MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Licenciatura en Estadı́stica R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Curso 2011/2012 R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto de elementos sobre el cual están definidas las operaciones suma “+” de dos elementos x, y de V y multiplicación “·” de un escalar (número real) α por un elemento de V . V es un espacio vectorial si 1 ∀x, y ∈ V , el vector suma, w = x + y ∈ V y se cumple que: 1 2 3 4 2 x +y =y +x (x + y ) + z = x + (y + z) Existe un elemento “nulo” de V , tal que x + 0 = 0 + x = x Cualquiera sea el vector x de V , existe el elemento (−x) “opuesto” a x, tal que x + (−x) = (−x) + x = 0. ∀x ∈ V , el vector w = α · x ∈ V y se cumple que: 1 2 3 4 α · (x + y ) = α · x + α · y (α + β) · x = α · x + β · x α · (β · x) = (αβ) · x 1·x =x R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Ejemplos de espacios vectoriales 1 2 3 El conjunto de los vectores de Rn cuando la suma de dos vectores y la multiplicación por un escalar es la estándard. El conjunto Rm×n de las matrices m × n cuando la suma de dos matrices y la multiplicación por un escalar es la estándard. El conjunto Pn de los polinomios de grado a lo sumo n Pn = {pn (t) = a0 +a1 t+· · ·+an t n , a0 , ..., an números reales.}, donde definimos p(t) = a0 + a1 t + · · · + an t n , q(x) = b0 + b1 t + · · · + bn t n , (p + q)(t) ≡ p(t) + q(t) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )t + · · · + (an + bn )t n , (α · p)(t) ≡ α p(t) = (αa0 ) + (αa1 )t + · · · + (αan )t n . 4 Además, pn = 0, si y sólo si a0 = a1 = · · · = an = 0. El conjunto C[a,b] de las funciones continuas en [a, b] R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Subespacios vectoriales Definición Sea V un espacio vectorial. Diremos que un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si H es a su vez un espacio vectorial respecto a las mismas operaciones suma “+” y multiplicación “·” que V . Ejemplos. 1 Dado un espacio vectorial V , son subespacios vectoriales “triviales” los subespacios H = {0} (conjunto que tiene como único elemento, el nulo) y H = V (el mismo espacio vectorial). 2 Para V = C[a,b] , H = Pn es un subespacio vectorial, para cualquier n = 0, 1, 2, ... entero. 3 Para V = Pn , H = Pk es un subespacio vectorial para todo k < n. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Subespacios vectoriales Teorema Un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si y sólo si se cumple que Para todos x e y , vectores de H y α, β ∈ R el vector w = αx + βy también es un vector de H. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Subespacios vectoriales Teorema Un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si y sólo si se cumple que Para todos x e y , vectores de H y α, β ∈ R el vector w = αx + βy también es un vector de H. Al vector v = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp , x1 , . . . , xp ∈ R, se le denomina combinación lineal de los vectores v1 , v2 , ..., vp . Sea span (v1 , v2 , ..., vp ) el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores v1 , v2 , ..., vp ∈ V R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Subespacios vectoriales Teorema Un subconjunto H de elementos de V es un subespacio vectorial de V si y sólo si se cumple que Para todos x e y , vectores de H y α, β ∈ R el vector w = αx + βy también es un vector de H. Al vector v = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp , x1 , . . . , xp ∈ R, se le denomina combinación lineal de los vectores v1 , v2 , ..., vp . Sea span (v1 , v2 , ..., vp ) el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores v1 , v2 , ..., vp ∈ V Teorema span (v1 , v2 , ..., vp ) es un subespacio vectorial de V . Dicho subespacio vectorial comúnmente se denomina subespacio generado por los vectores v1 , v2 , ..., vp . R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Conjuntos linealmente independientes Definición Un conjunto de vectores v1 , v2 , ..., vp de un espacio vectorial V se denomina linealmente independiente si la ecuación vectorial x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0, x1 , x2 , · · · , xp ∈ R tiene como única solución la trivial x1 = · · · = xp = 0. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Conjuntos linealmente independientes Definición Un conjunto de vectores v1 , v2 , ..., vp de un espacio vectorial V se denomina linealmente independiente si la ecuación vectorial x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0, x1 , x2 , · · · , xp ∈ R tiene como única solución la trivial x1 = · · · = xp = 0. Definición Un conjunto de vectores v1 , v2 , ..., vp se denomina linealmente dependiente si existen x1 , x2 , · · · , xp ∈ R no todos iguales a cero tales que se verifique la ecuación vectorial x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Importancias de los vectores li: Bases Definición Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V . El conjunto de vectores B = {b1 , b2 , ..., bp } de V es una base de H si i) B es un conjunto de vectores linealmente independientes ii) H = span (b1 , b2 , ..., bp ), o sea, B genera a todo H. En particular si H coincide con V , entonces B es una base de todo el espacio vectorial V . R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Importancias de los vectores li: Bases Definición Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V . El conjunto de vectores B = {b1 , b2 , ..., bp } de V es una base de H si i) B es un conjunto de vectores linealmente independientes ii) H = span (b1 , b2 , ..., bp ), o sea, B genera a todo H. En particular si H coincide con V , entonces B es una base de todo el espacio vectorial V . Ejemplo 1: Las n columnas a1 , ..., an de una matriz invertible n × n, son li y además Rn = span (a1 , ..., an ). Por tanto B = a1 , ..., an es una base de Rn . Si A = In , es la matriz identidad n × n, las columnas e1 , e2 , ..., en de la misma son la base canónica de Rn . R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Importancias de los vectores li: Bases Definición Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V . El conjunto de vectores B = {b1 , b2 , ..., bp } de V es una base de H si i) B es un conjunto de vectores linealmente independientes ii) H = span (b1 , b2 , ..., bp ), o sea, B genera a todo H. En particular si H coincide con V , entonces B es una base de todo el espacio vectorial V . Ejemplo 1: Las n columnas a1 , ..., an de una matriz invertible n × n, son li y además Rn = span (a1 , ..., an ). Por tanto B = a1 , ..., an es una base de Rn . Si A = In , es la matriz identidad n × n, las columnas e1 , e2 , ..., en de la misma son la base canónica de Rn . Ejemplo 2: El conjunto de vectores S = {1, t, t 2 , ..., t n } ∈ Pn es li, además span (1, t, t 2 , ..., t n ) = Pn . Luego S es una base de Pn (canónica). R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Bases y dimensión del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con más de n vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V . R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Bases y dimensión del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con más de n vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V . El menor número de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intrı́nseca de dicho espacio y se denomina dimensión del espacio vectorial. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Bases y dimensión del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con más de n vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V . El menor número de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intrı́nseca de dicho espacio y se denomina dimensión del espacio vectorial. IUn espacio vectorial V es de dimensión finita n si V está generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Bases y dimensión del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con más de n vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V . El menor número de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intrı́nseca de dicho espacio y se denomina dimensión del espacio vectorial. IUn espacio vectorial V es de dimensión finita n si V está generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n. IEl espacio nulo {0} tiene dimensión 0. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Bases y dimensión del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con más de n vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V . El menor número de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intrı́nseca de dicho espacio y se denomina dimensión del espacio vectorial. IUn espacio vectorial V es de dimensión finita n si V está generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n. IEl espacio nulo {0} tiene dimensión 0. ISi V no puede ser generado por una base finita, entonces V es de dimensión infinita: dim V = ∞. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Bases y dimensión del espacio Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , b2 , ..., bn }, entonces cualquier conjunto con más de n vectores de V es linealmente dependiente. Además, si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores B = {b1 , ..., bn }, entonces cualquier otra base de V tendrá que tener n vectores de V . El menor número de vectores linealmente independientes que generan un espacio vectorial es una propiedad intrı́nseca de dicho espacio y se denomina dimensión del espacio vectorial. IUn espacio vectorial V es de dimensión finita n si V está generado por una base de n elementos en cuyo caso dim V = n. IEl espacio nulo {0} tiene dimensión 0. ISi V no puede ser generado por una base finita, entonces V es de dimensión infinita: dim V = ∞. Ejemplos: dim Rn = n, dim Pn = n + 1, dim C[a,b] = ∞. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Espacios normados y de Banach Definición Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo x ∈ X existe un número real denominado norma, y que denotaremos por kxk, que cumple con las condiciones 1 ∀x ∈ X, kxk ≥ 0 y si kxk = 0 entonces x = 0. 2 ∀x ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk. 3 ∀x, y ∈ X, se tiene la des. triang. kx + y k ≤ kxk + ky k. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Espacios normados y de Banach Definición Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo x ∈ X existe un número real denominado norma, y que denotaremos por kxk, que cumple con las condiciones 1 ∀x ∈ X, kxk ≥ 0 y si kxk = 0 entonces x = 0. 2 ∀x ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk. 3 ∀x, y ∈ X, se tiene la des. triang. kx + y k ≤ kxk + ky k. Si en un espacio normado X definimos la func. ρ(x, y ) = kx − y k, esta satisface los axiomas de la definición de espacio métrico, i.e., todo espacio normado es un espacio métrico. La ρ anterior se denomina métrica inducida por la norma. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Espacios normados y de Banach Definición Un espacio vectorial X se denomina espacio normado si para todo x ∈ X existe un número real denominado norma, y que denotaremos por kxk, que cumple con las condiciones 1 ∀x ∈ X, kxk ≥ 0 y si kxk = 0 entonces x = 0. 2 ∀x ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk. 3 ∀x, y ∈ X, se tiene la des. triang. kx + y k ≤ kxk + ky k. Si en un espacio normado X definimos la func. ρ(x, y ) = kx − y k, esta satisface los axiomas de la definición de espacio métrico, i.e., todo espacio normado es un espacio métrico. La ρ anterior se denomina métrica inducida por la norma. Definición Un espacio normado completo (en la métrica inducida por la norma) se denomina espacio de Banach. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Ejemplos Ejemplo X = Rn (Cn ), con la norma kxk = Banach. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla pPn 2 k=1 |xk | , es un espacio de MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Ejemplos Ejemplo X = Rn (Cn ), con la norma kxk = Banach. pPn 2 k=1 |xk | , es un espacio de Ejercicio ¿Qué ocurre con X = Rn (Cn ) si usamos las normas P kxk = ( nk=1 |xk |p )1/p , p ≥ 1? ¿Y con la norma kxk = maxk=1,...,n |xk |? R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Ejemplos Ejemplo X = Rn (Cn ), con la norma kxk = Banach. pPn 2 k=1 |xk | , es un espacio de Ejercicio ¿Qué ocurre con X = Rn (Cn ) si usamos las normas P kxk = ( nk=1 |xk |p )1/p , p ≥ 1? ¿Y con la norma kxk = maxk=1,...,n |xk |? Ejemplo R 1/p b Sea X = C[a,b] y definamos la norma kf k = a |f (x)|p , p ≥ 1. Este espacio es un espacio normado pero no de Banach (¿por qué?). R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Ejemplos Ejemplo Sea X = C[a,b] . Definamos la norma kf k = maxx∈[a,b] |f (x)|. Este espacio es un espacio de Banach. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Ejemplos Ejemplo Sea X = C[a,b] . Definamos la norma kf k = maxx∈[a,b] |f (x)|. Este espacio es un espacio de Banach. Ejemplo Sea ahora X el espacio de todas lasPsucesiones p x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) reales t.q. ∞ k=1 |xk | < +∞ con la norma P∞ kxk = ( k=1 |xk |p )1/p , p ≥ 1. Dicho espacio lo denotaremos por lp y es un espacio de Banach. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Ejemplos Ejemplo Sea X = C[a,b] . Definamos la norma kf k = maxx∈[a,b] |f (x)|. Este espacio es un espacio de Banach. Ejemplo Sea ahora X el espacio de todas lasPsucesiones p x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) reales t.q. ∞ k=1 |xk | < +∞ con la norma P∞ kxk = ( k=1 |xk |p )1/p , p ≥ 1. Dicho espacio lo denotaremos por lp y es un espacio de Banach. Ejercicio Decide si el espacio X de todas las sucesiones reales x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) acotadas con la métrica kxk = supk∈N |xk |, es un espacio de Banach. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach ¿Todo espacio métrico es normado? Sea X el espacio de todas las sucesiones reales x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) con la métrica ρ(x, y ) = ∞ X 1 |xj − yj | . 2j 1 + |xj − yj | j=1 Esta métrica no puede ser inducida por ninguna norma ya que de ella nunca podremos obtener la propiedad x∀ ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk, de la norma. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach ¿Todo espacio métrico es normado? Sea X el espacio de todas las sucesiones reales x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) con la métrica ρ(x, y ) = ∞ X 1 |xj − yj | . 2j 1 + |xj − yj | j=1 Esta métrica no puede ser inducida por ninguna norma ya que de ella nunca podremos obtener la propiedad x∀ ∈ X y λ ∈ R, kλxk = |λ|kxk, de la norma. Lema Sea X un espacio normado. Entonces, la métrica ρ inducida por la norma satisface las condiciones 1 ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y ), 2 ρ(λx, λy ) = |λ|ρ(x, y ). R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Espacios normados vs Espacios métricos En los espacios normados podemos definir la conv. de sucesiones, suc. de Cauchy, etc. Basta considerarlos como espacios métricos con la métrica ρ inducida por la norma: ρ(x, y ) = kx − y k. Algunas definiciones son algo más sutiles: R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Espacios normados vs Espacios métricos En los espacios normados podemos definir la conv. de sucesiones, suc. de Cauchy, etc. Basta considerarlos como espacios métricos con la métrica ρ inducida por la norma: ρ(x, y ) = kx − y k. Algunas definiciones son algo más sutiles: Definición Sea X un espacio normado y sea M un subespacio vectorial de X. Si M es un espacio normado con la norma de X restringida a M se dice que M es un subespacio de X. Si M es cerrado en X entonces se dice que es un subespacio cerrado. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Espacios normados vs Espacios métricos En los espacios normados podemos definir la conv. de sucesiones, suc. de Cauchy, etc. Basta considerarlos como espacios métricos con la métrica ρ inducida por la norma: ρ(x, y ) = kx − y k. Algunas definiciones son algo más sutiles: Definición Sea X un espacio normado y sea M un subespacio vectorial de X. Si M es un espacio normado con la norma de X restringida a M se dice que M es un subespacio de X. Si M es cerrado en X entonces se dice que es un subespacio cerrado. Definición (En los espacios normados podemos definir las series:) Sea una suc. (xn )n de un espacio normado X definiremos la n X sucesión (sn )n de sumas parciales por sn = xk , ∀n ∈ N. Si k=1 sn → s ∈ X (en norma), diremos que la serie es P converge en X y s es su suma. La serie converge absolutamente si nk=1 kxk k < +∞. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Series en espacios normados Teorema Sea X un espacio de Banach (normado y completo). Entonces toda serie absolutamente convergente es convergente. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Series en espacios normados Teorema Sea X un espacio de Banach (normado y completo). Entonces toda serie absolutamente convergente es convergente. El teorema anterior no es cierto si X no es completo. Ejercicio Prueba que si X es un espacio normado, entonces toda serie absolutamente convergente es convergente si y sólo si X es completo. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Series en espacios normados Teorema Sea X un espacio de Banach (normado y completo). Entonces toda serie absolutamente convergente es convergente. El teorema anterior no es cierto si X no es completo. Ejercicio Prueba que si X es un espacio normado, entonces toda serie absolutamente convergente es convergente si y sólo si X es completo. Teorema (¡Todo espacio normado se puede completar!) Sea (X, k.k) un espacio normado. Entonces existe un espacio de b y una isometrı́a A de X en W ⊂ X, b tal que W es denso Banach X b Además, X b es único excepto isometrı́as. en X. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Base de Schauder Definición Sea X un espacio normado y sea M un subespacio vectorial de X. Si M es un espacio normado con la norma de X restringida a M se dice que M es un subespacio de X. Si M es cerrado en X entonces se dice que es un subespacio cerrado. Definición Sea X un espacio normado. Sea (en )n una sucesión de elementos de X tal que, para todo x ∈ X, existe una única sucesión de n→∞ escalares (αn )n tales que kx − (α1 e1 + · · · + αn en k −→ 0. Dicha sucesión se denomina base de Schauder. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Base de Schauder y separabilidad Ejemplo Sea X el espacio l p de las sucesiones y sea (en )n la sucesión ek = δi,k , i.e., la sucesión de vectores de l p con 1 en la posición k y 0 en el resto. Probemos que dicha sucesión es una base de p tenemos Schauder. En efecto, para todo x ∈ lP x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . ). Sea sn = nk=1 xk ek . Como x ∈ l p , entonces !1/p ∞ X n→∞ p −→ 0. lim ksn − sk = lim |xk | n→∞ n→∞ R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla k=n+1 MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Base de Schauder y separabilidad Ejemplo Sea X el espacio l p de las sucesiones y sea (en )n la sucesión ek = δi,k , i.e., la sucesión de vectores de l p con 1 en la posición k y 0 en el resto. Probemos que dicha sucesión es una base de p tenemos Schauder. En efecto, para todo x ∈ lP x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . ). Sea sn = nk=1 xk ek . Como x ∈ l p , entonces !1/p ∞ X n→∞ p −→ 0. lim ksn − sk = lim |xk | n→∞ n→∞ k=n+1 Ejercicio Prueba que si un espacio normado X tiene una base de Schauder, entonces es separable. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Espacios normados de dimensión finita Lema (Lema técnico) Sean n vectores cualesquiera x1 , . . . , xn linealmente independientes de un espacio normado X. Entonces, existe un número real c > 0 tal que cuales quiera sean los escalares α1 , . . . , αn , kα1 x1 + · · · + αn xn k ≥ c(|α1 | + · · · + |αn |). Demostración: Sea s = |α1 | + · · · + |αn |. Si s = 0 el lema es trivial ası́ que asumiremos s > 0. Dividiendo por s 2 se sigue que 2 es equivalente a probar que si x1 , . . . , xn son linealmente independientes, entonces existe un número real c > P 0 tal que cuales quiera sean los los escalares β1 , . . . , βn , con nk=1 |βk | = 1 kβ1 x1 + · · · + βn xn k ≥ c. La prueba será por reducción al absurdo. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Prueba del Lema técnico Entonces ha de existir (¿por qué?) una sucesión (ym )m ⊂ X tal que (m) (m) ym = β1 x1 + · · · + βn xn , n X m→∞ (m) |βk | = 1, y kym k −→ 0. k=1 P (m) De la condición nk=1 |βk | = 1 se sigue que las n sucesiones (m) numéricas (βk )m , k = 1, . . . , n, son acotadas. (m) Sea la sucesión (β1 )m acotada, entonces por el T de B-W de ella (mj ) j→∞ se puede extraer una subsucesión convergente β1 −→ β1 . (m) Escojamos de cada una de las sucesiones restantes (βk )m , k = 2, . . . , n, las subsucesiones definidas por los ı́ndices mj . (mj ) Entonces (β2 )j es acotada y por B-W y podemos extraer una (j ) l→∞ subsucesión convergente β2 l −→ β2 . Además, si escogemos los (j ) l→∞ ı́ndices jl definidos, la subsucesión (β1 l )j −→ β1 (¿por qué?). R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Prueba del Lema técnico Continuando este proceso n veces V ∃ una subsucesión de ı́ndices (l ) i→∞ li t.q. βk i −→ βk , ∀k = 1, 2, . . . , n. Además, dicha sucesión de ı́ndices define una subsucesión (yli )i de (ym )m t.q. yli = n X (l ) βk i xk , (l ) i→∞ βk i −→ βk V lim yli = i→∞ k=1 n X βk xk := y , k=1 n X |βk | = 1. k=1 De lo anterior se sigue que no todos los βk = 0 al mismo tiempo. Como los vectores x1 , . . . , xn son li Vy 6= 0 (¿por qué?). La norma es una aplicación continua V lim yli = y i→∞ V lim kyli k = ky k, i→∞ m→∞ pero como kym k −→ 0, entonces limi→∞ kyli k = 0, luego ky k = 0 de donde se sigue que y = 0 lo cual es una contradicción. R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla MMAF: Espacios normados y espacios de Banach