TEOREMA DE LA ALTURA SOBRE LA HIPOTENUSA Ejemplos 1. Si en un triángulo rectángulo sus catetos miden respectivamente, calcular las longitudes de: a) b) c) d) 8 m y 15 m La hipotenusa. La proyección del cateto menor sobre la hipotenusa. La proyección del cateto mayor sobre la hipotenusa. La altura sobre la hipotenusa. Solución A Sea c la longitud de la hipotenusa, para calcularla se aplica el teorema de Pitágoras: 82 152 c2 289 c2 17 c La hipotenusa mide 17 m . B Sea x la longitud de la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa, para calcularla se aplica el teorema del cateto: 82 x 17 64 x 17 64 x 17 La proyección del cateto menor sobre la hipotenusa mide C 64 m. 17 Sea y la longitud de la proyección del cateto mayor sobre la hipotenusa, para calcularla se aplica el teorema del cateto: 152 y 17 225 y 17 225 y 17 La proyección del cateto mayor sobre la hipotenusa mide D 225 m. 17 Sea h la longitud de la altura sobre la hipotenusa, para calcularla se aplica el teorema de la altura sobre la hipotenusa: 64 225 17 17 14400 h2 289 120 h 17 h2 La altura sobre la hipotenusa mide 120 m. 17 2. Los lados de un triángulo rectángulo miden 48 cm, 55 cm, 73 cm respectivamente. Calcule la longitud de la altura sobre la hipotenusa. Solución A Sea x la longitud de la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa. Sea y la longitud de la proyección del cateto mayor sobre la hipotenusa. Sea h la longitud de la altura sobre la hipotenusa. B Se calcula la longitud de x . C Se calcula la longitud de y . 482 x 73 x 2304 73 552 x 73 x 3025 73 D D Se calcula la longitud de h . La altura sobre la hipotenusa mide h2 2304 3025 2640 h 73 73 73 2640 cm . 73 3. En un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 37 cm y su cateto menor 12 cm , calcule la longitud de la altura sobre la hipotenusa. Solución A B C Sea x la longitud de la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa, para calcularla se aplica el teorema del cateto. Ahora se calcula la proyección del otro cateto. 122 x 37 144 x 37 37 x 37 Finalmente se calcula la longitud de la altura sobre la hipotenusa. h2 144 1225 37 37 144 1225 37 37 176400 1369 420 h 37 h E La altura sobre la hipotenusa mide 420 cm . 37 Ejercicios 1. En la columna de la izquierda de la tabla que aparece a continuación, encontrará ternas pitagóricas correspondientes a las longitudes de los lados de diferentes triángulos rectángulos. Usted debe asociar cada uno de estos triángulos rectángulos con la longitud de la altura sobre la hipotenusa en la columna de la derecha, escribiendo la letra correspondiente dentro del paréntesis que considera correcto. Todas las medidas están dadas en centímetros. A 65,72,97 660 61 B 11,60,61 240 13 C 20, 48,52 336 25 D 36,77,85 4680 97 E 14, 48,50 2772 85 2. Si en un triángulo rectángulo sus catetos miden 10 m y 24 m respectivamente, calcular las longitudes de: a) b) c) d) La hipotenusa. La proyección del cateto menor sobre la hipotenusa. La proyección del cateto mayor sobre la hipotenusa. La altura sobre la hipotenusa. 3. Si en un triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa mide 6 cm y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa mide 3 cm calcular las longitudes respectivas de: a) La proyección del cateto mayor sobre la hipotenusa. b) El cateto mayor. c) La hipotenusa. d) El cateto menor. Soluciones 1. En todos los casos se considera que: x es la longitud de la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa. y es la longitud de la proyección del cateto mayor sobre la hipotenusa. h es la longitud de la altura sobre la hipotenusa. A 65,72,97 4225 97 5184 722 y 97 y 97 4225 5184 4680 h2 h 97 97 97 B 660 61 C 240 13 E 336 25 A 4680 97 652 x 97 x B 11,60,61 121 61 3600 602 y 61 y 61 121 3600 660 h2 h 61 61 61 112 x 61 x C 20, 48,52 100 13 576 482 y 52 y 13 100 576 240 h2 h 13 13 13 202 x 52 x D 36,77,85 1296 85 5929 772 y 85 y 85 1296 5929 2772 h2 h 85 85 85 362 x 85 x 14, 48,50 E 98 25 1152 482 y 50 y 25 98 1152 336 h2 h 25 25 25 D 142 x 50 x 2772 85 2. A Sea c la longitud de la hipotenusa, para calcularla se aplica el teorema de Pitágoras: 102 242 c2 676 c2 26 c La hipotenusa mide 26 m . B Sea x la longitud de la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa, para calcularla se aplica el teorema del cateto: 102 x 26 100 x 26 50 x 13 La proyección del cateto menor sobre la hipotenusa mide 50 m. 13 C Sea y la longitud de la proyección del cateto mayor sobre la hipotenusa, para calcularla se aplica el teorema del cateto: 242 y 26 576 y 26 288 y 13 La proyección del cateto mayor sobre la hipotenusa mide D 288 m. 13 Sea h la longitud de la altura sobre la hipotenusa, para calcularla se aplica el teorema de la altura sobre la hipotenusa: 50 288 13 13 14400 h2 169 120 h 13 h2 La altura sobre la hipotenusa mide 120 m. 13 3. A Sea y la longitud de la proyección del cateto mayor sobre la hipotenusa, para calcularla se aplica el teorema de la altura sobre la hipotenusa: 62 3 y 12 y La proyección del cateto mayor sobre la hipotenusa mide 12 cm . B Sea b la longitud del cateto mayor, para calcularla se aplica el teorema de Pitágoras: b2 62 122 b2 180 b6 5 El cateto mayor mide 6 5 cm . C Sea c la longitud de la hipotenusa, para calcularla basta con sumar las dos proyecciones de los catetos sobre ella: c 3 12 c 15 La hipotenusa mide 15 cm . D Sea a la longitud del cateto menor, para calcularla se aplica el teorema de Pitágoras: a2 32 62 a2 45 a3 5 El cateto menor mide 3 5 cm .