^^^^^~-. ^' , '^"." '°'" w^v~ ' ' ^u /o ^u^^ . `___- 6m ._ __._- _- _ ---.----.__/ y»o^o^8^ ~~~. ^~. ......~ ....'.'~ ~. ^ú^ ' /o xú^o nr/o /on^n u/// /u v/uo ^^ '^ úo Ú77Ov/^u ^u'/'u ^^/T^^ ^^^^ ^ou^` ~~~. ~~~~'~~ ^u ,^ ^ ^^^ u^ Un«» O '-'---, K'-'--- _r^------''-^-' -'-r ^[^^ r-o''-- --/---- r^^/^ /« '~/7 r`~^~'~~~ /K ' oúfnu/ ' ' ^^ ^^^^^^/uu ^/ ^^^^ ^^ ^'^ ``\ m.^ / .J^ ^^,| mm xu ^ A U ° , ^ ° = u ^^ ~^^^^~^~^^ ^^ ~_'^~~~~ ....~~~ / ^x^^^^n'mm.^mv' ~ ` ~ ~»^°^«^ o |a nocha de) 2Q do mayn do 1O32 y Evmrix^n ^m|oiunabo quo aonóou ú^mo opn^unidad pans 0^^ac|arsr (oi tod^v^ o^VoaiU|o\ unoúaor^. quo, hoo^ó|.^nadia haoompmndido. Su vi^o p|umo. oon vaivenem bmacoa o]neQu|unao. moh|na nnbm una ^^u h^ade papeL. Sú|o |o quedan unan ho^^y. comota[ ea^000db|ondo. Dontm de p000, un ^^ rm^o }e condunirú hooia Ganti|^ ' ^|oo Vuoüuo Un Pah^, dnnde unoot^^|Ouo dnr^nfe do un due|o con E^^ oacribiando una oaüaaAugu^o OhevoUnr y.apmounsdo. |o haoeen uneapao|oon b|anooUeau h^a... ^^ ^c/m' ouutj ^^mo^Ó^/ú^ ^o/ a/nx^nx^^ ^a ^. fonne o ^md Gum^mJmoub| o a Ood Fóadhxh Qouoo oo|i' o|^and0ou opiniÚn^ B ú^ | fue pub|ioodo an 184O. con on^an|oneo. porJuoeph L|ouvU|e ydio 'bu|o a |a |eyond^ in' poo|onoohoan^ndemoh^ ^^;^^uy:^` -'.^.....^-..,' _J MATEMÁTICAS Efectivamente, si algo le faltó fue tiempo: tiene 20 años y su final será trágico y violento al igual que su breve vida. Una tragedia cuyo primer acto tuvo lugar cinco años antes, en la atmósfera opresora de un Colegio parisino llevado a golpe de baqueta. Un Colegio prestigioso por su nombre Louis Le Grand frecuentado por la alta burguesía, pero que a Galois le produce hastío hasta que descubre las Matemáticas y se sumerge en ellas. Vocación temprana Disfruta con los "Elementos de Geometría" de Legendre y los Tratados de Lagrange. Se encierra para estudiar a Euler, Gauss, Jacobi..., hasta el punto de que uno de sus profesores afirma en su bloc de notas que `le domina el furor por las Matemáticas". Su carácter es un enigma y se le reprochan muchas cosas, pero él hace caso omiso. A los 17 años, siente que domina el Álgebra y piensa haber encontrado un método general para resolver ecuaciones de 5° grado, un problema mayor que rehuían los más grandes matemáticos de su tiempo. Este éxito le decidió a presentarse, sin preparación alguna, al Concurso de ingreso en la Escuela Politécnica de París. Primer fracaso, y el orgulloso joven tiene que tragarse su fiereza. Al año siguiente sigue unos Cursos de Matemáticas especiales esperando aumentar así sus oportunidades y su profesor, que ha detectado en él una mente superior, le anima a publicar su primer artículo en el Cuaderno del 1° de marzo de 1829, de los "Anales de Matemáticas puras y aplicadas". Titulado "Demostración de un teorema sobre las fracciones continuas periódicas", su factura es buena pero sin más. Pero lo importante de su trabajo fue una obra que mima para ser presentada como primera Comunicación a la Academia de Ciencias. Este manuscrito, que entregó en dos fechas (25 de mayo y 1° de junio de 1829) tenía por título "Investigaciones sobre las ecuaciones algebraicas de primer grado" y busca las condiciones que una ecuación de grado n debe cumplir para que pueda resolverse por radicales, es decir, mediante una fórmula sencilla que solamente utilice las operaciones elementales (suma, resta, multiplicación, división y radicación). Galois establece que estas condiciones no se cumplen cuando n > 4 y demuestra cómo una ecuación de 5° grado no puede resolverse por radicales. Sólo esta conclusión sería suficiente para ser conceptuado como uno de los trabajos más importantes del s. XIX. Sin embargo, su interés real no acaba ahí, sino más bien en el método empleado para llegar a dicha conclusión. En su manuscrito no apare- Fourier falleció sin haber podido leer la Memoria de Galois cen los detalles que caracterizaban a los escritos matemáticos de la época porque creó una herramienta matemática a su medida tan desconcertante como revolucionaria y a la que los matemáticos tratarán de sacar todo el partido posible: la Teoría de Grupos. El manuscrito fue enviado a Augustin Louis Cauchy (entonces en la cumbre de las Matemáticas francesas), quien prometió a Galois presentarlo personalmente en una Sesión de la Academia de Ciencias de París. En realidad, lo que se proponía era ganar tiempo para editar su propio informe sobre esta nueva teoría. Este informe tardó mucho tiempo, demasiado. Pero esto no era importante para Galois porque, en aquellos momentos, tenía otras preocupaciones. Su padre, alcalde republicano de Bourgla-Reine, se suicidó el 2 de julio de 1829, víctima de una calumnia orquestada por un joven sacerdote antiliberal. En las exequias, un alboroto estalla entre los afines y el clero. Fue su primer contacto con el mundo retorcido de la política... Sin salir del disgusto, se presenta por segunda vez ante el Jurado de la Politécnica, pero lo que debiera haber sido una simple formalidad, constituyó un nuevo fracaso. La leyenda quiere que Evariste, cansado por preguntas que consideraba estúpidas, terminara lanzando sobre el examinador el borrador de limpiar el encerado. Quedó clara una cosa; Galois acababa de cerrarse las puertas de esta Escuela, lo que fue una lástima porque no hay duda de que habría encontrado un medio favorable para el florecimiento de su genio. Despechado, dirigió su interés hacia la Escuela preparatoria, pálida copia de la antigua Normal clausurada en 1822. Una Escuela con aires de monasterio mantenida cuidadosamente al margen de toda actividad política. El estudio matutino y durante cada una de las dos comidas estaban precedidos por una oración comunitaria en voz alta. Antes de acostarse, una lectura espiritual volvía a reunir a todos los alumnos. Dos meses sin confesión podían ser motivo de expulsión, medida absolutamente inútil porque los inspectores generales ya habían tomado medidas para eliminar en el Concurso de ingreso a los aspirantes catalogados como políticamente subversivos. Galois vuelve a sentir la misma atmósfera opresora del Colegio. Pero volvamos a su Memoria, que, por fin, ha sido leída por Cauchy, quien se propone presentarla a sus colegas el 18 de enero de 1830. Pero, fatalidad, ese día cae enfermo y no puede asistir a la Sesión. Sí lo hace Galois, quien, aconsejado por Cauchy, decide retirarla para revisarla aún más y presentarla al Gran Premio de Matemáticas que la Academia DYNA MARZO 2003 de Ciencias concederá en diciembre del mismo año, 1830. Pero no terminan aquí sus desdichas y se le contesta que el manuscrito se ha extraviado y será preciso empezar de cero... Esta segunda Memoria se la envió a Jean Baptiste Fourier, secretario perpetuo de la Academia de Ciencias. Bis repetita: la maldición vuelve a cumplirse y el Barón Fourier fallece el 16 de mayo sin haber podido leerla. Fue el joven matemático noruego Abel quien ganó el Premio a título póstumo, con Jacobi, por un trabajo sobre la resolución de ecuaciones... ¡Casualidad! Galois ignora que ni ha sido candidato al Premio. Con respecto a su Memoria, se pierde una vez más entre los numerosos papeles de Fourier... ¿Pueden atribuirse al azar tal serie de injusticias? El 26 de julio de 1830, el rey Carlos X promulga cinco ordenanzas que desencadenan tres días de algaradas en la capital y que conducen al poder a Luis-Felipe. Los "politécnicos", fieles a las tradiciones liberales de su Escuela, participan en las barricadas. Pero en la Escuela preparatoria, su director de Estudios, Guigniault, es prudente y aconseja a sus alumnos que no intervengan en los disturbios, postura no adoptada por Galois, que opta por lo contrario hasta que es detenido y encarcelado quedando apartado de la lucha contra la Restauración. Sus ideas republicanas se van decantando y concretando hasta que el maldito se transforma en rebelde y se afilia a la Sociedad de Amigos del Pueblo, integrándose en el Cuerpo de Artillería de la Guardia Nacional en la que hay dos baterías integradas por republicanos. Solicita un uniforme para los alumnos de la Escuela Normal en imitación de los "politécnicos" pero Guigniault se opone. Galois reclama un entrenamiento militar con armas. Nueva negativa. Mientras tanto, el nuevo Reglamento de la Escuela ha elevado la escolaridad pasando de dos cursos a tres. Esto es inaceptable para Galois, y, ante la actitud de su alumno, Guigniault le impone un "arresto indefinido". Despedido, el joven revolucionario publica en Gazette des Ecoles, conocida por su virulencia, una carta de gran violencia. Describiendo cómo los alumnos de la Escuela preparatoria fueron arrestados durante las jornadas de julio, Galois denuncia el conservadurismo de su director y sus estrechas ideas. La carta está firmada por "Un alumno de la Escuela Nor- mal". Pero Guigniault, tras una rápida encuesta, tiene una idea precisa so- Celebración del aniversario del rey Luis Felipe. bre la identidad del responsable. Defendido sin gran entusiasmo por sus propios camaradas, Galois es expulsado de la Escuela. A los 19 años, asiste regularmente a las sesiones de la Academia, pero no se distingue por sus buenas maneras, insultando a los oradores. Pero estos sinsabores no reducen su pasión por las Matemáticas y, cuando Simeón-Denis Poisson (entonces miembro influyente de la Academia de Ciencias) le propone volver a escribir su tercer manuscrito (que él desea presentar con M. Lacroix a la Academia), Galois comprende que tiene una nueva oportunidad de ser reconocido y presenta una nueva Memoria el 17 de enero de 1831. Sin embargo, tendrá otra ocasión más para armarse de paciencia y, en el ínterin, se lanza abiertamente a la agitación política. Político y matemático, con voluntad para actuar en ambos campos con el mismo encarnizamiento, cosecha los mismos infortunios. Invitado a un banquete en la Sociedad de Amigos del Pueblo, organizó un escándalo al sacar un puñal para hacer un brindis a Luis-Felipe, hecho que se interpretó como un intento de regicidio. Considerado como delito mayor, es llevado a prisión en el barrio de prisioneros políticos de San Pelagio. Su cabeza peligra pero su defensa argumenta que se trataba de un banquete privado y posiblemente la opinión de los jueces fuera emotiva considerando la juventud e inexperiencia de Evaristo. Sea como fuere, está en el punto de mira de las autoridades que ven en él a uno de los agitadores de la protesta republicana. Poisson no comprende Liberado, Galois continúa esperando el informe que Poisson le ha prometido sobre su Memoria, pero han transcurrido ya seis meses. Mientras tanto, ya había hecho una reclamación a los Miembros de la Academia mediante una carta con bastante insolencia en la que no ocultaba su inquietud de que volviera a repetirse la misma historia que en las dos ocasiones anteriores... MARZO 2003 DYNA MATEMATICAS La respuesta llega en la Sesión del 11 de julio, como una ducha fría para Galois. En su informe del 4 de julio, con la confirmación de Lacroix, Poisson sólo ve en el manuscrito de Galois una "proposición análoga"a la de la Memoria póstuma de Abel, quien ya mereciera el año anterior el Premio de la Academia... El resto del informe no es más favorable: "Hemos hecho todos los es- tar es que se le acuse de haber plagiado un trabajo publicado después de que él depositara su Memoria. Puede ser que las convicciones políticas de Poisson, estrechamente ligado a Luis-Felipe, influyeran en el caso, pero la realidad es probablemente más trivial: empecinado en la visión algebraica de su tiempo, Poisson es incapaz de comprender el nuevo lenguaje matemático empleado por Galois. Tanto es así, que el joven algebrista presenta sus argumentos de forma muy lacónica y a veces comete errores. fuerzos para comprender la demostración de Galois", concluye el informador. "Sus razonamientos no son los suficientemente claros ni es,.^^. << r'. Manuscrito de Galois ^i ty.r distraerse y está adquiriendo un carácter sombrío que le hace envejecer prematuramente. Sus ojos están vacíos como si tuviera, cincuenta años..." ... ..:,.^ n: , O^ r :_^ ^ ^ ^~ d4y^^ s Pero esta apreciación no es del todo exacta porque trabaja sin descanso en afirmar su teoría. Si la Academia nada quiere saber de estos trabajos, él los editará por su cuenta en una recopilación titulada `{Dos me- .^. ' ' "./'`. / ^:. .^... morias de análisis puro, por Evariste Galois". r Como introducción, afirma: --;^-.^ •. r..^,^^,-^ , , („ •. /. .^'. '. . :"^'o.'t. , .t. •f::'. I •^::.i t;t r. J,.* j,.^,. "^t^ . fr ..:• :-,. ... :t¡, •4. i . . .,,..., ,.,..,-?^ .. .^r...FC.T ,r ^`... e^•¿' ( . ^•! , u r • /t í i` :r `.. . /O ,.,.r ^:,r . :r . ^.^ ^;t4 , , ;^. c,t< • ^ 1// cg T x. r ^.i7'x.-f%• . -! 1' , ! ^ye•e.^: _ :« !' L_. x : I(z• ^ ,:x^ • . rc7`t ri` Bc r,^.^¢.- 1.:^ t(f< ^/,:.^ ¡.a/ ^^ l.r <i'G:. . ;u^r k:..t «r.< < :^..^ e fí'i,//,/ r . ñ<<L - i. r.J. kf ^< <?^<ri, i . - ^^ ,r.. Vuelta a la prisión De nuevo, vuelve a San Pelagio y, quien estaba designado para desarrollar el Álgebra en el ambiente de lujosos salones, celebra sus veinte años en una celda junto a otros prisioneros políticos y comunes. El 23 de octubre comparece con un amigo, Duchátelet ante el tribunal correccional del Sena por llevar ilegalmente un uniforme militar y. llevar armas prohibidas. Duchátelet es penado con tres meses de prisión y Galois con seis sin contar las semanas de prisión preventiva. Tras, una visita, su hermana afirma: "No piensa en 1^^. <. , .^^ (,‘ <<',. ;2,4", ^.rY:,. !.. -7'!'.• 771,^'^'1^;/%^, t. r:.....^. ^ " .. .. . <l f.:. [cIC•<' :•{..', 4 i .i•, S ^ tmF► ,";^ ^'., r ` _ ^' a ^^t I <.^f J,, . G/ft,^u,. `, < .,r.,q .^c %c, . ,. ^ I:' <' ^^. . / ^:,.: . f :, tán lo bastante desarrollados para que podamos juzgar sobre su exactitud y no estamos en condiciones de dar una opinión sobre este informe", pero le sugiere aclaraciones y mejoras. Como no podía ser menos, Galois está furioso. Puede admitir que Poisson no haya entendido sus demostraciones, pero, lo que no puede sopor- Algunos días más tarde, el 14 de julio de 1831, es detenido por segunda vez con motivo de una manifestación conmemorativa de la toma de la Bastilla. Llevaba el uniforme de la Guardia Nacional, prohibido recientemente por Luis-Felipe. Bajo su uniforme se le descubre una carabina cargada, pistolas y su ya célebre puñal. "Si tuviera que enviar algo a las grandes personalidades de este mundo o a los grandes de la Ciencia (..), juro que no sería por agradecimiento. A unos les debo que haya aparecido tan tarde la primera de dos Memorias y a los otros, haber escrito en prisión..." "Todo me hace pensar que en el mundo conocedor, de la obra que someto al público será recibida con una sonrisa compasiva (..) y tendré que soportar la risa insensata de MM, los examinadores de los candidatos a la Escuela Politécnica que me sorprende no verles ocupar un sillón en la Academia de Ciencias, pues su lugar no está ciertamente en la posteridad y que, teniendo tendencia a monopolizar la impresón de libros de Matemáticas, no entienden que un joven, rechazado por ellos en dos ocasiones, haya tenido la pretensión de escribir no ya libros didácticos, sino libros de doctrina". Galois sabe que su concepción del Álgebra es revolucionaria y que se corre el riesgo de ser incomprendida. DYNA MARZO 2003 Eri , MATEMATI,CAS "Se hace análisis del Análisis", afirma. "Los cálculos más elevados realizados hasta el momento se consideran casos particulares, lo que ha sido útil, sin duda, pero sería funesto abandonar para investigaciones más largas". En la primavera de 1832, el cólera está a las puertas de París y los prisioneros que lo solicitaban son llevados a sanatorios bajo vigilancia policial. A Galois le corresponde el sanatorio del doctor Faultrier, calle de Lourcine (hoy Calle Broca) donde queda prisionero bajo palabra. Y es aquí donde Galois encontrará a la que, según las apariencias, causará su pérdida. Evaristo queda prendado de la sobrina de uno de los médicos, Este fanía Poterin, siendo su primera historia de amor, pero también la última. ¿Qué sucedió entre ellos? Misterio. Desengañado, una vez más, "por el pútrido fango de un mundo podrido que contamina el corazón, la cabeza y las manos". Algunos días después, es retado a duelo. ¿Por quién y por qué? "Una infame coqueta" será la causa, afirma la víspera del duelo. Una coqueta que habría abusado de "dos crédulos". Su adversario sería un "patriota", es decir, un militante republicano. Tal vez un amigo. Algunos afirman se trataba de Duchátelet, su antiguo compañero de celda. El duelo se acuerda a pistola pero, dada la fraternidad de armas que en su día había unido a ambos, rehusaron la responsabilidad de que uno de ellos sea responsable directamente de la muerte del otro. Se ponen de. acuerdo en que cargando sólo una.'. pistola, sea el azar quien decida... ¿Estaban trucados los dados? ¿Hubo manipulación de la policía (deseosa hace mucho tiempo de librarse de Galois) para que, con una leve señal del juez del duelo, pudiera elegir su adversario la pistola cargada? Algún día podrán aclararse las dudas que se ciernen sobre las circunstancias del duelo, pero ello no cambiará el desenlace: a 25 pasos de Evaristo, su adversario dispara... Galois se encoge. Tan sólo tiene veinte años... 36 MARZO 2003 DYNA Galois y la Teoría de Grupos El conjunto del Testamento matemático de Evariste Galois (al menos lo que de él se ha encontrado) ocupa 60 páginas. Jamás una obra tan reducida ha asignado a ningún matemático tanto renombre, ni ha revolucionado tan profundamente una disciplina haciendo evolucionar al Álgebra desde una ciencia de cálculo hacia un análisis de las estructuras. Poisson le reprochaba sus oscuros razonamientos, reproches en parte fundados ya que comprender sus demostraciones es uno de los ejerci- Gracias a Joseph Liouville pudo conocerse la Teoría de Galois. cios más arduos. Tratemos de resumir algunos puntos esenciales. Galois busca bajo qué condiciones una ecuación algebraica de grado n, tal que ao + a,x + a2x2 +-.. + anxn= O puede ser resuelta por radicales. Es decir, bajo qué condiciones las soluciones (raíces) pueden obtenerse únicamente mediante operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces) como es el caso, por ejemplo, de la ecuación de segundo grado a x 2 xbx+c = o, cuyas soluciones de segundo grado a x2 x b x + c= o, cuyas soluciones se obtienen a partir del discriminante b 2-4 ac). Si llamamos u, y , w, etc. a las distintas raíces de la ecuación, se pueden establecer con ellas funciones algebraicas de la forma a + bu + cv + dw + ... (por ejemplo, u-v, u+v+w, etc.). Galois estudia el conjunto de permutaciones posibles con estas raíces (por ejemplo, u se convierte en v, y en w, y w se convierte en u). Algunas de estas permutaciones tienen la propiedad particular de que no modifican el valor de la función a+bu+cv+dw..., independientemente de los coeficientes a, b, c, d... elegidos. Se dice que las raíces son indiscernibles para estas permutaciones. Galois destaca que a cualquier ecuación se le puede asociar un grupo de permutaciones de este tipo, para las que las raíces son indiscernibles. Es decir, un grupo en sentido matemático. Esto equivale a decir un conjunto de permutaciones que, al componerlas sucesivamente unas tras otras, se llega siempre a una permutación de grupo. Este grupo se conoce como Grupo de Galois de la ecuación. Estudiando las propiedades generales de este grupo (concretamente la posible descomposición en sub-grupos menores) llega Galois a determinar si una ecuación algebraica puede ser o no resuelta por radicales. Estas nociones de grupo y de invarianza forman hoy parte de los fundamentos del Álgebra y se aplican a disciplinas afines como la Geometría euclidiana considerada como un conjunto de puntos sobre el que opera un grupo particular de transformaciones. Más allá de las Matemáticas y de la Física de las partículas, en Cristalografía, la noción de grupos explica propiedades de simetría del cristal. Todo esto justifica los denodados esfuerzos realizados por Galois para reescribir una Memoria "extraviada" dos veces y puesta en duda por Poisson. Ante esta serie de injusticias por parte de sus "compañeros", no hay que desesperar en alcanzar la justicia de la Historia. Otra injusticia recientemente desvelada ha sido la desmitificación de Graham Bell. Por fin, el mérito corresponde a Antonio Meucci. •