Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 14-1 Control 4 P1. (i) (3,0 ptos.) Para onoer la altura h de una torre vertial ubiada en la ladera de un erro se ubian dos puntos A y B sobre la ladera, distantes una magnitud d entre si y olineales on la base C de la torre (ver gura). D β h b B α d b A C γ Los ángulos de elevaión desde A y B a la úspide D de la torre son α y β respetivamente y el ángulo de inlinaión de la ladera es γ . Demuestre que la altura CD = h de la torre en funión de α, β , γ y d es h = d · sen(α + γ) sen(β + γ) sec(γ) cosec(α − β). (ii) (3,0 ptos.) Resuelva la euaión 1 − tan(x) = 1 + sen(2x) 1 + tan(x) y disuta, uando orresponda, los asos en que no existe soluión. P2. (i) (4,0 ptos.) Sean A y B subonjuntos no vaíos de R y tales que a ≤ b, ∀a ∈ A ∧ ∀b ∈ B . Además ∀ǫ > 0, ∃a ∈ A ∧ ∃b ∈ B tal que b − a < ǫ. Demuestre que existen ı́nf(B), sup(A) y que ı́nf(B) = sup(A). (ii) (2,0 ptos.) onsidere el onjunto M denido por M = {x ∈ − 3) R; | (x −x1)(x ≤ 0}. −2 Determine, si es que existen, otas superiores de M , otas inferiores de M , mı́n(M ), máx(M ), ı́nf(M ) y sup(M ). Consultas sólo al auxiliar de control Justifique cada uno de sus pasos Tiempo: 1:15