C:\MyFiles\variable compleja\restema7.wpd

Nota: Las siguientes líneas son un resumen de las cuestiones que se han tratado en clase sobre
este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido en la bibliografía
recomendada en la Programación de la asignatura.
Tema 7.
analíticas
Teoremas
sobre
funciones
7.1. Desigualdades de Cauchy
Las fórmulas que demostramos a continuación nos proporcionan cotas superiores para los módulos de una
función en un punto y de sus derivadas.
Proposición 7.1.1
Sea f(z) una función analítica en un disco abierto centrado en z0 y de radio R. Si 0 < r < R, denotamos
por Mf (z0, r) = máx {*f(z)*; *z - z0* = r}. Entonces se verifica que para n = 0,1,2,... es
n!
* f (n) (z0)* #
Mf (z0, r)
rn
Nótese que, en especial, * f ) (z0)* #
Mf (z0, r)
r
7.2. Teorema de Liouville
Teorema 7.2.1 de Liouville
Si f(z) es una función entera y acotada, es decir *f(z)* # M para todo z 0 C, entonces f(z) es una función
constante.
7.3. Teorema fundamental del Álgebra
Teorema 7.3.1 Teorema fundamental del Álgebra.
Todo polinomio de grado mayor o igual que uno con coeficientes complejos admite, al menos, una raiz
compleja.
7.4. Principio de los ceros aislados
Se dice que z0 es un cero de la función, f(z), si f(z0)=0. El cero se dice que es aislado, si existe algún
entorno de z0, tal que f(z) … 0 para todo z del entorno tal que z … z0.
0.
Si z0 es un cero no aislado de f(z) se verificará que en todo entorno de z0 existe algún z…z0 tal que f(z) =
Obsérvese que si z0 es un cero no aislado y V = B(z0, r) es un entorno de dicho punto, existe z1 0 V tal
que z1 … z0 con f(z1) = 0. Si ahora tomamos W = V - {z1} sigue siendo un entorno de z0, luego existirá z2 0 W d V
distinto a los anteriores y z2 es otro cero de f(z), tomando ahora W´ = W - {z2} e iterando el proceso indefinidamente
encontramos que:
Si z0 es un cero no aislado de f(z) y V es cualquier entorno de z0 existe una sucesión {zn}n0N de puntos de
V, distintos entre sí, tales que f(zn) = 0 para todo n=1,2,3,....
Proposición 7.4.1
Sea D un dominio de C y f(z) una función analítica en él. Supongamos que existe una sucesión de
puntos de D, (zn)n 0 N tal que lim zn = z0 con zn … z0 y f(zn)=0 para todo n=1,2,.... Entonces, f(z) = 0 para todo
z de D.
Teorema 7.4.2 Principio de los ceros aislados
Sea f(z) una función analítica en D no idénticamente nula. Entonces, los ceros de f(z) en D, si existen,
son aislados.
Como consecuencia, se obtiene que:
Proposición 7.4.3
Si dos funciones analíticas definidas en un dominio, D, coinciden en un cierto entorno, entonces coinciden en
todo D.
7.5. Principio del módulo máximo
Teorema 7.5.1 Principio del módulo máximo.
Si f(z) es una función analítica y no constante en un dominio (un dominio es un conjunto abierto y conexo)
acotado, D, entonces *f(z)* no alcanza el máximo en D.
Como consecuencia inmediata de este teorema podemos enunciar:
Proposición 7.5.1
Si f(z) es analítica en un conjunto, A, cerrado y acotado y f(z) no es constante, el máximo de *f(z)* se alcanza
en un punto de la frontera de A.
Ya que el máximo de *f(z)* existe por ser continua en A que es un conjunto cerrado y acotado. Pero este
máximo, según el principio del módulo máximo no se alcanza en el interior, luego se alcanzará en la frontera de
A.
7.6. Fórmulas integrales de Poisson
Estas fórmulas constituyen, en términos de funciones de variable real, la correspondiente a la Fórmula
integral de Cauchy en determinados recintos. Así, se obtiene el valor de una función en el interior de un conjunto
en función de los valores en la frontera de dicho conjunto.
El interés de estas fórmulas radica, como veremos en el Tema 10, en la resolución de problemas de
ecuaciones en derivadas parciales con condiciones de contorno.
Proposición 7.7.1 Fórmula integral de Poisson para un círculo.
Sea f(z) una función analítica en el círculo *z* # R, llamamos C a la circunferencia del contorno orientada en
forma positiva. Si “z” es un punto interior al círculo, z = rei" con 0<r<R, se tiene que
f(re i")'
1 2B
R 2&r 2
f(Re i2)d2
2
2B m0 R &2Rrcos("&2)%r 2
Si, además, f(r, ") = u(r, ") + iv(r, "), entonces
u(r,")'
1 2B
R 2&r 2
u(R,2)d2;
2
2B m0 R &2Rrcos("&2)%r 2
v(r,")'
1 2B
R 2&r 2
v(R,2)d2
2
2B m0 R &2Rrcos("&2)%r 2
Proposición 7.7.2 Fórmula integral de Poisson para un semiplano.
Sea f(z) una función analítica en el semiplano Im z $ 0 . Si z = x + i y es un punto de este semiplano, entonces
f (z)'
1 %4 y f (t)
dt
B m&4 (t&x)2%y 2
Además se obtienen las dos fórmulas correspondientes a parte real e imaginaria,
es decir,
u(x,y)'
1 %4 y u (t,0)
1 %4 y v (t,0)
dt; v(x,y)'
dt
2
2
m
B &4 (t&x) %y
B m&4 (t&x)2%y 2