Tema I. Matrices y determinantes 1. Matrices sobre un cuerpo ©2007 Carmen Moreno Valencia 2. Operaciones con matrices 3. Determinante de una matriz cuadrada 4. Menor complementario y adjunto 5. Cálculo de determinantes 6. Inversa de una matriz cuadrada 7. Rango de una matriz 1. Matrices sobre un cuerpo Definición. Sea K un cuerpo. Se llama matriz A de m filas y n columnas sobre K al conjunto de mn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas, a11 a 21 A = a31 a m1 a12 a22 a32 a13 a23 a33 am 2 am 3 a1n a2 n a3n amn • A = ( aij), i=1, 2, ..., m; aij ŒK Matrices 2 j=1, 2, ..., n. • El elemento que ocupa la fila i y la columna j se representa aij, 2. Producto por escalares • Mmxn(K): Conjunto de todas las matrices sobre K de m filas y n columnas. Ej. 1 π 1 2 2 −1 ∈ M 3×2 (R) − 2 • Matriz Fila: A ŒM1xn(K) A = (1 π Matrices 3 −1) ∈ M 1×3 (R) • Matriz Columna: AŒMmx1(K) 1 A = 3 ∈ M 3×1 (R) 2 • Matriz cuadrada de orden n: AŒMnxn(K). Tiene el mismo número de filas que de columnas • Diagonal Principal de A la forman los elementos de la forma aii (iguales subíndices) Matrices 4 • Matriz cuadrada diagonal: Sus únicos elementos no nulos son los de la diagonal principal. • Matriz cuadrada unidad In :(o Identidad) Matriz cuadrada diagonal con unos en la diagonal principal y ceros en las restantes posiciones: aii=1; aij=0, iπj • Matriz triangular Una matriz cuadrada A = ( aij ) se dice que es triangular si, o bien por encima o bien por debajo de la diagonal, los elementos son todos nulos, es decir, aij = 0 para todo i < j o bien aij = 0 para todo i >j Matrices 5 • Dos matrices, A,B ŒMmxn(K) son iguales cuando aij=bij, i=1,..., m, j=1,...,n •Se llama submatriz de A a toda matriz obtenida de eliminar filas y/o columnas de A. Ej. 1 −2 −1 A = 2 4 0 −1 ∈ M (R) 3 1 −2 Una submatriz de A es B = 2 4 ∈ M 3×2 (R) 0 −1 3 0 2. Operaciones con matrices 1. Suma Sean A,B ŒMmxn(K). A = ( aij), B = ( bij) ¾ A+B = ( cij) ŒMmxn(K) con cada cij=aij+bij i=1,..., m, j=1,...,n Ej. 1 −1 A= 2 1 1 A+ B = 4 0 0 0 1 , B= ∈ M 2×3 (R) 0 2 1 −1 −1 1 ∈ M 2×3 (R) 2 −1 • (Mmxn(K), +): Grupo Abeliano • El elemento neutro 0 = (0)i =1,..,m j =1,.., n • La opuesta de A: − A = (− aij )i =1,..,m j =1,.., n 0 = 0 − a11 = −a m1 Matrices 6 0 0 − a1n − amn 2. Producto por escalares λŒK, A ŒMmxn(K) λ ⋅ A = λ ⋅ ( aij )i =1,..,m = ( λ ⋅ aij )i =1,..,m = j =1,.., n λ a11 = λa m1 j =1,.., n λ a1n λ amn Ejemplo (Mmxn(K), +, ·): Espacio vectorial sobre K 3. Producto de matrices Matrices 7 • A·B: nº de Columnas de A = nº Filas de B • AŒMmxn, BŒMnxp , se define la matriz producto C= A · B = (cij), ŒMmxp cij = ai1·b1j + ai2·b2j + ai3·b3j + . . . + ain· bnj k =n = ∑ aik ⋅ bkj k =1 Ejemplo Matrices 8 Propiedades • Asociativa A(BC)=(AB)C •Distributiva resp.de la suma A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC • λ·(AB)=(λ·A)B=A(λ·B) (Mn(K), +, ·): Anillo unitario Unidad del anillo: In: A· In= In·A=A • El producto de matrices no es conmutativo: 4. Matriz traspuesta Dada A = ( aij) ŒMmxn(K), la matriz Traspuesta de A, At=(bij) ŒMnxm(K), bij=aji, i=1,..,n; j=i,..,m Matrices 9 Propiedades Sean A, BŒMmxn(K) , C ŒMnxp (K). • (A+B)t=At+Bt • (AC)t=CtAt • (At)t=A • (λA)t=λ(A)t ¾ Una matriz cuadrada es simétrica si A = At, (aij = aji para todos i, j) Sus elementos tienen simetría respecto de la diagonal principal. Matrices 10 ¾ Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = -At, (aij = -aji para todos i, j) Los elementos de la diagonal principal son nulos 0 −1 −2 0 1 2 A = 1 0 −1 , At = −1 0 1 2 1 0 −2 −1 0 A = -At : A Antisimétrica 9 Toda matriz cuadrada se descompone como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica: aij + a ji aij − a ji A=(aij), aij = + = 2 2 = bij + cij a ji + aij La matriz (bi j ) es simetrica : b ji = = bij 2 y la matriz (cij ) es antisimetrica : c ji = Luego, (aij)=(bij)+(cij) a ji − aij 2 = −cij Matrices 11 3. Determinante de una matriz cuadrada • Sea A ŒMn(K), el determinante de A, es un elemento de K dado por la aplicación: det : M n ( K ) → K A det( A) = A := = sg (σ ) ⋅ a σ ∑ σ 1 (1) ∈Sn ⋅a2σ (2) ⋅… ⋅ anσ ( n ) • En det(A) aparecen n! sumandos Determinantes de orden dos n=2 a11 a12 A= a a 21 22 S2, car(S2)=2!=2 S 2 = {σ 1 ,σ 2 } 1 σ1 = 1 1 σ2 = 2 2 = i2 sg (σ 1 ) = +1 2 2 = (1 2) sg (σ 2 ) = −1 1 A= sg (σ ) ⋅ a σ ∑ σ 1 (1) ∈S2 ⋅a2σ (2) = Matrices 12 = sg (σ 1 )a1σ1 (1) ⋅ a2σ1 (2) + sg (σ 2 )a1σ 2 (1) ⋅ a2σ 2 (2) = σ =σ 1 σ =σ 2 = (+1)a11 ⋅ a22 + (−1)a12 ⋅ a21 = a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21 a11 a12 A= = a11⋅a22 − a21⋅a12 a a 21 22 Ejemplo 2 −3 A= = 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ (−3) = 18 4 3 Determinantes de orden tres. Regla de Sarrus n=3 a11 a12 A = a21 a22 a 31 a32 a13 a23 a33 S3, car(S3)=3!=6 S3 = {σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ,σ 4 ,σ 5, σ 6 } Matrices 13 1 σ1 = 1 1 σ2 = 1 2 3 = i3 sg (σ 1 ) = +1 2 3 2 3 = (2 3) sg (σ 2 ) = −1 3 2 1 σ3 = 2 1 σ4 = 2 1 σ5 = 3 1 σ6 = 3 2 3 = (1 2) sg (σ 3 ) = −1 1 3 2 3 = (1 2 3) sg (σ 4 ) = +1 3 1 2 3 = (1 3 2) sg (σ 5 ) = +1 1 2 2 3 = (1 3) sg (σ 6 ) = −1 2 1 a11 a12 det( A) = A = a21 a22 a31 a32 = sg (σ ) ⋅ a σ ∑ σ ∈S3 1 (1) a13 a23 = a33 ⋅ a2σ (2) ⋅ a3σ (3) = Matrices 14 = ( +1)a11a22a33 + ( −1)a11a23a32 + ( −1)a12a21a33 + σ1 σ2 σ3 + ( +1)a12a23a31 + ( +1)a13a21a32 + ( −1)a13a22a31 = σ4 σ5 σ6 = (a11a22a33 + a12a23 a31 + a21a32a13 ) − −(a13a22a31 + a12a21a33 + a23 a32a11 ) ¾ Ejemplo 1 -2 3 4 5 -2 =(5+0+(-12))-(0+(-8)+2)=1 0 -1 1 Matrices 15 Propiedades de los determinantes Sea A ŒMn(K) 1. A= A t 2. Si en un determinante hay una fila (o columna) de ceros, el determinante es nulo. 3. a11 a1n a11 ain λ ai1 λ ain = λ ai1 ain an1 ann ann an1 4. a11 ai1 + bi1 an1 Matrices 16 a1n a11 ain + bin = bi1 ann an1 a1n a11 a1n bin + ai1 ain ann ann an1 5. Si se intercambia una fila por otra, el determinante cambia de signo 6. Si hay dos filas (columnas) iguales, det(A)=0 7. Si a una fila se le suma una combinación lineal de las restantes filas, el determinante no varía. Matrices 17 8. Si A, BŒMn(K), AB = A B 9. Si una fila es combinación lineal de las restantes filas, el determinante es cero 10. (desarrollo de ÍAÍ a través de los elementos de una fila cualquiera). El ÍAÍ viene dado por la suma de los productos de los elementos de la fila i por sus correspondientes adjuntos: ÍA Í= ai1◊Ai1+ ai2◊Ai2+ ai3◊Ai3+...+ ain◊Ain= k =n = ∑ aik Aik k =1 11. ai1◊Aj1+ donde los Aik son los correspondientes adjuntos ai2◊Aj2+ ai3◊Aj3+...+ ain◊Ajn=0 (iπj) La suma de los productos de los elementos de una fila -i- por los adjuntos de otra fila -j-, es 0 4. Menor complementario y adjunto Matrices 18 Definiciones ¾ Sea AŒMn(K), y aij un elemento de A. Se llama menor complementario del elemento aij, y se nota αij, al determinante de la submatriz cuadrada de A que resulta de eliminar la fila i y la columna j de A. ¾ Se llama adjunto del elemento aij, y se nota Aij, al valor: Aij=(-1)i+j αij ¾ Matriz adjunta de A, Adj(A)=(Aij), matriz de los adjuntos. Ejemplo 1 2 −2 A = 0 −1 3 1 3 1 Matrices 19 ¾Menores Complementarios −1 3 0 3 = −10 α12 = α11 = = −3 α13 = 0 −1 = 1 3 1 1 1 1 3 2 −2 =8 α 21 = 3 1 1 −2 α 22 = =3 1 1 1 2 α 23 = =1 1 3 2 −2 = 4 α 32 = 1 −2 = 3 α 33 = 1 2 = −1 α 31 = −1 3 0 3 0 −1 ¾ Adjuntos A11=+α11=-10 A12=-α12=3 A21=-α21=-8 A22=+α22=3 A31=+α31=4 A13=+α13=1 A23=-α23=-1 A32=-α32=-3 A33=+α33=-1 −10 3 1 ¾ Adjunta de A: Adj ( A) = −8 3 −1 4 −3 −1 5. Cálculo de determinantes Matrices 20 9Órdenes dos y tres: Definición / Sarrus 9Orden mayor o igual tres ¾ Método del Pivote / Desarrollo por la fila del pivote (prop. 10) 1º Elegir un elemento como pivote (±1), (a11) a11 a1n an1 ann A= 2º Obtener ceros en la fila (columna) del pivote, sumando combinaciones lineales de la columna (fila) del pivote (prop. 7) a11 0 0 A= an1 ann 3º Desarrollar el determinante por la fila (columna) del pivote.(prop. 10) A = a11 A11 + 0 A12 + … + 0 A1n = a11 A11 Orden n Matrices 21 Orden n-1 Ejemplo 1 0 1 2 −1 1 1 3 2 −1 −1 1 = 2 2 −2C1+C 4 1 3 2 −1 0 − C 1+C 3 1 2 1 1 3 0 0 0 3 1 = 1 0 −1 −2 −3 1 = 1 ⋅ A11 = (−1)1+1 3 1 0 = 19 −1 −2 −3 ¾ Por triangulación Transformar el det(A) en el determinante de una matriz triangular = a11·...·ann Matrices 22 Ejemplo 1 1 1 F 1+ F 2 −1 1 0 5 3 5 = −5 F 1+ F 3 1 1 1 F 2+ F 3 0 2 1 = 0 −2 0 1 1 1 = 0 2 1 = 1 ⋅ 2 ⋅1 = 2 0 0 1 6. Matriz inversa • (Mn(K),+,·) Anillo Unitario (no cuerpo) •AŒMn(K) es regular si existe BŒMn(K) tal que A·B=B·A=In (B es la inversa de A: B=A-1) • En otro caso, A es singular Teorema Sea AŒMn(K). (1) A posee inversa si y sólo si ΩAΩπ0 1 −1 (2) En ese caso, A = adj ( At ) A Ejemplo Matrices 23 7. Rango de una matriz • Sea AŒMmxn(K). Un menor de A es el determinante de cualquier submatriz cuadrada de A. • se llama rango de A al mayor orden posible de un menor no nulo de A. 9 Propiedades • r(A)=r(At) • r(A)£min{m,n} • Si a una fila (columna) se le suma una c.l.del resto (o un múltiplo de otra), el rango no varía. Matrices 24 • Si una fila (columna) es c.l. del resto, el r(A) coincide con el de la submatriz obtenida al eliminar dicha fila (columna) de A ¾ En resumen, el rango de A no varía al realizar operaciones elementales sobre A, tales como: Intercambio de filas, multiplicar una fila por un escalar, sumar a una fila un múltiplo de otra o una c.l. de las restantes.. ¾Matriz escalonada: Ceros bajo la diagonal principal: aij=0, i>j. •Su rango=nºfilas no nulas completamente Ejemplos de matrices escalonadas: Matrices triangulares 3 2 −1 0 −1 1 A= 0 0 7 0 0 0 2 1 4 −1 0 B = 0 0 0 2 9 0 0 0 0 1 r(B)=3 5 4 , r ( A) = 4 4 1 Método de Gauss Matrices 25 Para obtener el rango de una matriz A ¾ Transformar A≡···· ≡A´escalonada Operaciones elementales Ejemplo 1 0 -1 3 − F 1+F 2 1 A = 1 2 -3 1 ≡ 0 1 3 -4 0 − F 1+F 3 0 − 32 F 2+F 3 1 0 -1 3 0 2 -2 −2 = A´ ≡ 0 0 0 0 r(A)=r(A´)=2 0 2 3 -1 3 -2 −2 ≡ -3 −3 Algoritmo de cálculo del rango Matrices 26 Ω1Ωπ0fir(A)≥1 ¿Rango dos? fir(A)≥2 ¿Rango tres? Luego el rango es dos