La forma real. Sea A una matriz real 4 × 4 con un autovalor doble c = a + bi, siendo b > 0. Como el polinomio caracterı́stico p(λ) es real, el conjugado c = a − bi también es una raı́z doble de p(λ). Utilizamos A para definir dos endomorfismos. Uno es f : R4 → R4 dado por f (x) = Ax y el otro es g : C4 → C4 dado por g(z) = Az. Vamos a explicar aquı́ cómo hallar una base de R4 en la cual la matriz de f quede en una forma especialmente conveniente, que llamamos forma real de f . Hay bases de C4 que son de Jordan para g (no las hay para f ). Sean z1 , z2 los vectores de una tal base correspondientes al autovalor doble c. Hay dos posibilidades: 1. z1 y z2 son ambos autovectores de g, con autovalor asociado c. 2. Forman una cadena de Jordan de longitud 2 y autovalor asociado c : z2 ↓ g−c z1 ↓ g−c 0 Que c no sea real equivale a c 6= c. Que A sea real equivale a A = A. En el caso 1 se tiene: Azj = Azj = c zj = c zj , para j = 1, 2 , luego z1 , z2 son autovectores de g asociados al autovalor conjugado c. Al ser {z1 , z2 } y {z1 , z2 } listas de autovectores asociadas a autovalores diferentes, y cada una de ellas linealmente independiente, sabemos que la lista conjunta z1 , z2 , z1 , z2 es linealmente independiente (y, para esta dimensión, una base del espacio total). Esto significa que si las cajas de Jordan de g para el autovalor c son 1 × 1 entonces también las asociadas al autovalor conjugado c son 1 × 1. En el caso 2, un cálculo muy parecido muestra que {z1 , z2 } es una cadena de Jordan de longitud 2 para g asociada al autovalor c. Al ser {z1 , z2 } y {z1 , z2 } cadenas de Jordan para g asociadas a autovalores diferentes, sabemos que la lista conjunta z1 , z2 , z1 , z2 es linealmente independiente (y, para esta dimensión, " # una base del espacio total). Es decir, si g tiene una caja de Jordan c 1c entonces el autovalor conjugado " c lleva forzosamente asociada la caja c 1 c # en el endomorfismo g. ¡Atención! Insistimos en que esto se debe a que A es matriz real. Endomorfismos h : C4 → C4 con forma canónica c 1 c c ciertamente existen, pero no tienen matriz real en ninguna base de C4 . c El que la lista conjunta z1 , z2 , z1 , z2 sea linealmente independiente equivale a que la siguiente lista de vectores de R4 © ª B0 = Re(z1 ) , Im(z1 ) , Re(z2 ) , Im(z2 ) sea linealmente independiente. Entonces B0 es una base de R4 , y también lo es la siguiente lista: B = © Re(z1 ) , −Im(z1 ) , Re(z2 ) , −Im(z2 ) 1 ª , formada por las partes reales e imaginarias de la cadena {z1 , z2 } asociada al autovalor c = a − ib con parte imaginaria negativa. En el caso 1, la matriz de f en la base B es forma real de f . En el caso 2, la matriz de f en la base B es a b −b a en ese caso. 1 0 a b a b 0 1 −b a −b a a b −b a y ésta es la que es la forma real de f Consideramos brevemente el caso de A real q × q. De nuevo le asociamos el endomorfismo f de Rq y el endomorfismo g de Cq . Por cada autovalor imaginario c = a + ib que tenga A, también tiene el autovalor conjugado c y con la misma multiplicidad algebraica. Por ser A real, si una cadena de Jordan (de longitud k) para g está asociada al autovalor c entonces la lista de vectores conjugados es una cadena de Jordan para el mismo g asociada a c. La lista de las partes reales e imaginarias de esta última cadena es linealmente independiente (luego base de un subespacio vectorial W ⊂ Rq invariante por f ) y contribuye a la forma real de f una caja " matriz C = a b −b a C I2 C I2 .. . .. . C I2 C # formada por una diagonal de copias de la (2k)×(2k) , una “sobre-diagonal” de copias de la identidad 2 × 2 y todo lo demás ceros. La forma real completa de f está formada por estas cajas (2k) × (2k), procedentes de las cadenas de Jordan de g con autovalor imaginario, más cajas de Jordan reales procedentes de cadenas de Jordan formadas por vectores reales y asociadas a autovalores reales. Por ejemplo, si A es real 3×3 entonces hay un autovalor real a0 y la forma real de f es J0 = a0 a b , −b a que es la matriz de f en una base {v0 , Re(z), −Im(z)} formada por un autovector real v0 , asociado al autovalor a0 , y las partes real e imaginaria de un autovector complejo z asociado a a − ib. " Por analogı́a con c 1 c #n " = cn " ncn−1 cn C I2 C # , las potencias sucesivas de la caja real 4 × 4 son: #n " = Cn 4×4 y poniendo a + ib = r cos θ + i r sen θ se tiene C m = rm n C n−1 Cn " cos(mθ) sen (mθ) # , 4×4 − sen (mθ) cos(mθ) # para todo m. Análogamente sacamos una fórmula para las potencias sucesivas de una caja real 6 × 6, etc. Luego tenemos una fórmula para las potencias sucesivas de cualquier forma real J0 . Si P es una matriz invertible q × q, la igualdad AP = P J0 expresa matricialmente el hecho de que el endomorfismo x 7→ Ax tenga matriz J0 en la base de Rq formada por las columnas de P . Entonces deducimos que A = P J0 P −1 y que An = P J0n P −1 para todo n. 2