FUNDAMENTOS MATEM´ATICOS

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
EJERCICIO 2
Examen Final
(45 min.)
6 de septiembre de 2005
En las siguientes cuestiones, de las respuestas indicadas sólo una es correcta. Se pueden marcar
cualquier cantidad de respuestas, pero teniendo en cuenta que cada respuesta incorrecta marcada
descuenta la tercera parte de lo que cuenta marcar la respuesta correcta.
Si se define la operación λx̄ = (λ2 x1 , λx2 ), siendo λ ∈ R y x̄ = (x1 , x2 ) ∈ R2 , es cierto que
° (λ + µ)x̄ = λx̄ + µx̄
N
λ(x̄ + ȳ) = λx̄ + λȳ
° 1x̄ 6= x̄
° Ninguna de las restantes es correcta
Sea A una matriz cuadrada de orden impar y antisimétrica.
° | A |6= 0
N
| A |= 0
° | A |= 1
° Ninguna de las restantes es correcta.
Para que sea compatible el sistema de ecuaciones AX = B, donde A es una matriz real de m filas y n
columnas, es necesario que:
° m=n
° m≥n
° m≤n
N
Ninguna de las restantes es correcta
µ
Sea una función h : D ⊂ R → R, continua en el intervalo [a, b] y que cumple h
a+b
2
¶
= 0.
° Se puede afirmar, por el teorema de Bolzano, que h(a)h(b) < 0.
° Se puede afirmar, por el teorema de Bolzano, que h(a)h(b) > 0.
° Se puede afirmar, por el teorema de Bolzano, que h(a)h(b) ≤ 0.
N
Ninguna de las restantes es correcta.
Sea la función f¯(x, y) = (x2 + y 2 , x2 − y 2 ). Sea ḡ(u, v) una función tal que la matriz jacobiana de ḡ en el
punto (2, 0) es
µ
¶
1 1
2 3
La matriz
µ
N
es
µ
° es
µ
° es
jacobiana de la función h̄ = ḡ ◦ f¯ en el punto (1, 1)
¶
4
0
10 −2
¶
6
8
−2 −4
¶
4 0
10 2
° coincide con la matriz jacobiana en el punto (1, −1)
Sean A y B dos matrices reales cuadradas. Entonces se verifica que:
N
Si |AB| = 0 entonces |A| = 0 o bien |B| = 0.
° Si rg(A) = rg(B) entonces |A| = |B|.
° Si |A| = |B| entonces rg(A) = rg(B).
° |AB t | = |At B|.
Sea A una matriz real cuadrada no singular y λ ∈ R uno de sus autovalores con autovector asociado ~v 6= ~0.
Entonces se verifica que:
N 3
λ es autovalor de A3 con autovector asociado ~v
° 1/λ es autovalor de A−1 con autovector asociado −~v
° λ es autovalor de 4A con autovector asociado 4~v
° λ es autovalor de At con autovector asociado ~v
Dada la forma cuadrática ω(x1 , x2 , x3 , x4 ) = ax21 + bx22 + cx23 + dx24 con a, b, c, d ∈ R,
° Si a2 = bcd se verifica que ω es definida positiva.
° Si a2 = bcd se verifica que ω es indefinida.
N
Si a2 = bcd, ω no puede ser definida negativa
° Si a2 = bcd, ω no puede ser semidefinida positiva.
Sean A y B dos subconjuntos de R,
° Si A es abierto entonces Ā 6= A0
° La frontera de cualquier conjunto siempre tiene interior vacı́o
° Si A es cerrado entonces Ā = A0
N
S
Si A y B son acotados, entonces A B es acotado
Sean
∞
X
an y
n=1
∞
X
bn dos series de términos positivos. Si al aplicar el criterio de comparación por cociente
n=1
se obtiene l = lı́m
n→∞
an
=0
bn
° El criterio no decide
∞
∞
X
X
°
an y
bn divergen o convergen de forma simultánea
n=1
N
Si
° Si
∞
X
n=1
∞
X
n=1
n=1
bn converge, entonces
bn diverge, entonces
∞
X
n=1
∞
X
an también converge pero no a la inversa
an también diverge pero no a la inversa
n=1