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Contenido
Damping
1dgl (Viscoso)
Libre
Vibraciones Mecánicas
Introducción a la teorı́a de las vibraciones mecánicas
Profesor
Dr. Ing. Martı́n Sánchez
Jefe de Trabajos Prácticos
Ing. Gustavo Rosenthal
Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional La Plata
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
24 de Abril 2013
Casos
Contenido
Damping
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1 Amortiguamiento viscoso
Definición
Desarrollo analı́tico
Ejemplo de amortiguación viscosa
2 Sistemas de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso
Definición: 1gdl (Recordatorio)
Ecuación de movimiento para el sistema con amortiguamiento
3 Respuesta libre de los sistemas de 1gdl (Viscoso)
Solución de la ecuación diferencial
Amortiguamiento crı́tico
4 Distintos casos
Sistema sobre-amortiguado - (ζ > 1)
Sistema crı́ticamente amortiguado - (ζ = 1)
Sistema sub-amortiguado - (ζ < 1)
Casos
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Definición del amortiguamiento viscoso
La amortiguación viscosa es el mecanismo de amortiguación
más comúnmente utilizado en el análisis de vibración.
Casos
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Definición del amortiguamiento viscoso
La amortiguación viscosa es el mecanismo de amortiguación
más comúnmente utilizado en el análisis de vibración.
Cuando los sistemas vibran en un medio fluido (aire, gas,
agua, o aceite) la resistencia ofrecida por el fluido hace
que la energı́a se disipe.
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Definición del amortiguamiento viscoso
La amortiguación viscosa es el mecanismo de amortiguación
más comúnmente utilizado en el análisis de vibración.
Cuando los sistemas vibran en un medio fluido (aire, gas,
agua, o aceite) la resistencia ofrecida por el fluido hace
que la energı́a se disipe.
La fuerza de amortiguación es proporcional a la velocidad
del cuerpo vibrante.
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Libre
Definición del amortiguamiento viscoso
La amortiguación viscosa es el mecanismo de amortiguación
más comúnmente utilizado en el análisis de vibración.
Cuando los sistemas vibran en un medio fluido (aire, gas,
agua, o aceite) la resistencia ofrecida por el fluido hace
que la energı́a se disipe.
La fuerza de amortiguación es proporcional a la velocidad
del cuerpo vibrante.
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Desarrollo analı́tico
Amortiguamiento viscoso en placas paralelas
Una placa fija y la otra móvil con velocidad v
Las velocidades del fluido intermedias varı́an linealmente
(entre 0 y v )
De acuerdo a la segunda ley de Newton de viscosidad:
du
τ =µ
dy
donde du/dy = v /h es el gradiente de velocidades. La fuerza de
corte F será:
µAv
F = τA =
= cv
h
donde la constante de amortiguamiento viscoso será:
c=
µA
h
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Amortiguamiento en cojinetes
La velocidad tangencial del fluido en contacto es v = Rω
Asumiendo variación lineal =⇒ v (r ) = rRω/d
La tensión de corte es τ = µRω/d
La fuerza torsional en el eje será:
T = (τ A)R =
2πµR 3 lω
d
con A = 2πRl
Ası́ la constante de
amortiguamiento será:
ct =
T
2πµR 3 l
=
ω
d
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Recordar: Sistemas de un grado de libertad (SDoF)
¿Que son las vibraciones?
Todo movimiento que se
repite después de un intervalo
de tiempo.
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Recordar: Sistemas de un grado de libertad (SDoF)
¿Que son las vibraciones?
Todo movimiento que se
repite después de un intervalo
de tiempo.
¿Que son los GdL?
Mı́nimo de coordenadas
independientes para
determinar las posiciones de
todas las partes.
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Ecuación de movimiento: Newton
La ecuación diferencial ordinaria de 2◦ orden será:
mẍ(t) + c ẋ(t) + kx(t) = f (t)
con condiciones iniciales:
x(t=0) = X0
ẋ(t=0) = V0
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Respuesta libre con amortiguamiento (i)
La respuesta libre se basa en:
mẍ(t) + c ẋ(t) + kx(t) = 0
(1)
cuya solución es de la forma:
x(t) = Ce st
(2)
Introduciendo 2 en 1 ⇒ Ecuación Caracterı́stica
ms 2 + cs + k = 0
con:
s1,2 =
−c ±
√
c 2 − 4mk
c
=−
±
2m
2m
r
c 2 k
−
2m
m
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Respuesta libre con amortiguamiento (ii)
La solución será:
x(t) = C1 e s1 t + C2 e s2 t
Amortiguamiento crı́tico
Se define como cc al valor de c para:
c 2 k
c
−
=0
2m
m
por lo tanto
r
cc = 2m
k
m
Factor de amortiguamiento =⇒ ζ = c/cc
La solución será:
x(t) = C1 e
√
−ζ+ ζ 2 −1 ω0
+ C2 e
√
−ζ−
ζ 2 −1 ω0
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Sistema sobre-amortiguado - (ζ > 1)
Con ζ > 1 se obtiene que
p
ζ2 − 1 > 0
Las raı́ces s1 y s2 son reales y distintas:
p
s1 =
−ζ + ζ 2 − 1 ω0 < 0
p
s2 =
−ζ − ζ 2 − 1 ω0 < 0
con s2 << s1 .
La solución será:
x(t) = C1 e
√
−ζ+ 1−ζ 2 ω0 t
+ C2 e
√
−ζ−
1−ζ 2 ω0 t
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Sistema crı́ticamente amortiguado - (ζ = 1)
Con ζ = 1 ambas raı́ces s1 y s2 son iguales y reales.
cc
= −ω0
s1 = s2 = −
2m
La solución será:
x(t) = (C1 + C2 t) e −ω0 t
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Sistema sub-amortiguado - (ζ < 1)
Para ζ < 1 la condición ζ 2 − 1 es negativa y las raı́ces serán:
s1
s2
p
2
=
−ζ + i 1 − ζ ω0
p
=
−ζ − i 1 − ζ 2 ω0
La solución será:
x(t) = C1 e
x(t) = e
√
−ζ+i 1−ζ 2 ω0 t
−ζω0 t
C1 e
+ C2 e
√
i 1−ζ 2 ω0 t
−ζ−i
+ C2 e
√
1−ζ 2 ω0 t
√
−i 1−ζ 2 ω0 t
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Sistema sub-amortiguado - (ζ < 1)
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