ϕλ ϕ

CARLOS MIGUEL ÁLVAREZ GONZALEZ
JESÚS MIGUEL SIMÓN MARTÍN
SANTOS ZAMBRANO AGUDO
12.-Sea el problema no homogéneo y’’= f(x), 0 ≤ x ≤ L,
y(0)=y’(L)=0.
a) Encuentra las autofunciones normalizadas del operador
∂2
∂x 2
para las condiciones de contorno dadas.
Para encontrar las autofunciones del operador derivada segunda resolvemos
la ecuación siguiente
∂ 2ϕ n
= − λ nϕ n
∂x 2
El tipo de raíces que encontremos depende del signo de λn, por lo que
veremos todos los casos.
Caso λn =0
∂ 2ϕ n
= −λ nϕ n = 0 . Integrando obtenemos ϕ n :
En este caso tenemos que
∂x 2
∂ ϕn
= ∫ 0d x = cte ≡ A
∂x
ϕ n = ∫ Adx = Ax + B
Aplicamos las condiciones de contorno:
ϕ n ( 0) = 0 ⇒ B = 0
ϕ n ' ( L) = A x = L = 0 ⇒ A = 0
Llegamos de este modo a la solución trivial A=B=0.
Caso λn <0
Si -λn >0 la solución será del tipo exponencial
ϕ n ( x) = Ae
− λn x
+ Be
− − λn x
Aplicamos las condiciones de contorno:
ϕ n (0) = 0 ⇒ Ae 0 + Be 0 = 0 ⇒ A = − B
ϕ n ' ( L) = A − λn e
− λn x
− B − λn e
− − λn x
x=L
= A( − λ n e
− λn x
+ − λn e
La única manera de que esto sea cero es que sea A = 0:
⇒ A= B=0
Llegamos nuevamente a la solución trivial.
Caso λn >0
Si -λn >0 las raíces serán complejas y la solución vendrá dada por una
combinación de funciones trigonométricas:
ϕ n ( x) = A cos λ n x + B sin λ n x
Aplicamos las condiciones de contorno:
ϕ n (0) = 0 ⇒ A = 0
ϕ n ' ( L) = B λn cos λn x
x =L
=0
− − λn x
) x=L = 0
Para que esta condición sea cero debe ser cos λn L sea cero,ya que las
otras dos alternativas nos conducirían a la solución trivial.
cos λn L = 0 ⇒ λn L = (2n + 1)
Π
Π
⇒ λn = (2n + 1)
2
2L
Ahora obtendremos el valor de B que normaliza las autofunciones
obtenidas.Para ello
ϕ n2 = 1
L
L
L
1 = ∫ ϕ nϕ n dx = B 2 ∫ sin 2
0
0
 x sin 2 λ n x 

sin 2 λ n L 
2 L
λ n xdx = B 2  −
 =B  −

4 λ n  0
4 λ n 
 2
 2
Nuestro propósito es hallar la constante de normalización para ello
despejamos B:
B=
1
 L sin 2 λn L 
 −

2
4 λn 

Sustituyendo la expresión obtenida para los autovalores:
B=
1

Π 

sin(2(2n + 1)
)
2 
L−
2
Π 
4(2n + 1)

2 L 

Desarrollando el seno tenemos:
sin 2(2 + 1) = sin(2 + 1)= sin 2 cos + cos 2 sin =0
Vemos que el desarrollo se anula por tanto, nos queda:
2
=
Ya tenemos el valor de la autofunción,que es:
2
(2 + 1)
= sin
L
2
b)Escribe la función de Green G(x,x´)mediante desarrollo en serie.
El desarrollo lo obtenemos sustituyendo en la expresión siguiente el valor
obtenido para las autofunciones (las cuales ya están normalizadas):
G(x, ) =∑!
"#
() ()
n
Sustituimos tomando para λ el valor cero y el resultado es el siguiente:
G(x,
%
&
)=∑!
"#
'()(
%*+,
%*+,
- )'()(
.)
& %
& %
%
(%*+)
0%
/&%
%*+,
%*+,
12 '()( & % 3) '()( & % .)
=∑!
"# 0 %
(45)%
El desarrollo en serie de la función de Green es:
G(x, )=
DH*IC
DH*IC
! EFG( B D J) EFG( B D )
∑
H"K
CD
(DH4I)D
AB
c) Obtén G(x, ) en forma cerrada.
Sea la ecuación diferencial se Sturm-Liouville no homogénea:
LM
= N()
L Donde 0≤x≤L, y (0) = y’(L) = 0. Calculemos la función de Green de este
problema. La solución general de la homogénea:
LM
=0
L Será:
y(x) =A+B(x)
y1(x) = A1+B1x es la solución que satisface la condición de contorno en
x=0:
y1(0)=0=> A1+B1x = 0=>A1=0
y2(x) = A2+B2x es la solución que satisface la condición de contorno en
x=L:
y2’(L)=0=>B2=0
Por lo tanto, la función de Green será:
[ (\),
G(x,ξ) = Z 5
[ (\) ,
0≤ <\^
0<≤\
Aplicando las condiciones de continuidad de G en ξ y de discontinuidad
de G’ en ξ, podremos calcular C1 y C2:
C1 (ξ)ξ-C2 (ξ) = 0
-C1(ξ) =
5
e(f)
En nuestro caso P(x)=1, por lo tanto:
C1 (ξ)ξ-C2 (ξ) = 0
-C1(ξ) = 1
Resolviendo el sistema tenemos:
C1=-1 C2 (ξ)=-ξ
Por lo tanto, nuestra función de Green será:
−
G(x,ξ = Z
–\
0≤≤\
^
\≤≤
d) Encontrar la solución del problema para el caso particular f(x) = x2
con L = 1.
Para este caso, aplicamos la siguiente fórmula:
2
M() = k l(, \)N() L\
#
Por tanto nos queda:
2
M() = k l(, \)\ L\
#
Dividimos la integral en dos:
\m ^
\ p ^
M() = k −\\ L\ + k −\ L\ = −
o − r =
4
3
#
0
-
2
p p
m − 4p
m
= −s t − s − t =
3
4
3
12
En el caso de que L sea igual a 1, tendremos.
M( ) =
- / m5
=
-
5
( p − 4)