NOT Sobre algunas funciones A S trascenc/entes En [21 J. Garavito define enteras. las siguientes funciones : (1) xl/(x) = X 2 11 + __ +",+ X /I J + _ 11! (211)' las cuales convergen para todo x E~· es decir. que X,/x) X k 11 __ +". t kn )! kn 00 '" ~ _x__ k=o (k1l)! , Y demuestra enseguida que x~1I)(x) = XJx), es soluci6n de la ecuaci6n diferencial lineal homoqenea usaido el metodo de Euler [1; paqs , 110-1111 encontramos las si- /1/)_y=O,' guientes soluciones linealmente independientes = Yk(x) . donde '/I = ex p (277 il1/) exp ! I;kx) , k 11 = 0,1, es una raiz primitiva ... ,11-1 , »-esima de 1. Es facll verificar que . (/k (2) exp '"/I k = O. x /.k X ) _ J,.... 1/- /k(n-2)xl/ (11-]) - X 1/ + '" III/ + ••• + s 1/ 11 + /k(11-])X' S 11 11 ' J , y como el determinante I; 11- J 11 ¥ ,1/11 J. .. I; (11- J )(11- 1) 1/ (pues es un Vandermonde y las cantidades 312 0 1/-1 1. I; , ... 1/ , I; 11 son di stintas entre , si) ,las dientes. (n-I)" Xn' Xn , ". ., Xn 'Xn 10 obtieqe Garavito, Este resultado Sumando las ecuaciones n-L I k=o k x)=nX n exp(' son soluciones n reales linealmente indepen- pero su argumento es incorrecto. en (2) obt enernos ( n (x)+xn- 1) (n-I I' k=o k) + ••• +x'(x) n n c: ( n-L I k=o (l)k n ) =nX n t x) pues cad a suma entre parentesls, en el miembro derecho, vale cero ya que las '/' n-L exp (, n k=o n =2 en (3), que obtiene necesario adivinar Garavito sistema (2) X· (x), ' , ., n Y bastante , n = sh x , X~(x) cuandopasa complicado se pueden encontrar x n(n·l)(x) x ) , usando una inteqracion en Garavito a 10 largo de un canlno n obtenemos Xn ix) = ch x resultado .. esdecir, k = 1. I X (») n Poniendo r',... +t+I son las rafces'deillolinomio j=I,.",n·l, >3 . expresiones de variable *. compleja; real a variable Aplicando Garavito] es complejal la regia de Cramer mas complicadas [Esto no 10 menciona - (en variable al que (3) para . Strvlendo se de exp (, n x) = x n +' (n-I) n xn (n·I) +••. + , n .• X n y de las relaciones ;-k= '" n Garavito obtiene 2k1T. + , sen --, 2k1T cos __ n n la siguiente generalizacion • Aqui mue str a al gun conocimiento sabre las k-O- ,1" .. , n- 1 , de la formula de Euler superficies (x E.1R) de Riemann 313 (4) e xp (, n x ) = [X + la cual coincide con n + X (n-1) 2TT sen + ••• + X' sen n n " [X(n-1) n t e x p l ix) = carse tras senci Ilos y rutinarios U s aido tes para (n-1)2TT1 n i s en x tomando cos x } k Luego Garavito x) , k = 2, estudia ' , " calcu los. expres iones semej an- n-1 , con un poco mas de detalle miento sigue las siguientes ' como puede verifi- n=4, Ias otras expresi ones en (2), podri an obtenerse exp ('n (n-1) 2TT 1 n- 2TT + ... + X' cos n n cos n pautas : Observa el case n=3. Su razona- que y hace obteniendo u+v+w=o dul dx = dvl dx = w , dwl dk =u (5 ) Tomando '3 = t + t i tes reales e imaqinarias 11 V3 314 cP + i sen cP, cP = TTI3 Y comparando las par- de (5), obtiene = exp(-xcosCP)[sen(xsenCP+TT/3)lsenCP] v = e xpt-« x cos cp) [sen (x sen cP + TT) I sen cP 1 u: = exp (-x (x sen cP + 4 TT13)1 sen .Esta ultima es incorrecta vaentoncesque = -cos 1I,V,W cos cp) [sen pues debiera aparecer 2TTI3 separecenalasfuncionesauxiliares cP 1 en vez de 4TTI3 °1,°2,°3 ! Obser- deJa- cobi, que permiten de las funciones estudiar las funciones t. analiticas, de Xn(x). 476-481] (6) Cj) n donde Teoria . Para n > Xn i z) mo punto n .l:I (() = algebraico 2! para relacion 1 1, a excepcion es una funcion z n analitica en el punto «] del misn-for- 1, (Vease {2 112 (w ~1) - - 3! obtenemos ( w -1) La mayoria de los resultados usando el metodo de Euler. CJl (w) del punto de orden n =2, ri enen faci Imente del estud io cuidadoso mente de = ' Usando (il) es pos i bl e, teori camente, en contrar los prirneroster- /"2 estudiar ••• (3 nr. )1 (2n)1 deduce que Cj)n(w) Arc ch w = - irnpidio 2n + ~+ (6) en una vecindad minos de (6). Asi, por ejemplo, Comentarios: Mir, Moscu, 1970, paqs. (=0 n L + n. 1. De aquise l. de Lagrange (w_1)kln. d( la expresion paq. 481] de inversion t.l, analiticas, k 1 d · . [yn((Jkln) k 1 me con un punto de ramiflcacicn [3; el procedimiento de la funcion y y siendo vauda Teoria pero de alii no pasa. es la de las propiedades de las funciones i: = A, Markushevich, obtenemos 1, (w) = z = 2... k= 1 k! w Garavito Parece desconocer [A. Markushevich, [cfr. 2, Mir, Moscu, 1970], Otra pregunta que no absuelve inversa elipticas = log w = de z. con algunas (htpoteticasl Xn(z) + ••• de Garavito en su trabajo del procedirniento '" W , n > 1 , las wales de Lagrange,le difieren La pregunta sobre las funciones fwnciones sante, pero no pasa de alii Garavito; ojala semejantes alguien se ob- i n)= y, de Ia ecu actcn diferenc i al lineal EI rlesconocimiento las inversas 312 u, u, w a las e lipticas este interesado esencialy su es intere- en responder- 315 la. En resumen, se trata de verdaderos elementos, cuyo estudio'posterior nunca fue hecho, posiblemente por falta de aolicaciones y motivacidn. EI profesor Yu Takeuchi, sefiala. nor otra parte, Que el comportamiento asintotico de las soluciones , xn' xn •... (n·I) , xn de y in) . • = v . no ofrece mayor interes , Bibliografia 1. L. Eisgoltz, EC'Ulciones diferenciales 2. J. Garavito, Elementos de Ingenierfa, 24(916), y calndo variacional, de algunas fl.lt1ciones trascendentes Mir, Moscu,l969. enteras, Anales 150-157 . 3. A. Markushevich, Teorfa de las funciones anal fticas , 2 tomos, Mir, Moscu , 1970 . Proyecto de Investigaciones Hlstor icas Sociedad Colombiana de Matematicas 316 - Colciencias