Caso Giapetto Inc.

Sistemas de Optimización de Recursos
Caso Giapetto Inc.
Objetivo del caso: Explicar los componentes
de la programación lineal a través de la
modelación de un ejemplo.
La compañía Giapetto fabrica 2 tipos de
juguetes de madera: soldados y trenes. Los
precios de ventas son $27.00 y $21.00
respectivamente. Los costos de materiales
(materia prima) son de $10.00 y $9.00
respectivamente. Los costos de mano de obra
y otros variables de fabricación son $14.00 y
$10.00 respectivamente.
La elaboración de estos juguetes requiere
de dos tipos de mano de obra especializada:
carpintería y pintura. Un soldado requiere de 1
hora de carpintería y 2 de pintura. Un tren por
su parte requiere 1 hora en cada departamento.
Cada semana Giapetto puede obtener toda
la materia prima que desee, pero solo cuenta
con 80 horas para carpintería y 120 horas para
pintura. La demanda semanal de trenes es
prácticamente ilimitada, sin embargo, la
demanda semanal de soldados no es mayor de
40 unidades.
Giapetto desea maximizar su ganancia
semanal (Venta – Costo de lo vendido). Se
pide formular un modelo matemático para la
situación de la compañía Giepetto que puede
ser usado para maximizar la ganancia
semanal.
Variables de Decisión (V.D.)
Las V. de D. deben describir clara y
completamente la decisión a ser tomada. En
este caso Giapetto debe decidir cuantos trenes
y soldados deben de fabricar cada semana.
Sean:
X1: el número de soldados fabricados por
semana.
X2: el número de trenes fabricados por
semana.
Función Objetivo
El que toma las decisiones generalmente
desea: Maximizar (usualmente ingresos o
ganancias) o Minimizar (usualmente costos),
para ello requiere alguna función de las
variables de decisión. Esta función es llamada
“Función Objetivo”.
Para este ejemplo los costos fijos (tales como
renta, seguros, etc.) no dependen de X, o X,.
Por lo tanto, Giapetto puede concentrarse en
maximizar (Ventas semanales) – (costos por
compra de materiales) – (otros costo
variables).
Ventas semanales
= 27*X1 + 21*X2
Costos de materiales = 10*X1 + 9*X2
Otros costos variables = 14*X1 + 10*X2
Entonces la Función Objetivo es igual a:
[27*X1 + 21*X2] – [10*X1 + 9X2] – [14*X1 +
10*X2]
= 3*X1 + 2*X2
Es decir, se desea Max. Z = 3*X1 + 2*X2
Los coeficientes de las variables en la función
objetivo son llamados coeficiente de la
función objetivo.
Restricciones.
A medida que se incrementan los valores de
X1 y X2 las ganancias de Giapetto serán
mayores y mayores, sin embargo éstas no
pueden crecer ilimitadamente. Los valores X1
y X2 están limitados por ciertas restricciones.
Restricciones de tiempo (capacidad por
semana)
#1. El tiempo disponible en carpintería está
limitado a 80 horas por semana.
#2. El tiempo disponible en pintura está
limitado a 120 horas por semana.
10
Sistemas de Optimización de Recursos
Restricciones de mercado.
#3. No tiene sentido producir más de 40
soldados por semana debido a la limitante de
mercado.
No hay limitante respecto a la obtención de
materia prima, por lo que no existe restricción
al respecto.
El siguiente paso es expresar las restricciones
en términos de X1 y X2.
cantidades de recursos disponibles, sin
embargo éstas también podrían representar las
metas de la organización.
Restricciones de no-negatividad.
Las variables de decisión deben tomar
valores no-negativos, puesto que no podemos
producir un número de juguetes negativo
(salvo que se acepten ordenes sin inventario).
Por tanto, cada variable tiene asignada una
restricción de no-negatividad.
Modelo
El total de horas utilizadas en carpintería es
igual a la cantidad de horas dedicadas a
fabricar soldados más la cantidad de horas
dedicadas a fabricar trenes, y la suma de estos
debe de ser inferior o igual a 80.
Las Restricciones #1 puede expresarse así:
1*X1 + 1*X2 < 80
En forma similar la segunda restricción se
expresa así:
2*X1 + 1*X2 < 120
Finalmente la restricción 3:
1*X1 < 40
Los coeficientes de las variables de
decisión en las restricciones son llamados
coeficientes tecnológicos. Esto porque éstos a
menudo reflejan el uso de la cantidad de
recurso utilizada para producir una unidad de
producto. Así el coeficiente tecnológico de X1
en la primera restricción indica que se
requiere de una unidad (hora) de carpintería
para producir un soldado.
Maximizar Z = 3*X1 + 2*X2
Restringido a:
1*X1 + 1*X2 < 80
2*X1 + 1*X2 < 120
1*X1
< 40
No negatividad
X1 > 0
X2 > 0
Resumen:
Todo problema de programación lineal
tiene dos rasgos en común:
1. Un función objetivo a ser maximizada o
minimizada.
2. Un conjunto de restricciones (al menos
una)
La problemática en general consiste en
asignar recursos limitados (Bi) de modo que
se optimicé un objetivo de interés.
Las cantidades a la derecha de las
restricciones representan generalmente las
11
Sistemas de Optimización de Recursos
A continuación se muestra de manera esquemática el detalle de la formulación del Caso:
12
Sistemas de Optimización de Recursos
Solución al Modelo del Caso Giapetto
Maximizar Z = 3*X1 + 2*X2
Restringido a:
1*X1 + 1*X2 < 80
2*X1 * 1*X2 < 120
< 40
1*X1
No negatividad
X1 > 0; X2 > 0
Optimal Solution - Detailed Report
Variable
1 Soldados
2 Trenes
Value
40.0000
40.0000
Cost
3.0000
2.0000
Red. cost
0.0000
0.0000
Status
Basic
Basic
Slack Variables
3 Carpintería
4 Pintura
5 Mercadeo
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
-2.0000
0.0000
-1.0000
Lower bound
Basic
Lower bound
RHS
80.0000
120.0000
40.0000
Slack
0.0000
0.0000
0.0000
Shadow price
2.0000
0.0000
1.0000
Constraint
Type
1 Carpintería
<
2 Pintura
<
3 Mercadeo
<
Objective Function Value = 200
Sensitivity Analysis Of Cost Coefficients
Variable
1 Soldados
2 Trenes
Current
Coeff.
3.0000
2.0000
Allowable
Minimun
2.0000
0.0000
Sensitivity Analysis Of Right – Hand Side Values
Current
Allowable
Constraint
Type
Value
Minimun
Allowable
Maximun
Infinity
3.0000
Allowable
Maximun
1 Carpintería
<
80.0000
40.0000
80.0000
2 Pintura
<
120.0000
120.0000
Infinito
3 Mercadeo
<
40.0000
0.0000
40.0000
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Sistemas de Optimización de Recursos
Caso. Compañía “Estrella”
Solución
La AFP “Estrella” está considerando 5
diferentes oportunidades de inversión. El flujo
de efectivo neto se muestra en la tabla a
continuación:
Flujos de efectivos
alternativa
1
2
3
4
5
Inicio año 1
11
53
5
5
29
Inicio año 2
3
6
5
1
34
16
4
1
16
Valor presente
neto
de
la
3
utilidad de la
inversión
La compañía tiene actualmente (inicio del año
1) 40 millones disponibles para inversión y
estima que en un año (inicio del año 2)
contará con otros 20 millones disponibles
para inversión.
La compañía podría comprar una fracción en
cualquier proyecto. En este caso, tanto la
cantidad invertida como el retorno será
ajustado proporcionalmente. Así, si la
compañía Estrella compra una quinta parte del
plan de inversión #1, deberá de desembolsar
1/5(11) = 2.2 millones en el tiempo 0 y otro
desembolso de 1/5(3) = 0.6 millones en el
período 1, y por tanto el retorno al final del
primer año sería de 1/5(3) = 0.6 millones.
La compañía estrella desea maximizar el
valor presente neto de las diversas
alternativas (1-5) al final del segundo año.
Formule un modelo de programación lineal.
Asuma que cualquier cantidad no usada al
inicio del año 1 no puede ser invertida al
inicio del año 2. En la compañía Estrella se
debe determinar que fracción de cada
inversión debe comprar.
Variables de Decisión
Sea X1 = fracción del plan 1 comprado por
Estrella
Sea X2 = fracción del plan 2 comprado por
estrella.
Sea X3 = fracción del plan 3 comprado por
Estrella.
Sea X4 = fracción del plan 4 comprado por
Estrella.
Sea X5 = fracción del plan 5 comprado
por Estrella.
Función Objetivo
El objetivo es maximizar el VPN
provenientes de las inversiones.
F.O. Max Z = 3*X1 + 16*X2 + 4*X3 + 1*X4
+ 16*X5
Restricciones
1. Estrella no puede invertir más de 40
millones al inicio del año 1 (inicio)
2. Estrella no puede invertir más de 20
millones al inicio del año 2 (un año
después)
3. Estrella no puede comprar más del
100% de una inversión.
Restricción 1
11*X1 + 53*X2 + 5*X3 + 5*X4 + 29*X5 < 40
Restricción 2
3*X1 + 6*X2 + 5*X3 + 1*X4 + 34*X5 < 20
Restricción 3
X1 <
X2 <
X3 <
X4 <
X5 <
1
1
1
1
1
No negatividad X1 > 0; para i = 1, 2, 3, 4 y
5.
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Sistemas de Optimización de Recursos
Solución Analítica del Modelo:
Análisis de Sensibilidad de los Coeficientes de la Función Objetivo
Análisis de Sensibilidad de los Recursos del lado derecho (RHS)
15
Sistemas de Optimización de Recursos
Caso Plan Financiero a corto Plazo. Compañía “Estéreo”
Estéreo es una pequeña compañía que
produce grabadoras y radios. El costo unitario
de mano de obra y materiales, así como el
precio de venta se presentan en la tabla 1. El
primero de diciembre 1998, Semicond
dispone de suficiente materia para fabricar
100 grabadoras y 100 radios. El mismo día, el
balance de la compañía muestra los resultados
expuestos en la tabla 2, donde se aprecia que
la tasa (razón) de liquidez es de
20,000/10,000 =2.
Precio de venta
Mano de Obra
Materiales
Grabadora
$100.00
50.00
30.00
Radio
$90.00
35.00
40.00
Tabla # 1
Balance al 10 de diciembre
Activos
Pasivos
Efectivo
$10,000.00
CxC
3,000.00
Inventario
7,000.00
Préstamo
$10,000.00
Tabla # 2
La compañía “Estéreo” debe determinar
cuantas grabadoras y radios producir durante
el mes de diciembre de 1998. La demanda es
lo suficientemente grande para asegurar que
todos los artículos producidos en un mes
serán vendidos en el mismo mes. Todas las
ventas son al crédito y por lo tanto los pagos
(hechos por los clientes) de los artículos
producidos en diciembre serán recibidos hasta
el 1 de febrero de 1999. Durante diciembre de
1998, “Estéreo” recolectará $2,000.00 en
cuentas por cobrar (C x C), y deberá pagar
$1,000.00 de su préstamo bancario y
$1,000.00 de su renta mensual (alquiler del
edificio). El 31 de diciembre de 1998 en la
mañana, “Estéreo” recibirá un cargamento de
materia prima valorada en $2,000.00, el cual
será pagado el 31 de enero de 1999.
La administración de “Estéreo” ha
decidido que en el balance para el cierre en la
mañana del 1 de enero de 1999 debe mostrar
que el efectivo debe ser al menos de
$4,000.00. Así mismo el préstamo del banco
requiere que la razón de liquidez (Activo
circulante/pasivo circulante) al inicio de enero
(1 de enero) debe ser al menos de 2.0.
¿Qué productos debería producir “Estéreo”
para maximizar la ganancia de la producción
de artículos (Ventas a ser cobradas) – (costos
variables)
16
Sistemas de Optimización de Recursos
Solución al caso Compañía “Estéreo”
Variables de Decisión
Sean:
X1 = número de grabadoras producidas en
diciembre.
X2 = número de radios producidos en
diciembre.
Función Objetivo
Margen de contribución de una grabadora =
100 – (50 + 30) = $20.00
Margen de contribución de un radio = 90 –
(35 + 40) = $15.00
F.O. = Max 20*X1 + 15*X2
Restricciones
1. Por limitantes en la materia prima la
cantidad de grabadoras ha ser producidas
en diciembre debe ser < 100
2. Por limitantes en la materia prima la
cantidad de radios ha ser producida en
diciembre debe ser < 100.
3. El efectivo al 1 de enero de 1999 debe ser
4,000.00
4. La razón de liquidez al 1 de enero de
1999 debe ser > 2
Restricción # 1
X1 < 100 (i)
Restricción # 2
X2 < 100 (ii)
Restricción # 3
Efectivo al 1 de enero de 1999 =
Efectivo (1 de dic. De 1998) + CxC
hechas efectivas en diciembre 1998 –
Pago para préstamo banco en
diciembre 1998 – Pago renta mes de
diciembre 1998 – Pago de mano de
obra de dic. 1998.
= 10,000 + 2,000 – 1,000 – 1,000 –
50*X1 – 35*X2
La restricción 3 se puede escribir entonces:
10,000 – 50*X1 -35*X2 > 4,000
Operando tenemos (no puede haber signos
negativos en el lado derecho)
50*X1 + 35*X2 < 6,000 (iii)
Para expresar la restricción 4 es necesario
determinar la posición de “Estéreo” el 1 de
enero 1999 en las siguientes cuentas:
Efectivo, CxC, Posición del inventario y
pasivos, todos ellos en función X1 y X2.
a. Ya se calculó el valor del efectivo al 1 de
enero de 1999. Efectivo = 10,000 –
50*X1 – 35*X2.
b. CxC al 1 de enero 1999 = CxC (1 de
diciembre 1998) + CxC debido a ventas
en dic. 1998 – CxC cobradas en dic.
1998.
= 3,000 +100*X1 + 90*X2 – 2,000
= 1,000 + 100*X1 + 90*X2
c. Inventario a enero 1 de 1999 =
Valor
inventario 1 de dic. 1998 – Valor
inventario (materiales) usado diciembre
1998 + Valor inventario recibido el 31 de
dic. 1998.
= 7,000 –(30*X1 + 40*X2) + 2,000
= 9,000 – 30*X1 - 40*X2
d. Posición del activo circulante al 1 de
enero = Efectivo al 1 de enero + CxC al 1
de enero + Inventario al de enero =
10,000 – 50*X1 – 35*X2 + 1,000 +
100*X1 + 90*X2 + 9,000 – 30*X1 –
40*X2 = 20,000 + 20*X1 + 15*X2
Finalmente CxP (pasivo circulante) = CxP al
1 de diciembre – Pago de préstamo en
diciembre + Deuda por inventario recibido el
31 de dic./98 = 10,000 – 1,000 + 2,000
= 11,000
La restricción 4 puede escribirse como:
> 2
20,000 + 20*X1 + 15*X2
11,000
20,000 + 20*X1 + 15*X2 > 22,000
20*X1 + 15*X2 > 2,000 (iv)
17
Sistemas de Optimización de Recursos
Caso Proyectos Sociales
La toma de decisiones asociadas a la
selección de proyectos, no se restringen a las
empresas privadas. El gobierno central
enfrenta las mismas tomas de decisiones
sobre los proyectos invertir y su monto.
Ejemplos de ellos son el Ministerio de Salud
y el Ministerio de Educación. Entonces la
pregunta es que proyectos seleccionar de tal
manera que los beneficios globales sean
máximos y satisfagan las restricciones
presupuestales y de otro tipo.
Como en todas las decisiones del sector
público (sobre la base de Costo –Beneficio),
la parte más difícil de la formulación de la
situación real es definir y determinar los
beneficios sociales.
Estos beneficios se pueden clasificar de
manera general como directos e indirectos.
Por ejemplo, los proyectos contra los focos de
infección pueden tener beneficios directos en
términos de ahorros de costos a la sociedad,
pudiendo ser reducidos los gastos de
tratamientos médicos originados por la
población enferma (infectada por el foco) y
beneficios indirectos reflejados en una mejor
calidad de vida.
Basándose en estos comentarios y
haciendo una buena reflexión, uno puede
apreciar la complejidad de los análisis y los
juicios de valor inherentes a los problemas del
bienestar público.
Para ilustrar, Supóngase que un equipo de
administradores científicos, economistas,
sociólogos, políticos, etc. han analizado los
proyectos que han presentado siete
ministerios (Ver tabla # 1).
Se desea formular un modelo que logre
maximizar la suma de los retornos sobre la
inversión de todos los proyectos.
Note que:
-El retorno sobre la inversión de un proyecto
es igual a la razón costo-beneficio menos
uno. Por ejemplo, el retorno para el proyecto
1 es:
(1.10 -1.00) = 0.1. El retorno es por cada
dólar invertido.
Supongamos que hay 2,000 millones de
dólares para llevar a invertir en los diferentes
ministerios. La cantidad máxima a asignar a
cada ministerio se muestra en la tabla # 1.
Así mismo, deben incluirse las siguientes
consideraciones:
- El valor combinado de lo asignado en los
ministerios #1 y #7 debe sobrepasar los
$300 millones.
- El valor de la asignación combinada en
los ministerios #3 y #4 debe ser menor de
$700 millones.
- El valor de la asignación en el ministerio
#7 debe ser exactamente el 40% de la
asignación en el ministerio #3.
- Por cada unidad monetaria asignado en el
ministerio #1 se debe invertir al menos el
doble de unidades monetarias en el
ministerio #5
- Por cada unidad monetaria asignada al
ministerio #5 se debe asignar al menos 1/3
de unidades monetarias al ministerio #6.
Nota trate: El ministerio #6 debe recibir
al menos 1/3 de lo que recibe el ministerio
#5.
- La inversión en el ministerio #3 no puede
ser menos al 35% del ministerio #4.
- Se debe asignar al menos el 60% del
monto solicitado por cada ministerio.
Ministerio
1
2
3
4
5
6
7
Razón costo Monto de lo
- beneficio
solicitado
(millones)
1.10
250
1.25
400
1.40
750
1.30
500
1.15
450
0.90
300
1.05
200
Tabla # 1
18
Sistemas de Optimización de Recursos
EJEMPLOS DE FORMULACION DE PROBLEMAS
DE PROGRAMACION LINEAL
Ejemplo Nº 1
Una fábrica ha descontinuado la producción de una línea de productos no rentable. Esto ha creado
un considerable exceso de capacidad de producción. La Gerencia está considerando utilizar este
exceso de capacidad para fabricar uno o más productos de los tres productos llamados producto 1,
producto 2 y producto 3. La capacidad disponible en las máquinas que podrían limitar la
producción es la siguiente:
Máquina
Máquina 1
Máquina 2
Máquina 3
Tiempo Disponible (Hrs./semana)
150
100
50
El número de horas-máquina requerido por unidad de producto es la siguiente:
Máquina
Máquina 1
Máquina 2
Máquina 3
Producto 1
8
4
2
Producto 2
2
3
-
Producto 3
3
1
El Departamento de Ventas indica que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 son superiores
a la máxima producción obtenible y que el potencial de ventas para el producto 3 es de 20 unidades
por semana.
Las utilidades unitarias serían de $20.00, $6.00 y $8.00 para los productos 1,2 y 3 respectivamente.
Formule el modelo de programación lineal para determinar cuantas unidades de cada artículo debe
producir la firma, a fin de maximizar sus beneficios.
FORMULACION:
Variables de Decisión:
Sea: Xj (j=1,2,3) = # de unidades a producir de producto j.
Función Objetivo:
Maximizar la Función de utilidad expresada por la ecuación siguiente
MAX Z = 20 X1 + 6 X2 + 8 X3
19
Sistemas de Optimización de Recursos
Restricciones:
A) Tiempo requerido para fabricar los productos 1,2 y 3
Utilizando Máquina 1:
8 X1 + 2 X2 + 3 X3 ≤
Utilización
150
Disponibilidad
Utilizando Máquina 2:
4 X1 + 3 X2 + 0 X3 ≤
100
Utilizando Máquina 3:
3 X1 + 0 X2 + X3 ≤
50
B) Ventas Potenciales:
X3 ≤
20
C) No Negatividad:
X1 , X2 , X3 ≥
0
Ejemplo Nº 2
Uno de los problemas típicos de la programación lineal es el problema de la dieta. El objetivo es
determinar las cantidades de ciertos alimentos que deben ser ingeridos para satisfacer ciertos
requerimientos nutricionales a un costo mínimo. Suponga que sólo se considera la leche, la carne y
los huevos y las vitaminas A, C y D. Asuma que la cantidad de miligramos de cada una de estas
vitaminas, contenida en una unidad de cada alimento es la siguiente:
Vitamina
Botella de leche
Libra de carne
Docena de huevos
A
C
D
Costo
1 Mg.
100 Mg.
10 Mg.
$1.00
1 Mg.
10 Mg.
100 Mg
$1.10
10 Mg.
10 Mg.
10 Mg.
$0.50
Requerimientos
mínimos diarios
1 mg.
50 mg.
10 mg.
-
Formule el modelo de Programación Lineal para este problema.
20
Sistemas de Optimización de Recursos
FORMULACION:
Variables de Decisión:
Sea:
XL = Cantidad de leche en botellas a ingerir.
XC = Cantidad de Carne en libras a ingerir.
XH = Cantidad de Huevos en docenas a ingerir.
Función Objetivo:
Minimizar la Función de costo expresada por la ecuación siguiente
MIN Z = 1.0 XL + 1.1 XC + 0.5 XH
Restricciones:
Cantidad de Vitaminas:
Vitamina A :
1 XL + 1 XC + 10 XH ≥ 1
Vitamina C : 100 XL + 10 XC + 10 XH ≥ 50
Vitamina D : 10 XL + 100 XC + 10 XH ≥ 10
No Negatividad:
XL , XC , XH ≥ 0
Ejemplo Nº 3
Suponga que una refinería simplificada desea mezclar 4 componentes para obtener tres grados de
gasolina A, B y C. El problema es determinar la mezcla de los cuatro componentes que maximice el
beneficio total.
La disponibilidad y el costo de los cuatro componentes, se plantea en la tabla siguiente:
Componente
1
2
3
4
Máxima cantidad disponible de
barriles por día
3,000
2,000
4,000
1,000
Costo por
Barril
$3.00
$6.00
$4.00
$5.00
Para mantener la calidad requerida para cada grado de gasolina es necesario especificar un cierto
porcentaje máximo o mínimo de los componentes en cada mezcla. Esos datos se muestran en el
siguiente cuadro, junto con el precio de venta para cada grado de gasolina.
21
Sistemas de Optimización de Recursos
Grado de
Gasolina
A
B
C
Especificaciones de la Mezcla
No más de 30% de comp. 1
No menos de 40% de comp. 2
No más de 50% de comp. 3
No más de 50% de comp. 1
No menos de 10% de comp.. 2
No más de 70% de comp. 1
Precio de venta
por Barril
$5.50
$4.50
$3.50
Asuma que todos los otros flujos de fondos son fijos, así que el “Beneficio” a ser maximizado es el
ingreso total por ventas menos el costo total de los componentes.
Formule el modelo de programación lineal para determinar la cantidad y mezcla de cada grado de
gasolina a preparar.
ESQUEMAS:
Componente 1
3,000 barriles
$3.00/barril
Tipo gasol. A
1 ≤ 30%
2 ≥ 40%
3 ≤ 50%
$5.5 0/barril
Componente 2
2,000 barriles
$6.00/barril
Tipo gasol. B
Componente 3
1 ≤ 50%
2 ≥ 10%
$4.50/barril
4,000 barriles
$4.00/barril
Tipo gasol. C
Componente 4
1 ≤ 70%
$3.50/barril
1,000 barriles
$5.00/barril
22
Sistemas de Optimización de Recursos
FORMULACION:
Variables de Decisión:
Sean: Xij = Cantidad (en # de barriles) del componente “j” a ser utilizado en la
gasolina grado “i” ( i = A, B, C ; j = 1,2,3,4)
Cantidad de gasolina grado “i” producida por día: : Xi1 + Xi2 + Xi3 + Xi4
Cantidad de gasolina grado “A” producida por día: : XA1 + XA2 + XA3 + XA4
Proporción del Componente “j” en la gasolina grado “i” :
Xij
Xi1 + Xi2 + Xi3 + Xi4
Proporción del Componente “1” en la gasolina grado “A” :
XA1
XA1 + XA2 + XA3 + XA4
Función Objetivo:
Maximizar la Función de Beneficio expresada por la ecuación siguiente:
MAX Z = (Ingreso total por ventas) - (Costo total de los componentes)
A) Ingreso Total Por Ventas:
Ingreso por venta de gasolina = 5.50 (XA1 + XA2 + XA3 + XA4 )
Grado “A”
Ingreso por venta de gasolina = 4.50 (XB1 + XB2 + XB3 + XB4 )
Grado “B”
Ingreso por venta de gasolina = 3.50 (XC1 + XC2 + XC3 + XC4 )
Grado “C”
Total de Ingresos
= 5.50 (XA1 + XA2 + XA3 + XA4 ) + 4.50
(XB1 + XB2 + XB3 + XB4 ) + 3.50 (XC1
+ XC2 + XC3 + XC4 )
23
Sistemas de Optimización de Recursos
B) Costo Total de los Componentes:
Costo de Componente “1” = 3.0 (XA1 + XB1 + XC1 )
en gasolina Grado A,B,C
Costo de Componente “2” = 6.0 (XA2 + XB2 + XC2 )
en gasolina Grado A,B,C
Costo de Componente “3” = 4.0 (XA3 + XB3 + XC3 )
en gasolina Grado A,B,C
Costo de Componente “4” = 5.0 (XA4 + XB4 + XC4 )
en gasolina Grado A,B,C
Total de Costos
=
3.0 (XA1 + XB1 + XC1 ) + 6.0 (XA2 +
XB2 + XC2 ) + 4.0 (XA3 + XB3 + XC3 ) +
5.0 (XA4 + XB4 + XC4 )
MAX Z = 5.50 (XA1 + XA2 + XA3 + XA4 ) + 4.50 (XB1 + XB2 + XB3 + XB4 ) + 3.50 (XC1
+ XC2 + XC3 + XC4 ) - 3.0 (XA1 + XB1 + XC1 ) - 6.0 (XA2 + XB2 + XC2 )
- 4.0 (XA3 + XB3 + XC3 ) - 5.0 (XA4 + XB4 + XC4 )
Restricciones:
a) Disponibilidad de Componentes:
XA1 + XB1 + XC1 ≤ 3,000
Componente 1
XA2 + XB2 + XC2 ≤ 2,000
Componente 2
XA3 + XB3 + XC3 ≤ 4,000
Componente 3
XA4 + XB4 + XC4 ≤ 1,000
Componente 4
b) De las especificaciones de la Mezcla:
XA1 / (XA1 + XA2 + XA3 + XA4 )
Gasolina Tipo A:
XA1 ≤ 0.30 (XA1 + XA2 + XA3 + XA4 )
XA2 ≥ 0.40 (XA1 + XA2 + XA3 + XA4 )
XA3 ≤ 0.50 (XA1 + XA2 + XA3 + XA4 )
Operando, tenemos:
24
Sistemas de Optimización de Recursos
0.7 XA1 – 0.3 XA2 – 0.3 XA3 - 0.3 XA4 ≤ 0
0.4 XA1 + 0.6 XA2 – 0.4 XA3 - 0.4 XA4 ≥ 0
0.5 XA1 – 0.5 XA2 + 0.5 XA3 - 0.5 XA4 ≤ 0
Gasolina Tipo B:
0.5 XB1 - 0.5 XB2 – 0.5 XB3 - 0.5 XB4 ≤ 0
- 0.1 XB1 + 0.9 XB2 – 0.1 XB3 - 0.1 XB4 ≥ 0
Gasolina Tipo C:
0.3 XC1 – 0.7 XC2 – 0.7 XC3 - 0.7 XC4 ≤ 0
c) De No Negatividad:
Xij ≥ 0
Ejemplo Nº 4
Un manufacturero produce una línea de productos para el hogar fabricados de lámina de metal. Para
ilustrar su problema de planificación de la producción, suponga que fabrica únicamente cuatro
productos y que su sistema de producción consiste de cinco centros de producción: trazado,
troquelado, ensamble, acabado (impresión y pintura) y empaque. Para un determinado mes, se desea
decidir que cantidad de cada producto debe ser manufacturado y para auxiliarse en esta decisión se
han obtenido los datos mostrados en las tablas 1 y 2. Por otro lado, se conoce que solamente se
tendrá disponible 2,000 pies2 de lámina de metal para ser utilizados en la fabricación de los
productos 2 y 4 durante el mes. El producto 2 requiere de 2.0 pies2 por unidad y el producto 4
requiere 1.2 pies2 por unidad. Formule este problema como un problema de programación lineal, a
fin de maximizar la contribución del beneficio total.
TABLA N° 1
DepartaMento
Trazado
Troquelado
Ensamble
Acabado
Empaque
Tasas de Producción en horas por unidad
Producto 1
Producto 2
Producto 3
Producto 4
0.03
0.15
0.05
0.10
0.06
0.12
0.10
0.05
0.10
0.05
0.12
0.04
0.20
0.03
0.12
0.02
0.06
0.02
0.05
Horas Prod.
Disponibles
400
400
500
450
400
25
Sistemas de Optimización de Recursos
TABLA N° 2
Producto
1
2
3
4
Precio Neto de
Venta / Unidad
$10.00
$25.00
$16.00
$20.00
Costo Variable
por Unidad
$6.00
$15.00
$11.00
$14.00
Potencial de Ventas
Mínimo
Máximo
1,000
6,000
500
500
3,000
100
1,000
FORMULACION:
Variables de Decisión:
Sean:
Xi = Número de Unidades de producto i a producir durante el mes (i = 1, 2, 3)
Función Objetivo:
Maximizar la Función de Beneficio expresada por la ecuación siguiente:
MAX Z = (10 – 6) X1 + (25 – 15) X2 + (16 – 11) X3 + (20 – 14) X4
MAX Z = 4 X1 + 10 X2 + 5 X3 + 6 X4
Restricciones:
a) En tiempo de producción (horas – máquina)
0.03 X1 + 0.15 X2 + 0.05 X3 + 0.10 X4 ≤ 400 (Trazado)
0.06 X1 + 0.12 X2 + 0.00 X3 + 0.10 X4 ≤ 400 (Troquelado)
0.05 X1 + 0.10 X2 + 0.05 X3 + 0.12 X4 ≤ 500
(Ensamble)
0.04 X1 + 0.20 X2 + 0.03 X3 + 0.12 X4 ≤ 450
(Acabado)
0.02 X1 + 0.06 X2 + 0.02 X3 + 0.05 X4 ≤ 400
(Empaque)
b) En disponibilidad de hojas de metal:
2.0 X2 + 1.2 X4 ≤ 2,000
26
Sistemas de Optimización de Recursos
c) Restricción de mínimo de producción y máximas ventas:
1,000 ≥ X1 ≤ 6,000
0 ≥ X2 ≤ 500
500 ≥ X3 ≤ 3,000
100 ≥ X4 ≤ 1,000
d) No Negatividad:
Xi ≥ 0
Ejemplo Nº 5
El Departamento de publicidad de Almacenes Hawai y Cia (AHC) tiene que planear para el
próximo mes una estrategia de publicidad para el lanzamiento de una nueva línea de televisores a
color. La meta de la AHC es llegar al menos al 40% de las familias de ingresos medios. Para esto,
tiene en consideración dos medios diferentes:
Anunciarse en la cadena de T.V. Honolulú – TV
Anunciarse en el periódico Honolulú – Times.
La publicidad por T.V. llega al 2% de las familias de ingresos altos y al 3% de las familias de
ingresos medios (por comercial).
La publicidad en el periódico llega al 3% de las familias de ingresos altos y al 6% de las familias de
ingresos medios (por anuncio).
La publicidad en el periódico tiene un costo de $500.00 por anuncio y la publicidad por T.V. tiene
un costo de $2,000.00 por comercial. La meta de la AAHC es obtener al menos una presentación
como mínimo al 36% de las familias de ingresos altos y al 60% de las familias de ingresos medios,
minimizando los costos de publicidad.
Asumiendo que una persona que está considerando el anuncio y el comercial como una exposición
doble (una exposición mayor que el 100% es posible) construya un modelo de Programación Lineal
para el problema de la AHC:
27
Sistemas de Optimización de Recursos
FORMULACION:
Variables de Decisión:
Sean:
XN = Número de Anuncios en el periódico
XT = Número de Anuncios en Televisión
Función Objetivo:
MIN Z = 500 XN + XT 2000
Restricciones:
XN 0.03 + XT 0.02
XN 0.06 + XT 0.03
≥ 0.36
≥ 0.60
Xi ≥ 0 (i = N, T)
Ejemplo Nº 6
Un gerente de personal debe elaborar un programa de vigilancia para la empresa, de modo que
satisfaga los requerimientos de vigilantes que se muestran en la tabla N° 1.
Tabla N° 1
Requerimientos de Vigilantes
HORARIO DE COBERTURA
Medianoche 4:00 a.m.
4:00 a.m. - 8:00 a.m.
8:00 a.m. - 12:00 m.
12: 00 m - 4:00 p.m.
4:00 p.m. - 8:00 p.m.
8:00 p.m. - medianoche
# MINIMO DE VIGILANTES
REQUERIDOS
5
7
15
7
12
9
Los guardias de seguridad trabajan turnos de 8 horas; y todos los días hay 6 turnos, en la Tabla N° 2
se dan los horarios de entrada y salida de cada turno. El gerente de personal quiere determinar
28
Sistemas de Optimización de Recursos
cuántos guardias deberán trabajar en cada turno, con el objetivo de minimizar el # total de guardias
que satisfagan los requerimientos de vigilancia.
Tabla N° 2
Horarios de entrada y salida
Hora Entrada
Hora Salida
Medianoche
8:00 a.m.
4:00 a.m.
Mediodía
8:00 a.m.
4:00 p.m.
Mediodía
8:00 p.m.
4:00 p.m.
Medianoche
8:00 p.m.
4:00 a.m.
Turno
1
2
3
4
5
6
FORMULACION:
TABLA DE TURNOS / INTERVALOS
Turno
1
2
3
4
5
6
# mínimo
de
vigilantes
requeridos
Medianoche 4:00 a.m. – 8:00 a.m. – Medio día 4:00 p.m. – 8:00 p.m. – 4:00 a.m. 8:00 a.m.
Medio día – 4:00 p.m. 8:00 p.m.
medianoche
X1
X1
X2
X2
X3
X3
X4
X4
X5
X5
X6
X6
5
7
15
7
12
9
Donde:
X1 = # de guardias que entran a trabajar en el turno 1
X2 = # de guardias que entran a trabajar en el turno 2
X3 = # de guardias que entran a trabajar en el turno 3
X4 = # de guardias que entran a trabajar en el turno 4
X5 = # de guardias que entran a trabajar en el turno 5
X6 = # de guardias que entran a trabajar en el turno 6
29
Sistemas de Optimización de Recursos
Tal que:
MIN Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6
Sujeto a:
X6 + X1 ≥ 5
X1 + X2 ≥ 7
X2 + X3 ≥ 15
X3 + X4 ≥ 7
X4 + X5 ≥ 12
X5 + X6 ≥ 9
Xi ≥ 0
(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)
30
Sistemas de Optimización de Recursos
Solución de los Modelos de
Programación Lineal
Solución Gráfica y Solución
Analítica
Procedimiento de Solución por Método
Gráfico:
1. Dibujar el gráfico de coordenadas, seleccionar los
ejes de coordenadas para cada una de de las
variables.
2. Convertir las desigualdades en igualdades y
graficar las rectas que representan dichas
restricciones.
3. Escoger un punto de ensayo.
4. Evaluar la restricción.
5. Determinar si el punto de ensayo satisface la
desigualdad, y seleccionar el área (desigualdad) o
línea (igualdad) que satisfaga la desigualdad o
igualdad.
6. Determinar cual es el polígono de Soluciones
factibles.
7. Evaluar los puntos extremos (Vértices del
polígono)
8. Seleccionar la alternativa y solución óptima
óptima-
Programación Lineal: “El Método Simplex”:
Entendemos que un modelo es lineal cuando las variables, tanto de la Función Objetivo como de las
restricciones son lineales, es decir tiene exponente igual a uno, es decir que no existen variables con
exponente dos o mayor.
Definición: El modelo Simplex es un método algebraico sistemático e iterativo utilizado para resolver
modelos de Programación Lineal, que examinan los vértices de un conjunto convexo, hasta encontrar
la alternativa óptima que resuelve el modelo.
Procedimiento: Todass las restricciones del modelo deben ser transformadas a igualdades, para poder
establecer una solución básica factible inicial, y así poder resolver un sistema de ecuaciones
simultáneas utilizando la Función Objetivo como la referencia para establecer la solución óptima. El
espacio dentro del cual se encuentra delimitada el área definida por todas las restricciones define lo que
se conoce como <polígono de Soluciones Factibles. Cada vértice de dicho Polígono corresponde a una
alternativa que resuelve el sistema
stema de ecuaciones y variables, y la Solución óptima del mismo estará
localizada en uno de sus vértices.
31