 11 E(1) = R n = 4 (1) = e <e <3 = = 0, 025 5! 5! 5! 40 θ ya que la función exponencial es creciente y el valor de e lo podemos acotar por 3, pues según el polinomio de Maclaurin que en nuestro caso da 65/24 es mayor que 2. U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 6 Fórmula de Taylor. COMENTARIOS A LA FÓRMULA DE TAYLOR Notación: Tn [f ( x ), a ] ≡ Polinomio de Taylor de f de grado n en x = a. Cuando no haya confusión posible, por simplificar expresiones, pondremos simplemente Tn ( x ) . 1) Para cada x fijo ¿qué ocurre cuando n → ∞ ? Es decir, a medida que crece el grado del polinomio de Taylor ¿va siendo mejor la aproximación f ( x ) ≈ Tn ( x ) ? Esto ocurrirá cuando R n (x) → 0 , es decir, cuando n →∞ ( x − a ) n +1 n +1) f (c) → 0 . ( n + 1)! n →∞ n +1 Como, para cada x fijo, puede demostrarse que (x − a ) → 0 , basta que f n +1) sea una ( n + 1)! n →∞ función acotada en un entorno de “a” para que se cumpla. Y, en este caso, será R n ( x ) ≤ x −a n +1 ( n + 1)! M , siendo M = sup f n +1) ( z ) . z ∈ ( a ,x ) Ejercicio: Aplicando lo anterior, es fácil probar que el resto en las series de Maclaurin de las funciones sen x, cos x y e x , tiende a cero cuando n tiende a infinito (precisamente por que sus π⎤ π⎤ ⎡ ⎡ derivadas de orden n+1: sen ⎢x + ( n + 1) ⎥, cos⎢ x + ( n + 1) ⎥, y e x , son funciones acotadas 2⎦ 2⎦ ⎣ ⎣ para “x” próximos a cero). 2) Para cada n fijo ¿qué ocurre cuando x → a ? a) R n ( x ) es un infinitésimo en x = a, es decir, lim R n ( x ) = 0 . x →a En efecto: lim R n ( x ) = lim [f(x) - Tn ( x )] = f (a ) − Tn (a ) = f (a ) − f (a ) = 0 , por ser f y Tn x →a x →a funciones continuas en “a”. b) R n ( x ) es un infinitésimo en x = a de orden mayor que n. En efecto: (x − a) 2 f ( x ) − f (a ) − f ' (a )( x − a ) − f ' ' (a ) R (x) 0 2! Para n = 2, lim 2 2 = lim = ? 2 x →a x →a ( x − a ) 0 (x − a) U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 7 Fórmula de Taylor. = f ' ( x ) − f ' (a ) − f ' ' (a ) lim 2( x − a ) L `Hôpital x →a 2( x − a ) 2! = L `Hôpital f ' ' ( x ) − f ' ' (a ) = 0 x →a f '' es continua en a 2 lim Para n = 3, se haría exactamente igual, pero, aplicando la regla de L’Hôpital tres veces en lugar de dos. Para n = n, se aplicaría la regla de L’Hôpital n veces, llegando al mismo resultado: R (x) lim n n = 0 . x →a ( x − a ) Notación: A veces se escribe, en el desarrollo de Maclaurin, f ( x ) = Tn ( x ) + O( x n +1 ) indicando con O( x n+1 ) un infinitésimo de orden mayor ó igual que n+1 (que no es otro que el resto R n ( x ) ). En general, en x = a: f ( x ) = Tn ( x ) + O(( x − a ) n +1 ) c) En el caso particular de que f sea un infinitésimo cuando x → a , al ser R n ( x ) otro infinitésimo en x = a y verificarse que f ( x ) = Tn ( x ) + R n ( x ) , se tiene que: c1 ) Tn (x) = f ( x ) − R n ( x ) es también un infinitésimo en x = a (por ser resta de dos infinitésimos ). Además, por ser lim x →a lim x →a ⎡ f(a) Tn ( x ) f ' (a) f ' ' (a) f n) (a) ⎤ = lim + + + ... + =∞ ⇒ ( x − a ) n x →a ⎢⎣ (x - a) n (x - a) n-1 2!(x - a) n-2 n!(x - a) 0 ⎥⎦ (x − a) n =0 Tn ( x ) se deduce que Tn (x) es un infinitésimo de orden menor que n, y por tanto, de menor orden que R n (x) . c 2 ) Como consecuencia de lo anterior y aplicando que la suma de infinitésimos es un infinitésimo equivalente al sumando de menor orden, se verifica: f ( x ) = Tn ( x ) + R n ( x ) ≈ Tn ( x ) es decir, f(x) y Tn (x) son infinitésimos equivalentes en x = a, para un n tal que Tn ( x ) no sea el polinomio nulo. U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 8 Fórmula de Taylor. c 3 ) Si g(x) es otro infinitésimo en x = a que cumple las hipótesis de la fórmula de Taylor, se verifica: lim x →a T [f ( x ), a ] f (x ) = lim n g( x ) x →a Tm [g( x ), a ] suponiendo Tn [f ( x ), a ] ≠ 0 y Tm [g( x ), a ] ≠ 0 en un entorno de x = a (se toman n y m los menores que lo verifican, pudiendo ser n y m distintos entre sí). Esta igualdad de límites se obtiene aplicando la propiedad de que un infinitésimo en x = a que aparezca como factor o divisor en una expresión de la que se quiera calcular su límite cuando x → a , puede sustituirse por otro infinitésimo equivalente y el límite no varía. Álgebra de los Polinomios de Taylor. Para obtener el Polinomio de Taylor de una función compuesta, muchas veces es preferible desarrollar por separado las funciones componentes y sumar, restar o multiplicar los polinomios de Taylor de las respectivas funciones. 3) Si f y g son dos funciones que cumplen las hipótesis de la Fórmula de Taylor en un entorno de x = a, llamando Tn (f ) y Tn ( g ) a los respectivos polinomios de Taylor de grado n en x = a, se verifica: a) Tn (f ± g ) = Tn (f ) ± Tn ( g) b) Tn (f ⋅ g ) = Tn (f ) ⋅ Tn ( g ) − términos en x n +1 , x n + 2 , ... , x 2n −1. 4) Fórmula de Taylor para la función compuesta ϕ f a ⎯⎯ → b ⎯⎯ → c ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → F = f Dϕ Si conocemos los desarrollos de Taylor de las funciones y = ϕ( x ) en x = a, y de y = f ( x ) en x = ϕ(a ) = b : [ ] + O[( x − b) ] (1) ϕ(x) = c 0 + c 1 ( x − a ) + c 2 ( x − a ) 2 + ... + c n ( x − a ) n + O ( x − a ) n +1 (2) f (x) = a 0 + a 1 ( x − b) + a 2 ( x − b) 2 + ... + a n ( x − b) n n +1 entonces, se verifica: (3) [ ] F(x) = f (ϕ( x )) = b 0 + b1 ( x − a ) + b 2 ( x − a ) 2 + ... + b n ( x − a ) n + O ( x − a ) n , obteniéndose estos coeficientes b i de la siguiente forma: U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 9 Fórmula de Taylor. En (2) se sustituye x por ϕ( x ) y luego se sustituye ϕ( x ) por su desarrollo (1), efectuando las correspondientes operaciones matemáticas y conservando solo los términos en la forma b k ( x − a ) k , con k = 0, 1, ... ,n. En el caso particular: ϕ( x ) = Ax m y f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n + O( x n ) entonces: f (ϕ(x)) = a 0 + a1 (Ax m ) + a 2 (Ax m )2 + ... + a n (Ax m ) n • ′ Si h(x) es la función derivada de f(x) entonces Tn [h( x ),0] = (Tn [f ( x ),0]) • Si h(x) es una función primitiva de f(x) entonces: Tn [h( x ),0] = ∫ Tn [f ( t ),0]dt x 0 Fórmulas de MacLaurin de algunas funciones: ex = 1 + x + x2 x3 x4 xn x n+1 + + + ..... + + e c con c ∈ ( x, 0 ) o bien c ∈ ( 0, x ) 2! 3! 4! n ! (n + 1)! ln(1 + x) = x − x2 x3 x4 xn xn +1 − (n + 1) + − + ..... + ( −1)n −1 + ( −1)n (1 + c ) 2 3 4 n n+1 c ∈ ( x,0 ) o bien c ∈ ( 0, x ) n x3 x5 x7 π ⎞ x n+1 ⎛ π ⎞x ⎛ + − + ..... + s en ⎜ n ⎟ + s en ⎜ c + ( n + 1 ) ⎟ 3! 5! 7! 2 ⎠ (n + 1 )! ⎝ 2 ⎠ n! ⎝ s en( x ) = x − c ∈ ( x, 0 ) o bien c ∈ ( 0, x ) cos( x ) = 1 − n x2 x4 x6 π ⎞ x n+1 ⎛ π ⎞x ⎛ + − + ..... + cos ⎜ n ⎟ + cos ⎜ c + ( n + 1 ) ⎟ 2! 4! 6! 2 ⎠ (n + 1)! ⎝ 2 ⎠ n! ⎝ c ∈ ( x, 0 ) o bien c ∈ ( 0, x ) 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ ( 2n − 3 ) xn x x2 3x 3 − 2 + 3 + ..... + ( −1)n −1 + 2 2 ⋅ 2! 2 3! 2n n! 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ ( 2n − 1) xn +1 + ( −1)n con c ∈ ( x, 0 ) o bien c ∈ ( 0,x ) 2n + 1 n + 1) ! ( n +1 2 2 ( c + 1) (1 + x) = 1 + U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 10