Tema 2

2. ESPACIOS DE BANACH. ESPACIOS CLÁSICOS
1. DEFINICIÓN, PROPIEDADES Y EJEMPLOS
Definición. Sea X un espacio vectorial sobre R o C, una norma sobre X es una aplicación k · k: X −→ R
tal que
kxk ≥ 0, para todo x ∈ X;
kxk = 0 si y sólo si x = 0;
kx + yk ≤ kxk + kyk, para todo x, y ∈ X;
kαxk = |α|kxk, para x ∈ X y α ∈ R o C.
Un espacio vectorial dotado de una norma es un espacio normado. Definiendo d(x, y) = kx − yk se obtiene
una distancia en X. Un espacio normado que es completo para la distancia inducida por la norma es un
espacio de Banach.
P
Propiedad. Un espacio normado es de Banach si y sólo si toda serie absolutamente convergente ( kxn k <
∞) es convergente.
Ejemplos.
1. `np es Rn con kxkp = (
Pn
1
|xi |p )1/p , si 1 ≤ p < ∞.
2. `p de sucesiones escalares de potencia p–ésima sumable, si 1 ≤ p < ∞, con
k(an )kp =
∞
³X
|an |p
´1/p
.
n=1
En los ejemplos anteriores son de importancia la desigualdad de Hölder
∞
∞
∞
¯X
¯ ³X
´1/p ³ X
´ 0
0 1/p
¯
¯
p
xi yi ¯ ≤
|xi |
|yi |p
,
¯
n=1
n=1
n=1
1
1
+
= 1,
p p0
y la desigualdad de Minkowski
∞
∞
∞
¯X
¯ ³X
´1/p ³ X
´1/p
¯
¯
|xi + yi |p ¯ ≤
|xi |p
+
|yi |p
.
¯
n=1
n=1
n=1
3. `n∞ es Rn con kxk∞ = max{|xi | : 1 ≤ i ≤ n}.
4. Los espacios de sucesiones de escalares acotadas, `∞ , y de sucesiones que tienden a cero, c0 , para
k(an )k∞ = sup |an |.
n
5. Para Ω un conjunto arbitrario, B(Ω) = { f : Ω −→ R : f acotada} para la norma uniforme
kf k∞ = sup{|f (x)| : x ∈ Ω}.
6. Para Ω un espacio topológico, Cb (Ω) = { f : Ω −→ R : f continua y acotada} para kf k∞ .
7. C0 (Rn ) el espacio de las funciones continuas f : Rn −→ R que se anulan en el infinito, es decir,
limkxk→∞ f (x) = 0, considerando kf k∞ .
8. Para K un compacto Hausdorff, C(K) = { f : K −→ R : f continua} para kf k∞ .
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Tema 2: Espacios de Banach. Espacios clásicos
9. Lp (Ω, Σ, µ) de (clases de) funciones f : Ω −→ R medibles de potencia p–ésima integrable, con
³Z
kf kp =
´1/p
|f |p dµ
,
Ω
donde 1 ≤ p < +∞. Existen las correspondientes desigualdades de Hölder y Minkowski.
10. L∞ (Ω, Σ, µ) de (clases de) funciones f : Ω −→ R medibles y µ–esencialmente acotadas, es decir, existe
M > 0 tal que |f (x)| ≤ M e.c.t. respecto de µ, con kf k∞ el supremo esencial de f
kf k∞ = inf{M > 0 : |f (x)| ≤ M e.c.t.–µ}.
Propiedades.
1.
2.
3.
4.
La suma de vectores y el producto de un vector por un escalar son aplicaciones continuas.
Las traslaciones y las homotecias (no nulas) son homeomorfismos de X en X.
La norma es una aplicación continua.
La clausura de un subespacio vectorial es un subespacio vectorial.
2. ESPACIOS NORMADOS DE DIMENSIÓN FINITA
Nota. Al igual que ocurría con los espacios prehilbertianos, para un operador lineal entre dos espacios
normados T : X1 −→ X2 son equivalentes:
a) T es continuo;
b) T es continuo en x = 0;
c) T es acotado.
El espacio L(X1 , X2 ) de los operadores lineales y continuos de un espacio normado X1 en un espacio de
Banach X2 es un espacio de Banach para la norma de operadores
kT k = sup{kT xk : kxk ≤ 1}.
Definición. Un isomorfismo entre dos espacios normados es una aplicación lineal biyectiva continua con
inversa continua; es decir, una biyección tal que existen constantes C, c > 0 tales que
c · kxk ≤ kT xk ≤ C · kxk,
para todo x.
Dos normas sobre X son equivalentes si generan la misma topologı́a. Esto ocurre si y sólo si existen constantes
C, c > 0 tales que
c · kxk1 ≤ kxk2 ≤ C · kxk1 para todo x ∈ X.
Teorema. Dos espacios normados de la misma dimensión finita son isomorfos.
Consecuencias.
1. Todas las normas en un espacio de dimensión finita son equivalentes.
2. Todo espacio de dimensión finita es de Banach.
3. Todo subespacio de dimensión finita de un espacio normado es cerrado.
Teorema. (Lema de Riesz)
Sea X un espacio normado y M un subespacio vectorial propio cerrado. Dado 0 < θ < 1 existe xθ de norma
uno tal que d(xθ , M ) ≥ θ.
Teorema. Un espacio normado es de dimensión finita si y sólo si la bola unidad es compacta.
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Tema 2: Espacios de Banach. Espacios clásicos
3. DUALIDAD
Definición. Sea X un espacio normado sobre R o C, un funcional lineal es una aplicación lineal T : X −→ R
(o C). Son equivalentes:
a) f es continuo;
b) f es continuo en x = 0;
c) f es acotado.
El espacio vectorial de los funcionales lineales y continuos sobre un espacio normado X, es el dual topológico
de X denotado por X ∗ . La norma de un funcional lineal continuo es kf k = sup{|f (x)| : kxk ≤ 1}. X ∗ es un
espacio de Banach.
Nota.
1. En un espacio normado de dimensión finita todo funcional lineal es continuo.
2. Todo espacio vectorial X tiene un conjunto de vectores linealmente independientes (xi )i∈I tal que todo
x ∈ X se puede expresar como combinación lineal finita de vectores de (xi )i∈I (una base de Hamel ).
3. Si X tiene dimensión infinita, existen funcionales lineales no continuos.
Ejemplos.
1. c∗0 = `1 .
2. Si 1 ≤ p < +∞, entonces (`p )∗ = `q , donde 1/p + 1/q = 1.
3. Si 1 ≤ p < +∞ y µ es una medida σ–finita, entonces Lp (µ)∗ = Lq (µ), donde p y q son exponentes
conjugados, 1/p + 1/q = 1.
4. C[0, 1]∗ es el espacio de las medidas reales definidas sobre los conjuntos de Borel de [0, 1], siendo la norma
la variación total de la medida.
Definición. En un espacio vectorial, un hiperplano es un subespacio vectorial propio maximal, es decir,
existe x0 ∈ X \ M tal que el s.e.v. generado por M ∪ {x0 } es X.
Propiedades.
1. Un subespacio vectorial propio es un hiperplano si y sólo si es el núcleo de un funcional lineal no nulo.
2. En un espacio normado los hiperplanos son cerrados o densos.
3. En un espacio normado un funcional lineal es continuo si y sólo si su núcleo es un hiperplano cerrado.
4. BASES DE SCHAUDER
Definición. Una base de Schauder en un espacio de Banach X es una sucesión (xn ) en X tal que todo
elemento x ∈ X se puede expresar de forma única como
x=
∞
X
an xn ,
donde an ∈ R.
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Notas.
1. En un espacio de Hilbert separable una base ortonormal es base de Schauder.
2. c0 y `p con 1 ≤ p < +∞ tienen base de Schauder.
3. Todo espacio con base de Schauder es separable.
4. `∞ no tiene base de Schauder.
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