Sol 06 Gravitatorio PAU

Campo Gravitatorio
01. La Estación Espacial Internacional (ISS) describe alrededor de la Tierra una órbita
prácticamente circular a una altura de 390 km, siendo su masa 415 toneladas.
a) Calcule el período de rotación en minutos y la velocidad con la que se desplaza.
b) ¿Qué energía se necesitaría para llevarla desde su órbita actual a otra a una altura
doble? ¿Cuál sería el período de rotación en esta nueva órbita?
Para cualquier satélite:
FA  FC  G
Mm
v2

m
 v
2
R ORB
R ORB
T
GM
 7681,4 m·s 1
R
2 R
 5526,7 s
v
La energía en cada órbita es:
1 GMm

 1,22·1013 J 
2 R0

11
 E  EF  E0  6·10 J
1 GMm
EF  
 1,16·1013 J 

2 RF
E0  
En la nueva órbita:
v
GM
 7468,9m·s1
R

T
2 R
 6014,9s
v
02. Se eleva un objeto de 20 kg de masa desde la superficie de la Tierra hasta 100 km.
a) ¿Cuánto pesa el objeto a esa altura?
b) ¿Cuánto ha incrementado su energía potencial?
La gravedad a esa altura es
G MT
6,67·10 11 5,98·10 24
g

 9,43m·s2
2
6 2
(R T  h)
(6,47·10 )
 P  mg  188,6N
 1


1
1
1
EP  EPF  EP0  G Mm     6,67·10 11 5,98·10 24 20 

 1,94·10 7 J
6
6 
6,37·10 
 6,47·10
 RF R 0 
03. La sonda espacial europea Mars Express orbita en la actualidad en torno a Marte recorriendo
una órbita completa cada 7,5 horas, siendo su masa de aproximadamente 120 kg.
a) Suponiendo una órbita circular, calcule su radio, la velocidad con que la recorre la
sonda y su energía en la órbita.
b) En realidad, esta sonda describe una órbita elíptica de forma que pueda aproximarse
lo suficiente al planeta como para fotografiar su superficie. La distancia a la superficie
marciana en el punto más próximo es de 258 km y de 11560 km en el punto más alejado.
Obtenga la relación entre las velocidades de la sonda en estos dos puntos.
Datos de Marte: R=3390 km; M=6,42·1023 kg.
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Fco Javier Corral 2011-2012
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a) La velocidad en la órbita y el periodo son:

GM
6,67·10 11 6,42·10 23
4,28·1013
v

 v 2R  4,28·1013 
3
v

 2151,6m·s1

R
R
683,9

2 R
vT

6
T
 R
 R  4297,2 v
 R  9,25·10 m
v
2
La energía en la órbita es:
EORB  
1 GMm
 2,78·108 J
2 R ORB
b) El momento angular se mantiene constante:
LPROX  LLEJ  rPROXmvPROX  rLEJmvLEJ 
v PROX
r
3390  11560
 LEJ 
 4,1
vLEJ
rPROX
3390  258
04. La masa de Júpiter es 318 veces la de la Tierra y su radio 11 veces el de la Tierra. Su satélite
Io se mueve en una órbita aproximadamente circular, con un período de 1 día, 18 horas y 27
minutos. Calcular:
a) el radio de la órbita de este satélite, su velocidad lineal y su aceleración.
b) la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta Júpiter.
La velocidad del satélite es:
v
GM

R
6,67·10 11·318·5,98·10 24
 42546,2m·s1 y como el periodo es 152820 s
11·6,37·106
R ORB 
T v 152820·42546,2

 1,035·109 m
2
2
La aceleración es la centrípeta, aC 
gJ 
v 2 42546,22

 1,749m·s2
9
R 1,035·10
G M J G·318·M T

 2,63·g T  25,76m·s2
2
2
RJ
121·R T
04. Se desea poner en órbita circular un satélite meteorológico de 1000 kg de masa a una altura
de 300 km sobre la superficie terrestre. Deduzca y calcule:
a) La velocidad, el periodo y aceleración que debe tener en la órbita
b) El trabajo necesario para poner en órbita el satélite
La velocidad del satélite es:
v
GM

R
T
6,67·10 11·5,98·10 24
 7913m·s1
6,37·106
2  R 2  6,67·106

 5293,5s
v
7913
v2
79132

 9,39m·s2
La aceleración es la centrípeta, aC 
6
R
6,67·10
El trabajo para ponerlo en órbita es la diferencia de energías:
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 1
1
W  EP  EPF  EP0  G M m     2,82·10 9 J
 RF R 0 
05. Dos satélites de igual masa orbitan en torno a un planeta de masa mucho mayor siguiendo
órbitas circulares coplanarias de radios R y 3R y recorriendo ambos las órbitas en sentidos
contrarios. Deduzca y calcule:
a) la relación entre sus periodos.
b) la relación entre sus momentos angulares (módulo, dirección y sentido)
La velocidad de un satélite en su órbita es:
GM 

R1  v 1
T R v
2 R
1
 3  T
 1  1 3 

v
T3 R 3 v1 3 3
G M  v3
v3 
R 3 
v1 
El momento angular es L  r  mv 
L3 R 3 v 3
3


 3
L1 R1 v1
3
Los momentos angulares tienen la misma dirección pero sentido contrario.
06. Júpiter, el mayor de los planetas del sistema solar y cuya masa es 318,36 veces la de la
Tierra, tiene orbitando doce satélites. El mayor de ellos, Ganimedes (descubierto por Galileo),
gira en una órbita circular de radio igual a 15 veces el radio de Júpiter y con un período de
revolución de 6,2·105 s. Calcule:
a) la densidad media de Júpiter
b) el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Júpiter
FA  FC  G
MJ m
MJ
MJ
4 2
4 2
3·153 

m
R

G

15R




 1240kg·m3
O
J
J
2
4
3
R O2
T2
152 R 2J
T2
G
T
RJ
3
Calculando la masa y el radio de Júpiter:
M J  318,36·M T  1,904·10 27 kg 

G M J 6,67·10 11·1,904·10 27
g


 24,786m·s2
3 MJ
 J
2
7 2
7
RJ
(7,158·10 )
RJ  3
 7,158·10 m

4 J

07. Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella. El planeta 1 se mueve en
11
una órbita circular de radio 10 m y período de 2 años. El segundo planeta se mueve en una
órbita elíptica, siendo su distancia en la posición más próxima a la estrella 1011 m y en la más
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alejada 1,8 10 m.
a) ¿Cuál es la masa de la estrella?
b) Hallar el período del planeta 2
c) Hallar la velocidad del planeta 2 cuando se encuentra en la posición más cercana a la
estrella.
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a) Con los datos del planeta 1
Mm
4 2
4 2 R 3
4 2 1033
FA  FC  G 2  m 2 R  M 

 1,49·10 29 kg
2
11
2
R
T
GT
6,67·10 (2·365·86400)
b) Aplicamos la tercera ley de Kepler, tomando el radio medio de la órbita de cada planeta:
T12 T22

R13 R 32
3

 1,4·1011 
R 32
T2  3 T1  
2  3,31años
11 
R1
 1·10 
c) La velocidad de un satélite (planeta orbitando estrella) en su órbita es
v
6,67·10 11 ·1,49·10 29
 9969,1m·s1
11
10
GM

R
08. Desde la superficie de un planeta esférico sin atmósfera, de radio 2,3⋅106m y masa 8,6⋅1023
kg, se dispara un proyectil con velocidad v0 horizontal, es decir en dirección tangente a la
superficie.
a) Calcula el valor de v0 para que el proyectil describa una órbita circular rasante a la
superficie del planeta. ¿Cuál es el periodo de esta órbita?
b) Si el proyectil se dispara con una velocidad doble de la anterior, ¿escapará de la
atracción gravitatoria del planeta? Justifica tu respuesta.
a) La velocidad de un satélite en su órbita es:
v
G·M

R
y el periodo será: T 
6,67·10 11·8,6·10 23
 4994 ms1
6
2,3·10
2R 2·2,3·106

 2892,3s
v
4994
b) Para que escape de la atracción gravitatoria su velocidad debe de ser al menos la de
escape
v ESC 
2GM
 2v  7062,58ms1 y su velocidad es superior 2·4994  7062,58
R
4
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