d - Canek

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Derivación implı́cita.
E: Dada la curva definida por
y 3 + 3y 2 = x4 − 3x2
(a) Obtener la ecuación de su recta tangente en el punto (−2, 1)
(b) Determinar en cuántos puntos esta curva tiene rectas tangente horizontales y calcular
las abscisas de dichos puntos.
D: H
(a) Efectı́vamente el punto (−2, 1) pertenece a la curva pues sus coordenadas satisfacen a
la ecuación:
13 + 3 × 12 = (−2)4 − 3(−2)2 ⇔ 1 + 3 = 16 − 3(4) ⇔ 4 = 16 − 12
dy
Suponemos que y = φ(x) y calculamos
derivando implı́citamente con respecto a x.
dx
d 4
d 3
(y + 3y 2 ) =
(x − 3x2 )
dx
dx
d 3
d
d 4
d
(y ) + 3 (y 2 ) =
(x ) − 3 (x2 )
dx
dx
dx
dx
Aplicando la regla de la potencia:
dy
dy
+ 3(2y ) = 4x3 − 3(2x)
dx
dx
dy
dy
3y 2
+ 6y
= 4x3 − 6x
dx
dx
dy
(3y 2 + 6y)
= 4x3 − 6x
dx
4x3 − 6x
dy
= 2
dx
3y + 6y
3y 2
Calculamos la pendiente m de la recta tangente evaluando
dy
en el punto P (−2, 1)
dx
4(−2)3 − 6(−2)
4(−8) + 12
−32 + 12
−20
20
=
=
=
⇒ m=−
2
3(1) + 6(1)
3+6
9
9
9
La ecuación de la recta tangente es:
m=
20
[x − (−2)]
9
20
y − 1 = − (x + 2)
9
40
20
+1
y =− x−
9
9
20
31
y =− x−
9
9
y−1=−
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canek.azc.uam.mx: 23/ 2/ 2007
1
2
(b) En los puntos Q(x, y) donde la curva tiene rectas tangentes horizontales
dy
m = 0 o sea que
= 0.
dx
dy
4x3 − 6x
= 2
= 0 ⇔ 4x3 − 6x = 0 ⇔ 2x(2x2 − 3) = 0 ⇔
dx
3y + 6y





(

x
=
0


x
=
0
r
x = 0
2x = 0
3 ⇔
⇔
⇔
⇔
3 ⇒
2x2 = 3
2x2 − 3 = 0
 x = ±
x2 =



2
2


se cumple que
x = r
0
x =
3
2
r
3
2
Entonces son 3 puntos donde esta curva tiene rectas tangentes horizontales y las abscisas
de dichos puntos son:
r
r
3
3
, x2 = 0 y x3 =
x1 = −
2
2
x = −