II. Bases de Gröbner: Aplicaciones a la codificación algebraica

Bases de Gröbner: aplicaciones a la
codificación algebraica
Propuesta de Curso para la XX Escuela
Venezolana de Matemáticas
Dr. Edgar Martı́nez-Moro, Dr. Carlos Munuera Gómez
Departamento de Matemática Aplicada
16 de marzo de 2006
Bases de Gröbner: aplicaciones a la codificación algebraica
1.
Introducción
En los últimos cuarenta años ha sido abordada una transformación dramática en
nuestra habilidad para manipular sistemas de ecuaciones polinómiales. Comenzando
con el descubrimiento de las bases de Gröbner por B. Buchberger a finales de los
años 60 [4] y apoyado por el espectacular crecimiento de las capacidades de los
ordenadores modernos muchas herramientas de la geometrı́a algebraica clásica han
ganado una gran importancia y a su vez la han hecho más asequible y aplicable.
Recientemente las bases de Gröbner han sido aplicadas en multitud de problemas
por su capacidad de resolver sistemas de ecuaciones polinómiales y como modelo
algebraico de computación.
No es casualidad que el el mismo periodo, desde el artı́culo seminal de C. Shannon
en 1948 [12], muchas herramientas del álgebra clásica han sido aprovechadas para
encontrar códigos correctores de errores con buenas propiedades y para implementar
esquemas de codificación y descodificación de los mismos.
Este transcurrir de ambas disciplinas ha proporcionado diversas y fructı́feras colaboraciones entre ambas hasta a actualidad, donde las interacciones son múltiples
en la investigación actual de ambas. Por este motivo proponemos el curso titulado
Bases de Gröbner: aplicaciones a la codificación algebraica
para la XX Escuela Venezolana de Matemáticas como una introducción a la investigación matemática en la codificación algebraica moderna de suma utilidad para
aquellos investigadores y alumnos que eventualmente deseen comenzar a trabajar
en dicho campo.
Los docentes del curso han venido realizando su trabajo de investigación en este área
y cuentan con más de una treintena de artı́culos internacionales de investigación en
la misma (ver los curricula adjuntos).
2.
2.1.
Objetivos y prerrequisitos
Objetivos
Introducir las técnicas algebraicas básicas de bases de Gröbner necesarias para
la comprensión del ”state of the art”en la teorı́a de códigos.
Mostrar las principales aplicaciones de las bases de Gröbner en la teorı́a de la
codificación, tanto en su parte estructural como en los procesos de codificación
y descodificación, tanto “soft-decoding” como “hard-decoding”.
Mostrar nuevas lı́neas de trabajo en la interacción de ambas disciplinas, tanto
en el marco teórico como aplicado.
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2.2.
Prerrequisitos
El curso puede ser seguido teniendo un conocimiento de un curso básico de estructuras algebraicas que comprenda cuerpos finitos, anillos de polinomios y álgebra conmutativa básica. También serı́a conveniente (aunque no necesario) saber un mı́nimo
inicial de bases de Gröbner y de codificación algebraica para poder profundizar más
en el contenido del curso. Este mı́nimo se puede alcanzar con una lectura previa al
curso del capı́tulo 2 “Groebner bases”(pp. 47–73) del libro [5] y el capı́tulo 2 “Error
detection, correction and decoding”(pp. 5–14) de [7] o textos similares.
3.
Programa del curso
1. TEORÍA BÁSICA DE LAS BASES DE GRÖBNER.
§ Polinomios e ideales. Órdenes monomiales.
§ Algoritmo de división.
§ Bases de Gröbner.
§ S-polinomios y el algoritmo de Buchberger.
§ Bases de Gröbner reducidas.
§ Notas computacionales.
2. BASES DE GRÖBNER DE IDEALES 0-DIMENSIONALES.
§ Álgebras de dimensión finita.
§ Algoritmo de transformación de bases (FGLM).
§ Álgebras semisimples. Transformada de Mattson-Solomon.
§ Notas computacionales, transformación de bases de Gröbner mediante
álgebra lineal.
3. TEORÍA ALGEBRAICA DE LA CODIFICACIÓN.
§ Introducción a los códigos correctores de errores.
§ Códigos cı́clicos.
§ Códigos de Reed-Solomon.
§ La variedad sı́ndrome de Chen-Reed-Helleseth-Truong y sus aplicaciones.
§ La ecuación clave.
§ Bases de Gröbner sobre módulos sobre anillos de polinomios. El algoritmo
de Fitzpatrick para resolver la ecuación clave.
§ Códigos algebro-geométicos.
4. TÓPICOS AVANZADOS.
§ Descodificación en lista de códigos Reed-Solomon mediante bases de
Gröbner.
§ Relaciones entre cotas para la distancia de códigos cı́clicos y descodificación mediante métodos FGLM.
§ Estructura FGLM de los códigos lineales.
§ Bases de Gröbner y descodificación mediante “soft-decision”.
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4.
Bibliografı́a básica
Los temas 1,2 y 3 del curso pueden ser seguidos con facilidad con ayuda de los
textos [6, 7] y de las notas elaboradas para el curso. El tema sobre tópicos avanzados
consiste en recientes avances en la relación entre las bases de Gröbner y la teorı́a
algebraica de la codificación, en el se utilizarán las notas elaboradas para el curso
basadas en:
§ Descodificación en lista de códigos Reed-Solomon mediante bases de Gröbner
[9].
§ Relaciones entre cotas para la distancia de códigos cı́clicos y descodificación
mediante métodos FGLM [11, 10].
§ Estructura FGLM de los códigos lineales [2, 3, 1].
§ Bases de Gröbner y descodificación mediante “soft-decision”[8].
5.
Recursos requeridos para dictar el curso
Se necesitará un videoproyector para señal de ordenador para proyectar las transparecias y exposiciones del curso ası́ como demostraciones con software matemático de
los tópicos impartidos. Los materiales proyectados y de software serán entregados
como material para el alumno.
Referencias
[1] M. Borges-Quintana, M. Borges-Trenard, P. Fitzpatrick, and E. Martı́nezMoro. Gröbner bases and combinatorics for binary codes. Submitted to Appl.
Algebra Engrg. Comm. Comput., 2005.
[2] M. Borges-Quintana, M. Borges-Trenard, and E. Martı́nez-Moro. A general
framework for applying FGLM techniques to linear codes. AAECC 16, Lecture
Notes in Computer Science, 3857:76–86, 2006.
[3] M. Borges-Quintana, M. Borges-Trenard, and E. Martı́nez-Moro. On a Gröbner
bases structure associated to linear codes. Accepted in Journal of Discrete
Mathematical Sciences and Cryptography, 2006.
[4] B. Buchberger. Ein algorithmisches Kriterium für die Lösbarkeit eines algebraischen Gleichungssystems. Aequationes Math., 4:374–383, 1970.
[5] D. Cox, J. Little, and D. O’Shea. Ideals, varieties, and algorithms: An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, second edition,
1997.
[6] D. A. Cox, J. Little, and D. O’Shea. Using algebraic geometry, volume 185 of
Graduate Texts in Mathematics. Springer, New York, second edition, 2005.
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[7] S. Ling and C. Xing. Coding theory, a first course. Cambridge University Press,
Cambridge, 2004.
[8] H. Ohsugi, D. Ikegami, T. Kitamura, and T. Hibi. Gröbner bases of certain zero-dimensional ideals arising in coding theory. Adv. in Appl. Math.,
31(2):420–432, 2003.
[9] H. O’Keeffe and P. Fitzpatrick. Hard and soft-decision list decoding of AG
codes using Gröbner basis solutions to constrained interpolations. submitted to
J. Symbolic Computation, 2005.
[10] E. Orsini and M. Sala. Correcting errors and erasures via the syndrome variety.
J. Pure Appl. Algebra, 200(1-2):191–226, 2005.
[11] M. Sala. Groebner bases and distance of cyclic codes. Appl. Algebra Engrg.
Comm. Comput., 13(2):137–162, 2002.
[12] C. E. Shannon. A mathematical theory of communication. Bell System Tech.
J., 27:379–423, 623–656, 1948.
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