Algunos Temas de Teoría de Números.

Algunos Temas de Teorı́a de Números
por
Guillermo Mendiola Toribio
Licenciado en Ciencias Matemáticas
por la Universidad Complutense de Madrid
Memoria presentada como
Proyecto fin de Máster en Investigación Matemática
Facultad de Ciencias Matemáticas
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
Curso Académico 2008-2009
Trabajo dirigido por el profesor:
Juan Ramón Delgado Pérez (Universidad Complutense de Madrid)
El abajo firmante, matriculado en el Máster en Investigación Matemática de
la Facultad de Ciencias Matemáticas, autoriza a la Universidad Complutense
de Madrid (UCM) a difundir y utilizar con fines académicos, no comerciales,
y mencionando expresamente a su autor el presente trabajo de Fin de Máster:
“Algunos Temas de Teorı́a de Números”, realizado durante el curso académico
2008–2009 bajo la dirección de Juan Ramón Delgado Pérez en el departamento
de Álgebra, y a la Biblioteca de la UCM a depositarlo en el Archivo Institucional
E-Prints Complutense con el objeto de incrementar la difusión, uso e impacto
del trabajo en Internet y garantizar su preservación y acceso a largo plazo.
Madrid, 10 de Diciembre de 2009
Fdo: Guillermo Mendiola Toribio
Abstract
This memoir is submitted to the Master Program in Mathematical Research of the Universidad Complutense de Madrid. The memoir object is
a detailed study of Selmer equation 3x3 + 4y 3 + 5z 3 = 0, as a counterpoint
to the Hasse-Minkowski Principle. Section 2 presents Eisenstein’s ring and
its required arithmetic to define later the Cubic Symbol and establish the
Law of Cubic Reciprocity. In this section we strive for the rigorousness
of the propositions and the conceptual clarity of the definitions, referring
to other sources for proofs. In Section 3 we we carry out a preliminary
study of Selmer equation, proving in detail the existence of local solutions. Section 4 is devoted to introduce the concepts and theorems of the
algebraic number theory required for the global study of Selmer equation: rings of algebraic integers as Dedekind rings, decomposition laws for
their ideals presenting the concepts of ramification and degree; integral
basis, discriminants and their properties; equivalence between ideals and
the finiteness theorem of the ideal class group and, finally, the structure
of the group of units. The object is, as in Section 2, to present a clear and
precise thread of propositions and theorems to be applied later.
Section 5
√
is a detailed analysis of the properties of the real field Q( 3 6). We begin
by calculating its discriminant and an integral basis; then we obtain the
decomposition laws for the ideals of its ring of algebraic integers (for that
it is proved a famous Euler conjecture about the cubic character of 6).
Thus we prove that the ring of algebtaic integers is a principal ideal domain. Finally we obtain its group of units. In Section 6 (and last) of the
memoir it is proved the nonexistence of non trivial rational solutions for
Selmer’s equation. The results of Section 5 are used√to this purpose,√as
well as a lemma about the divisibility of the ideal θZ[ 3 6], when θ ∈ Z[ 3 6]
is an element of null trace.
Resumen
El objeto de esta memoria, que se presenta al Máster en Investigación
Matemática de la Universidad Complutense de Madrid, es el estudio con
todo detalle de la ecuación de Selmer 3x3 + 4y 3 + 5z 3 = 0 como contraejemplo al Principio de Hasse-Minkowski. Ası́, en la sección 2 se introducen
el anillo de Eisenstein y la aritmética necesaria de dicho anillo para, posteriormente, definir el sı́mbolo cúbico y establecer la Ley de Reciprocidad
Cúbica; en esta sección ponemos el énfasis en el rigor de los enunciados y la
claridad conceptual de las definiciones, remitiendo a otras fuentes para las
demostraciones. En la sección 3 hacemos un primer estudio de la ecuación
de Selmer, demostrando con detalle la existencia de soluciones locales. La
sección 4 se dedica a la introducción de los conceptos y teoremas de la
teorı́a algebraica de números que necesitaremos para el estudio global de
la ecuación de Selmer: los anillos de enteros algebraicos como dominios
de Dedekind, las leyes de descomposición de sus ideales, introduciendo
los conceptos de ramificación e inercia; las bases enteras y discriminantes
y sus propiedades; la relación de equivalencia entre ideales y el teorema
de finitud de los grupos de clases de ideales, y, finalmente, la estructura
del grupo de unidades. La pretensión es, como en la sección segunda,
la claridad expositiva y la precisión en las proposiciones y teoremas que
se aplicarán más adelante. La sección
5 es un análisis detallado de las
√
propiedades del cuerpo real Q( 3 6); Concretamente: se calculan su discriminante y una base entera; se obtienen las leyes de descomposición de
los ideales de su anillo de enteros (para lo que se prueba una célebre conjetura de Euler sobre el carácter cúbico de 6); se demuestra que el anillo
de enteros es un dominio de ideales principales; y, por último, se obtiene
el grupo de unidades. La sección 6, última de esta memoria, contiene una
demostración de la inexistencia de soluciones racionales no triviales para
la ecuación de Selmer; para ello, se usan los resultados
√
√ de la sección anterior y un lema sobre la divisibilidad del ideal θZ[ 3 6], cuando θ ∈ Z[ 3 6]
es un elemento de traza nula.
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
GUILLERMO MENDIOLA TORIBIO
En este trabajo, que presentamos como memoria del Máster de
Investigación Matemática de la Universidad Complutense de Madrid, mostramos con todo detalle un contraejemplo al Principio de Hasse-Minkowski. Así,
demostramos que la ecuación de Selmer 3x3 + 4y 3 + 5z 3 = 0 no posee soluciones racionales (salvo la trivial x = y = z = 0), a pesar de que tiene solucion
p-ádica no trivial, para todo p ∈ Z .
Resumen.
Indice
1 Introducción ................................................................................................. 2
2 Ley de Reciprocidad Cúbica ........................................................................ 5
2.1 El anillo de Eisenstein .......................................................................... 5
2.2 El símbolo cúbico ................................................................................. 6
3 Análisis local de la ecuación de Selmer 3x3 + 4y 3 + 5z 3 = 0 ...................... 8
4 Cuerpos de Números .................................................................................. 9
4.1 El anillo de enteros OK ....................................................................... 9
4.2 El grupo aditivo UK : bases enteras y discriminantes ........................ 10
4.3 El anillo OK : descomposición de ideales, ramicación e inercia ....... 11
4.4 El grupo de clases CK ........................................................................ 12
4.5 El grupo de unidades UK ................................................................... 13
5. Aritmética del cuerpo Q
¡√
¢
3
6 .................................................................. 14
6. Análisis global de la ecuación de Selmer 3x3 + 4y 3 + 5z 3 = 0.................. 19
Referencias ................................................................................................... 21
Date : 4 de diciembre de 2009.
1991 Mathematics Subject Classication. 11A15.
Key words and phrases. anillo de Eisenstein, reciprocidad cúbica, cuerpo de números, base entera,
discriminante, descomposición de ideales, grupo de unidades, grupo de clases, número de clases,
principio de Hasse-Minkowski, ecuación de Selmer.
1
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
1.
2
Introducción
En 1785 Legendre [14] presentó a la Academia una memoria que, entre otras
consideraciones, contenía la primera demostración (aunque incompleta) de la Ley
de Reciprocidad Cuadrática; posteriormente, en el que se puede considerar el primer manual de teoría de números [15], introdujo el símbolo cuadrático que lleva su
nombre y enunció en un lenguaje completamente actual la citada Ley de Reciprocidad:
¡n¢
Para cualesquiera números primosdistintos n y m se tendrá siempre que m
=
¡m¢
ambos de la forma 4x+3, y si ambos son de la forma 4x+3 se tendrá
n , si no son
¡n¢
¡ ¢
siempre que m = − m
n . Esto dos casos generales se combinan en la fórmula
³n´
m
= (−1)
n−1 m−1
2 . 2
³m´
n
”
Poco después,en 1801, Gauss publica la primera demostración completa (por
inducción) de la Ley de Reciprocidad Cuadrática [11]. De hecho, en las misma
Disquisitiones ofrece una segunda prueba como aplicación de su teoría de formas
cuadráticas. Es bien conocido el hecho de que Gauss, en su intento de generalizar
la Ley a los casos cúbico y bicuadrático, publicó en vida otras cuatro demostraciones independientes y en sus papeles póstumos aparecieron una séptima y octava
demostraciones adicionales. Del carácter central que este tema tiene en la teoría
de números es buena prueba el hecho de que entre 1801 y 2000 se han publicado al menos 200 demostraciones distintas (sin contar las editadas en libros) de la
Ley de Reciprocidad Cuadrática; a este respecto, puede consultarse el apéndice que
aparece en [16].
Al tiempo que Gauss demostraba la Ley de Reciprocidad Cuadrática, aprovechó para referirse al carácter incompleto de la anterior demostración de Legendre,
puntualizando con precisión la naturaleza del gap. Como este asunto nos llevará
directamente al objeto de nuestro trabajo, conviene detenerse un momento en el
modo como Legendre pretendía demostrar la Ley.
Su estrategia, que ya aparecía en las páginas 516-517 de la citada memoria de
1785, consistía en un análisis de los ocho posibles casos en que puede dividirse la
Ley, a saber:
a−1
b−1
Teorema I. Si b 2 ≡ +1, entonces a 2 ≡ +1.
b−1
a−1
Teorema II. Si a 2 ≡ −1, entonces b 2 ≡ −1.
Teorema III. Si a
A−1
2
≡ +1, entonces A
a−1
2
≡ +1.
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
Teorema IV. Si a
A−1
2
3
a−1
≡ −1, entonces A 2 ≡ −1.
b−1
a−1
Teorema V. Si a 2 ≡ +1, entonces b 2 ≡ +1.
a−1
b−1
Teorema VI. Si b 2 ≡ −1, entonces a 2 ≡ −1.
B−1
b−1
TeoremaVII. Si b 2 ≡ +1, entonces B 2 ≡ −1.
b−1
B−1
Teorema VIII. Si b 2 ≡ −1, entonces B 2 ≡ +1.
donde Legendre consideraba primos a y A (respectivamente, b y B ) congruentes
con 1 módulo 4 (respectivamente, con 3 módulo 4). Legendre creyó demostrar cada
uno de los ocho teoremas anteriores a partir de un resultado (éste sí probado correctamente) contenido en la página 513 de la misma memoria y que transcribimos
a continuación en lenguaje actual:
Teorema de Legendre: Sean a, b, c ∈ Z no nulos, sin cuadrados, primos entre sí
dos a dos y no todos de igual signo. La ecuación ax2 + by 2 + cz 2 = 0 tiene solución
entera no trivial (esto es, distinta de x = y = z = 0) si y sólo si −abRc, −acRb y
−bcRa.
La notación mRn signica que la conguencia x2 ≡ m (mod n) tiene solución.
El carácter incompleto en el razonamiento de Legendre proviene de que en alguno
de los ocho teoremas citados arriba (por ejemplo, en el VIII) no basta con aplicar
el teorema anterior, sino resultados adicionales que Legendre conjetura, aunque no
prueba (por ejemplo, el teorema de primos en progresión aritmética que probará
Dirichlet 40 años después).
Pues bien, el citado Teorema de Legendre está en el origen de la temática de
nuestra memoria. En primer lugar, el Teorema de Legendre puede escribirse de modo equivalente como:
Teorema de Legendre (2a versión): Sean a, b, c ∈ Z no nulos, sin cuadrados,
primos entre sí dos a dos y no todos de igual signo. La ecuación ax2 + by 2 + cz 2 = 0
tiene solución entera no trivial (esto es, distinta de x = y = z = 0) si y sólo si
para cada potencia prima pm la congruencia ax2 + by 2 + cz 2 ≡ 0 (mod pm ) tiene
una solución en enteros x, y , z no todos múltiplos de p.
De hecho, Hasse, inspirado por Hensel, estableció una tercera versión del teorema
de Legendre:
Teorema de Legendre (3a versión):Sean a, b, c ∈ Q no nulos. La ecuación ax2 +
by + cz 2 = 0 tiene solución racional no trivial si y sólo si tiene solución real y
2
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
4
p-ádica no trivial , para todo primo p.
Así escrito, el Teorema de Legendre establece que las formas cuadráticas ternarias diagonales con coecientes racionales poseen soluciones globales (esto es, en el
cuerpo Q) si y sólo si poseen soluciones locales (esto es, en el cuerpo R y en todos
los cuerpos p-ádicos Qp ), dando lugar al primer ejemplo del bien conocido Principio Local-Global o de Hasse-Minkowski (en honor de estos autores tras el siguiente
teorema):
Teorema (Hasse-Minkowski): Sea f una forma cuadrática n−aria con coecientes racionales. La ecuación f (x1 , ..., xn ) = 0 tiene solución racional no trivial si y
sólo si tiene solución real y p-ádica no trivial , para todo primo p.
De manera natural aparece el problema de obtener familias de formas que cumplan el Principio de Hasse-Minkowski. Usando solamente el símbolo bicuadrático,
Reichardt probó que la ecuación (no homogénea) x4 − 17y 2 = 2z 2 sólo tiene la
solución entera trivial x = y = z = 0, aunque tiene soluciones (no triviales) reales
y p-ádicas, para todo p. Sin embargo, fue Selmer quien estudió los contraejemplos
más simples al Principio de Hasse-Minkowski, en [19].
El objeto de esta memoria, que se presenta al Máster de Investigación Matemática de la Universidad Complutense de Madrid, es el estudio con todo detalle
de la ecuación de Selmer 3x3 + 4y 3 + 5z 3 = 0 como contraejemplo al Principio de
Hasse-Minkowski. Así, en la sección 2 se introducen el anillo de Eisenstein y su
aritmética más precisa para, posteriormente, denir el símbolo cúbico y establecer
la Ley de Reciprocidad Cúbica; en esta sección ponemos el énfasis en el rigor de los
enunciados y la claridad conceptual de las deniciones, remitiendo a otras fuentes
para las demostraciones. En la sección 3 hacemos un primer estudio de la ecuación
de Selmer, demostrando con detalle la existencia de soluciones locales. La sección
4 se dedica a la introducción de los conceptos y teoremas de la teoría algebraica de
números que necesitaremos para el estudio global de la ecuación de Selmer: los anillos de enteros algebraicos como dominios de Dedekind, las leyes de descomposición
de sus ideales, introduciendo los conceptos de ramicación e inercia; las bases enteras y discriminantes y sus propiedades; la relación de equivalencia entre ideales y el
teorema de nitud de los grupos de clases de ideales, y, nalmente, la estructura del
grupo de unidades. La pretensión es, como en la sección segunda, la claridad expositiva y la precisión en las proposiciones y teoremas que se aplicarán más adelante.
¡√ ¢
La sección 5 es un análisis detallado de las propiedades del cuerpo real Q 3 6 ;
concretamente: se calculan su discriminante y una base entera; se obtienen las leyes
de descomposición de los ideales de su anillo de enteros (para lo que se prueba una
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
5
célebre conjetura de Euler sobre el carácter cúbico de 6); se demuestra que el anillo
de enteros es un dominio de ideales principales; y, por último, se obtiene el grupo
de unidades. La sección 6, última de esta memoria, contiene una demostración de
la inexistencia de soluciones racionales no triviales, en el caso de la ecuación de
Selmer; para ello, se usan los resultados de la sección anterior y un lema sobre la
√
√
divisibilidad del ideal θZ[ 3 6], cuando θ ∈ Z[ 3 6] es un elemento de traza nula.
2.
Ley de Reciprocidad Cúbica
2.1. El anillo de Eisenstein.
Notación 1. En adelante, adoptaremos las siguientes notaciones:
ω=
√
−1 + −3
2
Z[ω] = {a + bω : a, b ∈ Z}
λ=1−ω
Q(ω) = {r + sω : r, s ∈ Q}
2
N (a + bω) = |a + bω| = (a + bω)(a + bω 2 ) = a2 − ab + b2
Z[ω]× = {α ∈ Z[ω] : α es inversible}
Los resultados que siguen son bien conocidos y su demostración puede verse en
el manual de Ireland y Rosen [12].
Proposición 1. Se verica que:
i) Z[ω] es un dominio de integridad y Q(ω) es su cuerpo de fracciones.
ii) Z[ω]× = {±1, ±ω ± ω 2 } ' C6 .
iii) Z[ω] es un dominio euclídeo respecto de la función N .
Eisenstein usó los elementos de Z[ω] en su demostración de la Ley de Reciprocidad Cúbica ([6],[7]). En su honor, Z[ω] se conoce como el anillo de Eisenstein.
Las dos proposiciones siguientes permiten obtener todos los primos (o irreducibles) del anillo de Eisenstein.
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
6
Proposición 2. Si π ∈ Z[ω] es primo, entonces se verica una u sólo una de las
tres condiciones siguientes:
a) N (π) = 3, y en este caso π ∼ λ;
b) existe q ∈ Z primo tal que N (π) = q 2 , y en este caso π ∼ q y q ≡ 2 (mod 3);
c) existe p ∈ Z primo tal que N (π) = p , y en este caso p = ππ , π tambien es
primo en Z[ω] con N (π) = p, π π y p ≡ 1 (mod 3).
Recíprocamente:
Proposición 3. Se verica que:
i) λ es primo en Z[ω].
ii) Si q ≡ 2 (mod 3) es primo en Z, entonces q es primo en Z[ω];
iii) Si p ≡ 1 (mod 3) es primo en Z, entonces p = ππ , donde π, π ∈ Z[ω] son
primos y π π .
Si π ∈ Z[ω] es primo, entonces el cociente Z[ω]/(π) es un cuerpo , como consecuencia de la proposición 1. De hecho:
Proposición 4. Si π ∈ Z[ω] es primo, entonces Z[ω]/(π) es un cuerpo nito con
N (π) elementos.
Así, los cuerpos residuales del anillo de Eisenstein son Z[ω]/(λ) ' F3 , Z[ω]/(q) '
Fq2 y Z[ω]/(π) ' Fp , con las notaciones y condiciones anteriores.
2.2. El símbolo cúbico. La siguiente proposición es la clave que permite denir
correctamente el símbolo cúbico:
Proposición 5. Sean π, α ∈ Z[ω], π primo tal que π - α. Se verica que:
i) αN (π)−1 ≡ 1 (mod π).
ii) Si, además, π λ, entonces existe un único m ∈ {0, 1, 2} tal que α(N (π)−1)/3 ≡
ω m (mod π).
Esta proposición se sigue de que (Z[ω]/(π))× es un grupo cíclico de orden N (π)−1
y de que N (π) − 1 es múltiplo de 3 si π λ.
Denición 1. (símbolo cúbico): Sean π, α ∈ Z[ω], π un primo tal que π - α y
π λ. El símbolo cúbico de α respecto de π se dene como
³α´
donde m ∈ {0, 1, 2} y α(N (π)−1)/3
= ωm
π 3
≡ ω m (mod π).
El símbolo cúbico dene una función de clase que es, de hecho, un carácter
multiplicativo sobre el grupo (Z[ω]/(π))× . Más concretamente:
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
7
Proposición 6. Sean π, α, β ∈ Z[ω], π primo tal que π - αβ y π λ. Se verica
que:
³ ´
¡ ¢
i) απ 3 = πβ , si α ≡ β (mod π).
3
ii)
³
αβ
π
´
3
=
¡α¢ ³β ´
π 3
π
3
.
La utilidad del símbolo se desprende de la propiedad siguiente:
Proposición 7. Sean π, α ∈ Z[ω], π primo tal que π - α y π λ. La congruencia
x3 ≡ α (mod π) tiene solución en Z[ω] si y sólo si
¡α¢
π 3
= 1.
Más aún:
Proposición 8. Sean p, a ∈ Z, p primo tal que p - a y p ≡ 1 (mod 3). La congruencia x3 ≡ a (mod p) tiene solución en Z si y sólo si
es la descomposión de la proposición 3.
¡a¢
π 3
= 1, donde p = ππ
Comentario 1. En la caso p ≡ 2 (mod 3), la congruencia anterior siempre posee
solución única.
La última proposición pone de relieve un hecho básico: así como el símbolo de
Legendre determina el carácter de resto cuadrático de un entero dado, el símbolo
cúbico expresa su carácter de resto cúbico. No obstante, mientras que el símbolo
de Legendre puede denirse usando sólo la aritmética ordinaria de los enteros, el
símbolo cúbico requiere extender la aritmética de Z al anillo de Eisenstein. En palabras de Gauss [10]:
La teoría de los restos cúbicos y bicuadráticos es, con mucho, mucho más difícil
[que la teoría de restos cuadráticos]... Los principios hasta ahora aceptados de la
aritmética no son de ningún modo sucientes para la construcción de una teoría
general, antes bien, tal teoría obliga necesariamente a extender el dominio de la
aritmética....
El símbolo cúbico
¡u¢
π 3
puede calcularse, cuando u es una unidad de Z[ω], me-
diante la siguiente ley suplementaria:
Teorema 1. (primera ley suplementaria): Si π ∈ Z[ω] y π λ, entonces :
¡ ¢
= 1.
i) −1
¡ πω ¢ 3
ii) π 3 = 1 si y sólo si N (π) ≡ 1 (mod 9).
¡ ¢
iii) ωπ 3 = ω si y sólo si N (π) ≡ 4 (mod 9).
¡ ¢
iv) ωπ 3 = ω 2 si y sólo si N (π) ≡ 7 (mod 9).
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
8
La siguiente denicíón abre el camino para seleccionar canónicamente un primo
de Z[ω] entre sus seis asociados:
Denición 2. Sea π = a + bω ∈ Z[ω] primo, π λ. Se dice que π es primario si
a ≡ 2 (mod 3) y b ≡ 0 (mod 3).
Si π es primo, sus asociados son ±π, ±ωπ, ±ω 2 π . Es una rutina comprobar que
exactamente uno de dichos seis primos es primario.
Teorema 2. (segunda ley suplementaria): Si π ∈ Z[ω] es un primo primario y
π λ, entonces
µ ¶
λ
= ω 2m
π 3
donde π = a + bω , a = 3m − 1, b = 3n.
Comentario 2. La demostración de la primera ley suplementaria es consecuencia directa de la denición del símbolo cúbico. Sin embargo, la segunda ley suplementaria
no es en absoluto obvia. La primera demostración se debe a Eisenstein; la prueba
que suele aparecer en los manuales (una de las debidas a Williams, [Williams 1],[Williams 2]) contiene una errata que se mantiene, por ejemplo, en [Ireland-Rosen] y
[Cox].
Teorema 3. (ley de reciprocidad cúbica):
, π2 ´∈ Z[ω] son primos primarios,
³ ´Si π1 ³
π1 , π2 λ y N (π1 ) 6= N (π2 ), entonces
π1
π2
3
=
π2
π1
3
.
La primera demostración publicada de la Ley de Reciprocidad Cúbica se debe a
Eisenstein, aunque hay evidencias epistolares que conrman que Gauss ya lo había
hecho hacia 1807. Sobre la acusación de Jacobi por plagio y un estudio recopilatorio
completo sobre el estatus de la teoría de números en los años centrales del siglo
XIX conviene leer la memoria [20]; [4] es un trabajo excelente sobre la génesis e
historia de las leyes cúbica y bicuadrática.
3.
Análisis local de la ecuación de Selmer
3x3 + 4y 3 + 5z 3 = 0
En este trabajo cuando hablamos de cuerpos locales nos referimos a R o a un
cuerpo p-ádico Qp (esto es, los completados del cuerpo Q de los racionales ). Esta
sección se centra en probar el siguiente resultado:
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
9
Teorema 4. La ecuación 3x3 + 4y 3 + 5z 3 = 0 posee soluciones no triviales en todos
los cuerpos locales.
Demostración. El caso real es claro, dado que el correspondiente conjunto de sop
luciones {(a, b, c) ∈ R3 : c = 3 −(3a3 + 4b3 )/5} es innito. En el caso p-ádico,
deberá probarse que para cada m > 0 existe una solución (xm , ym , zm ) de la congruencia 3x3 + 4y 3 + 5z 3 ≡ 0 (mod pm ) de modo que xm+1 ≡ xm (mod pm ),
ym+1 ≡ ym (mod pm ) , zm+1 ≡ zm (mod pm ) y , para algún k , p - xk , p - yk ó
p - zk . Distinguiremos varios casos:
Caso 1: p ∈
/ {2, 3, 5}. Razonamos por inducción sobre m. Si m = 1 y p ≡
2 (mod 3) se toma, por ejemplo, x1 = −2, y1 el único entero tal que y13 ≡ 6 (mod p)
y z1 = 0. Para m = 1 y p ≡ 1 (mod 3), elegimos π primo primario del anillo de
Eisenstein tal que p = ππ y distinguimos dos situaciones:
a) los símbolos ( π3 )3 , ( π4 )3 y ( π5 )3 son distintos entre sí: entonces alguno de ellos
valdrá 1; si, por ejemplo, ( π3 )3 = 1, entonces existe un entero y1 que satisface (por
la proposición 8) la congruencia y13 ≡ 3 (mod p) y se toman x1 = z1 = −1; de modo
similar se procede cuando ( π4 )3 = 1 ó ( π5 )3 = 1;
b) los símbolos ( π3 )3 , ( π4 )3 y ( π5 )3 no son distintos entre sí: si, por ejemplo,
3
( π )3 = ( π4 )3 , entonces ( 36
π )3 = 1, existirá (por la proposición 8) un entero x1 tal
3
que (3x1 ) ≡ 36 (mod p) y se toman y1 = −1, z1 = 0; de modo similar se procede
cuando ( π3 )3 = ( π5 )3 ó cuando ( π4 )3 = ( π5 )3 .
Obsérvese que la construcción anterior verica que p - x1 , p - y1 ó p - z1 . Su3
3
poniendo existente la terna (xm , ym , zm ) tal que 3x3m + 4ym
+ 5zm
= µpm , para algún entero µ, es inmediato comprobar que existen enteros a, b, c tales que
xm+1 = xm + apm , ym+1 = ym + bpm y zm+1 = zm + cpm son solución de la
congruencia 3x3 + 4y 3 + 5z 3 ≡ 0 (mod pm+1 ).
Caso 2: p = 2. Se razona como en el caso anterior, partiendo de la solución inicial
x1 = z1 = 1, y1 = 0.
Caso 3: p = 5. Igual que antes, partiendo de x1 = 2, y1 = 4, z1 = 0.
Caso 4: p = 3. En este caso, partimos de x1 = x2 = 0, y1 = y2 = z1 = z2 = 1 y,
de modo análogo al caso primero, se obtiene por recurrencia una solución 3-ádica
no trivial.
¤
4.
Cuerpos de Números
En esta sección nos limitaremos a enunciar los conceptos y resultados acerca de
los cuerpos de números que usaremos con posterioridad. En general, las demostraciones pueden encontrarse en [9], [13] y [18].
4.1. El anillo de enteros OK .
Denición 3. Se dice que K es un cuerpo de números (de dimensión n) si:
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
10
i) K es un subcuerpo de C, y
ii) la extensión K/Q es de dimensión nita (igual a n).
Así, los elementos de K son números algebraicos. Usaremos libremente las propiedades de los polinomios mínimos y de las funciones traza y norma, con las notaciones
habituales T rK/Q (α) y NK/Q (α).
Proposición 9. Si K es un cuerpo de números, entonces OK = {α ∈ K :
α es entero algebraico} es un subanillo de K . De hecho, K es el cuerpo de fracciones de OK .
Denición 4. OK es el anillo de enteros de K .
Ejemplo 1. El anillo de enteros del cuerpo cuadrático Q
¡√
¢
−3 es el anillo de
Eisenstein Z [ω].
4.2. El grupo aditivo UK : bases enteras y discriminantes. La propiedad
fundamental que verica OK como grupo aditivo es la siguiente:
Proposición 10. Si K es un cuerpo de números de dimensión n , entonces el
grupo aditivo OK es libre de rango n, esto es, existen α1 , ..., αn ∈ OK tales que
cada α ∈ OK se escribe de modo único en la forma α = a1 α1 + ... + an αn , donde
a1 , ..., an ∈ Z.
En lo que resta de sección, K es un cuerpo de números de dimensión n .
Denición 5. Una base entera de OK es un conjunto {α1 , ..., αn } que satisface las
condiciones de la proposición anterior.
Toda base entera de OK es trivialmente una base de K como espacio vectorial
sobre Q; sin embargo, no toda Q- base de K formada por elementos de OK es base
entera. A este respecto, el concepto esencial es el de discriminante.
Denición 6. El discriminante de un conjunto de elementos α1 , ..., αn ∈ K se
dene como ∆(α1 , ..., αn ) = det(trK/Q (αi αj )).
Proposición 11. Sean α1 , ..., αn ∈ K . Se verica que:
i) ∆(α1 , ..., αn ) ∈ Q.
ii) ∆(α1 , ..., αn ) ∈ Z , si α1 , ..., αn ∈ OK .
iii) {α1 , ..., αn } es una base de K como espacio vectorial sobre Q si y sólo si
∆(α1 , ..., αn ) 6= 0.
iv) Si K = Q(α) , entonces ∆(α) = ∆(1, α, ..., αn−1 ) = (−1)n NK/Q (f 0 (α)).
v) ∆(β1 , ..., βn ) = det(P )2 ∆(α1 , ..., αn ), si P es la matriz de paso de la base
{β1 , ..., βn } a la base {α1 , ..., αn }.
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
11
vi) Si {α1 , ..., αn } es una base entera de OK y {β1 , ..., βn } ⊆ OK , entonces
{β1 , ..., βn } es base entera de OK si y sólo si ∆(β1 , ..., βn ) = ∆(α1 , ..., αn ).
El apartado vi) de la proposición anterior justica la siguiente denición:
Denición 7. El discriminante de un cuerpo de números K , que denotaremos por
∆K , es el discriminante de cualquiera de las bases enteras de OK .
√
Ejemplo 2. {1, ω} es una base entera del anillo de enteros de Q( −3) y ∆Q(√−3) =
−3.
El enunciado que cierra esta sección se conoce como lema de Kummer y es útil
para la obtención efectiva de bases enteras:
Proposición 12. (primer lema de Kummer): Sea {α1 , ..., αn } ⊆ OK una base de
K como espacio vectorial sobre Q. Si {α1 , ..., αn } no es base entera de OK , entonces
existen enteros p, i, s1 , ..., si−1 tales que:
i) p es primo y divide a ∆(α1 , ..., αn )/∆K ;
ii) 1 ≤ i ≤ n y 0 ≤ sj < p para cada j < i;
iii) αi? = (s1 α1 + ... + si−1 αi−1 + αi )/p ∈ OK ;
iv) ∆(α1 , ..., αi−1 , αi? , αi+1 , ..., αn ) = ∆(α1 , ..., αn )/p2 .
4.3. El anillo OK : descomposición de ideales, ramicación e inercia. El
teorema siguiente, debido a Kummer, es fundamental en todo lo que sigue:
Teorema 5. OK es un dominio de Dedekind.
En particular, OK es un anillo de dimensión 1 y sus ideales primos no nulos son
maximales (y, de hecho, denen cuerpos residuales nitos). También como consecuencia del teorema anterior se tiene:
Corolario 1. Cada ideal no nulo de OK se escribe, de modo único, como producto
de ideales primos.
Sea F/K una extensión relativa de cuerpos de números. Puede probarse que si
Q es un ideal primo no nulo de OF , entonces P = Q ∩ K es un ideal primo no
nulo de OK . Así, OF /Q es un cuerpo nito que extiende a OK /P y tiene sentido
la siguiente denición:
Denición 8. (grado de inercia): f (Q/P ) = dimOK /P OF /Q.
Recíprocamente, si P es un ideal primo no nulo de OK y escribimos el ideal
extendido P OF en la forma Qe11 · · · Qrer del corolario anterior, donde Q1 , ..., Qr
son ideales primos distintos de OF , adoptamos el siguiente convenio:
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
12
Denición 9. (índice de ramicación): e(Qi /P ) = ei .
Teorema 6. Con las notaciones anteriores se verica que:
i) [F : K] = e1 f1 + ... + er fr .
ii) Si la extensión F/K es de Galois, entonces e1 = ... = er , f1 = ... = fr y
Gal(F/K) actúa transitivamente sobre el conjunto {Q1 , ..., Qr }.
El siguiente resultado, debido a Kummer, permite obtener la factorización de
pOK , para p ∈ Z primo:
Proposición 13. (segundo lema de Kummer): Sean p ∈ Z primo; K = Q(α)
un cuerpo de números, donde α ∈ OK y p no divide a ∆(α)/∆K ; g el polinomio
mínimo de α, g = γ1m1 · · · γsms la descomposición del polinomio reducido g ∈ Fp [X]
como producto de polinomios irreducibles, y g1 , ..., gs ∈ Z[X] mónicos y tales que
gi = γi , 1 ≤ i ≤ s. Si pOK = P1e1 · · · Prer es la descomposición de pOK como
producto de ideales primos de OK , entonces:
i) r = s.
ii) Pi = (p, gi (α)), para cada i ≤ r.
iii) ei = mi , para cada i ≤ r.
iv) fi = gr γi , para cada i ≤ r.
El último enunciado de esta sección reeja el buen comportamiento del índice de
ramicación y el grado de inercia ante torres de extensiones:
Proposición 14. Sean F/E/K una torre de cuerpos de números y Q (respectivamente, QE = Q ∩ E y P = Q ∩ K ) un ideal primo no nulo de OF (respectivamente,
de OE y de OK ). Se verica que:
i) f (Q/P ) = f (Q/QE )f (QE /P ).
ii) e(Q/P ) = e(Q/QE )e(QE /P ).
4.4. El grupo de clases CK . Diremos que dos ideales no nulos I y J de un
dominio de integridad R son equivalentes si existen α, β ∈ R no nulos tales que
(α)I = (β)J . Esta relacioón es de equivalencia sobre el conjunto de los ideales
no nulos de R ; además, es compatible con el producto de ideales y queda bien
denido el semigrupo multiplicativo CR de las clases de ideales. Es un resultado
bien conocido de álgebra conmutativa la siguiente caracterización de los dominios
de Dedekind:
Proposición 15. El dominio de integridad R es un dominio de Dedekind si y sólo
si CR es un grupo.
Notación 2. Si K es un cuerpo de números, CK denota el grupo de clases de ideales
de OK .
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
13
Teorema 7. CK es un grupo abeliano nito, para todo cuerpo de números K .
Denición 10. (número de clases): hK es el orden del grupo nito CK .
Suele decirse que el número de clases hK es una medida de cómo se aparta OK
de ser un dominio de factorización única. De hecho:
Proposición 16. Sea K un cuerpo de números. Las siguientes condiciones son
equivalentes:
a) hK = 1;
b) OK es un dominio de ideales principales;
c) OK es un dominio de factorización única.
Hay una herramienta ecaz para determinar el número de clases hK de un cuerpo
de números. Para ello necesitaremos recordar un par de conceptos. El primero es el
de norma de un ideal:
Denición 11. (norma de un ideal): N (I) = |OK /I|, siendo I un ideal no nulo de
OK .
Proposición 17. Se verica que:
i) N (I) es nito, para cada ideal no nulo I .
ii) N (IJ) = N (I)N (J), para todos los ideales I, J .
¯
¯
iii) N (αOK ) = ¯NK/Q (α)¯, para todo α ∈ OK .
iv) N (P ) = pf (P/pZ) , si P es un ideal primo no nulo de OK y P ∩ Q = pZ.
El segundo concepto es la distinción entre inmersiones reales y complejas:
Denición 12. Sea K es un cuerpo de números. Se denen:
a) r1 es el número de Q-inmersiones K −→ R, y
b) r2 es el número de Q-inmersiones K −→ C no reales y no conjugadas entre sí.
Comentario 3. [K : Q] = r1 + 2r2 .
Teorema. Sea K un cuerpo de números de dimensión n. Para cada ideal I de OK
existe algún ideal J de OK tal que:
i) I es equivalente a J .
p
ii) N (J) ≤ ( π4 )r2 · nn!n · |∆K |.
La nitud del número de clases y el teorema anterior se deben a Minkowski y
pueden probarse usando técnicas de geometría de números.
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
14
4.5. El grupo de unidades UK .
Denición 13. El grupo de unidades del cuerpo de números K es el grupo multi×
plicativo UK = OK
= {α ∈ OK : α es inversible}.
Comentario 4. UK = {α ∈ OK : NK/Q (α) = ±1}.
El siguiente teorema, debido a Dirichlet, suele probarse también con técnicas de
geometría de números:
Teorema 8. Sea K un cuerpo de números. El grupo de unidades UK es abeliano
nitamente generado de rango r1 + r2 − 1 y su subgrupo de torsión está formado
por las raíces de la unidad pertenecientes a K .
En consecuencia, existen ζ ∈ K (raíz m-ésima de la unidad, para algún m > 1)
y u1 , ..., ur1 +r2 −1 ∈ UK tales que cada unidad se escribe de modo único en la forma
Qr1 +r2 −1 ji
ς j · i=1
ui , donde 0 ≤ j < m y j1 , ..., jr1 +r2 −1 ∈ Z.
El conjunto {ui : 1 ≤ i ≤ r1 + r2 − 1} es lo que se conoce como un sistema de
unidades fundamentales de K .
Ejemplo 3. Si K = Q(α) es un cuerpo cúbico y α es la única raíz real de su
polinomio mínimo, entonces UK = {±uj : j ∈ Z} y el cálculo de las unidades se
reduce, en este caso, al de una única unidad fundamental.
La proposición que sigue, debida a Artin, es muy útil para los cuerpos cúbicos
del ejemplo anterior:
Proposición 18. Sea K = Q(α) un cuerpo cúbico, donde α es la única raíz real
de su polinomio mínimo. Si u > 1 es una unidad fundamental de UK , entonces
|∆K | < 4u3 + 24.
5.
Aritmética del cuerpo
Q
¢
¡√
3
6
En esta sección K es el cuerpo cúbico real Q (α), donde α =
√
3
6. Comenzamos
viendo que OK es monogénico (esto es, que admite una base entera de potencias)
y calculando su discriminante:
Proposición 19. Se verica que:
i) {1, α, α2 } es una base entera de OK .
ii) ∆K = −22 · 35 .
Demostración. Por la proposición 11 se tiene ∆(α) = ∆(1, α, α2 ) = −Nk/Q (3α2 ) =
−22 · 35 ; por tanto, ii) es consecuencia inmediata de i). Para probar i) usaremos el
primer lema de Kummer (proposición 12) a partir de la Q-base {1, α, α2 } y para
las primos p = 2, 3 :
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
15
Armación1. 1/2, (1 + α)/2, (1 + α2 )/2, (1 + α + α2 )/2 ∈
/ OK . De hecho,
T rK/Q (OK ) ⊆ Z, pero T rK/Q (β) = 3/2 si β es cualquiera de los elementos anteriores.
Armación 2. α/2, α2 /2 ∈
/ OK . De hecho, NK/Q (OK ) ⊆ Z, pero NK/Q (α/2) =
2
3/4 y NK/Q (α /2) = 9/2.
Armación 3. (α + α2 )/2 ∈
/ OK . En caso contrario, es tendría que α2 /2 =
α(α + α2 )/2 − 3 ∈ OK , en contra de lo armado arriba.
Armación 4. Si (s1 + s2 α + s3 α2 )/3 ∈ OK con 0 ≤ s1 , s2 , s3 < 3, entonces
s1 = s2 = s3 = 0. En efecto, se tendría (s31 −18s1 s2 s3 +6s32 +36s33 )/27 = NK/Q ((s1 +
s2 α + s3 α2 )/3) ∈ Z y, sucesivamente, s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0.
¤
Corolario. Cada elemento de OK se escribe de modo único en la forma a+bα+cα2 ,
donde a, b, c ∈ Z.
Demostración. Consecuencia inmediata de la proposición anterior y de la denición
de base entera.
¤
Proposición 20. OK es un dominio de ideales principales.
Demostración. Aplicando el teorema de Minkowski al cuerpo K , con r2 = 1 y
∆K = −22 · 35 , se sigue que cada clase de CK viene representada por un ideal de
norma ≤ 8. Teniendo en cuenta la proposición 16 y el corolario 1, todos los ideales
de OK son principales si lo son los ideales primos de norma 2,3,4,5,7 y 8. Por otra
parte, como ∆(α) = ∆K la proposición 13 es aplicable a todos los primos p ∈ Z.
Así, todo se reduce a probar las cuatro armaciones siguientes:
Armación 1. El único ideal primo de OK cuya norma es una potencia de 2 es
P2 = (α − 2)OK , N (P2 ) = 2 y 2OK = P23 . En efecto, aplicamos la proposición 13
al polinomio mínimo de α, g = x3 − 6, de modo que 2OK = P23 con P2 = (2, α)OK
único ideal de norma 2; como N (α − 2) = −2, se sigue que el ideal (α − 2)OK es
primo de norma 2 (prop. 17) y, por la unicidad, P2 = (α − 2)OK .
Armación 2. OK posee un único ideal primo de norma potencia de 3; además,
dicho ideal es principal. Como en el caso anterior, 3OK = P33 , siendo P3 = (3, α)OK
el único ideal primo de norma 3. Por la unicidad de los ideales primos P2 y
P3 , la descomposición del ideal αOK viene dada por el producto P2 P3 (dado
que N (αOK ) =| NK/Q (α) |= 6) . Entonces, en el grupo de clases CK se tiene
1 = αOK = P2 · P3 = 1.P3 = P3 y, en consecuencia, P3 es principal.
Armación 3. OK posee un único ideal primo de norma 5; además, dicho ideal es
principal y está generado por α − 1. En este caso, la descomposición en irreducibles
de g ∈ F5 [x] es g = (x−1)(x2 +x+1) y por la proposición 13 se tiene 5OK = P51 P52 ,
donde P51 = (5, α − 1)OK y P52 = (5, 1 + α + α2 )OK son únicos con norma 5 y52 ,
respectivamente; como N ((α−1)OK ) =| NK/Q (α−1) |= 5, se sigue necesariamente
que P51 = (α − 1)OK es principal.
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
16
Armación 4. OK contiene exactamente tres ideales primos P71 , P72 y P73 cuya
norma es una potencia de 7; de hecho, los tres son principales y tienen norma 7.
Como g = (x + 1)(x + 2)(x + 4) en F7 [x], se tiene que 7OK = P71 P72 P73 , donde
P71 = (7, α + 1)OK , P72 = (7, α + 2)OK y P73 = (7, α + 4)OK son los únicos
ideales primos distintos con norma potencia de 7(de hecho, con norma 7) . Como
(α + 1)OK ⊆ P71 y N (α + 1) = 7, se sigue que P71 = (α + 1)OK y P71 es principal;
como N (α + 2) = 14, (α + 2)OK ⊆ P72 y P2 = (α − 2)OK es el único ideal primo
de norma 2, se tiene la descomposición (α + 2)OK = P2 P72 y, en el grupò de clases
CK , se verica que P72 = 1 · P72 = P2 · P72 = (α + 2)OK = 1 y P72 también es
principal; nalmente, como P71 P72 P73 , P71 y P72 son principales, también lo será
P73 .
¤
Comentario. En la sección 6 usaremos expresamente las descomposiciones
2OK = P23
5OK = P51 P52 ,
siendo P2 = (α − 2)OK , P51 = (α − 1)OK y P52 = (1 + α + α2 )OK los únicos ideales
primos de OK sobre 2 y 5.
Proposición 21. UK = {±(1 − 6α + 3α2 )i : i ∈ Z}.
Demostración. Por el teorema 8 hay que comprobar que 1 − 6α +3α2 es una unidad
fundamental. En primer lugar, como 2OK = (2−α)3 OK por la proposición anterior,
existe ε ∈ UK tal que 2ε = (2 − α)3 ; así, 1 − 6α + 3α2 = (2 − α)3 /2 = ε ∈ UK . Sea
u > 1 unidad fundamental de UK ; probaremos que ε = u−1 , con lo que ε también
será unidad fundamental. Al ser ε−1 > 1, debe existir un único i ∈ Z, i ≥ 1 tal que
ε−1 = ui . La proposición es consecuencia de las tres armaciones siguientes:
Armación 1. i ≤ 3. En efecto: en caso contrario 327 > ε−1 ≥ u4 > 1466, donde
se ha aplicado el teorema de Artin (proposición 18) y la primera proposición de
esta sección.
Armación 2. i 6= 3. En caso contrario 2/(2 − α)3 = ε−1 = u3 y se seguiría que
√
√
3
2 ∈ K = Q( 3 6).
¡
¢2
Armación 3. i 6= 2. En caso contrario,por la proposición @@ ε = u−1 =
(a + bα + cα2 )2 para algunos enteros a, b, c ; así,
1 = a2 + 12bc
−6 = 2ab + 6c2
3 = 2ac + b2
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
17
Si sumamos las tres ecuaciones y se reduce módulo 5, se obtiene (a + b + c)2 ≡
3 (mod 5), lo que es imposible.
¤
Completamos esta sección con la obtención de los ideales primos del cuerpo
cúbico K . El siguiente resultado es básico:
Lema. (Conjetura de Euler) Sea p ∈ Z primo tal que p ≡ 1 (mod 3). La congruencia x3 ≡ 6 (mod p) tiene solución entera si y sólo si p = A2 + 3B 2 para ciertos
enteros A y B tales que 9 | B ó 9 | 2B + A ó 9 | 2B − A.
Demostración. Sea p = ππ , π = a + bω primo primario, a = 3m − 1, b = 3n
(subsección 2.2). Por la denición del símbolo cúbico ( 2. )3 y la Ley de Reciprocidad
Cúbica, se tiene que π − ( π2 )3 = π − ( π2 )3 ≡ 0 (mod 2); así, a + bω − ( π2 )3 = 2(c + dω)
para ciertos c, d ∈ Z. Por tanto:
(1) ( π2 )3 = 1 si y sólo si a ≡ 1 (mod 2) y b ≡ 0 (mod 2)
(2) ( π2 )3 = ω si y sólo si a ≡ 0 (mod 2) y b ≡ 1 (mod 2)
(3) ( π2 )3 = ω 2 si y sólo si a ≡ 1 (mod 2) y b ≡ 1 (mod 2).
Por otra parte, usando las leyes suplementarias y la factorización (en el anillo de
Eisentein) 3 = −ω 2 λ2 , se obtiene la relación ( π3 )3 = ω 2n , por lo que:
(1)' ( π3 )3 = 1 si y sólo si n ≡ 0 (mod 3) si y sólo si b ≡ 0 (mod 9)
(2)' ( π3 )3 = ω 2 si y sólo si n ≡ 1 (mod 3) si y sólo si b ≡ 3 (mod 9)
(3)' ( π3 )3 = ω si y sólo si n ≡ 2 (mod 3) si y sólo si b ≡ 6 (mod 9).
Por la proposición 8, la congruencia x3 ≡ 6 (mod p) tiene solución entera si y sólo
si ( π6 )3 = 1. Así, la Conjetura de Euler se sigue de las tres siguientes armaciones:
Armación 1. ( π2 )3 = ( π3 )3 = 1 si y sólo si p = A2 + 3B 2 para ciertos enteros A
y B tales que 9 | B . ⇒ : Por (1) existe un entero B tal que b = 2B ; por (1)' se
tiene que 9 | B ; entonces p = N (π) = [(2a − b)2 + 3b2 ]/4 = (a − B)2 + 3B 2 y se sigue
la implicación directa tomando A = a − B . ⇐ : Recíprocamente, si p = A2 + 3B 2
con 9 | B , entonces p = (A + B + 2Bω)(A − B − 2Bω); denimos π = A + B + 2Bω ,
que será primo con a = A + B y b = 2B ; se tiene b ≡ 0 (mod 3) a ≡ A (mod 3) y se
puede elegir A ≡ 2 (mod 3) porque p = (−A)2 + 3B 2 ; así que π es primo primario
sobre p, b ≡ 0 (mod 9), b ≡ 0 (mod 2) y a ≡ A + B ≡ A2 + 3B 2 = p ≡ 1 (mod 2) y
, aplicando (1) y (1)' se sigue que ( π2 )3 = ( π3 )3 = 1.
Armación 2. ( π2 )3 = ω y ( π3 )3 = ω 2 si y sólo si p = A2 + 3B 2 para ciertos
enteros A y B tales que 9 | 2B + A . ” ⇒ ”: Sea π = a + bω primo primario
vericando las condiciones modulares de (2) y (2)'; consideremos el primo asociado
π ? = −ω 2 π = a − b + aω ; por (2) existe un entero B tal que a = 2B , luego
p = N (π ? ) = [(2(a − b) − a)2 + 3a2 ]/4 = ((a − b) − B)2 + 3B 2 = (B − b)2 + 3B 2 ;
tomando A = B − b se tiene la representación buscada de p, dado que 2B + A =
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
18
3B−b ≡ 3B−3 ≡ 3(B−1) ≡ 0 (mod 9), donde se ha usado (2)' y que B ≡ 1 (mod 3)
porque π es primario. ” ⇐ ”: Si p = A2 + 3B 2 , entonces 3 - A; como 9 | 2B + A, se
sigue que B ≡ −5A (mod 9), B ≡ A (mod 3); al ser p = (−A)2 +3B 2 , puede elegirse
A ≡ B ≡ 1 (mod 3); ahora, p = (−ω)(A+B +2Bω)(−ω 2 )(A−B −2Bω) y tomamos
π = (−ω)(A + B + 2Bω) = 2B + (B − A)ω . Así, razonando como en la armación
anterior, π es primo primario sobre p, b = B − A ≡ 3B ≡ 3 (mod 9), b ≡ 1 (mod 2)
y a = 2B ≡ 0 (mod 2) y , aplicando (2) y (2)' se sigue que ( π2 )3 = ω, ( π3 )3 = ω 2 .
Armación 3. ( π2 )3 = ω 2 y ( π3 )3 = ω si y sólo si p = A2 + 3B 2 para ciertos
enteros A y B tales que 9 | 2B − A . ⇒ : Sea π = a + bω primo primario
vericando las condiciones modulares de (3) y (3)'; consideremos el primo asociado
π ? = −ωπ = b + (b − a)ω ; por (3) existe un entero B tal que b − a = 2B , luego
p = N (π ? ) = [(2b − (b − a))2 + 3(b − a)2 ]/4 = (b − B)2 + 3B 2 ; tomando A = b − B
se tiene la representación buscada de p, dado que 2B − A = 3B − b ≡ 3B − 6 ≡
3(B − 2) ≡ 0 (mod 9), donde se ha usado (3)' y que B ≡ 2 (mod 3) porque π
es primario. ⇐ : Si p = A2 + 3B 2 , entonces 3 - A; como 9 | 2B − A, se sigue
que B ≡ 5A (mod 9), B ≡ 2A (mod 3); al ser p = (−A)2 + 3B 2 , puede elegirse
A ≡ 1 (mod 3) y B ≡ 2 (mod 3); ahora, p = (−ω 2 )(A+B+2Bω)(−ω)(A−B−2Bω)
y tomamos π = (−ω 2 )(A + B + 2Bω) = A − B + (A + B)ω . Así, razonando como en
la armación anterior, π es primo primario sobre p, b = A + B ≡ 3B ≡ 6 (mod 9),
b ≡ 1 (mod 2) y a = A − B ≡ 1 (mod 2) y , aplicando (3) y (3)' se sigue que
( π2 )3 = ω 2 , ( π3 )3 = ω .
¤
La Conjetura de Euler, junto a otras relativas al carácter cúbico o bicuadrático
de 3, 5, 6, 7, 10, aparecen en los párrafos 407 a 410 de [8].
Proposición 22. Sea p ∈ Z primo. Se verica que :
i) 2OK = P23 , siendo P2 primo, N (P2 ) = 2;
ii) 3OK = P33 , siendo P3 primo, N (P3 ) = 3;
iii) si p ≡ 2 (mod 3) y p 6= 2, entonces pOK = Pp1 Pp2 , siendo Ppi primo,
N (Ppi ) = pi , i = 1, 2;
iv) si p ≡ 1 (mod 3) , entonces pOK = Pp1 Pp2 Pp3 (siendo Ppi primos distintos
entre sí y N (Ppi ) = p, i = 1, 2, 3) si y sólo si p = A2 + 3B 2 para ciertos enteros A
y B tales que 9 | B ó 9 | 2B + A ó 9 | 2B − A;
v) pOK es primo y N (pOK ) = p3 en cualquier otro caso.
Demostración. Para obtener la descomposición del ideal pOK puede aplicarse el
segundo lema de Kummer, para cualquier primo p con g = x3 − 6 (proposiciones
19 y 13). Los casos i) y ii) son triviales, porque g = x3 ; el caso iii) se sigue tras el
comentario que sigue a la proposición 8; como g ∈ Fp tiene a lo más una raíz en Fp
cuando p ≡ 1 (mod 3), iv) y v) son consecuencia directa de la anterior Conjetura
de Euler.
¤
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
6.
Análisis global de la ecuación de Selmer
19
3x3 + 4y 3 + 5z 3 = 0
En esta sección, como en la anterior, K es el cuerpo cúbico real Q (α), donde
√
α = 3 6. Para probar que la ecuación de Selmer sólo tiene la solución racional
x = y = z = 0, empezaremos por demostrar la siguiente propiedad:
Lema. Sea p ∈ Z un primo tal que pOK = P1 P2 P3 , para ciertos ideales primos
distintos P1 , P2 , P3 de OK . Si β ∈ OK es tal que trK/Q (β) = 0 y β ∈ P1 P2 , entonces
p | β.
Demostración. Sea F = K(ω) el cierre normal de K sobre Q, de modo que [F :
Q] = 6 y las subextensiones F/K y F/Q(ω) son de Galois y de dimensión 3 y 2,
respectivamente.
Armación: pOF = P11 P12 P21 P22 P31 P32 , para ciertos ideales primos distintos
Pij de OF tales que Pi OF = Pi1 Pi2 , i = 1, 2, 3. En efecto, sea pOF = Qe1 · · · Qer la
descomposición del ideal extendido en OF , de modo que ref = e, de acuerdo con
el Teorema 6. En la torre F/K/Q, se tiene pOF = (P1 OF )(P2 OF )(P3 OF ), luego
3 | r; por otra parte, por la proposición 22 debe ser p ≡ 1 (mod 3), pues en caso
contrario pOK no descompondría completamente; aplicando la proposición 3 a la
torre F/Q(ω)/Q, se tiene pOF = (πOF )(πOF ), donde πZ[ω] y πZ[ω] son ideales
primos distintos, luego 2 | r; así, r = 6, e = f = 1 y se sigue trivialmente la
armación.
El grupo de Galois de la extensión F/Q es isomorfo a D3 y está generado por
los automorsmos ρ y τ , denidos por ρ(α) = ωα, ρ(ω) = ω , τ (α) = α, τ (ω) = ω 2 ;
además, Gal(F/K) =< τ > y Gal(F/Q(ω) =< ρ >. Aplicando el teorema 6 al
ideal Pi OF = Pi1 Pi2 se sigue que Pi1 = τ (Pi1 ) = Pi2 ; como πOF = τ (πOF ),
se sigue -teniendo en cuenta la armación - que πOF = P11 P21 P31 (y πOF =
P12 P22 P32 ). Aplicando ahora el teorema 6 al ideal πOF se tendrá que ρ(P11 ) = P21 ,
ρ2 (P11 ) = P31 ó bien ρ(P11 ) = P31 , ρ2 (P11 ) = P21 . En cualquier caso, como β ∈ Pij
para i, j = 1, 2 por la hipótesis del lema, se sigue que ρ(β), ρ2 (β) ∈ P31 . Como
0 = trK/Q (β) = β + ρ(β) + ρ2 (β), se sigue que β = −ρ(β) − ρ2 (β) ∈ P31 ∩ K = P3
y se sigue el lema.
¤
Estamos ya en condiciones de probar el resultado central de este trabajo:
Teorema 9. Si x, y, z ∈ Q satisfacen 3x3 +4y 3 +5z 3 = 0, entonces x = y = z = 0.
Demostración. Obviamente, basta probar que los únicos enteros x, y, z que satisfacen la ecuación
x3 + 6y 3 = 10z 3
son x = y = z = 0. En caso contrario, existen enteros no todos nulos x, y, z
vericando dicha ecuación, que pueden elegirse primos entre sí dos a dos y z > 0.
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
20
Sea θ = x + yα ∈ OK , donde K es el cuerpo cúbico real Q (α). La ecuación anterior
se puede escribir como la ecuación de norma
NK/Q (θ) = 10z 3 .
Consideremos la descomposición del ideal θOK en producto de ideales primos.
Armación 1. θOK = (α − 2)I2 , donde I2 es un ideal de OK tal que I2 - 2. En
efecto, como (α − 2)OK es el único ideal primo de OK cuya norma es potencia de
2, puede escribirse θOK = (α − 2)a I2 , a ≥ 0 y I2 - 2. Tomando norma de ideales,
¯
¯
2a N (I2 ) = N (θOK ) = ¯NK/Q (θ)¯ = 10z 3 ,
,de donde se sigue que a = 1 + 3λ2 , supuesto que 2λ2 k z . Si λ2 > 0, entonces se
tendría 2OK = (α − 2)3 OK | θOK y, aplicando la proposición 19, existirían enteros
a, b, c tales que x + yα = θ = 2(a + bα + cα2 ), en contradicción con el hecho de que
x e y son primos entre sí.
Armación 2. θOK = (α − 1)1+3c I5 ó θOK = (1 + α + α2 )2+3c I5 , donde I5 es un
ideal de OK tal que I5 - 5 y c ≥ 0. En efecto, como (α − 1)OK y (1 + α + α2 )OK son
los únicos ideales primos de OK cuya norma es potencia de 5, se tendrá θOK =
(α − 1)a (1 + α + α2 )b I5 , a, b ≥ 0 y I5 - 5. Razonando como en la armación 1 se
llega a que a + 2b = 1 + 3λ5 , donde 5λ5 k z y se ha usado que N ((α − 1)OK ) = 5
y N ((1 + α + α2 )OK ) = 52 , por la proposición 20. Si b = 0, se obtiene θOK =
(α − 1)1+3c I5 , con c = λ5 ; si a = 0, se obtiene θOK = (1 + α + α2 )2+3c I5 , con
c = (λ5 − 1)/2; el caso a, b > 0 es imposible, pues en caso contrario se tendría
5OK = (α − 1)(1 + α + α2 )OK | θOK y se llegaría a una contradicción análoga a la
de la armación 1.
Armación 3. Para cada primo p 6= 2, 5 existe un ideal primo P de OK tal que
θOK = P cp Ip , con cp ≡ 0 (mod 3) e Ip ideal de OK tal que Ip - p. En efecto, si
pOK = P es un ideal primo, entonces la armación se cumple con cp = 0, pues en
caso contrario se llegaría (de modo similar a la armación 1) a que x + yα = θ =
2(a+bα+cα2 ), para ciertos enteros a, b, c; si pOK = P1 P2 , con N (Pi ) = pi , i = 1, 2,
entonces a lo más uno de estos dos ideales primos dividen al ideal extendido pOK ,
y la armación se sigue de la relación pλp = pi.cp . Si pOK = P1 P2 P3 , entonces a lo
más un ideal primo Pi divide a θOK , pues si θ ∈ P1 P2 , entonces β = αθ satisface
las condiciones del lema previo al enunciado de este teorema y, en consecuencia,
θ ∈ P3 (porque α ∈
/ P3 dado que N (α) = 6 y p 6= 2, 3); así, llegaríamos de nuevo a
la contradicción x + yα = θ = p(a + bα + cα2 ).
Armación 4. θOK = (α − 1)I 3 ó θOK = (1 + α + α2 )2 I 3 , donde I es un ideal
de OK . Consecuencia inmediata de las armaciones anteriores.
ALGUNOS TEMAS DE TEORÍA DE NÚMEROS
21
Dado que el anillo de enteros OK es un dominio de ideales principales con base
entera {1, α, α2 } y grupo de unidades {±(1 − 6α + 3α2 )i : i ∈ Z}, llegamos a que
existen enteros a, b, c no todos nulos vericando una de las condiciones siguientes:
θ = (1 − 6α + 3α2 )i (α − 2)(α − 1)(a + bα + cα2 )3
θ = (1 − 6α + 3α2 )i (α − 2)(1 + α + α2 )2 (a + bα + cα2 )3
para i = 0, 1, 2. El segundo caso es imposible, porque se tendría
−x + (x − y)α + yα2 = (α − 1)θ ∈ 5OK
y, por la proposición 19, se concluiría que 5 | x, y .
El primer caso tam bién es imposible, porque teniendo en cuenta la relación
1 − 6α + 3α2 = (2 − α)3 /2, obtendríamos
2i θ = (α − 2)(α − 1)(a + bα + cα2 )3
esto es,
2i x = 2a3 + 18a2 b − 54a2 c − 54ab2 + 108ac2 + 72abc + 12b3 + 108b2 c − 324bc2 + 72c3
2i y = −3a3 + 6a2 b + 18a2 c + 18ab2 + 36ac2 − 108abc − 18b3 + 36b2 c + 108bc2 − 108c3
0 = a3 − 9a2 b + 6a2 c + 6ab2 − 54ac2 + 36abc + 6b3 − 54b2 c + 36bc2 + 36c3
de donde se seguiría que 3 | x, y .
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Referencias
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22
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