3.2 Operaciones con matrices Las matrices operan con un álgebra muy parecida a la que estamos acostumbrados. Sin embargo, debemos tener cuidado puesto que estamos trabajando con mxn elementos en cada matriz. Suma y resta de matrices La suma y la resta de matrices se hace celda por celda, es decir: a11 a12 b11 b12 A= B= a21 a22 b21 b22 A+B = A-B = a11+b11 a12+b12 a21 +b21 a22+b22 a11-b11 a12-b12 a21-b21 a22-b22 En general se dice que sí A = (aij)m×n y B = (bij)p×q de la misma dimensión (equidimensionales): m = p y n = q es otra matriz C = A+B = (cij)m×n = (aij+bij) y D = A-B = (dij)m×n. Ejemplo: 1 3 -2 3 0 1 -8 6 7 1 3 -2 3 0 1 -8 6 7 + 0 -5 6 1 -3 4 4 5 5 - 0 -5 6 1 -3 4 4 5 5 = 1 4 -4 -2 4 -3 5 11 12 = 1 8 2 3 -12 1 -8 -3 2 A la suma y resta en conjunto se le puede denominar simplemente suma algebraica. Esta operación tiene las siguientes propiedades: Asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C Conmutativa : A+B = B+A Elemento neutro: (matriz cero 0m×n), 0+A = A+0 = A Elemento simétrico: (matriz opuesta -A), A + (-A) = (-A) + A = 0 Multiplicación de un escalar por una matriz Toda matriz puede ser multiplicada por un número, llamado escalar, el cual multiplica a cada uno los elementos de la matriz: λA = λa11 λa12 λa21 λa22 En general se dice que si A = (aij)m×n y λ∈R ⇒ λA =(λaij)m×n Ejemplo: 1 3 -2 3 0 1 -8 6 7 4⋅ = 4 12 -32 12 -8 0 4 24 28 Esta operación tiene las siguientes propiedades: Asociativa: λ(µA) = (λµ)A Distributiva en matrices: λ(A+B) =λA+λB Distributiva en los escalares: (λ+µ)A = λA+µA Neutro en escalares: ∃ 1∈R | 1·A = A ∀Amxn Producto de matrices Dos matrices pueden ser multiplicadas si cumplen en sus dimensiones la regla general: Amxk y Bkxq, es decir, las columnas en A son iguales a las filas de B. a11 a12 A= b11 b12 b13 b21 b22 b23 B= a21 a22 A·B = a11b11+ a12b21 a11b12 +a12b22 a11b13+a12+b23 a21b11+a22b21 a21b12+a22b22 a21b13+a22b23 Ejemplo: 1 -2 1·0+ (-2)·4 0 -5 6 = 3 1 4 5 5 1(-5)+(-2)5 1·6+(-2)5 3(-5)+1·5 3·6+1·5 3·0+1·4 -7 -15 -4 7 -10 23 = En general se dice que dadas dos matrices A = (aij)m×k y B = (bij)k×q, es decir, el número de columnas de la primera matriz A es igual al número de filas de la matriz B, se define el producto AB de la siguiente forma: El producto de matrices tiene las siguientes propiedades: Es asociativa en el producto: A(BC) = (AB)C El producto de matrices en general NO es conmutativo. Neutro en matrices. Si A es una matriz cuadrada de orden n ∃ In | AIn = InA = A. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A(B + C) = AB + AC Consecuencias de las propiedades 1. 2. 3. 4. Si AB= 0 no implica que A=0 ó B=0 Si AB=AC no implica que B = C. En general (A+B)2 ≠ A2 + B2 +2AB,ya que AB ≠ BA. En general (A+B)(A–B) ≠ A2–B2, ya que AB ≠ BA.