● Ceros y polos. Ahora supongamos que p(z) y q(z) son funciones analíticas y: , y entonces es un polo simple y la razón p(z)/q(z) tiene como residuo Teoría de los residuos Resumen (método básico para encontrar los polos y residuos): Supongamos que tenemos la serie de Laurent Notamos que Además, es un polo de orden k. Teoría de los residuos Entonces si multiplicamos f(z) por tenemos que Teoría de los residuos Ahora, supongamos que sabemos el orden k del polo (por ejemplo usando el método anterior). Entonces considerando la función tenemos que De aquí que derivando k-1 veces: Teoría de los residuos O bien, sustituyendo g(z), tenemos Cuando reduce a: es un polo simple, el resultado anterior se Aplicaciones de la teoría de los residuos ● La teoría de residuos tiene muchas aplicaciones en matemáticas aplicadas y física Por ejemplo, está teoría es muy útil para calculo de varios tipos de integrales reales. Por mencionar dos ejemplos: ● integrales de la forma: ● e integrales impropias Aplicaciones de la teoría de los residuos ● Integrales impropias En Cálculo la integral impropia de una función continua se define como Cuando los límites existen se dice que la integral converge Aplicaciones de la teoría de los residuos O bien, y cuando los límites existen se dice que la integral converge. ● Comentario: los límites pueden existir, pero la integral impropia no. Aplicaciones de la teoría de los residuos Con este motivo se introduce el valor principal de Cauchy o simplemente, valor principal (VP): siempre que los límites existen. ● Comentarios: - La existencia del valor principal no asegura que la integral impropia sea convergente - Si la integral impropia existe, ésta es igual al valor principal Aplicaciones de la teoría de los residuos El procedimiento utilizado en el ejemplo anterior puede aplicarse a una clase general de integrandos, pues éste depende de dos condiciones: ● ● f(z) sea analítica en el eje real y encima de él, excepto por un número finito de singularidades aisladas (en la parte superior del plano complejo). Aplicaciones de la teoría de los residuos De esta forma se puede demostrar que si P(z) y Q(z) son dos polinomios de grado m y n, respectivamente, y entonces para :semicírculo superior Aplicaciones de la teoría de los residuos ● Integrales impropias de la forma: , Este tipo de integrales aparecen en problemas relacionados con el análisis de Fourier. En particular, consideremos que Aplicaciones de la teoría de los residuos ● Lema de Jordan: Si f(z) es una función tal que entonces : semicircunferencia superior y (con a negativo se toma la semicircunferencia inferior) Aplicaciones de la teoría de los residuos Caso particular: Sea con p(z) y q(z) polinomios de grado m y n, respectivamente y Aplicaciones de la teoría de los residuos Ejemplo. Evalue la integral definiendo (rozamiento,disipación) frecuencia natural y Aplicaciones de la teoría de los residuos Si t'>t consideramos el contorno cerrado superior, pero para este contorno la integral es nula. Si t'<t entonces consideramos el contorno cerrado inferior y usamos el lema de Jordan Aplicaciones de la teoría de los residuos Comentarios: ● ● ● ● La posición de una partícula sujeta a una fuerza tipo muelle, con rozamiento y una fuerza externa viene dada por La posición de los polos es un ingrediente determinante: si los polos hubieran estado en el semieje superior, la posición de la partícula estaría determinada por la acción de f(t) en el futuro ! Notemos que si la viscosidad del medio es nula, i.e, entonces los polos se encuentran en el eje real y no hay distinción entre el “pasado” y el “futuro” De aquí que la disipación es un elemento que da “sentido” al sentido del tiempo. , ● Aplicaciones de la teoría de los residuos Polos sobre el contorno de integración Teorema: Si f(z) es una función con un polo simple en con una representación en serie de Laurent en el disco (perforado) y residuo , entonces : semicircunferencia recorrida en el sentido negativo con Aplicaciones de la teoría de los residuos Integrando ambos lados sobre el contorno : Aplicaciones de la teoría de los residuos ● Integrales de funciones multivaluadas (con corte ramal.