Fórmula de Taylor 1 Aproximación de una función mediante un polinomio Cuando y=f(x) tiene una expresión complicada y necesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproximar mediante funciones sencillas (polinómicas). El teorema del valor medio permite aproximar el valor de una función para un punto en concreto y acotar el error cometido en dicha aproximación. Si f es continua en [a,x y derivable en (a,x), existe c(a,x) tal que f (x) f (a) f '(c) f (x) f (a) f '(c)(x a) . xa Ejemplo: Dar una cota del valor 101 utilizando el teorema del valor medio. Definimos f (x) x que es una función continua y derivable en R+, en particular lo es en el intervalo [100,101]. Aplicando el teorema del valor medio en este intervalo, se obtiene 1 1 f (101) f (100) (101 100) 101 10 con c 100,101 , es decir, 100<c<101 con lo 2 c 2 c 1 1 1 1 0, 05 , por consiguiente, cual 10 c 101 c 10 2 c 20 101 10 1 2 c 10 0, 05 10, 05 101 10, 05 En general, buscamos un polinomio que coincida con f(x) en un punto dado x=a y que sea aproximadamente igual en las cercanías de dicho punto (entorno del punto). La aproximación más sencilla corresponde a la recta tangente a f(x) en x=a que se denomina aproximación lineal: y-f(a)=f '(a)(x-a) f (x) f (a) f '(a)(x a) Ejemplo: Dar una aproximación de ln(0.9) utilizando la recta tangente. La función a utilizar es f(x)=lnx en el punto a=1, puesto que se conoce f(1)=ln1=0, obteniendo: f(0.9)=ln(0.9)=f(a)+f ’(a)(x-a)=f(1)+f ’(1)(0,9-1)=-0.1, ya que f ’(x)=1/x. U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 1 Fórmula de Taylor En un punto x próximo a “a” el error al utilizar la recta tangente en lugar de la expresión de la función, será: E(x)=f(x)-f(a)-f ’(a)(x-a) Ejemplo: Suponiendo que la Tierra es una esfera perfecta y que su radio es igual a 6370 0,1 km, ¿qué efecto tendría la tolerancia 0,1 en nuestra estimación del área de la superficie del globo? dS 8 r dS 8 rdr y el incremento de la recta tangente a S (en dr r=6370) que corresponde a dr = 0,1 es: Como S 4 r 2 S' dS 8 rdr 8 6370 0,1 16009 km2 que se denomina error propagado. Siendo el error relativo dS 8 rdr 2 2 dr 2 S 4 r r 6370 0,1 3,14·105 , o bien el error porcentual 0,00314% 2 Construcción del polinomio Buscamos un polinomio Pn(x) tal que f(a)=Pn(a), f’(a)=P’n(a),…, fn)(a)=Pnn(a). El método debe ser consistente, es decir, si consideramos f(x)=P(x) la aproximación no debe producir ningún error. n Sea el polinomio de grado n: Pn (x) a 0 a1 x a 2 x 2 ... a n x n a k x k que ordenado k 0 según las potencias de x-a resulta: n Pn (x) b 0 b1 (x a) b 2 (x a) 2 ... b n (x a) n b k (x a)k con Pn(a)=bo k 0 para calcular el resto de los coeficientes bk calculamos las derivadas sucesivas del polinomio: n P 'n (x) b1 (x a) 2b 2 (x a) ... nb n (x a) n 1 kb k (x a) k 1 ; P 'n (a) b1 k 1 n P ''n (x) 2b 2 ... n(n 1)b n (x a) n 2 k(k 1)b k (x a) k 2 ; P ''n (a) 2b 2 k 2 ………………………………………………………………………….. n Pi) n (x) k(k 1)...(k i 1)b k (x a) k i ; P i) n (a) bi i! k i ………………………………………………….. P n ) n (x) n(n 1)(n 2)...3.2.1.b n ; P n ) n (a) b n n! En consecuencia los coeficientes han de ser: b k Pnk ) (a) y el polinomio queda: k! Pnk (a) (x a) k k! k 0 n Pn (x) U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 2 Fórmula de Taylor Ejemplo: Ordenar 5x3+7x2+3x+8 según las potencias de x-2. Para Pn (x) 5x 3 7x 2 3x 8 en a=2 resulta Pn(2)=82 y las sucesivas derivadas: P 'n (x) 15x 2 14x 3; P 'n (2) 91 P ''n (x) 30x 14; P ''n (2) 74 P '''n (x) 30; P '''n (2) 30 que sustituyendo en la expresión anterior: n 3 Pnk (a) P ' (a) P '' (a) P 3 (a) (x a) k Pn (a) n (x a) n (x a) 2 n (x a)3 k! 1! 2! 3! k 0 91 74 30 82 (x 2) (x 2) 2 (x 2)3 82 91(x 2) 37(x 2) 2 5(x 2)3 1! 2! 3! Pn (x) Definición: Dada una función y=f(x) con derivadas hasta un cierto orden n en un punto a, se denomina polinomio de Taylor de grado n de f en a: Pn ( x ) f (a ) f (a ) f " (a ) f n ) (a ) (x a ) ( x a ) 2 ... (x a )n 1! 2! n! f k ) (a ) (x a ) k k! k 0 n o abreviadamente Tn f ( x ), a Ejemplo: Determinar el polinomio de Taylor de grado n=3 de f(x)=lnx en a=1. Calculamos las derivadas sucesivas en a=1: f (x) ln x f (1) ln1 0 f '(x) 1/ x f '(1) 1 f ''(x) x 2 f ''(1) 1 f '''(x) 2x 3 f '''(1) 2 f k ) (1) (x 1) 2 (x 1)3 f '''(1) (x 1) k f (1) f '(1)(x 1) f ''(1) k! 2! 3! k 0 n 3 Tn 3 f (x) ln x, a 1 0 1(x 1) 1 (x 1) 2 (x 1)3 (x 1) 2 (x 1)3 2 (x 1) 2! 3! 2 3 Definición: Para el valor concreto de a=0 el polinomio de Taylor se dice Polinomio de f k ) (0) k Tn f ( x ),0 x k! k 0 n Maclaurin: U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 3 Fórmula de Taylor Ejemplo: Determinar el polinomio de Maclaurin de grado n=2 de f(x)=chx. Calculamos las derivadas sucesivas en a=0: e x e x f (0) ch0 1 2 ex e x f '(x) shx f '(0) sh0 0 2 e x e x f ''(x) chx f ''(0) 1 2 f (x) chx n 2 x2 f k ) (0) x2 x2 (x 0) k f (0) f '(0)x f ''(0) 1 0 x 1 1 2! k! 2! 2! k 0 Tn 2 f (x) chx, a 0 Ejemplo: Usar el polinomio de Maclaurin de grado n=4 para dar una aproximación del número e. En este caso utilizaremos la función f(x)=ex para la cual f(1)=e: Tn 4 f (x) e x , a 0 n 4 f k ) (0) x2 x3 x4 x2 x3 x4 (x 0) k f (0) f '(0)x f ''(0) f '''(0) f ''''(0) 1 1 x 1 1 1 k! 2! 3! 4! 2! 3! 4! k 0 Para x=1 resulta e 1 1 1 1 12 13 14 65 1 1 2, 708 2! 3! 4! 24 Definición: Sea f(x) una función para la cual existe el Polinomio de Taylor de orden n en el punto a, se define resto de orden n de f (x) en a: R n f ( x ), a f ( x ) Tn f ( x ), a 3 Cálculo del resto: Busquemos una función Q(x) tal que sea R n f (x), a Q(x) (x a) n 1 . (n 1)! Como f (x) Tn f (x), a R n f (x), a , entonces: f (x) f (a) f (a) f "(a) f n ) (a) Q(x) (x a) (x a) 2 ... (x a) n (x a) n 1 1! 2! n! (n 1)! Sea x fijo. Utilizamos la función auxiliar: U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 4 Fórmula de Taylor F(t) f (x) f (t) f (t) f "(t) f n ) (t) Q(x) (x t) (x t)2 ... (x t)n (x t)n 1 definida en 1! 2! n! (n 1)! t [a,x]. F verifica las hipótesis del Teorema de Rolle, ya que: F(a) f (x) f (a) f (a) f "(a) f n ) (a) Q(x) (x a) (x a) 2 ... (x a)n (x a) n 1 0 1! 2! n! (n 1)! F(x) f (x) f (x) f (x) f "(x) f n ) (x) Q(x) (x x) (x x) 2 ... (x x) n (x x)n 1 0 1! 2! n! (n 1)! Luego, F(a)=F(x). Además F(t) es continua en [a,x] y derivable en(a,x) siendo: f "'(t) f "(t) f n 1) (t) f n ) (t) (x t) 2 2(x t) ... (x t) n n(x t) n 1 2! 2! n! n! Q(x) f "'(t) (n 1)(x t) n F'(t) f '(t) f ''(t)(x t) f '(t) (x t)2 f ''(t)(x t) ... (n 1)! 2! F'(t) f '(t) f ''(t)(x t) f '(t) f n 1) (t) f n ) (t) Q(x) f n 1) (t) Q(x) n n 1 n .. (x t ) (x t) (x t) (x t)n (x t) n n! (n 1)! n! n! (n)! Entonces, c (a, x) tal que F’(c)=0, es decir, F'(c) f n 1) (c) Q(x) (x c) n (x c) n 0 Q(x) f n 1) (c) n! n! resultando que el resto n-ésimo es: f n 1) (c) (x a) n 1 con a<c<x ó x<a<c expresión que se conoce R n f (x), a f (x) Tn f (x), a (n 1)! como el resto de Lagrange o término complementario. 4 Acotación del error: Al aproximar f (x) Tn f (x), a se comete un error: E(x) R n f (x), a f n 1) (c) (x a) n 1 (n 1)! y=f(x) Tn(f(x),a) f(x0) Rn(f(x),a) Tn(f(x0),a) x=a x0 U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 5 Fórmula de Taylor Si fn+1) es una función acotada en un entorno de a (por ejemplo, si es continua) f n 1) (c) (x a) n 1 (x a) n 1 (x a) n 1 máx f n 1) (c) k ca ,x (n 1)! (n 1)! (n 1)! Podemos aproximar f(x) por P(x) en un entorno de x=a con la precisión deseada sin más (x a) n 1 = 0. n (n 1)! que tomar n suficientemente grande ya que para cada x fijo, lim 5 Fórmula de Cauchy para el término complementario o resto: Otra forma equivalente del resto se obtiene escribiendo c a (x a) siendo 0 1 f n 1) (c) f n 1) (a (x a)) f n 1) (a h) n 1 n 1 n 1 R n (x) (x a) (x a) h siendo h=x-a (n 1)! (n 1)! (n 1)! En particular, si a=0: R n (x) f n 1) (x) n 1 x (n 1)! 6 Fórmula de Taylor: Teorema: sea f(x) una función derivable hasta el orden n+1, con derivadas continuas hasta el orden n en un entorno del punto a, entonces, existe c (a , x ) o bien c (x, a) tal que: f ( x ) f (a ) f (a ) f " (a ) f n ) (a ) f n 1) (c) (x a ) ( x a ) 2 ... (x a ) n ( x a ) n 1 1! 2! n! (n 1)! Si a=0 se obtiene la fórmula de Maclaurin: f ( x ) f (0) f (0) f " (0) 2 f n ) (0) n f n 1) (x ) n 1 x x ... x x con 0 1 1! 2! n! (n 1)! Ejemplo: ¿Qué error se comete al adoptar 65/24 como valor del número e? Tenemos: f(x)=ex; a=0; n=4 y x=1 (véase el ejemplo anterior) y el error 5 f n 1) (x) n 1 x x E(x) R n (x) x e (n 1)! 5! E(1) R n 4 (1) e 15 15 15 1 e1 3 0, 025 5! 5! 5! 40 ya que la función exponencial es creciente y el valor de e lo podemos acotar por 3, pues según el polinomio de Maclaurin que en nuestro caso da 65/24 es mayor que 2. U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 6 Fórmula de Taylor COMENTARIOS A LA FÓRMULA DE TAYLOR Notación: Tn f ( x ), a Polinomio de Taylor de f de grado n en x = a. Cuando no haya confusión posible, por simplificar expresiones, pondremos simplemente Tn ( x ) . 1) Para cada x fijo ¿qué ocurre cuando n ? Es decir, a medida que crece el grado del polinomio de Taylor ¿va siendo mejor la aproximación f ( x ) Tn ( x ) ? Esto ocurrirá cuando ( x a ) n 1 n 1) f (c) 0 . R n (x) 0 , es decir, cuando ( n 1)! n n n 1 Como, para cada x fijo, puede demostrarse que (x a ) 0 , basta que f n 1) sea una ( n 1)! n función acotada en un entorno de “a” para que se cumpla. Y, en este caso, será R n ( x ) x a n 1 ( n 1)! M , siendo M = sup f n 1) ( z ) . z ( a ,x ) Ejercicio: Aplicando lo anterior, es fácil probar que el resto en las series de Maclaurin de las funciones sen x, cos x y e x , tiende a cero cuando n tiende a infinito (precisamente por que sus derivadas de orden n+1: sen x ( n 1) , cosx ( n 1) , y e x , son funciones acotadas 2 2 para “x” próximos a cero). 2) Para cada n fijo ¿qué ocurre cuando x a ? a) R n ( x ) es un infinitésimo en x a, es decir, lim R n ( x ) 0 . x a En efecto: lim R n ( x ) lim f(x) - Tn ( x ) f (a ) Tn (a ) f (a ) f (a ) 0 , por ser f y Tn x a x a funciones continuas en “a”. b) R n ( x ) es un infinitésimo en x a de orden mayor que n. En efecto: Para n = 2, lim x a R 2 (x) lim ( x a ) 2 x a f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) f ' ' (a ) (x a) 2 (x a) 2 0 2! ? 0 U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 7 Fórmula de Taylor f ' ( x ) f ' (a ) f ' ' (a ) lim 2( x a ) L `Hôpital x a 2( x a ) 2! lim L `Hôpital x a f ' ' ( x ) f ' ' (a ) 0 f '' es continua en a 2 Para n = 3, se haría exactamente igual, pero, aplicando la regla de L’Hôpital tres veces en lugar de dos. Para n = n, se aplicaría la regla de L’Hôpital n veces, llegando al mismo resultado: R (x) lim n n 0 . x a ( x a ) Notación: A veces se escribe, en el desarrollo de Maclaurin, f ( x ) Tn ( x ) O( x n 1 ) indicando con O( x n1 ) un infinitésimo de orden mayor ó igual que n+1 (que no es otro que el resto R n ( x ) ). En general, en x = a: f ( x ) Tn ( x ) O(( x a ) n 1 ) c) En el caso particular de que f sea un infinitésimo cuando x a , al ser R n ( x ) otro infinitésimo en x = a y verificarse que f ( x ) Tn ( x ) R n ( x ) , se tiene que: c1 ) Tn (x) f ( x ) R n ( x ) es también un infinitésimo en x a (por ser resta de dos infinitésimos ). Además, por ser lim x a lim x a f(a) Tn ( x ) f ' (a) f ' ' (a) f n) (a) lim ... ( x a ) n x a (x - a) n (x - a) n-1 2!(x - a) n-2 n!(x - a) 0 (x a) n 0 Tn ( x ) se deduce que Tn (x) es un infinitésimo de orden menor que n, y por tanto, de menor orden que R n (x) . c 2 ) Como consecuencia de lo anterior y aplicando que la suma de infinitésimos es un infinitésimo equivalente al sumando de menor orden, se verifica: f ( x ) Tn ( x ) R n ( x ) Tn ( x ) es decir, f(x) y Tn (x) son infinitésimos equivalentes en x a, para un n tal que Tn ( x ) no sea el polinomio nulo. c 3 ) Si g(x) es otro infinitésimo en x a que cumple las hipótesis de la fórmula de Taylor, se verifica: U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 8 Fórmula de Taylor lim x a T f ( x ), a f (x ) lim n g( x ) x a Tm g( x ), a suponiendo Tn f ( x ), a 0 y Tm g( x ), a 0 en un entorno de x = a (se toman n y m los menores que lo verifican, pudiendo ser n y m distintos entre sí). Esta igualdad de límites se obtiene aplicando la propiedad de que un infinitésimo en x = a que aparezca como factor o divisor en una expresión de la que se quiera calcular su límite cuando x a , puede sustituirse por otro infinitésimo equivalente y el límite no varía. Álgebra de los Polinomios de Taylor. Para obtener el Polinomio de Taylor de una función compuesta, muchas veces es preferible desarrollar por separado las funciones componentes y sumar, restar o multiplicar los polinomios de Taylor de las respectivas funciones. 3) Si f y g son dos funciones que cumplen las hipótesis de la Fórmula de Taylor en un entorno de x = a, llamando Tn (f ) y Tn ( g) a los respectivos polinomios de Taylor de grado n en x = a, se verifica: a) Tn (f g) Tn (f ) Tn ( g) b) Tn (f g) Tn (f ) Tn ( g) términos en x n 1 , x n 2 , ... , x 2n 1. 4) Fórmula de Taylor para la función compuesta f a b c F f Si conocemos los desarrollos de Taylor de las funciones y ( x ) en x = a, y de y f ( x ) en x (a ) b : O( x b) (1) (x) c 0 c 1 ( x a ) c 2 ( x a ) 2 ... c n ( x a ) n O ( x a ) n 1 (2) f (x) a 0 a 1 ( x b) a 2 ( x b) 2 ... a n ( x b) n n 1 entonces, se verifica: (3) F(x) f (( x )) b 0 b1 ( x a ) b 2 ( x a ) 2 ... b n ( x a ) n O ( x a ) n , obteniéndose estos coeficientes b i de la siguiente forma: En (2) se sustituye x por ( x ) y luego se sustituye ( x ) por su desarrollo (1), efectuando las correspondientes operaciones matemáticas y conservando solo los términos en la forma b k ( x a ) k , con k = 0, 1, ... ,n. U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 9 Fórmula de Taylor En el caso particular: ( x ) Ax m y f (x) a 0 a 1 x a 2 x 2 ... a n x n O( x n ) entonces: f ((x)) a 0 a1 (Ax m ) a 2 (Ax m ) 2 ... a n (Ax m ) n Si h(x) es la función derivada de f(x) entonces Tn h( x ),0 Tn f ( x ),0 Si h(x) es una función primitiva de f(x) entonces: Tn h( x ),0 Tn f ( t ),0dt x 0 Fórmulas de Maclaurin de algunas funciones: ex 1 x x2 x3 x4 xn x n1 ..... e c con c x, 0 o bien c 0, x 2! 3! 4! n ! n 1! ln(1 x) x x2 x3 x4 xn xn 1 (n 1) ..... ( 1)n 1 ( 1)n 1 c 2 3 4 n n1 c x,0 o bien c 0, x n x3 x5 x7 x n1 x ..... s en n s en c n 1 3! 5! 7! 2 n 1! 2 n! s en( x ) x c x, 0 o bien c 0, x cos( x ) 1 n x2 x4 x6 x n1 x ..... cos n cos c n 1 2! 4! 6! 2 n 1! 2 n! c x, 0 o bien c 0, x 1 3 5 2n 3 xn x x2 3x 3 2 3 ..... ( 1)n 1 2 2 2! 2 3! 2n n! 1 3 5 2n 1 xn 1 ( 1)n con c x, 0 o bien c 0,x 2n 1 n 1 ! n 1 2 2 c 1 (1 x) 1 U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía 10