Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 09-1 Control 3 P1. Para las constantes A, B, C ∈ sigue: R, con A > B se definen las funciones reales f, g, h, en todo x ∈ R, como f (x) =A cos2 (x) + B sen2 (x) − 2C sen(x) cos(x) g(x) =A sen2 (x) + B cos2 (x) + 2C sen(x) cos(x) h(x) =(A − B) sen(x) cos(x) + C(cos2 (x) − sen2 (x)). Se pide: Z (i) (1,5 ptos.) Probar que si C = 0, h alcanza su valor máximo para x = kπ + π4 , k ∈ . (ii) (1,5 ptos.) Demostrar que el conjunto de los ceros de h es 2C x ∈ / tan(2x) = B−A R R (iii) (3,0 ptos.) Demostrar que ∀x ∈ los puntos P (f (x), h(x)) y Q(g(x), −h(x)) conservan una distancia constante entre ellos y que el punto medio del trazo P Q es un punto fijo. P2. Considere la función f definida por f (x) = x x2 −1 . Se pide: (i) (2,0 ptos.) Encontrar dominio, ceros, signos, paridad y asíntotas de todo tipo. (ii) (2,0 ptos.) Demostrar que ∀x1 , x2 ∈ Dom(f ) f (x2 ) − f (x1 ) = (x1 − x2 )(1 + x1 x2 ) . (x21 − 1)(x22 − 1) Use este resultado para estudiar el crecimiento de f indicando en qué intervalos esta función es creciente y en cuales decreciente. (iii) (1,0 pto.) Calcule f ((1, ∞)) y pruebe que la función f˜ : (1, ∞) −→ f ((1, ∞)) x 7−→ f˜(x) := f (x) es biyectiva y determine su inversa. (iv) (1,0 pto.) Bosqueje el gráfico de f . 25 de abril de 2009 Sin consultas Tiempo: 1:15 hrs. 1