Cálculo Variacional - Centro de Modelado Científico

Cálculo Variacional
con fronteras fijas
2016
Actualización # 02 (02/05/16)
Desde el 2015
Colección Soldovieri de textos de Ciencia
NUEVO
(EN REDACCION Y REVISION)
Con numerosos ejemplos y problemas
propuestos, además de una presentación
que facilita la comprensión del contenido.
SOLDOVIERI
LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA
ADVERTENCIA
TEXTO EN
REDACCION Y
REVISION
ACTUALIZACIONES PERIODICAS EN
www.cmc.org.ve/tsweb
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SOLDOVIERI C., Terenzio
Por Terenzio Soldovieri C. fecha 14:11 , 02/05/2016
CALCULO VARIACIONAL
CON FRONTERAS FIJAS
1era edición (preprint)
(EN REDACCION Y REVISION)
Comenzado en 12/2015 - Actualización # 02 (02/05/2016)
Escrito usando LATEX
Copyright c 2016 Terenzio Soldovieri C.
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Soldovieri C., Terenzio
Profesor Agregado
Departamento de Física
Centro de Modelado Científico (CMC)
Facultad Experimental de Ciencias (FEC)
La Universidad del Zulia (LUZ)
Maracaibo, Estado Zulia
República Bolivariana de Venezuela
tsoldovieri@fec.luz.edu.ve - tsoldovieri@gmail.com
PIN: 568EEB0F
www.cmc.org.ve/tsweb
+584124271575
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Colección Soldovieri de textos de Ciencia.
Copyright c 2016 Soldovieri C., Terenzio.
Todos los derechos reservados.
Editorial: (por establecer)
ISBN: (por establecer)
República Bolivariana de Venezuela.
Gráficos: Soldovieri C., Terenzio.
Portadas: Soldovieri C., Terenzio.
Escritura electrónica: Soldovieri C., Terenzio.
Procesador: este libro fue elaborado usando LATEX.
Web del autor: www.cmc.org.ve/tsweb
Colección Soldovieri de textos de
Ciencia
Física General - Una introducción a los Fluidos, Vibraciones y Termodinámica.
Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton.
Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton - Solucionario (En
Proyecto).
El Angulo Sólido y algunas de sus aplicaciones (Coautor).
La Transformación de Legendre para Estudiantes de Ciencias.
Cálculo Variacional con fronteras fijas.
Coordenadas Generalizadas, Exorcisadas (En Proyecto).
Mecánica Clásica (En Proyecto).
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LEONHARD EULER 1707 - 1783
Leonhard Euler 1707 - 1783
(Basilea, Suiza, 1707 - San Petersburgo, 1783) Matemático suizo. Leonhard Euler fue
un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las
matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar.
Euler nació en Basilea en 1707 y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático
suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1727, por invitación de la emperatriz de Rusia Catalina I, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de
San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en
1733.
En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766,
donde permaneció hasta su muerte.
i
Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y
por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento
analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría
analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la
que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente.
También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría
de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada.
Euler, aunque principalmente era matemático, realizó también aportaciones a la
astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e
Introducción al álgebra (1770).
Euler tenía una memoria prodigiosa; recordaba las potencias, hasta la sexta, de los
100 primeros números primos, y la Eneida entera. Realizaba cálculos mentalmente que
otros matemáticos realizaban con dificultad sobre el papel.
La productividad matemática de Euler fue extraordinaria. Nos encontramos su nombre en todas las ramas de las matemáticas: Hay fórmulas de Euler, polinomios de Euler,
constantes de Euler, integrales eulerianas y líneas de Euler. A pesar de todo esto se casó
y tuvo trece hijos, estando siempre atento al bienestar de familia; educó a sus hijos y
nietos.
Murió el 7 de septiembre de 1783.
Tomado de la web: AstroMía
http://www.astromia.com/biografias/euler.htm
SOLDOVIERI C., Terenzio. CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: ii
DEDICATORIA
El presente texto que he logrado con gran esfuerzo, tenacidad y luchando contra
todas las adversidades que he tenido que enfrentar en mi vida académica y, especialmente, personal se lo dedico de todo corazón, al igual que todos mis otros textos:
A mi difunto padre Raffaele Soldovieri Mastursi y a mi madre Rita Elena
Carmona.
A a mis hijos Terenzio José Soldovieri Martínez y Marchello Soldovieri Carmona.
A mi compañera de vida Yeldri Yolaura Chourio Herrera. Mi hermosa,
tierna y muy tropical negra-novia. La persona que, con su amor y atención
desinteresada, ha hecho de mi una nueva persona.
Se lo dedico también a todos los que fueron mis estudiantes en la Licenciatura de
Física de nuestra muy ilustre Universidad del Zulia, nuestra indudable Alma Máter, a todos aquellos estudiantes que no lo fueron y aquellos de otras universidades de nuestro
país y del extranjero que estudian Física y carreras afines que, con esfuerzo y sacrificio,
liberan obtáculos tras obtáculos para conseguir sus sueños. A todos ellos, especialmente, me debo y son la razón de todo el presente esfuerzo académico.
iii
AGRADECIMIENTOS
A
quí van los agradecimientos.
iv
INDICE GENERAL
PREFACIO
ix
1 DEFINICIONES BASICAS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA VARIACIONAL
A ESTUDIAR
1
1.1 Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Variación de una función y de una funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Variación de una función de una variable independiente . . . . . . . 5
1.2.2 Variación de una funcional de n variables dependientes y una variable independiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Problema variacional a estudiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
18
2.1 Para una variable dependiente — Ecuación de Euler . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Segunda forma y forma integrada de la Ecuación de Euler . . . . . . . . . . 26
2.3 Para múltiples variables dependientes — Ecuaciones de Euler - Lagrange . 33
3 CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
3.1 Restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 . . . .
3.1.1 Forma implícita . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Forma explícita . . . . . . . . . . . . .
3.2 Restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0
v
.
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40
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42
42
52
64
INDICE GENERAL
n
el = P Alj [yi (x) ; x] y 0 (x) + Bl [yi (x) ; x] = 0 . . . . . . . . 68
3.3 Restricciones del tipo D
j
j=1
R x2
3.4 Restricciones del tipo isoperimétrico x1 gl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx = %l . . . . . . . . 80
4 EJERCITACION
92
A BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
110
TEXTO
A.1
A.2
A.3
A.4
A.5
A.6
RENE DESCARTES 1596 - 1650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
JOHANN FRIEDRICH PFAFF 1765 - 1825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
GIUSEPPE LODOVICO LAGRANGIA (JOSEPH LOUIS LAGRANGE) 1736 - 1813
SIR WILLIAM ROWAN HAMILTON 1805 - 1865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
JOHANN BERNOULLI 1667 - 1748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PIERRE DE FERMAT 1601 - 1665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
.
.
.
.
.
.
110
112
115
122
124
128
132
B.1 Procedimiento 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
B.2 Procedimiento 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
C FORMA PFAFFIANA
138
D LEMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO DE VARIACIONES
140
BIBLIOGRAFIA
SOLDOVIERI C., Terenzio. CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
142
Pág.: vi
INDICE DE FIGURAS
1.1 Superficie de revolución generada por una curva y = y (x). . . . . . . . . . . 5
1.2 Camino real y (x) y camino variado ye (x). Diferencia entre y y dy. . . . . . . 6
1.3 La función y (x) es el camino que hace que el funcional J tome un valor
extremal. Las funciones y ( ; x) = y (x) +
(x) = y (x) + y (x) son las funciones vecinas, donde (x) se anula en las fronteras del intervalo [x1 ; x2 ]. . . 7
1.4 Función y (x) = 3x entre los límites de x = 0 y x = 2 y dos de sus variaciones
y ( ; x) = 3x + [Sen (x) Cos (x) + 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Función y (x) = x2 entre los límites de x = 1 y x = 1 y dos de sus variaciones
y ( ; x) = x2 + (x3 x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1 Superficie de revolución generada por una curva que une a los puntos
(x1 ; y1 ).y (x1 ; y1 ), haciéndola trasladarse entrono al eje y. . . . . . . . . . . . .
2.2 Partícula de masa m que se desplaza sobre una rampa lisa desde el punto
P1 hasta el punto P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Planteamiento gráfico del problema de la Braquistócrona. . . . . . . . . . .
2.4 Camino resultante para que la partícula se mueva desde (x1 ; y1 ) = (0; 0)
hasta (x2 ; y2 ) = (d; h) en el menor tiempo posible. . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Película de jabón entre dos anillos concéntricos de radio a y separados
por una distancia 2d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Geodésicas sobre una esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distancia más corta entre dos puntos del plano. . . . . . . . . . . . . . .
Geodésicas en un cilindro circular recto de radio R. . . . . . . . . . . .
Función y (x) cuya área por ella encerrada ha de maximizarse. . . . .
Cuerda de longitud ` colocada entre las orillas de un río de ancho 2a.
vii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
28
29
30
31
46
48
50
86
88
INDICE DE FIGURAS
4.1 Problema 70.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
B.1 Paralelepípedo que encierra un volumen V = xyz.
. . . . . . . . . . . . . . . 132
D.1 Función arbitraria (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
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Pág.: viii
PREFACIO
A
quí va el Prefacio.
Terenzio Soldovieri C.
ix
PREFACIO
Albert Einstein 1879 - 1955
“Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos
las mismas cosas”. “Lo más incomprensible del Universo, es que sea comprensible”. “Lo importante es no dejar de hacerse preguntas”. “Nunca consideres
el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar
en el bello y maravilloso mundo del saber”. “La alegría de ver y entender es
el más perfecto don de la naturaleza”.
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Pág.: x
CAPITULO 1
DEFINICIONES BASICAS Y
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
VARIACIONAL A ESTUDIAR
El cálculo de variaciones, en su forma actual, proporciona un poderoso método
para el tratamiento de los principios variacionales en la física y se ha convertido cada
vez más importante en el desarrollo de la física moderna. Se originó como un estudio
de ciertos problemas no tratables mediante el cálculo elemental extremos (máximos y
mínimos). En particular, constituye una de las herramientas matemáticas básicas para
estudiar la Mecánica de Lagrange y la Mecánica de Hamiltony en Mecánica Clásica
[Ref. 1, 2, 3, 4].
El término Cálculo de Variaciones fue acuñado, por primera vez, por el matemático
suizo Leonhard Euler en 1756 [Ref. 5] y lo usó para describir un nuevo método en la
Mecánica que había desarrollado Lagrange un año antes, para obtener las famosas
ecuaciones de Euler-Lagrange. El Cálculo de variaciones fue primeramente usado por
Johann Bernoulliz en julio de 1696 cuando presentó el problema de la Braquistócrona,
el cual será presentado como ejemplo más adelante.
El contenido de este capítulo, y los posteriores, se desarrollarán haciéndose énfasis
en aquellos aspectos de la teoría de variaciones que tienen una aplicación directa en
y
z
Véase apéndice A.3 para una biografía resumida.
Véase apéndice A.4 para una biografía resumida.
Véase apéndice A.5 para una biografía resumida.
1
CAPITULO 1. DEFINICIONES BASICAS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA VARIACIONAL A
ESTUDIAR
la Mecánica Clásica, omitiendo algunas pruebas de existencia.
Contenido
1.1
Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Variación de una función y de una funcional . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
1.2.1
Variación de una función de una variable independiente . . . . . . . . . .
5
1.2.2
Variación de una funcional de n variables dependientes y una variable
independiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Problema variacional a estudiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
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Pág.: 2
CAPITULO 1. DEFINICIONES BASICAS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA VARIACIONAL A
ESTUDIAR
1.1
Funcional
Se denomina Funcional a una función J que toma funciones como
su argumento, es decir, una función cuyo dominio es un conjunto de funciones.
En el caso de las funciones a cada número le corresponde otro número, mientras
que, en el caso de las funcionales a cada función le corresponde un número.
Para los propósitos del presente texto se considerarán sólo funcionales dependientes
de varias funciones de una variable ya que serán de importancia para estudios en
capítulos posteriores, es decir, las funcionales a considerar tendrán la dependencia
general,
J = J [y (x)i ; y 0 (x)i ; x], con i = 1; 2; 3; : : : ; n
(1.1)
donde,
1. n es el número total de funciones y (x)i y el número total de sus derivadas y 0 (x)i =
dyi (x)
.
dx
2. y (x)i son las variables dependientes.
3. x es la variable independiente.
4. El punto y coma separa la Variable Independiente de las Variables Dependientes.
En el caso de n = 1 se tendrá la dependencia,
J = J [y (x) ; y 0 (x) ; x]
que es el caso dependiente de una función o de una variable dependiente.
De forma análoga, es posible definir también las funcionales dependientes de varias
funciones de varias variables independientes.
Un caso especial de funcionales son las denominadas Funcionales Integrales,
Z x2
J=
f [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx, con i = 1; 2; 3; : : : ; n
(1.2)
x1
de una variable independiente, n variables dependientes y donde x1 y x2 son cantidades fijas. Estas son las funcionales que van a ser consideradas en el presente capítulo.
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Pág.: 3
CAPITULO 1. DEFINICIONES BASICAS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA VARIACIONAL A
ESTUDIAR
...............................................................................................
EJEMPLO 1.1
Algunos ejemplos de Funcionales.
(a) Sea N = C [0; ] el conjunto de todas las funciones continuas y (x) definidas en el
intervalo [0; ], y sea,
Z
(1.3)
y (x) dx
J=
0
una funcional que a cada función y (x) 2 C [0; ] le asocia un valor determinado por
J [y (x)] entonces:
(a.1) Si y (x) = x,
J=
Z
xdx
0
J=
(b.2) Si y (x) = Cos2 x,
Z
J=
1
2
2
Cos2 xdx
0
J=
(c.3) Si y (x) = e
x2 3
x,
J=
Z
e
1
2
x2 3
x dx
0
J=
1
2
h
1
(1 +
2
2
)e
i
(b) El área A de la superficie de revolución generada al hacer girar una línea que
une dos puntos fijos (x1 ; y1 ) y (x2 ; y2 ) en torno a un eje coplanar con los dos puntos (ver
figura 1.1), es una funcional que viene dada por,
A=2
donde y 0 (x) =
dy(x)
.
dx
R x2
x1
1
x (1 + y 02 ) 2 dx
(1.4)
...............................................................................................
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Pág.: 4
CAPITULO 1. DEFINICIONES BASICAS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA VARIACIONAL A
ESTUDIAR
Figura 1.1: Superficie de revolución generada por una curva y = y (x).
1.2
Variación de una función y de una funcional
1.2.1 Variación de una función de una variable independiente
Se denomina Variación y (x) de una función y (x), que será denominada Camino Real,
a la diferencia entre la función y (x) y la función ye (x), es decir,
y (x) = y (x)
ye (x)
(1.5)
donde ye (x) representa un Camino Variado a partir del Camino Real (ver figura 1.2). Los
caminos variados deben cumplir con la condición de que y (x) debe anularse en las
fronteras del camino x1 y en x2 , como se muestra en la misma figura.
En la figura 1.2 se observa que no existe un x asociado a un y, condición que contrasta con el proceso de diferenciación en el cual cualquier dy está asociado a un dx.
En vista de la anterior observación se puede decir de y es, simplemente, la distancia vertical entre dos puntos de diferentes curvas para un determinado valor fijo de x,
mientras que dy es la distancia vertical entre dos puntos de la misma curva, separados
por una distancia dx. Por lo tanto,
La variación y (x) de la función y (x) se define como un cambio arbitrario infinitesimal en y (x) para un valor fijo de la variable x, es decir, para
x = 0. El operador es denominado Operador Variacional.
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Pág.: 5
CAPITULO 1. DEFINICIONES BASICAS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA VARIACIONAL A
ESTUDIAR
Figura 1.2: Camino real y (x) y camino variado ye (x). Diferencia entre y y dy.
La idea anterior puede ser generalizada diciendo que,
El operador representa un pequeño cambio (infinitesimal) de una
función donde la variable independiente permanece fija, por lo que es
dy
posible obtener la variación de la función dx
.
Matemáticamente el símbolo variacional tiene las mismas propiedades del símbolo diferencial d, al igual que para los desplazamientos virtuales como se había mencionado en el capítulo anterior.
El operador
tiene las siguientes propiedades:
1. Puesto que y (x) = ye (x)
y (x) la variación de
dy
dx
en consecuencia el operador
=
de
y
dx
dy
dx
dy
d
=
(e
y
dx
dx
vendrá dada por,
y) =
d
( y)
dx
es conmutativo con el operador diferencial,
dy
dx
=
d
dx
( y)
(1.6)
2. De forma similar se puede mostrar que el operador también es conmutativo con el
operador integral,
R
R
Mdx = ( M) dx
(1.7)
SOLDOVIERI C., Terenzio. CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 6
CAPITULO 1. DEFINICIONES BASICAS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA VARIACIONAL A
ESTUDIAR
La variación y puede ser interpretada físicamente como un desplazamiento virtual (ya estudiados en el capítulo anterior) a partir del
camino y (x).
Figura 1.3: La función y (x) es el camino que hace que el funcional J tome un valor extremal. Las funciones y ( ; x) = y (x) +
(x) = y (x) + y (x) son las funciones vecinas, donde (x) se anula en
las fronteras del intervalo [x1 ; x2 ].
Los caminos variados ye pueden ser, a partir de (1.5), construidos mediante (ver figura
1.3),
y ( ; x) = y (0; x) +
(x)
(1.8)
| {z } | {z } | {z }
=e
y (x)
=y(x)
= y(x)
donde y ( ; x) = ye es el camino variado, y (0; x) = y es el camino real, (x) es una función
auxiliar que introduce la variación, es un parámetro (un escalar) que regula a (x) y
(x) = y (x)es la variación del camino real. La función auxiliar (x) debe anularse en
las fronteras del camino x = x1 y x = x2 ,
(x1 ) = (x2 ) = 0 ) y (x1 ) = y (x2 ) = 0
(1.9)
debido a que el camino variado y ( ; x) debe ser idéntico a y (x) en las fronteras del
camino. Por simplicidad, se supondrá que y (x) y (x) son continuas y no singulares en
el intervalo [x1 ; x2 ] con primera y segunda derivada continua en el mismo intervalo.
SOLDOVIERI C., Terenzio. CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 7
CAPITULO 1. DEFINICIONES BASICAS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA VARIACIONAL A
ESTUDIAR
Se denomina Variación Admisible de la funcional integral J a
cualquier variación que cumpla con la condición (1.9).
1.2.2 Variación de una funcional de n variables dependientes y una
variable independiente
La variación J de una funcional J = J [y (x)i ; y 0 (x)i ; x] se define como,
J =
lim
!0
J yei (x) ; yei (x)0 ; x
2
6
J 4yi (x) +
|
=
lim
=
@
J [yi (x) +
@
!0
i
J yi (x) ; yi (x)0 ; x
(x) ; yi0 (x) +
{z
0
i
Por (1.8)
i
(x) ; yi0 (x) +
0
i
3
7
(x); x5
}
J yi (x) ; yi (x)0 ; x
(x) ; x]
=0
es decir,
J=
@
@
J [yi (x) +
i
(x) ; yi0 (x) +
0
i
(x) ; x]
=0
(1.10)
A la variación (1.10) se le denomina Primera Variación de la funcional J. Es posible calcular una Segunda Variación de la funcional J pero no será considerada en el
presente capítulo.
Se puede mostrar que:
1. J =
@J
@yi
yi +
@J
@yi0
yi0 puesto que x = 0.
2.
(aJ1 + bJ2 ) = a J1 + b J2 linealidad.
3.
(J1 J2 ) = J1 J2 + J1 J2 .
Es posible mostrar otras. En fin, el operador
operador diferencial d.
tiene propiedades análogas al del
...............................................................................................
EJEMPLO 1.2
Hallar la variación de la funcional,
Z b
J=
(x + y) dx
a
donde a y b son fijos.
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Pág.: 8
CAPITULO 1. DEFINICIONES BASICAS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA VARIACIONAL A
ESTUDIAR
SOLUCION: al aplicar la variación a ambos miembros,
Z
J=
b
(1.11)
(x + y) dx
a
Como a y b son fijos permite introducir el símbolo en la integral, por lo que es posible
escribir,
Z b
(x + y) dx
(1.12)
J=
a
que resulta en,
J=
Rb
a
(1.13)
ydx
...............................................................................................
EJEMPLO 1.3
Hallar la variación de la funcional,
Z b
J=
y 2 + y 02 dx
a
donde a y b son fijos.
SOLUCION: al aplicar la variación a ambos miembros,
Z
J=
b
y 2 + y 02 dx
(1.14)
a
Como a y b son fijos permite introducir el símbolo en la integral, por lo que es posible
escribir,
Z b
Z b
2
02
y + y dx =
(2y y + 2y 0 y 0 ) dx
(1.15)
J=
a
a
que resulta en,
J =2
Rb
a
(y y + y 0 y 0 ) dx
(1.16)
...............................................................................................
EJEMPLO 1.4
Hallar la variación de la funcional,
Z 1
2
J = y (0) +
xy y 02 dx
0
SOLUCION: al aplicar la variación a ambos miembros,
J=
2
y (0) +
Z
1
xy
y
02
2
dx = y (0) +
0
que resulta en,
J = 2y (0) y (0) +
Z
1
xy
y 02 dx
(1.17)
0
R1
0
(x y
2y 0 y 0 ) dx
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(1.18)
Pág.: 9
CAPITULO 1. DEFINICIONES BASICAS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA VARIACIONAL A
ESTUDIAR
...............................................................................................
EJEMPLO 1.5
Hallar la variación de la funcional,
Z
J=
y 0 Sen ydx
0
SOLUCION: al aplicar la variación a ambos miembros,
J=
Z
0
y Sen ydx =
J=
(y 0 Sen y) dx
(1.19)
0
0
que resulta en,
Z
R
0
(Sen y y 0 + y 0 Cos y y) dx
(1.20)
...............................................................................................
EJEMPLO 1.6
Hallar la variación de la funcional,
Z b
y 2 dx
J=
a
donde a y b son fijos.
SOLUCION: al aplicar la variación a ambos miembros,
J=
Z
a
que resulta en,
b
2
y dx =
Z
b
2
y dx =
a
J =2
Z
b
2y ydx
(1.21)
a
Rb
a
y ydx
(1.22)
...............................................................................................
EJEMPLO 1.7
Hallar la variación de la funcional,
Z b
J=
f [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx, con i = 1; 2; 3; : : : ; n
a
donde f es una función continua de sus argumentos y sus derivadas parciales respecto
a todos los argumentos son continuas en un recinto acotado G de variación de los
mismos. Los límites de integración a, b son fijos, yi (x) = fy1 (x) ; y2 (x) ; y3 (x) ; : : : ; yn (x)g y
i (x)
yi0 (x) = fy10 (x) ; y20 (x) ; y30 (x) ; : : : ; yn0 (x)g = dydx
.
SOLUCION: al aplicar la variación a ambos miembros,
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Pág.: 10
CAPITULO 1. DEFINICIONES BASICAS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA VARIACIONAL A
ESTUDIAR
J =
Z
Z
Z
b
f
[yi (x) ; yi0
(x) ; x] dx =
b
f [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx
a
a
b
@f
@f
@f
@f
@f
@f
y1 +
y2 +
y3 ; : : : ;
yn + 0 y10 + 0 y20
@y1
@y2
@y3
@yn
@y1
@y2
a
@f
@f
+ 0 y30 ; : : : ; 0 0 yn dx
@y3
@yn
!
Z b X
n
n
X
@f
@f 0
yi +
y dx
=
@yi
@yi0 i
a
i=1
i=1
=
(1.23)
que resulta finalmente en,
J=
n
Rb P
a
@f
@yi
i=1
yi +
@f
@yi0
yi0 dx
(1.24)
Este es el resultado pedido pero, sin embargo, es posible hacer la integración del
segundo término entre paréntesis. En efecto, de (1.24) es posible escribir que,
Z bX
Z bX
n
n
@f
@f 0
J=
yi dx +
yi dx
0
a i=1 @yi
a i=1 @yi
{z
}
|
(1.25)
I
Se procederá ahora a integrar I por partes,
Z
Z bX
n
n Z b
n Z b
X
X
@f 0
@f 0
@f d
I=
yi dx =
yi dx =
( yi ) dx
0
0
0
@y
@y
dx
a i=1 @yi
a
a
i
i
i=1
i=1
udv = uv
Z
vdu, con
de manera que,
I=
n
X
i=1
"
(
@f
yi
@yi0
@f
@yi0
d
= dx
u=
dv
b
a
Z
a
b
( yi ) dx = d ( yi ) ) v = yi
d
dx
@f
@yi0
yi dx
#
(1.26)
(1.27)
(1.28)
y si se supone que yi es una variación admisible (ver sección 1.2.2), entonces debe
anularse en a y b de manera que,
b
@f
y
=0
(1.29)
i
@yi0
a
de aquí que (1.28) resulte en,
I=
n
X
i=1
Z
a
b
d
dx
@f
@yi0
yi dx =
Z bX
n
d
a i=1 dx
@f
@yi0
yi dx
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(1.30)
Pág.: 11
CAPITULO 1. DEFINICIONES BASICAS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA VARIACIONAL A
ESTUDIAR
Finalmente, al sustituir (1.30) en (1.25) resulta,
Z bX
n
@f
J=
yi dx
a i=1 @yi
o,
J=
n h
Rb P
@f
a
i=1
@yi
Z bX
n
d
a i=1 dx
@f
@yi0
i
yi dx
d
dx
@f
@yi0
yi dx
(1.31)
...............................................................................................
1.3
Problema variacional a estudiar
El problema variacional que se abordará en el presente capítulo es
el de determinar las funciones yi (x) = fy1 (x) ; y2 (x) ; y3 (x) ; : : : ; yn (x)g tales
que la integral,
Z x2
dyi (x)
; x1 ; x2 fijos e i = 1; 2; 3; : : : ; n
J=
f [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx, con yi0 (x) =
dx
x1
(1.32)
bajo las condiciones de frontera,
(
yi (x1 ) = ai
, con i = 1; 2; 3; : : : ; n; ai y bi constantes
yi (x2 ) = bi
tenga un valor estacionario, es decir, que resulte un valor extremal (un
máximo o un mínimo) considerando sólo las limitaciones que imponen
las mencionadas condiciones de frontera o cuando, adicionales a ellas,
se consideran restricciones que involucran las yi (x) y sus derivadas yi0 (x).
A las funciones yi (x) así obtenidas se les dará el nombre de Funciones Extremales o
Caminos Extremales de J.
Existen leyes de la Física que se apoyan en la afirmación de que una determinada funcional alcanza su mínimo o su máximo en una determinada situación. Dichas
leyes reciben el nombre de Principios Variacionales de la Física. A dichos principios pertenecen el Principio de la Mínima Acción, la Ley de Conservación de la Energía, la Ley de Conservación del Impulso, la Ley de Conservación de la Cantidad
de Movimiento, el Principio de Fermatx en Optica, etc.
x
Véase apéndice A.6 para una biografía resumida.
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CAPITULO 1. DEFINICIONES BASICAS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA VARIACIONAL A
ESTUDIAR
El problema variacional que se plantea en este texto se diferencia del cálculo de
los valores extremales estudiado en los cursos de cálculo diferencial e integral, en el
cual se tiene que variar una sola variable o un conjunto de ellas, en que ahora lo que
será variado es una función y (x) o un conjunto yi (x) de ellas. Sin embargo, se puede
aplicar el mismo criterio: cuando la integral (1.32) tiene un valor estacionario, debe
permanecer sin cambios hasta el primer orden al hacer una pequeña variación en las
funciones yi (x). Este es, justamente, el criterio que será usado más adelante.
Como en el cálculo diferencial, la anulación de la primera derivada es una condición necesaria pero no suficiente para un máximo o un mínimo; así en el cálculo variacional se habla de Primeras Variaciones y Segundas Variaciones de J, donde las últimas
se emplean para discriminar entre máximos, mínimos y puntos de inflexión. Como se dijo
antes, en este texto sólo se trabajará con la primera variación y se emplearán razonamientos geométricos o físicos para decidir si se ha encontrado un máximo, un mínimo
o un punto de inflexión.
El funcional J depende de la función y (x), y los límites de integración x1 y x2 son fijos.
Sin embargo, no es necesario que los límites de integración sean considerados fijos de
manera que, si se permite que estos límites varíen, el problema se convierte en no sólo
determinar y (x) sino también x1 y x2 de manera tal que J tome un valor estacionario. La
función y (x) tiene entonces que ser variada hasta que se consiga un valor estacionario
de J, queriéndose decir con esto que si y = y (x) hace que J tome un valor mínimo
entonces cualquier función vecina, no importando lo cerca que esté de y (x), hará
que J se incremente.
Para caminos variados yi = yi ( ; x) la funcional (1.32) se puede escribir como,
Z x2
(1.33)
J ( )=
f [yi ( ; x) ; yi0 ( ; x) ; x] dx
x1
convirtiéndose así en un funcional del parámetro , ya que al efectuar la integración y
evaluarla en x1 y x2 la dependencia con respecto a x desaparece.
La condición fundamental para que 1.33 tome un valor estacionario
es que su primera variación se anule,
@J
@
=0
=0) J =0
(1.34)
...............................................................................................
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Pág.: 13
CAPITULO 1. DEFINICIONES BASICAS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA VARIACIONAL A
ESTUDIAR
EJEMPLO 1.8
(a) Dada la función y (x) = 3x, construir funciones y ( ; x) vecinas a
ella mediante (1.8) con (x) = Sen x Cos x+1 y graficarlas para algunos valores de entre x1 = 0 y x2 = 2 , (b) mostrar que (x) cumple con la condición (1.9), (c) suponiendo
h
i2
que la función f = f (y; y 0 ; x) viene dada por f = dy(dx;x) , encontrar J ( ) dada por
(1.33) en el intervalo antes considerado y (d) mostrar J ( ) cumple la condición (1.34).
Figura 1.4: Función y (x) = 3x entre los límites de x = 0 y x = 2 y dos de sus variaciones y ( ; x) = 3x +
[Sen (x) Cos (x) + 1].
SOLUCION:
(a) Los caminos vecinos al camino estacionario vendrán dados por,
y ( ; x) = y (x) +
(x)
o,
y ( ; x) = 3x +
(Sen x
Estos caminos son mostrados en la figura 1.4 para
Cos x + 1)
(1.35)
= 0 y otros dos valores de .
(b) Es claro que la función (x) = Sen x Cos x + 1 cumple con que se anule en las
fronteras x1 = 0 y x2 = 2 ,
(
(x = 0) = Sen (0) Cos (0) + 1
(x = 2 ) = Sen (2 ) Cos (2 ) + 1
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CAPITULO 1. DEFINICIONES BASICAS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA VARIACIONAL A
ESTUDIAR
o,
(
(x = 0) = 0
(x = 2 ) = 0
(1.36)
cumpliéndose así la condición (1.9).
(c) Para encontar f (y; y 0 ; x) se determina primero,
dy ( ; x)
d
=
[3x +
dx
dx
entonces,
dy ( ; x)
f=
dx
(Sen x
Cos x + 1)] = 3 +
(Cos x + Sen x)
(1.37)
2
= 9 + 6 (Cos x + Sen x) +
Ahora, a partir de (1.33) finalmente se obtiene,
Z 2
J( )=
9 + 6 (Cos x + Sen x) +
2
2
[Sen (2x) + 1]
(1.38)
[Sen (2x) + 1] dx
0
o,
J ( ) = 2 (9 +
2
(1.39)
)
pudiéndose notar que J ( ) es siempre mayor que J (0), no importando el valor (positivo
o negativo) escogido para .
(d) A partir de (1.39) se tiene que,
@J
@J
=
2
@
@
9+
2
=4
)
@J
@
= 4 (0)
=0
o,
@J
@
=0
=0
(1.40)
cumpliéndose así la condición (1.34).
...............................................................................................
EJEMPLO 1.9
(a) Dada la parábola y (x) = x2 , construir funciones y ( ; x) vecinas
a ella mediante (1.8) con (x) = x3 x y graficarlas para algunos valores de entre
x1 = 1 y x2 = 1, (b) mostrar que (x) cumple con la condición (1.9), (c) suponiendo
h
i2
que la función f = f (y; y 0 ; x) viene dada por f = dy(dx;x) + x, encontrar J ( ) dada por
(Equation 1.33) en el intervalo antes considerado y (d) mostrar J ( ) cumple la condición
(1.34).
SOLUCION:
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Pág.: 15
CAPITULO 1. DEFINICIONES BASICAS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA VARIACIONAL A
ESTUDIAR
Figura 1.5: Función y (x) = x2 entre los límites de x =
x3 x .
1 y x = 1 y dos de sus variaciones y ( ; x) = x2 +
(a) Los caminos vecinos al camino estacionario vendrán dados por,
y ( ; x) = y (x) +
(x)
o,
y ( ; x) = x2 +
(x3
Estos caminos son mostrados en la figura 1.5 para
(1.41)
x)
= 0 y otros dos valores de .
(b) Es claro que la función (x) = x3 x cumple con que se anule en las fronteras
x1 = 1 y x2 = 1,
(
(x = 1) = ( 1)3 ( 1)
(x = 1) = (1)3 (1)
o,
(
(x = 1) = 0
(x = 1) = 0
(1.42)
cumpliéndose así la condición (1.9).
(c) Para encontar f (y; y 0 ; x) se determina primero,
dy ( ; x)
d
=
x2 +
dx
dx
x3
x
= 2x +
3x2
1
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(1.43)
Pág.: 16
CAPITULO 1. DEFINICIONES BASICAS Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA VARIACIONAL A
ESTUDIAR
entonces,
dy ( ; x)
f=
dx
2
3x2
+ x = 2x +
Ahora, a partir de (1.33) finalmente se obtiene,
Z 1n
2x + 3x2 1
J( )=
1
o,
1
3
J( )=8
+
1
5
2
1
2
+x
(1.44)
o
+ x dx
2
(1.45)
pudiéndose notar que J ( ) es siempre mayor que J (0), no importando el valor (positivo
o negativo) escogido para .
(d) A partir de (1.45) se tiene que,
@J
@J
=
8
@
@
1 1
+
3 5
2
=
16
5
)
@J
@
=
=0
16
(0)
5
o,
@J
@
=0
=0
(1.46)
cumpliéndose así la condición (1.34).
...............................................................................................
Por último, es de hacer notar que si J es independiente del camino, entonces el
problema variacional pierde todo sentido. Se sabe, de los cursos básicos de cálculo
diferencial e integral, que la integral (1.33) será independiente del camino escogido si
la cantidad f dx es una diferencial exacta.
En el caso de que,
f dx = M (x; y; z) dx + N (x; y; z) dy + R (x; y; z) dz
será exacta si se cumple que,
8
>
<
>
:
@M
@y
@M
@z
@N
@z
= @N
@x
@R
= @x
= @R
@y
SOLDOVIERI C., Terenzio. CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
(1.47)
(1.48)
Pág.: 17
CAPITULO 2
CALCULO DE EXTREMALES SIN
RESTRICCIONES
2.1
Para una variable dependiente — Ecuación de Euler
En esta sección se determinará la única función y (x) tal que la integral funcional
J (1.32) tome un valor estacionario sin restricciones adicionales a las ya impuestas por
las condiciones de frontera x = x1 (fijo) y x = x2 (fijo). Para realizar lo anterior, se debe
calcular la variación de (1.32) para luego aplicar la condición (1.34). En efecto,
Z x2
J( )=
f [y ( ; x) ; y 0 ( ; x) ; x] dx
(2.1)
x1
Puesto que los límites de integración son fijos, el símbolo sólo afecta al integrando
(es posible introducir en la integral) resultando así,
Z x2
Z x2
Z x2
@f
@f
@f 0
@f
dy
J =
f dx =
y + 0 y dx =
y+ 0
dx
@y
@y
@y
@y
dx
x1
x1
x1
Z x2
Z x2
Z x2
@f
@f d
@f
@f d
=
y+ 0
( y) dx =
ydx +
( y) dx
(2.2)
0
@y
@y dx
x1 @y
x1
x1 @y dx
|
{z
}
dy
Puesto que ( dx
)= dxd ( y)
El segundo término de (2.2) puede ser integrado por partes,
(
Z
Z
@f
@f
u = @y
=
0 ) du = d
@y 0
udv = uv
vdu, con
d
dv = dx
( y) dx ) v = y
18
d
dx
@f
@y 0
dx
(2.3)
CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
de manera que,
Z
x2
x1
@f d
@f
( y) dx =
y
0
@y dx
@y 0
pero,
@f
y
@y 0
x2
x1
Z
x2
x1
d
dx
@f
@y 0
(2.4)
ydx
x2
(2.5)
=0
x1
ya que y debe anularse en x1 y x2 por ser una variación admisible. Entonces (2.4)
resulta en,
Z x2
Z x2
d @f
@f d
(
y)
=
ydx
(2.6)
0
@y 0
x1 dx
x1 @y dx
así la expresión (2.2) queda finalmente escrita como,
Z x2
Z x2
Z x2
@f
d @f
@f
J=
ydx
ydx =
0
@y
@y
x1 @y
x1 dx
x1
d
dx
@f
@y 0
(2.7)
ydx
Ahora, al aplicar la condición (1.34) para encontrar así los valores estacionarios de
J resulta,
Z x2
@f
d @f
J=
ydx = 0
(2.8)
@y dx @y 0
x1
que es independiente de ya que la anterior expresión está evaluada en = 0 en
virtud de haber aplicado la condición (1.34). Aquí la variación y es completamente
arbitraria.
Por otro lado, en el cálculo variacional existe el llamado Lema Fundamental del
Cálculo de Variaciones que establece lo siguiente:
Si se cumple la expresión,
Z x2
M (x) (x) = 0
(2.9)
x1
para todas las funciones arbitrarias (x) continuas hasta la segunda
derivada (al menos), entonces M (x) debe anularse idénticamente en
el intervalo (x1 ; x2 ).
Un Lema es una proposición que es preciso demostrar antes de establecer un Teorema. Véase apéndice
D para la demostración del Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones.
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Pág.: 19
CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
Ahora bien, al aplicar el anterior lema a la expresión (2.8) resulta,
2
6
4
@f
d @f
=0
@y dx @y 0
|
{z
}
Ecuación de Euler para funcionales
de una variable dependiente.
(2.10)
3
7
5
Este resultado es conocido como la Ecuación de Euler, que constituye la condición
necesaria para que J tenga un valor estacionario.
...............................................................................................
EJEMPLO 2.1
Hallar las extremales de la funcional,
Z x2
J=
y 2 + y 02 + 2yex dx
x1
y su correspondiente valor extremal.
SOLUCION: aquí,
f = y 2 + y 02 + 2yex
(2.11)
Ahora bien, al sustituir (2.11) en la ecuación de Euler (2.10) resulta,
@
y 2 + y 02 + 2yex
@y
d
@
y 2 + y 02 + 2yex
= 0
dx @y 0
y + ex y 00 = 0
(2.12)
La expresión (2.12) es una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea con
coeficientes constantes, cuya solución es,
y = c1 ex + c2 e
x
+ 21 xex
(2.13)
Observaciones:
1. Los caminos (2.13) representan una familia de caminos extremales debido a la presencia de las constantes c1 y c2 . Para condiciones de frontera dadas podrán determinarse las constantes c1 y c2 resultado así un único camino extremal.
2. La expresión (2.13) no es el valor extremal de J, son los caminos extremales que
hacen que J tome un valor extremal (un máximo o un mínimo).
3. El valor extremal de J es la cantidad que se obtiene al sustituir (2.13) en la misma y
luego evaluar la integral.
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Pág.: 20
CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
Por último, al sustituir (2.13) en J, el valor extremal de esta última vendrá dado por,
Z x2
y 2 + y 02 + 2yex dx
x1
Z x2 (
2
2
1
d
1
c1 ex + c2 e x + xex +
=
c1 ex + c2 e x + xex
2
dx
2
x1
+2 c1 ex + c2 e
x
1
+ xex ex dx
2
o,
J = C1 e2x1 + C2 e2x2 + c22 (e
2x1
2x2
e
) + c2 (x2
x1 )
(2.14)
con,
C1 =
C2 =
1 2
x
4 1
c21
c1 x1
1
x1
2
c1 +
1 2
1
x2 + c1 x2 + c21 + x2 + c1
4
2
1
8
1
8
que es el valor extremal (un máximo o un mínimo) de J.
...............................................................................................
EJEMPLO 2.2
(a) Hallar la extremal de la funcional,
Z 2 02
y
dx
J=
1 4x
que satisfaga las condiciones de frontera y (1) = 5 y y (2) = 11, (b) la extremal encontrada ¿maximiza o minimiza a J? y (c) hallar su valor extremal.
SOLUCION:
(a) Aquí,
y 02
f=
(2.15)
4x
Ahora bien, al sustituir (2.15) en la ecuación de Euler (2.10) resulta,
@
@y
y 02
4x
y 02
4x
d y0
dx x
d
@
dx @y 0
= 0
= 0
(2.16)
que al integrarse produce,
y 0 = c1 x
y al integrar esta última resulta,
y=
c1 2
x + c2
2
SOLDOVIERI C., Terenzio. CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
(2.17)
(2.18)
Pág.: 21
CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
Si ahora se aplican las condiciones de frontera sobre (2.18) entonces,
(
y (1) = 5: c21 + c2 = 5
Para
y (2) = 11: 2c1 + c2 = 11
(2.19)
de las cuales se obtiene c1 = 4 y c2 = 3. Por lo tanto, al sustituir estos resultados en (2.18)
se obtiene finalmente,
y = 2x2 + 3
(2.20)
que es una Parábola y . Este representa el camino extremal de J, es decir, el camino que
hace que J tome un valor extremo (un máximo o un mínimo).
(b) ¿La parábola (2.20) maximiza o minimiza a J?. La extremal hallada puede maximizar, minimizar o no hacer ninguna de las dos cosas. Con la teoría mostrada en este
texto no es posible, en general, decidir qué es lo que ocurre. Sin embargo existen unos
pocos casos simples (este ejemplo es uno de ellos) donde se puede decidir muy fácilmente.
Si
es cualquier variación admisible (ver sección 1.2.1) no necesariamente pequeña, entonces la variación que sobre J hace viene dada por (ye = y extremal=
2x2 + 3),
Z
Z
2
2
1 21 d
1 21 d
J (ye + ) J (ye ) =
(ye + ) dx
(ye ) dx
4 1 x dx
4 1 x dx
Z 2
Z 2
0 2
(4x + )
1
xdx
=
dx 4
4 1
x
1
Z
2
1 2 02
= 2
+
dx
4 1 x
1
y como es una variación admisible debe satisfacer (1) = 0 y
tiene que,
R 2 02
J (ye + ) J (ye ) = 14 1 x dx 0
(2) = 0, por lo tanto se
(2.21)
Entonces, ya que la integral de una función positiva debe ser positiva (x es positiva en
el intervalo de integración), (2.20) proporciona realmente un mínimo global de J.
(c) El mínimo global de J viene dado al sustituir (2.20) en J y evaluar la integral
resultante. En efecto,
Z 2
2
1 d
2
2
J 2x + 3 =
2x + 3
dx
1 4x dx
y
Una Parábola es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con
un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por
su generatriz.
SOLDOVIERI C., Terenzio. CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 22
CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
o,
J =6
(2.22)
Es de hacer notar que, en el caso de que J provenga de una f obtenida del análisis de una situación física en particular, las condiciones físicas del sistema estudiado
pueden ayudar a saber si el extremal encontrado para J es un máximo o un mínimo.
...............................................................................................
EJEMPLO 2.3
(a) ¿En qué curva puede alcanzar su extremo la funcional,
Z 1
y 02 + 12xy dx
J=
0
sabiendo que y (0) = 0 y y (1) = 1?, (b) hallar el correspondiente valor extremal de J.
SOLUCION:
(a) Aquí,
f = y 02 + 12xy
(2.23)
Ahora bien, al sustituir (2.23) en la ecuación de Euler (2.10) resulta,
@
y 02 + 12xy
@y
d
@
y 02 + 12xy
= 0
dx @y 0
6x y 00 = 0
(2.24)
La ecuación diferencial (2.24) tiene como solución,
y = x3 + c1 x + c2
(2.25)
Para hallar las constantes c1 y c2 se aplican sobre (2.25) las condiciones de frontera
dadas. En efecto,
(
y (0) = 0: c2 = 0
Para
(2.26)
y (1) = 1: 1 + c1 + c2 = 1 ) c1 = 0
Por último, al sustituir (2.26) en (2.25) resulta,
y = x3
(2.27)
(b) El valor extremal de J viene dado al sustituir (2.27) en ella. En efecto,
)
Z 1
Z 1(
2
d
J=
y 02 + 12xy dx =
x3
+ 12x x3 dx
dx
0
0
o,
J=
21
5
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(2.28)
Pág.: 23
CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
...............................................................................................
EJEMPLO 2.4
Superficie mínima de revolución. Considerar la superficie generada
al hacer girar una línea que une dos puntos fijos (x1 ; y1 ) y (x2 ; y2 ) en torno a un eje coplanar con los dos puntos. Determinar la ecuación de la línea que une dichos puntos de
manera tal que el área de la superficie generada (el área de la superficie de revolución) sea mínima.
SOLUCION: supóngase que la curva que pasa a través de (x1 ; y1 ) y (x2 ; y2 ) es trasladada
en torno al eje y, coplanar con los dos puntos. Para calcular el área total de la superficie de revolución, primero se encuentra el área dA de una cinta (ver figura 2.1), de
manera que,
Figura 2.1: Superficie de revolución generada por una curva que une a los puntos (x1 ; y1 ).y (x1 ; y1 ),
haciéndola trasladarse entrono al eje y.
dA = xdsd' = x dx2 + dy 2
1
2
d'
(2.29)
donde se ha supuesto que la curva generatriz está en el plano (x; y). Pudo haberse
partído con la curva generatriz en el plano (y; z) sin problema alguno, siendo para este
caso dA = zdsd'. Al integrar (2.29),
Z (x2 ;y2 ) Z 2
Z x2
1
1
2
2 2
A=
x dx + dy
d' = 2
x 1 + y 02 2 dx
(2.30)
(x1 ;y1 )
x1
0
donde se ha escogido x como variable independiente. Si se hubiese escogido y como
Rx
1
variable independiente se tendría A = 2 x12 x (x02 + 1) 2 dy con x0 = dx
.
dy
El área (2.30) es la cantidad que se quiere minimizar, por lo tanto,
f = 2 x 1 + y 02
1
2
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(2.31)
Pág.: 24
CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
y como,
@f
@y
entonces, de (2.10) resulta,
@f
@y 0
=0
xy 0
=2
(2.32)
1
(1+y 02 ) 2
"
#
d
xy 0
2
=0
1
dx
(1 + y 02 ) 2
xy 0
1
(1 + y 02 ) 2
= c1 , c1 = constante
de aquí que,
c1
0
y =
c21 )
(x2
1
2
Z
) y = c1
(2.33)
dx
(x2
1
c21 ) 2
(2.34)
donde se ha tomado el signo positivo para y en concordancia con el sistema de coordenadas de referencia que se está usando. La solución de (2.34) viene dada por,
y = c1 ln x +
p
c21 + c2
x2
(2.35)
donde c2 es una segunda constante de integración. Las constantes c1 y c2 pueden
ser determinadas requiriendo que la curva pase por los puntos (x1 ; y1 ) y (x2 ; y2 ), que
representan las condiciones de frontera.
La epresión (2.35) puede ser reescrita para así identificar con mayor facilidad la
curva que representa. Como,
cosh
1
x = ln x +
p
x2
1
entonces (2.35) puede ser escrita también como,
x = c1 Cosh
y c2
c1
(2.36)
que es la ecuación de la Catenaria z .
...............................................................................................
z
Esta palabra proviene del latín catēnarı̆us “propio de la cadena”. Se denomina Catenaria a la curva que
adopta una cadena, cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente
por unidad de longitud (homogénea), suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo
gravitatorio uniforme. La evoluta de la Catenaria es la Tractriz.
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Pág.: 25
CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
2.2
Segunda forma y forma integrada de la Ecuación de
Euler
Es posible reescribir la ecuación de Euler (2.10), obteniéndose así una segunda
forma de la misma que es muy conveniente para funcionales f que no dependen ex= 0.
plícitamente de la variable independiente x, es decir, donde @f
@x
Nótese primero que para cualquier funcional f (y; y 0 ; x) se tiene,
df
@f
@f
@f dy
@f dy 0 @f
@f
=
+ 0
+
= y0
+ y 00 0 +
dx
@y dx @y dx
@x
@y
@y
@x
(2.37)
y que,
d
dx
y0
@f
@y 0
= y 00
d
@f
+ y0
0
@y
dx
@f
@y 0
(2.38)
@f
ahora, al despejar y 00 @y
0 de (2.37) y sustituirlo en (2.38) resulta,
d
dx
y0
@f
@y 0
=
df
dx
@f
@x
y0
|
@f
@y
d @f
dx @y 0
{z
}
(2.39)
=0 por (2.10)
donde el último término se anula debido a la ecuación de Euler (2.10). Por lo tanto,
2
6
4
@f
d
@f
f y0 0 = 0
@x dx
@y
|
{z
}
Segunda forma de la Ecuación de Euler para
funcionales de una variable dependiente.
(2.40)
3
7
5
que a menudo se le llama Segunda Forma de la Ecuación de Euler.
Es posible usar (2.40) en casos en los cuales f no depende explícitamente de la
variable independiente x, de manera que @f
= 0. Entonces,
@x
2
6
4
@f
@f
f y 0 0 = c; c = constante (para
= 0)
@y
@x
|
{z
}
Forma integrada de la Ecuación de Euler para
funcionales de una variable dependiente
(2.41)
3
7
5
que es la llamada Forma Integrada de la Ecuación de Euler. También se le denomina
Identidad de Beltrami [Ref. 6].
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Pág.: 26
CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
...............................................................................................
EJEMPLO 2.5
Hallar las extremales de la funcional,
Z x2 p 02
y +1
J=
dx
y
x1
SOLUCION: aquí,
f=
p
y 02 + 1
y
(2.42)
que no depende explícitamente de x, por lo tanto, es posible usar la forma integrada
de la ecuación de Euler. En efecto, al sustituir (2.42) en (2.41) resulta,
!
p
p
y 02 + 1
y 02 + 1
0 @
y 0
=c
y
@y
y
1
p
=c
y y 02 + 1
o,
y0 =
1p
1
cy
c2 y 2
(2.43)
que constituyen un par de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de
variables separables. Al integrar (2.43) resulta,
(x
c1 )2 + y 2 =
1
c2
(2.44)
donde c1 es una constante de integración y que representa una Circunferencia. Por
lo tanto, las curvas extremales de la funcional dada son una familia de circunferencias
centradas en (c1 ; 0) y de radio 1c .
...............................................................................................
EJEMPLO 2.6
El problema de la Braquistócronax . Supóngase que se tiene una
rampa lisa como la mostrada en la figura 2.2 sobre la cual, y desde el punto P1 , se suelta
una partícula de masa m que comienza a moverse bajo la acción de la gravedad. El
punto P1 se encuentra a una altura h sobre el suelo, mientras que P2 se encuentra a
nivel del mismo a una distancia horizontal d. Encontrar la forma que debe tener el perfil
de esta rampa de manera tal que la mencionada partícula emplee el menor tiempo
posible en viajar desde P1 hasta P2 .
SOLUCION: como se muestra en la figura (2.3), el perfil pedido será la curva y = y (x)
que une P1 con P2 de manera tal que el tiempo que emplea la partícula en viajar
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CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
Figura 2.2: Partícula de masa m que se desplaza sobre una rampa lisa desde el punto P1 hasta el punto
P2 .
desde P1 hasta P2 sea el menor posible. Si se escoge un sistema de coordenadas de
referencia cuyo origen coincide con el punto P1 , entonces P1 = (x1 ; y1 ) = (0; 0) y P2 =
(x2 ; y2 ) = (d; h).
Puesto que el campo gravitacional es conservativo, entonces la energía mecática
total E de la partícula se mantiene constante durante todo el recorrido. En el punto P1
se tiene E = T + U = 0 y en cualquier otro punto P = (x; y),
1
E = T + U = mv 2 + mgy = 0
2
(2.45)
de la cual resulta,
1
(2.46)
v = ( 2gy) 2
Por otro lado se sabe que,
(
v=
ds
dt
(2.47)
1
ds = (dx2 + dy 2 ) 2
entonces,
t=
Z
(x2 ;y2 )=(d; h)
(x1 ;y1 )=(0;0)
ds
=
v
Z
(d; h)
1
(dx2 + dy 2 ) 2
1
(0;0)
( 2gy) 2
=
Z
x2 =d
x1 =0
1 + y 02
2gy
1
2
dx
(2.48)
El tiempo transcurrido durante todo el movimiento es la cantidad que se quiere minimizar, por lo tanto, de (2.48) la función f puede ser identificada como,
f=
x
1 + y 02
2gy
1
2
(2.49)
Del griego Braquistos = “el más breve” y Cronos= tiempo.
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CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
Figura 2.3: Planteamiento gráfico del problema de la Braquistócrona.
que no depende explícitamente de la variable independiente x. Entonces, a partir de
la forma integrada de la ecuación de Euler (2.41) resulta,
"
1
1#
02 2
1 + y 02 2
@
1
+
y
y0 0
= c
2gy
@y
2gy
1 + y 02
y 02
1
2
(1 + y 02 )
1
2gc2 y
o,
x=
Z
1
1
2
1
y
1
2gc2
1
2
y
! 12
= ( 2gy) 2 c
= y0
dy
Ahora, al hacer el cambio de variable{ ,
1
y=
Sen2
2gc2
2
la expresión (2.50) se puede escribir como,
Z
1
1
Sen2 d =
x=
(
2
2gc
2
4gc2
(2.50)
(2.51)
Sen ) + C
(2.52)
donde se ha escogido el signo positivo para x en correspondencia al sistema de coordenadas de referencia usado.
{
El signo negativo es por el sistema de coordenadas de referencia usado.
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Pág.: 29
CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
Como al inicio del movimiento (x; y) = (0; 0), entonces de (2.51) se obtiene = 0 y
de (2.52) C = 0. De esta manera, en conjunto, las expresiones (2.51) y (2.52) pueden
escribirse como,
(
1
x = 4gc
Sen )
2 (
(2.53)
1
y = 4gc
Cos )
2 (1
que representan las ecuaciones paramétricas de una Cicloidek que pasa por el origen
Figura 2.4: Camino resultante para que la partícula se mueva desde (x1 ; y1 ) = (0; 0) hasta (x2 ; y2 ) = (d; h)
en el menor tiempo posible.
(ver figura 2.4), siendo éste el perfil que debe tener la rampa para que la partícula se
mueva de P1 hasta P2 en el menor tiempo posible. La constante c debe ser ajustada
para permitir que la cicloide pase a través del punto de llegada P2 . En efecto, al evaluar las expresiones (2.53) en P2 se obtiene,
Para x = d )
Para y =
h)
Sen
= 4gc2 d
= Cos
1
1
(2.54)
4gc2 h
(2.55)
entonces, en (2.53)al sustituir una expresión en la otra resulta,
Cos
1
(1
hp
4gc h) = 2c
2gh (1
2
2gc2 h)
i
+ 2gcd
(2.56)
expresión que proporciona el ajuste de la constante c.
La curva obtenida, la Cicloide, recibe el nombre de Curva Braquistócrona o curva
del descenso más rápido. Esta curva coincide además con una Curva Tautócrona o
k
Una Cicloide es el lugar geométrico originado por un punto de una circunferencia (generatriz) al rodar
sobre una línea recta (directriz), sin deslizarse.
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Pág.: 30
CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
Curva Isócrona ya que si se colocan varias partículas sobre ella en distintos puntos de
partida y se les suelta al mismo tiempo, llegan a encontrarse al mismo tiempo en un
punto posterior, es decir, tardan el mismo tiempo en alcazar una posición común.
...............................................................................................
EJEMPLO 2.7
Se tiene una película de jabón entre dos anillos paralelos concéntricos de radio a, separados por una distancia 2d (ver figura 2.5). Encuentre la forma
adquirida por la película de jabón.
Figura 2.5: Película de jabón entre dos anillos concéntricos de radio a y separados por una distancia 2d.
SOLUCION: la forma que adquirirá la película de jabón será aquella que minimice la
energía del sistema (todo sistema al tender a la estabilidad, tiende a su estado de mínima energía), por lo tanto este estado debe corresponder a aquél donde la superficie
de la película de jabón sea la mínima.
Es fácil ver de la figura 2.5 que las condiciones de frontera vienen dadas por y (d) = a
y y ( d) = a. El elemento de superficie de la película de jabón vendrá dado por,
(2.57)
dS = 2 yds
y,
ds2 = dy 2 + dz 2 ) ds =
p
y 02 + 1dz
(2.58)
Una tautócrona o curva isócrona (de los prefijos griegos tauto- que significa mismo o iso- igual, y chrono
tiempo) es la curva para la cual el tiempo tomado por un objeto que desliza sin rozamento en gravedad
uniforme hasta su punto más bajo es independiente de su punto de partida.
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Pág.: 31
CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
con y 0 =
dy
:
dz
Aquí y es la variable dependiente y z la independiente. Por lo tanto,
S=2
Z
d
y
d
p
y 02 + 1dz
(2.59)
que es la cantidad que se quiere minimizar. En (2.59) es posible identificar,
f =2 y
p
y 02 + 1
(2.60)
Ahora bien, como f no depende de la variable independiente z, entonces es posible
usar la forma integrada (2.41) de la ecuación de Euler. Entonces,
f
2 y
o,
p
y0
y 02 + 1
@f
dy
= c, con y 0 =
0
@y
dz
2 y0
y 02 =
con c1 =
c
2
p
@
y
y 02 + 1 = c
@y 0
y2
c21
1
(2.61)
y = c1 Cosh u
(2.62)
. Al introducir el cambio de variable,
en (2.61) e integrando resulta,
y = c1 Cosh
z
+ c2
c1
(2.63)
con c2 una constante de integración. Esta es la curva que genera la superficie de
revolución buscada.
Las constantes c1 y c2 se calculan aplicando las condiciones de frontera y (d) = a y
y ( d) = a sobre (2.63). En efecto,
8
< y (d) = a: a = c1 Cosh d + c2
c1
Para
(2.64)
d
: y ( d) = a: a = c1 Cosh
+ c2
c1
de las cuales se deduce que c2 = 0 ya que d 6= 0. La constante c1 vendrá dada por,
a = c1 Cosh
d
c1
(2.65)
que es una ecuación trascendental para dicha constante.
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Pág.: 32
CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
Por último (2.63) se puede escribir como,
y = c1 Cosh
z
c1
(2.66)
con c1 dada por (2.65). La expresión (2.66) es la ecuación de una Catenaria, por lo
tanto, en perfil la película de jabón toma esta forma, con una distancia mínima al eje
de rotación dada por c1 (verificarlo).
...............................................................................................
2.3
Para múltiples variables dependientes — Ecuaciones de
Euler - Lagrange
En esta sección se determinarán las funciones yi (x) tales que la integral funcional
J (1.32) tome un valor estacionario sin restricciones adicionales a las ya impuestas por
las condiciones de frontera x = x1 (fijo) y x = x2 (fijo). Para realizar lo anterior, se debe
calcular la variación de (1.32) para luego aplicar la condición (1.34). En efecto,
J=
Z
x2
f [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx
(2.67)
x1
Al igual que en la sección anterior, puesto que los límites de integración son fijos, el
símbolo sólo afecta al integrando resultando así,
J =
Z
x2
f dx =
x1
=
n Z x2
X
i=1
x1
Z
|
x2
x1
n
X
i=1
@f
@f
yi + 0 yi0 dx =
@yi
@yi
{z
}
Ver ejemplo 1.7
X
@f
@f d
yi + 0
( yi ) dx =
@yi
@yi dx
i=1
n
Z
Z
x2
x1
x2
x1
n
X
@f
@f
yi + 0
@yi
@yi
i=1
@f
yi dx +
@yi
Z
x2
x1
El segundo término de (2.68) puede ser integrado por partes,
(
Z
Z
@f
@f
d
u = @y
= dx
0 ) du = d
@yi0
i
udv = uv
vdu, con
d
dv = dx
( yi ) dx ) v = yi
dyi
dx
dx
@f d
( yi ) dx (2.68)
@yi0 dx
@f
@yi0
dx
(2.69)
de manera que,
Z
x2
x1
@f d
@f
( yi ) dx =
yi
0
@yi dx
@yi0
x2
x1
Z
x2
x1
d
dx
@f
@yi0
yi dx
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(2.70)
Pág.: 33
CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
pero,
x2
@f
yi
@yi0
(2.71)
=0
x1
ya que yi debe anularse en x1 y x2 por ser una variación admisible. Entonces (2.70)
resulta en,
Z x2
Z x2
d @f
@f d
( yi ) dx =
yi dx
(2.72)
0
@yi0
x1 dx
x1 @yi dx
así la expresión (2.68) queda finalmente escrita como,
Z
n
X
J =
i=1
x2
x1
Z
n
X
=
i=1
@f
yi dx
@yi
x2
@f
@yi
x1
Z
x2
x1
d
dx
d
dx
@f
@yi0
@f
@yi0
yi dx
yi dx
(2.73)
Ahora, al aplicar la condición (1.34) para encontrar así el valor estacionario de J resulta,
Z x2
n
X
@f
d @f
J=
yi dx = 0
(2.74)
0
@y
dx
@y
i
x
i
1
i=1
que es independiente de ya que la anterior expresión está evaluada en = 0 en
virtud de haber aplicado la condición (1.34). Aquí la variación yi es completamente
arbitraria, entonces al aplicar el lema fundamental del cálculo de variaciones (2.9)
resulta,
@f
d @f
= 0, con i = 1; 2; 3; :::; n
(2.75)
@yi dx @yi0
|
{z
}
2
3
Ecuaciones
de
Euler-Lagrange
para
funcionales
6
7
4
5
de múltiples variables dependientes.
que son las ecuaciones de Euler para un funcional J de múltiple variables dependientes
y conforman un conjunto de n ecuaciones diferenciales. Se les conoce también como
Ecuaciones de Euler-Lagrange.
...............................................................................................
EJEMPLO 2.8
(a) Hallar las extremales de la funcional,
Z
2
J=
y 02 + z 02 + 2yz dx
0
sabiendo que y (0) = 0, y
valor extremal.
2
= 1 y z (0) = 0, z
2
=
1, y (b) hallar su correspondiente
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Pág.: 34
CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
SOLUCION:
(a) Aquí,
f = y 02 + z 02 + 2yz
(2.76)
Ahora bien, f tiene dos variables dependientes y y z, por lo tanto, se debe escribir una
ecuación de Euler para cada una de estas variables. Al sustituir (2.76) en las ecuaciones
de Euler (2.75) (para i = 1; 2 con y1 = y y y2 = z) resulta,
@f
@y
Para i = 1:
@
y 02 + z 02 + 2yz
@y
d
dx
@f
@y 0
=0
d
@
y 02 + z 02 + 2yz
= 0
dx @y 0
z y 00 = 0
(2.77)
y,
@f
@z
Para i = 2:
@
y 02 + z 02 + 2yz
@z
d
dx
@f
@z 0
=0
d
@
y 02 + z 02 + 2yz
= 0
dx @z 0
y z 00 = 0
(2.78)
Si entre (2.77) y (2.78) se elimina z resulta,
y IV
(2.79)
y=0
que al integrarla produce,
y = c1 ex + c2 e
x
+ c3 Cos x + c4 Sen x
(2.80)
Para encontrar z, se sustituye (2.80) en (2.77) resultando,
z = c1 ex + c2 e
x
c3 Cos x
c4 Sen x
(2.81)
Por último, al aplicar las condiciones de frontera sobre (2.80) en (2.81) resulta,
8
c1 = 0
>
>
>
< c =0
2
(2.82)
>
c3 = 0
>
>
:
c4 = 1
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Pág.: 35
CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
por lo tanto, sustituyendo estos resultados en (2.80) y (2.81),
(
y = Sen x
z = Sen x
(2.83)
(b) El valor extremal de J vendrá dado al sustituir (2.83) en la expresión de la misma.
En efecto,
)
Z (
Z
2
2
2
2
d
d
y 02 + z 02 + 2yz dx =
(Sen x) +
( Sen x) + 2 (Sen x) ( Sen x) dx
J=
dx
dx
0
0
o,
J =0
(2.84)
...............................................................................................
EJEMPLO 2.9
Analizar el extremo de la funcional,
Z x2
J=
[4x + 2y z + (2x 2y + z) y 0 + ( x + y + 2z) z 0 ] dx
x1
sabiendo que y (x1 ) = yo , y (x2 ) = y1 y z (x1 ) = zo , z (x2 ) = z1 .
SOLUCION: la integral no depende del camino de integración ya que f dx es una
diferencial exacta, por lo tanto, problema variacional no tiene sentido. En efecto,
f dx = [4x + 2y
z + (2x
= (4x + 2y
siendo,
por lo tanto,
2y + z) y 0 + ( x + y + 2z) z 0 ] dx
z) dx + (2x
2y + z) dy + ( x + y + 2z) dz
8
>
< M (x; y; z) = 4x + 2y z
N (x; y; z) = 2x 2y + z
>
:
R (x; y; z) = x + y + 2z
8
>
<
>
:
@M
@y
@M
@z
@N
@z
= @N
=2
@x
@R
= @x = 1
= @R
=1
@y
(2.85)
(2.86)
(2.87)
cumpliéndose así las condiciones (1.48) para que f dx sea una diferencial exacta.
...............................................................................................
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CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
EJEMPLO 2.10
(a) Hallar las extremales de la funcional,
Z 1
y 02 + z 02 dx
J=
0
sabiendo que y (0) = 0, y (1) = 1 y z (0) = 0, z (1) =
extremal.
SOLUCION:
(a) aquí,
f = y 02 + z 02
2, (b) su correspondiente valor
(2.88)
Ahora bien, f tiene dos variables dependientes y y z, por lo tanto, se debe escribir una
ecuación de Euler para cada una de estas variables. Al sustituir (2.88) en las ecuaciones
de Euler (2.75) (para i = 1; 2 con y1 = y y y2 = z) resulta,
Para i = 1:
@
y 02 + z 02
@y
@f
@y
d
dx
@f
@y 0
=0
@
d
y 02 + z 02
0
dx @y
= 0
y 00 = 0
(2.89)
y,
Para i = 2:
@
y 02 + z 02
@z
@f
@z
d
dx
@f
@z 0
d
@
y 02 + z 02
dx @z 0
=0
= 0
z 00 = 0
(2.90)
Las soluciones de (2.89) y (2.90) son respectivamente,
y = c1 x + c2
(2.91)
z = c3 x + c4
(2.92)
Por último, al aplicar las condiciones de frontera sobre (2.91) en (2.92) resulta,
8
>
> c1 = 1
>
< c =0
2
(2.93)
>
c
2
3 =
>
>
:
c4 = 0
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CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
por lo tanto, sustituyendo estos resultados en (2.91) y (2.92) resulta finalmente,
(
y=x
z = 2x
(2.94)
(b) El valor extremal de J vendrá dado al sustituir (2.94) en la expresión de la misma.
En efecto,
)
Z 1(
Z 1
2
2
d
d
(x) +
( 2x)
dx
J=
y 02 + z 02 dx =
dx
dx
0
0
o,
(2.95)
J =5
...............................................................................................
EJEMPLO 2.11
Hallar las extremales de la funcional,
Z x2
J=
f (y 0 ; z 0 ) dx
x1
SOLUCION: aquí,
f = f (y 0 ; z 0 )
(2.96)
Ahora bien, f tiene dos variables dependientes y y z, por lo tanto, se debe escribir una
ecuación de Euler para cada una de estas variables. Al sustituir (2.96) en las ecuaciones
de Euler (2.75) (para i = 1; 2 con y1 = y y y2 = z) resulta,
Para i = 1:
@
f (y 0 ; z 0 )
@y
| {z }
@
d
f (y 0 ; z 0 ) = 0
dx @y 0
=0
d
@
f (y 0 ; z 0 ) = 0
0
dx @y
@
@y 0
|
@f
@y 0
dy 0
@
+ 0
dx
@z
{z
@f
@y 0
Por regla de la cadena
dz 0
= 0
dx
}
@ 2 f 00
@ 2 f 00
y
+
z = 0
@y 02
@z 0 @y 0
(2.97)
y,
Para i = 2:
@
f (y 0 ; z 0 )
@z
| {z }
d
@
f (y 0 ; z 0 ) = 0
dx @z 0
=0
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CAPITULO 2. CALCULO DE EXTREMALES SIN RESTRICCIONES
d
@
f (y 0 ; z 0 ) = 0
dx @z 0
@
@y 0
|
@f
@z 0
dy 0
@
+ 0
dx
@z
{z
@f
@z 0
Por regla de la cadena
dz 0
= 0
dx
}
@ 2 f 00 @ 2 f 00
y + 02 z = 0
@y 0 @z 0
@z
Por último, al resolver el sistema formado por (2.97) y (2.98) resulta,
)
2
y 00 = 0
@2f
@2f @2f
si
6= 0
@y 0 @z 0
@y 02 @z 02
z 00 = 0
(2.98)
(2.99)
de las cuales resulta, como se vió en el ejemplo anterior, lo siguiente,
(
y = c1 x + c2
z = c3 x + c4
(2.100)
que es una familia de líneas rectas en el espacio. Como se puede ver, el ejemplo
anterior constituye un caso especial del presente.
...............................................................................................
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CAPITULO 3
CALCULO DE EXTREMALES CON
RESTRICCIONES
Existen situaciones en las que es natural considerar ciertas restricciones adicionales,
a las ya impuestas por las condiciones de frontera, sobre el conjunto de funciones de
las que depende el funcional integral J definido por (1.32). Por ejemplo, supóngase
que se quiere buscar el camino más corto entre dos puntos sobre una superficie, entonces existe ahora la restricción de que el camino debe satisfacer la ecuación de
dicha superficie.
En una situación dada pueden existir más de una restricción. El número total de
restricciones presentes será denotado por K y el subíndice l será utilizado para indicar
cada una de las restricciones por separado, es decir, l = 1; 2; 3; : : : ; K. En el presente
texto serán consideradas restricciones de los siguientes tipos:
1. Restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0: son igualdades que expresan relaciones algebraicas entre las distintas yi (x) únicamente, no involucrando sus derivadas. Es
decir, ahora no todas las yi (x) son independientes pues algunas de ellas estarán
relacionadas unas a las otras mediante las ecuaciones Al [yi (x) ; x] = 0. Por ser relaciones algebraicas entre las yi (x), permiten eliminar (en general) todas aquellas yi (x)
que son dependientes.
2. Restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0: son igualdades que expresan relaciones
entre las distintas yi (x) y sus correspondientes derivadas yi0 (x), es decir, son ecuaciones diferenciales de primer orden en las yi (x). Estas restricciones, por no ser rela40
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
ciones algebraicas únicamente entre las yi (x), no permiten eliminar las yi (x) dependientes a menos que puedan ser integradas. De ocurrir lo último, entonces será
posible eliminar las yi0 (x) resultando restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.
el =
3. Restricciones del tipo D
n
P
j=1
Alj [yi (x) ; x] yj0 (x) + Bl [yi (x) ; x] = 0: representan un caso
menos general de las del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 (la sobre la D es para indicar
que es un subconjunto de estas últimas). Son igualdades que expresan relaciones
entre las distintas yi (x) y sus correspondientes derivadas yi0 (x), es decir, son ecuaciones diferenciales de primer orden en las yi (x). Pueden ser expresadas también
en forma diferencial. Igual que para las anteriores, por no ser relaciones algebraicas
únicamente entre las yi (x), no permiten en principio eliminar las yi (x) dependientes
a menos que puedan ser integradas. De ocurrir lo último, entonces será posible eliminar las yi0 (x) resultando restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.
Rx
4. Restricciones del tipo x12 Il [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx = %l : son las denominadas Restricciones
Isoperimétricas. En estas restricciones las %l son constantes y, al igual que (2) y (3),
tampoco pueden ser usadas para eliminar algunas de las yi (x). Pueden ser reducidas a restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 como se verá más adelante.
La manera de abordar este tipo de situaciones donde existen restricciones es transformar el problema con restricciones a uno equivalente sin restricciones. Esto se logra:
1. Usando las ecuaciones de las restricciones para despejar de ellas todas las yi (x)
dependientes y sustituirlas en el integrando de J, resultando así una nueva Je cuyo
integrando fe es sólo función de las yi (x) independientes y sus derivadas. Después
de realizado esto, es posible usar las ecuaciones de Euler (2.10), (2.40) y (2.41) en el
caso de una variable yi (x) o de Euler-Lagrange (2.75) en el caso de varias variables,
todas ellas encontradas para una situación sin restricciones. De los tipos de restriciones mencionados antes, esto es posible hacerlo sólo con las Al [yi (x) ; x] = 0 o las
Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 en los casos que sean integrables. Cuando se proceda de esta
forma se dirá que las restricciones son usadas en Forma Implícita.
2. Usando el Método de los Multiplicadores de Lagrange
de forma análoga a como
se procede para hallar los valores extremales para las funciones en el curso básico
de cálculo de varias variables. Más adelante serán encontradas las ecuaciones
de Euler-Lagrange correspondientes. Aquí las restricciones, en ningún caso, serán
usadas para eliminar las yi (x) dependientes. Cuando se proceda de esta forma se
dirá que las restricciones son usadas en Forma Explícita.
Véase apéndice B.
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Pág.: 41
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
Las restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 (que en general no son integrables) y
las del tipo,
Z x2
Il [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx = %l
x1
sólo pueden ser empleadas en forma explícita ya que no permiten eliminar las yi (x) dependientes. Las restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 y las del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0
integrables, pueden ser usadas en las dos formas. Para estas dos últimas, la forma
explícita proporciona información adicional contenida en los multiplicadores de Lagrange que no es posible obtenerla mediante la forma implícita.
3.1
Restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0
3.1.1 Forma implícita
Se emplearán las restricciones Al [yi (x) ; x] = 0 en forma implícita, es decir, serán usadas
para eliminar las yi (x) dependientes.
Pasos a seguir:
1. Se identifican las restricciones existentes.
2. Se indentifica f del integrando de la J dada o construida a partir de
la cantidad que se desea extremar.
3. Se usan las restricciones para eliminar las yi (x) dependientes en la f
identificada en el paso anterior, escogiéndose las que se van a dejar
como independientes entre sí. Esta nueva f sólo contendrá las yi (x)
independientes.
4. Se encuentran y se resuelven las ecuaciones de Euler (2.10), (2.40) y
(2.41) en el caso de una variable yi (x) o de Euler-Lagrange (2.75) en
el caso de varias variables, usando la f hallada en el paso anterior. En
el caso que sea necesario, se usan las ecuaciones de las restricciones
para encontrar el resto de las yi (x) que fueron eliminadas en el paso
3.
...............................................................................................
SOLDOVIERI C., Terenzio. CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 42
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
EJEMPLO 3.1
La geodésica. La geodésica es una línea que representa el camino
más corto entre dos puntos cuando el camino está restringido a una superficie en particular. Hallar la longitud de la geodésica, es decir, la distancia más corta entre los
puntos P1 (1; 0; 1) y P2 (0; 1; 1) en el plano x + y + z = 0.
SOLUCION: se utilizarán coordenadas Cartesianasy .
Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1)
que viene dada por la ecuación del plano,
(3.1)
A=x+y+z =0
siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.
Se indentifica f : el elemento de longitud (elemento de línea) viene dado por,
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2
(3.2)
de aquí que la distancia venga dada por,
s=
Z
(1;0; 1)
2
2
dx + dy + dz
2
1
2
=
Z
1
1 + y 02 + z 02
1
2
dx
(3.3)
0
(0; 1;1)
donde se ha escogido x como variable independiente. Esta es la cantidad que se
quiere extremar, pudiéndose identificar f como,
f = 1 + y 02 + z 02
1
2
(3.4)
Aquí se tienen 2 variables y1 (x) = y y y2 (x) = z (i = 1; 2) dependientes de la variable independiente x. Las variables y y z no son independientes entre sí debido a la restricción
(3.1).
Se usan las restricciones para eliminar las yi (x) dependientes en la f : al despejar z
de la restricción (3.1) resulta,
z= x y
(3.5)
de la cual,
z0 =
1
y0
(3.6)
que al ser sustituida en (3.4) se obtiene,
h
02
f = 1+y +( 1
y
0 2
y)
i 12
Véase el apéndice A.1 para una biografía resumida de Descartes.
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Pág.: 43
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
o,
1
2
1
f = 2 2 1 + y 0 + y 02
(3.7)
convirtiéndose el problema planteado a uno de un sola variable, y.
Se encuentran y se resuelven las ecuaciones de Euler-Lagrange sin restricciones: a
partir de (2.10),
d @f
@f
=0
(3.8)
@y dx @y 0
donde f es la dada por (3.7) y a partir de la cual,
( @f
=0
@y
0
1
@f
= 2 2 1+2y
@y 0
0
02
(3.9)
1
(1+y +y ) 2
que al ser sustituidas en (3.8) se obtiene,
"
#
1 + 2y 0
d
=0
dx (1 + y 0 + y 02 ) 12
o integrando,
1 + 2y 0
1
(1 + y 0 + y 02 ) 2
(3.10)
= c1
donde c1 es una constante de integración. Al despejar y 0 de (3.10) se obtiene,
y 0 = c2
(3.11)
donde c2 es una constante igual a una expresión algebraica que involucra a c1 .
Finalmente, si se integra ahora (3.11) resulta,
(3.12)
y = c2 x + c3
donde c3 es una constante de integración. Esta es una de las extremales y representa
una Línea Recta.
Falta la variable z que fue eliminada al usar la restricción (3.1) en (3.4). Para hallar z
se sustituye (3.12) en (3.5) obteniéndose,
z=
x
(c2 x + c3 )
z=
(1 + c2 ) x
o,
c3
(3.13)
que es la otra extremal, que también representa una Línea Recta.
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Pág.: 44
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
Para hallar las constantes c2 y c3 se aplican, sobre las extremales (3.12) y (3.13), las
condiciones de frontera y (0) = 1, y (1) = 0, z (0) = 1 y z (1) = 1 resultando,
(
c2 = 1
(3.14)
c3 = 1
de manera que (3.12) y (3.13) pueden ser escritas ahora como,
(
y=x 1
z = 2x + 1
(3.15)
que son dos rectas y representan los caminos que hacen de (3.3) un extremal. En este
caso tiene que representar un mínimo ya que, obviamente, el camino entre los puntos
dados puede hacerse tan grande como se desee.
Por último, para hallar la distancia mínima se sustituye (3.15) en (3.3) y se evalúa la
integral resultante. En efecto,
Z 1
1
s=
1 + (1)2 + ( 2)2 2 dx
0
o,
s=
p
6
(3.16)
que es la distancia mínima pedida.
Este caso puede ser resuelto, debido a que la f dada por (3.7) no depende explícitamente de la variable independiente x, mediante el uso de la forma integrada de la
Ecuación de Euler (2.41) deducida antes.
...............................................................................................
EJEMPLO 3.2
Encuentre la geodésica sobre una esfera de radio R.
SOLUCION: se utilizarán coordenadas esféricas.
Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1)
que viene dada por la ecuación de la esfera de radio R,
r=R
es decir,
A=r
R=0
(3.17)
siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.
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Pág.: 45
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
Figura 3.1: Geodésicas sobre una esfera.
Se indentifica f : en la figura 3.1 se muestra la situación planteada en el enunciado.
El elemento de longitud viene dado por,
ds2 = dr2 + r2 d
2
+ r2 Sen2 d'2
(3.18)
de aquí que la distancia s entre los puntos 1 y 2 venga dada por,
s=
Z
Punto 2
r02 + r2
02
1
2
+ r2 Sen2
(3.19)
d'
Punto 1
dr
donde se ha escogido ' como variable independiente y r0 = d'
,
cantidad que se quiere extremar, pudiéndose identificar f como,
f = r02 + r2
02
+ r2 Sen2
Aquí se tienen 2 variables y1 (x) = r y y2 (x) =
independiente '.
1
2
0
=
d
.
d'
Esta es la
(3.20)
(i = 1; 2) dependientes de la variable
Se usan las restricciones para eliminar las yi (x) dependientes en la f : en este caso
la restricción (3.17) sólo elimina la dependencia de f con respecto a r, haciendo r
constante. En efecto, al sustituir r = R a partir de la restricción (3.17) en (3.20) resulta,
f =R
02
+ Sen2
1
2
(3.21)
convirtiéndose el problema planteado a uno de un sola variable, .
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CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
Se encuentran y se resuelven las ecuaciones de Euler-Lagrange sin restricciones:
@f
puesto que @'
= 0 (f no depende explícitamente de la variable independiente '), se
puede usar la forma integrada de la ecuación de Euler (2.41),
0
f
@f
= c1
@ 0
(3.22)
donde f es la dada por (3.21) y a partir de la cual,
@f
=
@ 0
R
02
0
(3.23)
1
2
+ Sen2
que al ser sustituida en (3.22) se obtiene,
02
+ Sen2
02
1
2
02
+ Sen2
1
2
= c2 , con c2 =
c1
R
o,
Sen2 = c2
de la cual resulta,
02
1
2
+ Sen2
(3.24)
d'
c2 csc2
=
1
d
(1 c22 csc2 ) 2
(3.25)
y al integrar,
' = Sen
1
cot
c3
donde c4 es la constante de integración y c23 =
escrito como,
cot = c3 Sen ('
(3.26)
+ c4
1
c22
1. El anterior resultado puede ser
(3.27)
c4 )
Para interpretar este resultado, se transforma a coordenadas rectangulares. Con
este fin, multiplicando (3.27) por R Sen se obtiene,
R Cos = R Sen (c3 Cos c4 ) Sen ' R Sen (c3 Sen c4 ) Cos '
|
{z
}
Aplicando la identidad Sen('
y puesto que
)=Sen ' Cos
(3.28)
Cos ' Sen
y c3 son constantes, se puede escribir,
(
c3 Cos c4 = A
c3 Sen c4 = B
(3.29)
de modo que (3.28) queda escrita como,
A (R Sen Sen ')
B (R Sen Cos ') = (R Cos )
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(3.30)
Pág.: 47
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
Las cantidades en los paréntesis son justo las expresiones para y, x y z respectivamente, en coordenadas esféricas, por lo tanto resulta,
Ay
(3.31)
Bx = z
que es la Ecuación de un Plano que pasa a través del centro de la esfera. Por lo tanto,
la geodésica sobre una esfera es el camino que se origina al intersectar el plano (3.31)
con la esfera, es decir, el círculo mayor. Nótese que el círculo mayor es el máximo a la
vez que es la mínima distancia en “línea recta” entre dos puntos sobre la superficie de
una esfera.
...............................................................................................
EJEMPLO 3.3
Encuentre la ecuación de la geodésica en el plano xy, es decir, de
la línea que proporciona la distancia más corta entre dos puntos en dicho plano (ver
figura 3.2).
Figura 3.2: Distancia más corta entre dos puntos del plano.
SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas.
Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1)
que viene dada por la ecuación del plano xy,
(3.32)
A=z=0
siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.
Se indentifica f : el elemento de longitud (elemento de línea) viene dado por,
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2
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(3.33)
Pág.: 48
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
de aquí que la distancia venga dada por,
s=
Z
(x2 ;y2 )
2
2
dx + dy + dz
2
1
2
=
(x1 ;y1 )
Z
x2
1 + y 02 + z 02
1
2
(3.34)
dx
x1
donde se ha escogido x como variable independiente. Esta es la cantidad que se
quiere extremar, pudiéndose identificar f como,
f = 1 + y 02 + z 02
1
2
(3.35)
Aquí se tienen 2 variables y1 (x) = y y y2 (x) = z (i = 1; 2) dependientes de la variable
independiente x.
Se usan las restricciones para eliminar las yi (x) dependientes en la f : al sustituir z de
la restricción (3.32) en (3.35) resulta,
f = 1 + y 02
1
2
(3.36)
convirtiéndose el problema planteado a uno de un sola variable, y.
Se encuentran y se resuelven las ecuaciones de Euler-Lagrange sin restricciones: a
partir de (2.10),
d @f
@f
=0
(3.37)
@y dx @y 0
donde f es la dada por (3.36) y a partir de la cual,
( @f
=0
@y
@f
y0
=
1
0
@y
02
(3.38)
(1+y ) 2
que al ser sustituidas en (3.37) se obtiene,
"
#
d
y0
=0
dx (1 + y 02 ) 12
o integrando,
y0
1
(1 + y 02 ) 2
(3.39)
= c1
donde c1 es una constante de integración. Al despejar y 0 de (3.39) se obtiene,
y 0 = c2
(3.40)
donde c2 es una constante igual a una expresión algebraica que involucra a c1 .
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Pág.: 49
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
Finalmente, al integrar (3.40), resulta,
y = c2 x + c3
(3.41)
donde c3 es otra constante de integración, representando una Línea Recta. En rigor,
sólo se ha probado que la recta es una trayectoria que hace que (3.34) dé un valor
estacionario, aunque en este problema es obvio que se trata de un mínimo. Las constantes de integración c2 y c3 quedan determinadas por la condición de que la curva
pase por los dos puntos fronteras (x1 ; y1 ) y (x2 ; y2 ).
Este caso puede ser resuelto, debido a que la f dada por (3.36) no depende explícitamente de la variable independiente x, mediante el uso de la Forma Integrada de la
Ecuación de Euler (2.41) deducida antes.
...............................................................................................
EJEMPLO 3.4
Hallar las geodésicas del cilindro circular r = R.
Figura 3.3: Geodésicas en un cilindro circular recto de radio R.
SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas.
Se identifican las restricciones existentes: en la figura 3.3 se muestra esquemáticamente lo planteado. Existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1) que viene dada por la
ecuación del cilindro de radio R,
x2 + y 2 = R 2
(3.42)
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Pág.: 50
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
de aquí que,
A = x2 + y 2
R2 = 0
(3.43)
siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.
Se indentifica f : el elemento de longitud (elemento de línea) viene dado por,
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2
de aquí que la distancia venga dada por,
Z Punto 2
s=
dx2 + dy 2 + dz 2
1
2
=
Punto 1
Z
(3.44)
1
1 + y 02 + z 02
1
2
dx
(3.45)
0
donde se ha escogido x como variable independiente. Esta es la cantidad que se
quiere extremar, pudiéndose identificar f como,
1
2
f = 1 + y 02 + z 02
(3.46)
Aquí se tienen 2 variables y1 (x) = y y y2 (x) = z (i = 1; 2) dependientes de la variable independiente x. Las variables y y z no son independientes entre sí debido a la restricción
(3.43).
Se usan las restricciones para eliminar las yi (x) dependientes en la f : al despejar y
de la restricción (3.43) resulta,
1
y=
R 2 x2 2
(3.47)
de la cual,
x
y0 =
(R2
(3.48)
1
x2 ) 2
que al ser sustituida en (3.46) se obtiene,
o,
8
91
#2
"
=2
<
x
02
+z
f = 1+
1
:
;
(R2 x2 ) 2
f=
R2
R2
x2
+z
02
1
2
(3.49)
convirtiéndose el problema planteado a uno de un sola variable, z.
Se encuentran y se resuelven las ecuaciones de Euler-Lagrange sin restricciones: a
partir de (2.10),
@f
d @f
=0
(3.50)
@z
dx @z 0
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CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
donde f es la dada por (3.49) y a partir de la cual,
8 @f
< @z = 0
@f
z0
: @z0 =
2
R
+z 02
R2 x2
que al ser sustituidas en (3.50) se obtiene,
2
d 4
z0
dx
R2
+ z 02
R 2 x2
o integrando,
1
2
z0
R2
x2
R2
1
2
+ z 02
(3.51)
1
2
3
5=0
(3.52)
= c1
donde c1 es una constante de integración. Al despejar y 0 de (3.52) se obtiene,
z0 =
c2 R
donde
c2 =
(3.53)
1
(R2
x2 ) 2
c1
(1
(3.54)
1
c21 ) 2
Finalmente, al integrar (3.53) se obtiene,
z=
c2 R tan
1
p x
R 2 x2
+ c3
(3.55)
donde c3 es otra constante de integración. Esta es la ecuación de la geodésica pedida
(en este caso es una familia de geodésicas), que representa una Hélicez .
...............................................................................................
3.1.2 Forma explícita
Supóngase que se quieren encontrar las funciones yi (x) que hacen que la integral,
Z x2
J=
f [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx, con i = 1; 2; 3; :::; n
(3.56)
x1
tome un valor estacionario o extremal bajo las restricciones algebraicas impuestas por,
Al [yi (x) ; x] = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K y K < n
z
(3.57)
Una Hélice es el nombre que recibe toda línea curva cuyas tangentes forman un ángulo constante ,
siguiendo una dirección fija en el espacio.
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CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
La idea ahora es transformar el problema dado a uno equivalente sin restricciones
pero sin usar las restricciones (3.57) para eliminar las yi (x) dependientes entre sí y dejar
sólo las independientes entre sí (forma implícita) como se hizo en la sección anterior. Se
hará ahora empleando las rectricciones en forma explícita. Para realizar esto se usará
el Método de los Multiplicadores de Lagrangex . El valor estacionario de (1.32) o (3.56)
viene dado por,
Z
x2
(3.58)
f dx = 0
J=
x1
de la cual se obtiene (ver sección 1.2.2, ejemplo 3.7),
Z
x2
f dx =
Z
x2
x1
x1
n
X
@f
@yi
i=1
d
dx
@f
@yi0
yi dx = 0
(3.59)
Aquí, como las funciones yi están sometidas a las K restricciones independientes (3.57)
de manera que K de las yi pueden ser designadas como variables dependientes entre
sí y espresadas en términos de las otras, las variaciones yi no son arbitrarias por lo que
aún no es posible aplicar el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones.
Las variaciones yi deben satisfacer las restricciones impuestas por (3.57). Para encontrar las yi que satisfacen estas restricciones se halla la variación de las ecuaciones
de restricción (3.57). En efecto,
Al =
n
X
@Al
i=1
@yi
yi = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K
(3.60)
que se mantienen para cualquier valor de x. En consecuencia, sólo n K variaciones
yi se pueden considerar arbitrarias, es decir, yK+1 ; yK+2 ; yK+3 ; : : : ; yn ; y el resto se determinan de (3.60).
De acuerdo al Método de los Multiplicadores de Lagrange, al multiplicar cada una
de las ecuaciones (3.60) por un factor indeterminado l resulta,
l
Al =
l
n
X
@Al
i=1
@yi
yi = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K
(3.61)
donde la suma es la que es nula, no sus términos individuales en general. Puesto que las
restricciones (3.57) están prescritas para cualquier valor de la variable independiente x,
los factores l tienen que ser aplicados para cualquier valor de esta variable, haciéndolos dependientes de la misma l = l (x). Ahora, al ser sumadas miembro a miembro
x
Véase apéndice B.
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Pág.: 53
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
estas K ecuaciones y luego integradas desde x1 hasta x2 se obtiene,
Z x2 X
K
n
X
@Al
yi dx = 0
l
@yi
x1 l=1
i=1
o,
(3.62)
Si ahora se suman miembro a miembro (3.59) y (3.62) resulta,
)
Z x2 (X
n
K
n
X
X
@f
d @f
@Al
yi +
yi dx = 0
l
0
@y
dx
@y
@y
i
i
x1
i
i=1
i=1
l=1
Z
x2
x1
"
n
X
@f
@yi
i=1
d
dx
@f
@yi0
+
K
X
l=1
@Al
l
@yi
#
(3.63)
yi dx = 0
Esta movida no es trivial ya que, a pesar de haberse sumado cero, se ha adicionado
realmente una suma cuyos términos individuales no son nulos como se dijo antes. Aquí
aún no se puede aplicar el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones, puesto que
las variaciones yi no son arbitrarias.
La eliminación de las K variaciones yi dependientes entre sí, a diferencia de como
se procedió en la forma implícita, puede ser llevada a cabo mediante la elección
apropiada de los K factores l (x), de manera que los coeficientes de las yi en (3.63)
se anulen. Estos l (x) se obtienen a partir de las K ecuaciones,
d
dx
@f
@yi
@f
@yi0
+
K
X
l=1
l
@Al
= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; K
@yi
que forman un sistema lineal de ecuaciones con respecto a las
nante debe ser no singular,
l
(3.64)
(x) cuyo determi-
D (A1 ; A2 ; A3 ; : : : ; AK )
D (Al )
=
6= 0, con i; l = 1; 2; 3; : : : ; K
D (y1 ; y2 ; y3 ; : : : ; yK )
D (yi )
garantizándose así que el sistema de ecuaciones posea solución
Con las
como,
l
1;
2;
(3.65)
3; : : : ;
K.
escogidas como antes, la condición para valor estacionario (3.63) queda
Z
x2
x1
n
X
i=K+1
"
@f
@yi
d
dx
@f
@yi0
+
K
X
l=1
@Al
l
@yi
#
yi dx = 0
(3.66)
donde todas las yi son independientes entre sí. Ahora, es posible aplicar el Lema
Fundamental del Cálculo de Variaciones (cada uno de sus coeficientes se anulan por
separado) resultando,
@f
@yi
d
dx
@f
@yi0
+
K
X
l=1
l
@Al
= 0, con i = K + 1; K + 2; K + 3; : : : ; n
@yi
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(3.67)
Pág.: 54
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
Finalmente, las condiciones sobre los l (3.64) combinadas con las ecuaciones (3.67)
conducen a la conclusión de que cada coeficiente de las yi en (3.63) se anula justo
como si todas las yi fuesen independientes de manera que,
@f
@yi
d
dx
@f
@yi0
+
K
X
l=1
l
@Al
= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; n
@yi
o,
2
6
4
@f
d @f
= Qi , con i = 1; 2; 3; :::; n
0
dx @yi
@yi
|
{z
}
Ecuaciones de Euler-Lagrange para funcionales de múltiples
variables dependientes y restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.
(3.68)
3
7
5
donde,
K
P
Qi =
l=1
@Al
l @yi
(3.69)
Las expresiones (3.68) son las Ecuaciones de Euler - Lagrange para restricciones del
tipo Al [yi (x) ; x] = 0, cuando son usadas en forma explícita. Estas restricciones entran
en forma explícita en los Qi dados por (3.69). En Mecánica de Lagrange y de Hamilton,
los Qi están asociados a las llamadas Fuerzas Generalizadas de Ligadura.
La solución completa al problema depende ahora de la determinación de n funciones yi y K funciones l . Como hay K ecuaciones de restricción dadas por (3.57)
y n ecuaciones dadas por (3.68), entonces existen suficientes ecuaciones (n + K en
total) para permitir una solución completa al problema planteado. Aquí las l (x) son
consideradas indeterminadas y pueden ser obtenidas como parte de la solución satisfaciendo las restricciones (3.57).
El problema anterior puede ser planteado de otra forma. Es posible reobtener las
ecuaciones (3.68) planteándose el problema variacional sin restricciones,
@ fe
@yi
d
dx
@ fe
@yi0
= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; n
(3.70)
donde,
P
fe = f +
K
l=1
l
(x) Al [yi (x) ; x]
(3.71)
Pasos a seguir cuando se usan las restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 en forma
explícita:
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Pág.: 55
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
1. Se identifican las restricciones existentes.
2. Se indentifica f del integrando de la J dada o construida a partir de
la cantidad que se desea extremar, con las yi (x) dependientes e independientes. No deben usarse las restricciones para eliminar las yi (x)
dependientes entre sí en f .
3. Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.68), usando la f
hallada en el paso anterior.
4. Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange
más las restricciones, que son usadas para completar el sistema. Aquí
se obtienen las extremales yi (x) y los multiplicadores de Lagrange l
que permiten encontrar los Qi dados por (3.69).
...............................................................................................
EJEMPLO 3.5
Resolver el ejemplo 3.1 usando la restricción presente en forma ex-
plícita.
SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas.
Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1)
que viene dada por la ecuación del plano,
(3.72)
A=x+y+z =0
siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.
Se indentifica f : el elemento de longitud (elemento de línea) viene dado por,
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2
de aquí que la distancia venga dada por,
Z (1;0; 1)
s=
dx2 + dy 2 + dz 2
(0; 1;1)
1
2
=
Z
(3.73)
1
1 + y 02 + z 02
1
2
dx
(3.74)
0
donde se ha escogido x como variable independiente. Esta es la cantidad que se
quiere extremar, pudiéndose identificar f como,
f = 1 + y 02 + z 02
1
2
(3.75)
Aquí se tienen 2 variables y1 (x) = y y y2 (x) = z (i = 1; 2) dependientes de la variable independiente x. Las variables y y z no son independientes entre sí debido a la restricción
(3.72).
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Pág.: 56
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.68), las ecuaciones
de Euler vendrán dadas por,
d
dx
d
dx
@f
@y 0
@f
@z 0
@f
@y
@f
@z
@A
@y
@A
= Qz =
@z
(3.76)
= Qy =
(3.77)
pero de (3.72) y (3.75),
8
>
>
<
>
>
:
@f
@y
@f
@y 0
@A
@y
=0
=
y0
1
(1+y 02 +z 02 ) 2
=1
@f
@z
@f
@z 0
=0
=
@A
@z
=1
z0
(3.78)
1
(1+y 02 +z 02 ) 2
entonces al sustituir estos resultados en (3.76) y (3.77) se obtiene,
i
1
d h 0
y 1 + y 02 + z 02 2 =
dx
i
1
d h 0
z 1 + y 02 + z 02 2 =
dx
(3.79)
(3.80)
Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las restricciones: queda ahora resolver el sistema de ecuaciones diferenciales formado por (3.79)
y (3.80) junto con la restricción (3.72). Restando miembro a miembro las dos ecuaciones
anteriores resulta,
i
1
d h 0
(y z 0 ) 1 + y 02 + z 02 2 = 0
(3.81)
dx
que al ser integrada resulta en,
(y 0
1
2
z 0 ) 1 + y 02 + z 02
(3.82)
= c1
donde c1 es una constante de integración. Por otro lado, de la restricción (3.72),
z=
x
y ) z0 =
y0
1
(3.83)
entonces, al sustituir este resultado en (3.82) se puede escribir,
(1 + 2y 0 ) 1 + 2y 0 + 2y 02
1
2
= c1
(3.84)
de la cual,
y 0 = c2
(3.85)
donde la constante c2 es una constante que viene dada por una expresión en la que
aparece c1 y que no vale la pena mostrar explícitamente ya que no es útil para ningún
cálculo posterior.
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Pág.: 57
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
Finalmente, al integrar (3.85) se obtiene,
(3.86)
y = c2 x + c3
donde c3 es una constante de integración, representando una Línea Recta. Usando
este resultado en la restricción (3.72) resulta,
z=
(1 + c2 ) x
c3
(3.87)
que es otra Línea Recta.
Las constantes c2 y c3 se hayan al utilizar las condiciones de frontera y (0) =
0, z (0) = 1 y z (1) = 1 en (3.86) y (3.87) resultando,
(
c2 = 1
c3 = 1
de manera que (3.86) y (3.87) pueden ser escritas ahora como,
(
y=x 1
z = 2x + 1
1, y (1) =
(3.88)
(3.89)
que son los mismos resultados obtenidos en el ejemplo 3.1. Es obvio que la distancia
mínima será también la misma, es decir,
s=
El multiplicador de Lagrange
(3.80) obteniéndose,
p
6
(3.90)
puede ser encontrado sustituyendo (3.89) en (3.79) o
=0
(3.91)
que es una información que no podía ser obtenida al usar la restricción en forma implícita. En este caso particular, no se aporta mayor información.
...............................................................................................
EJEMPLO 3.6
Resolver el ejemplo 3.3, usando la restricción presente en forma ex-
plícita.
SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas.
Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1)
que viene dada por la ecuación del plano xy,
A=z=0
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(3.92)
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CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.
Se indentifica f : el elemento de longitud (elemento de línea) viene dado por,
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2
(3.93)
de aquí que la distancia venga dada por,
s=
Z
(x2 ;y2 )
2
2
dx + dy + dz
2
1
2
=
(x1 ;y1 )
Z
x2
1 + y 02 + z 02
1
2
dx
(3.94)
x1
donde se ha escogido x como variable independiente. Esta es la cantidad que se
quiere extremar, pudiéndose identificar f como,
1
2
f = 1 + y 02 + z 02
(3.95)
Aquí se tienen 2 variables y1 (x) = y y y2 (x) = z (i = 1; 2) dependientes de la variable
independiente x.
Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.68), las ecuaciones
de Euler vendrán dadas por,
d
dx
d
dx
@f
@y 0
@f
@z 0
@f
@y
@f
@z
@A
@y
@A
= Qz =
@z
= Qy =
(3.96)
(3.97)
pero de (3.92) y (3.95),
8
>
>
<
>
>
:
@f
@y
@f
@y 0
=0
=
@A
@y
=0
y0
1
(1+y 02 +z 02 ) 2
@f
@z
@f
@z 0
=0
=
@A
@z
=1
z0
1
(1+y 02 +z 02 ) 2
(3.98)
entonces al sustituir estos resultados en (3.96) y (3.97) se obtiene,
d h 0
y 1 + y 02 + z 02
dx
d h 0
z 1 + y 02 + z 02
dx
1
2
1
2
i
i
= 0
=
(3.99)
(3.100)
Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las restricciones: queda ahora resolver el sistema de ecuaciones diferenciales formado por
(3.99) y (3.100) junto con la restricción (3.92).
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Pág.: 59
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
Sustituyendo la restricción (3.92) en (3.99) y (3.100) resulta,
d h 0
y 1 + y 02
dx
1
2
i
(3.101)
=0
(3.102)
=0
El resultado (3.102) es una información que no podía ser obtenida al usar la restricción en forma implícita. En este caso particular, no se aporta mayor información. La
ecuación diferencial (3.101) al ser integrada resulta en,
1
2
y 0 1 + y 02
(3.103)
= c1
donde c1 es una constante de integración. Esta ecuación diferencial es idéntica a la
(3.39) del ejemplo 3.3, por lo tanto, es obvio que se llegará al mismo resultado (3.41), es
decir,
y = c2 x + c3
(3.104)
que es la ecuación de una Línea Recta.
...............................................................................................
EJEMPLO 3.7
Resolver el ejemplo 3.4, usando la restricción presente en forma ex-
plícita.
SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas.
Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1)
que viene dada por la ecuación del cilindro de radio R,
x2 + y 2 = R 2
(3.105)
de aquí que,
A = x2 + y 2
R2 = 0
(3.106)
siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.
Se indentifica f : el elemento de longitud (elemento de línea) viene dado por,
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2
(3.107)
de aquí que la distancia venga dada por,
s=
Z
Punto 2
Punto 1
2
2
dx + dy + dz
2
1
2
=
Z
1
1 + y 02 + z 02
1
2
dx
(3.108)
0
SOLDOVIERI C., Terenzio. CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 60
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
donde se ha escogido x como variable independiente. Esta es la cantidad que se
quiere extremar, pudiéndose identificar f como,
1
2
f = 1 + y 02 + z 02
(3.109)
Aquí se tienen 2 variables y1 (x) = y y y2 (x) = z (i = 1; 2) dependientes de la variable independiente x. Las variables y y z no son independientes entre sí debido a la restricción
(3.106).
Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.68), las ecuaciones
de Euler vendrán dadas por,
d
dx
d
dx
@f
@y 0
@f
@z 0
@f
@y
@f
@z
@A
@y
@A
= Qz =
@z
(3.110)
= Qy =
(3.111)
pero de (3.106) y (3.109),
8
>
>
<
>
>
:
@f
@y
@f
@y 0
=0
=
@A
@y
= 2y
y0
1
(1+y 02 +z 02 ) 2
@f
@z
@f
@z 0
=0
=
@A
@z
=0
z0
(3.112)
1
(1+y 02 +z 02 ) 2
entonces al sustituir estos resultados en (3.110) y (3.111) se obtiene,
d h 0
y 1 + y 02 + z 02
dx
d h 0
z 1 + y 02 + z 02
dx
1
2
1
2
i
i
= 2y
(3.113)
= 0
(3.114)
Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las restricciones: ahora bien, de (3.114) resulta,
1 + y 02 + z 02
1
2
z 0 = c1
(3.115)
y de la restricción (3.106),
y=
R2
x2
1
2
x
) y0 =
(R2
1
(3.116)
x2 ) 2
entonces, al sustituir este resultado en (3.115) se puede escribir,
z0 =
c2 R
(R2
1
(3.117)
x2 ) 2
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Pág.: 61
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
con,
c2 =
1
2
c21
1
(3.118)
c21
La ecuación (3.117) es idéntica a la ecuación diferencial (3.53) del ejemplo 3.4. Por
lo tanto, es obvio que al integrarla el resultado será idéntico al (3.55), es decir,
z=
c2 R tan
1
p x
R 2 x2
+ c3
(3.119)
siendo la ecuación de la geodésica pedida una Hélice.
Por último, la ecuación (3.113) permite encontrar
(3.119) obteniéndose,
1
q
=
2R (c22 +1)(R2 x2 )
usando los resultados (3.116) y
(3.120)
Este resultado es una información que no podía ser obtenida al usar la restricción en
forma implícita.
...............................................................................................
EJEMPLO 3.8
Geodésicas en general. Sea (x; y; z) = 0 la ecuación de una superficie S dada y suponiendo que toda curva diferenciable definida sobre S admite una
parametrización del tipo,
(t) = (x (t) ; y (t) ; z (t)) ,
: [t0 ; t1 ] ! S
hallar las geodésicas sobre S.
SOLUCION: se usarán coordenadas Cartesianas.
Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1)
que viene dada por la ecuación,
(x; y; z) = 0
(3.121)
de aquí que,
A = (x; y; z) = 0
(3.122)
La restricción (3.122) es del tipo Al [yi (x) ; x] = 0, sin embargo sólo es posible tratarla
en forma explícita ya que no se posee la expresión de (x; y; z).
Se indentifica f : el elemento de longitud (elemento de línea) viene dado por,
ds2 = [dx (t)]2 + [dy (t)]2 + [dz (t)]2
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(3.123)
Pág.: 62
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
de aquí que la longitud de la curva venga dada por,
Z Punto 2
1
[dx (t)]2 + [dy (t)]2 + [dz (t)]2 2
s =
Punto 1
Z Punto 2 n
o1
2
2
2 2
[x0 (t)] + [y 0 (t)] + [z 0 (t)]
dt
=
(3.124)
Punto 1
donde se ha escogido t como variable independiente y la prima indica derivada total con respecto a dicha variable independiente. Esta es la cantidad que se quiere
extremar, pudiéndose identificar f como,
n
o1
2
2
2 2
(3.125)
f = [x0 (t)] + [y 0 (t)] + [z 0 (t)]
Aquí se tienen 3 variables y1 (t) = x, y2 (t) = y y y2 (t) = z (i = 1; 2; 3) dependientes de la
variable independiente t. Las variables x, y y z no son independientes entre sí debido a
la restricción (3.122).
Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.68), las ecuaciones
de Euler vendrán dadas por,
d
dt
d
dt
d
dt
pero de (3.122) y (3.125),
8
@f
>
>
< @x = 0
0
@f
= 02 02x 02 1
@x0
(x +y +z ) 2
>
>
: @A = @
@x
@x
@A
@f
= Qx =
@x
@x
@A
@f
= Qy =
@y
@y
@f
@A
= Qz =
@z
@z
@f
@x0
@f
@y 0
@f
@z 0
@f
@y
@f
@y 0
=0
=
@A
@y
=
y0
1
(x02 +y 02 +z 02 ) 2
@
@y
(3.126)
(3.127)
(3.128)
@f
@z
@f
@z 0
=0
=
@A
@z
=
z0
1
(x02 +y 02 +z 02 ) 2
(3.129)
@
@z
entonces al sustituir estos resultados en (3.126), (3.127) y (3.128) se obtiene,
d
dt
d
dt
d
dt
@f
@x0
@f
@y 0
@f
@z 0
=
=
=
@
@x
@
@y
@
@z
(3.130)
(3.131)
(3.132)
pero como,
d
ds d
d
=
= s0
dt
dt ds
ds
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(3.133)
Pág.: 63
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
y de (3.124),
1
ds
= x02 + y 02 + z 02 2
dt
entonces (3.130), (3.131) y (3.132) se pueden escribir como,
8
>
>
<
>
>
:
o,
d2 x=ds2
@ =@x
=
d2 x=ds2
@ =@x
d2 y=ds2
@ =@y
d2 z=ds2
@ =@z
d2 y=ds2
@ =@y
=
=
=
=
(3.134)
s0
s0
s0
d2 z=ds2
@ =@z
=
s0
(3.135)
expresando que la normal a la curva coincide con la normal a la superficie, definición
usual de geodésica en geometría diferencial.
En este caso no es posible resolver las ecuaciones diferenciales resultantes con la
información suministrada.
...............................................................................................
3.2
Restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0
Supóngase ahora que se quieren encontrar las funciones yi (x) que hacen que la integral,
Z x2
J=
f [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx, con i = 1; 2; 3; :::; n
(3.136)
x1
tome un valor estacionario bajo las restricciones impuestas por,
Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K y K < n
(3.137)
Estas restricciones sólo pueden ser usadas en forma explícita ya que no representan
una relación algebraica que sólo involucre las yi (x) a menos que sean integrables,
convirtiéndose así en restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 como las estudiadas en la
sección anterior.
Supóngase que se cumple,
D (D1 ; D2 ; D3 ; : : : ; DK )
D (Di )
=
6= 0
0
0
0
0
D (y1 ; y2 ; y3 ; : : : ; yK )
D (yi0 )
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(3.138)
Pág.: 64
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
el cual representa uno de los determinantes funcionales de orden K, garantizándose así
la independencia de las K restricciones (3.137). Debido a lo anterior es posible ahora,
en virtud de (3.138), resolver las ecuaciones (3.137) con respecto a las yi0 obteniéndose,
yl0 = Dl yi ; yj0 ; x con l = 1; 2; 3; : : : ; K; i = 1; 2; 3; : : : ; n y j = K + 1; K + 2; K + 3; : : : ; n (3.139)
y si adicionalmente se supone que,
yi , con i = K + 1; K + 2; K + 3; : : : ; n
(3.140)
son funciones dadas en forma completamente arbitraria. Entonces, del sistema de
ecuaciones (3.139), es posible determinar las funciones,
yi , con i = 1; 2; 3; : : : ; K
(3.141)
Por todo lo anterior, las funciones (3.140) son derivables arbitrarias con valores de frontera fijos y, en consecuencia, sus variaciones son también arbitrarias.
Dado un sistema admisible arbitrario de funciones yi (i = 1; 2; 3; : : : ; n) que satisface el
sistema de ecuaciones de restricciones (3.137) se tiene que,
Dl =
n
X
@Dl
i=1
yi +
@yi
n
X
@Dl
i=1
@yi0
yi0 = 0, con l = 1; 2; 3; : : : ; K
(3.142)
Si ahora se multiplican miembro a miembro todas las K ecuaciones anteriores por un
factor l = l (x) (por ahora indeterminado) se obtiene,
l
Dl =
l
n
X
@Dl
i=1
yi +
@yi
l
n
X
@Dl
yi0 = 0, con l = 1; 2; 3; : : : ; K
@yi0
i=1
(3.143)
y al ser sumadas miembro a miembro estas K ecuaciones y luego integradas desde x1
hasta x2 se obtiene,
Z
K
x2 X
l
x1
=
l=1
n
K
XX
i=1 l=1
Z
n
X
@Dl
i=1
@yi
x2
x1
l
yi dx +
Z
@Dl
yi dx +
@yi
K
x2 X
x1
Z
l=1
x2
x1
l
l
n
X
@Dl
i=1
@yi0
yi0 dx
@Dl d
( yi ) dx = 0
@yi0 dx
(3.144)
El segundo término entre corchetes de (3.144) puede ser integrado por partes,
(
Z
Z
l
u = l @D
@yi0
udv = uv
vdu, con
(3.145)
d
dv = dx
( yi ) dx = d ( yi ) ) v = yi
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Pág.: 65
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
de manera que,
Z
x2
x1
@Dl d
( yi ) dx =
l
@yi0 dx
@Dl
yi
l
@yi0
pero,
@Dl
yi
l
@yi0
Z
x2
x2
x1
x1
d
dx
l
@Dl
@yi0
(3.146)
yi dx
x2
(3.147)
=0
x1
ya que yi debe anularse en x1 y x2 por ser una variación admisible. Entonces (3.146)
resulta en,
Z x2
Z x2
d
@Dl
@Dl d
( yi ) dx =
yi dx
(3.148)
l
l
0
@yi dx
@yi0
x1 dx
x1
así la expresión (3.144) queda finalmente escrita como,
Z x2
Z x2
n X
K
X
@Dl
d
@Dl
yi dx
l
l
@yi
@yi0
x1
x1 dx
i=1 l=1
o,
Z
x2
n X
K
X
d
dx
@Dl
@yi
@Dl
@yi0
yi dx = 0
yi dx = 0
(3.149)
Por otro lado, el valor estacionario de (3.136) viene dado por,
Z x2
J=
f dx = 0
(3.150)
x1
l
i=1 l=1
l
x1
de la cual se obtiene (ver ejemplo 5.7 sección 1.2.2),
Z x2 X
n
@f
d @f
J=
yi dx = 0
dx @yi0
x1 i=1 @yi
o,
(3.151)
Si ahora se suman miembro a miembro (3.149) y (3.151) resulta,
Z x2 X
Z x2 X
n X
K
n
d @f
@Dl
d
@Dl
@f
yi dx +
l
l
0
dx @yi
@yi
dx
@yi0
x1 i=1 l=1
x1 i=1 @yi
Z
x2
x1
n
X
i=1
(
@f
@yi
d
dx
@f
@yi0
+
K
X
l
l=1
@Dl
@yi
d
dx
@Dl
@yi0
0 @Dl
l
@yi0
)
yi dx = 0
yi dx = 0
(3.152)
A este nivel aún no es aplicable el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones ya
que las variaciones yi (i = 1; 2; 3; : : : ; n) no son arbitrarias. La eliminación de las K variaciones yi dependientes entre sí puede ser llevada a cabo mediante la elección apropiada de los K factores l , de manera que los coeficientes de las yi en (3.152) se anulen.
Estos l se obtienen a partir de las K ecuaciones,
@f
@yi
d
dx
@f
@yi0
+
K
X
l=1
l
@Dl
@yi
d
dx
@Dl
@yi0
0 @Dl
l
@yi0
= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; K
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(3.153)
Pág.: 66
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
que es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con respecto a l y 0l = ddxl que
posee, bajo las hipótesis planteadas al comienzo, la solución l (l = 1; 2; 3; : : : ; K) que
depende de K constantes arbitrarias de integración. Con las l escogidas como antes,
la condición para valor estacionario (3.152) queda como,
(
)
Z x2 X
n
K
X
@f
@D
d @f
d @Dl
@Dl
l
0
+
yi dx = 0
(3.154)
l
l
0
0
0
@y
dx
@y
@y
dx
@y
@y
i
i
x1 i=K+1
i
i
i
l=1
donde ahora si son arbitrarias las variaciones yi (i = K +1; K +2; K +3; : : : ; n) pudiéndose
aplicar ahora el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones resultando,
@f
@yi
d
dx
@f
@yi0
+
K
X
l
l=1
@Dl
@yi
d
dx
0 @Dl
l
@yi0
@Dl
@yi0
, con i = K + 1; K + 2; K + 3; : : : ; n
(3.155)
Finalmente, las condiciones sobre los l (3.153) combinadas con las ecuaciones
(3.155) conducen a la conclusión de que cada coeficiente de las yi en (3.152) se
anula justo como si todas las yi fuesen independientes de manera que,
@f
@yi
d
dx
@f
@yi0
o,
2
6
4
+
K
X
l
l=1
@Dl
@yi
d
dx
@Dl
@yi0
0 @Dl
l
@yi0
d @f
@f
= Qi , con i = 1; 2; 3; :::; n
0
dx @yi
@yi
|
{z
}
Ecuaciones de Euler-Lagrange para funcionales de múltiples
variables dependientes y restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0.
donde,
Qi =
K n h
P
@Dl
l
l=1
@yi
d
dx
@Dl
@yi0
i
0 @Dl
l @yi0
o
(3.156)
=0
(3.157)
3
7
5
(3.158)
Las expresiones (3.157) son las Ecuaciones de Euler - Lagrange para restricciones del
tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0. Estas restricciones entran en forma explícita en los Qi dados
por (3.158).
La solución completa al problema depende ahora de la determinación de n funciones yi y K funciones l . Como hay K ecuaciones de restricción dadas por (3.137)
y n ecuaciones dadas por (3.157), entonces existen suficientes ecuaciones (n + K en
total) para permitir una solución completa al problema planteado. Aquí las l (x) son
consideradas indeterminadas y pueden ser obtenidas como parte de la solución satisfaciendo las restricciones (3.137).
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Pág.: 67
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
Las ecuaciones (3.157) pueden ser obtenidas, al igual que en la sección anterior,
planteándose el problema variacional sin restricciones,
@ fe
@yi
d
dx
@ fe
@yi0
= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; n
(3.159)
(x) Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x]
(3.160)
donde,
P
fe = f +
K
l=1
l
Existen restricciones menos generales a las del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 cuyas Ecuaciones de Euler-Lagrange no resultan en forma correcta, en general, a partir de (3.157)
o (3.159). Estas restricciones serán el objeto de estudio de la siguiente sección.
3.3
n
P
e
Alj [yi (x) ; x] yj0 (x)+Bl [yi (x) ; x] =
Restricciones del tipo Dl =
j=1
0
La derivada total de una restricción del tipo (3.57), es decir Al [yi (x) ; x] = 0, con respecto
a la variable independiente x y su diferencial total vienen dados respectivamente por,
8
n
P
@Al [yi (x);x] 0
dAl [yi (x);x]
>
i (x);x]
>
yj (x) + @Al [y@x
=
=0
<
dx
@yj
j=1
, con l = 1; 2; 3; :::; K
(3.161)
n
P
@Al [yi (x);x]
@Al [yi (x);x]
>
>
dy
(x)
+
dx
=
0
j
: dAl [yi (x) ; x] =
@yj
@x
j=1
Respectivamente, las expresiones (3.161) tienen la forma general,
8
n
>
e (D) [yi (x) ; y 0 (x) ; x] = P Alj [yi (x) ; x] y 0 (x) + Bl [yi (x) ; x] = 0
>
< D
i
j
l
j=1
>
e (d) [yi (x) ; yi0 (x) ; x] =
>
: D
l
n
P
, con l = 1; 2; 3; :::; K
Alj [yi (x) ; x] dyj (x) + Bl [yi (x) ; x] dx = 0
j=1
(3.162)
donde (D) significa que aparecen las derivadas totales (x) de las yj (x) y (d) que
aparecen los diferenciales totales dyj (x) de las yj (x). Aquí los coeficientes Alj y Bl son
funciones dadas que dependen, en general, de las yi (x) y la variable independiente
x como puede verse. Representan un caso menos general de restricciones del tipo
Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0. En general no son integrables, impidiendo que puedan convertirse en relaciones algebraicas que solamente involucren a las yi (x). Es obvio que estas
yj0
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Pág.: 68
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
restricciones se pueden convertir en restriciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 [equivalentemente en (3.161)] sólo si son integrables, es decir, cuando se cumple que,
(
Alj = @Al [y@yi (x);x]
j
(3.163)
i (x);x]
Bl = @Al [y@x
convirtiéndose (3.162) en una diferencial exacta o en una derivada total.
Cuando una restricción está expresada en la forma de la segunda de las expresiones (3.162), se dice que está escrita en Forma Diferencial o en Forma Pfaffiana { . Es
obvio que ambas expresiones son equivalentes.
En general, como ya se había visto en la sección anterior, las restricciones del tipo
Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 deben satisfacer las ecuaciones (3.142), es decir,
Dl =
n
X
@Dl
@yi
i=1
yi +
n
X
@Dl
@yi0
i=1
yi0 = 0, con l = 1; 2; 3; : : : ; K
(3.164)
que son las condiciones que deben cumplir los caminos yi (x) para ser geométricamete
posibles bajo estas restricciones, es decir, aquellos caminos que las obedencen. Para
que las restricciones del tipo (3.162) puedan ser tratadas con las Ecuaciones de Lagrange (3.157) o (3.159) deben satisfacer (3.164) lo cual, en efecto, lo hacen pero en
forma parcial como será mostrado. Antes de mostrar esto, las ecuaciones (3.164) serán
d
reescritas en una forma más manejable. Teniendo presente que yi0 = dx
( yi ), al sumar
n
P
@Dl
d
yi en las ecuaciones (3.164) resulta,
y restar
dx
@y 0
i
i=1
Dl
n
X
d
=
dx
i=1
=
n
X
i=1
|
d
dx
n
X
d
=
dx
i=1
@Dl
@yi0
yi
@Dl
@yi0
=
n
P
i=1
n
X
d
dx
i=1
yi +
d
dx
@Dl
@y 0
i
n
X
@Dl
i=1
@Dl d
yi +
( yi ) +
@yi0 dx
{z
}
n
X
i=1
n
X
@Dl d
yi +
( yi ) = 0
@yi
@yi0 dx
i=1
@Dl
@yi
d
dx
@Dl
@yi0
yi = 0
yi
X
@Dl
y
+
Dli yi = 0
i
@yi0
i=1
n
o,
d
Dl =
dx
{
@Dl
@yi0
n
X
@Dl
i=1
@yi0
yi
!
+
n
X
Gli yi = 0
(3.165)
i=1
Véase el apéndice A.2 para una biografía resumida de Pfaff y el apéndice C para una breve reseña
referente a esta forma.
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CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
donde,
Gli =
@Dl
@yi
d
dx
@Dl
@yi0
(3.166)
Se mostrará ahora si las restricciones del tipo (3.162) cumplen con las condiciones
(3.165). Para que esto ocurra debe cumplirse que,
!
n
n
X
X
el
d
@
D
e
Dl =
yi +
Gli yi = 0
(3.167)
dx i=1 @yi0
i=1
pero, a partir de (3.162) se obtiene,
8
!
n
n
>
P
P
el
>
@Alj 0
@D
@
0
l
>
=
A
y
+
B
=
y + @B
>
lj
l
j
@yi
@yi
@yi j
@yi
>
>
j=1
j=1
>
>
!
<
n
n
n
P
P
P
@yj0
el
@D
@
0
=
A
y
+
B
=
A
=
Alj
0
0
0
lj
l
lj
j
@y
@y
@y
>
i
i
i
>
j=1
j=1
j=1
>
>
>
n
P
>
el
dAli
@Ali 0
@D
>
d
li
>
=
=
y + @A
: dx @y0
dx
@yj j
@x
i
el = d
D
dx
n
X
i=1
Ali yi
(3.168)
= Ali
j=1
que al ser sustituidos en (3.167) resulta,
!
n
n
X
X
d
@Alj 0 @Bl
e
Dl =
Ali yi +
y +
dx i=1
@yi j
@yi
i;j=1
o,
ji
!
+
n
X
@Alj
@yi
i;j=1
@Ali
@yj
yj0 +
@Ali 0
y
@yj j
@Bl
@yi
@Ali
@x
@Ali
@x
yi = 0
(3.169)
yi = 0
que son las condiciones que deben cumplir las restricciones del tipo (3.162) para poder
ser tratadas con las Ecuaciones de Lagrange (3.157) o (3.159). Se puede verificar fácilmente que (3.169) sólo se cumple cuando los coeficientes Ali y Bl sean los dados por
n
P
(3.163), teniéndose presente que
Ali yi = 0. Es decir:
i=1
Las restricciones (3.162) sólo pueden ser tratadas con las Ecuaciones
de Lagrange (3.157) o (3.159) cuando sean integrables!, convirtiéndose
así esencialmente en restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0.
Por lo anteriormente mostrado, serán encontradas ahora las Ecuaciones de EulerLagrange particulares para las restricciones del tipo (3.162) sean integrables o no. Supóngase que se quieren encontrar las funciones yi (x) que hacen que la integral,
Z x2
J=
f [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx, con i = 1; 2; 3; :::; n
(3.170)
x1
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CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
tome un valor estacionario bajo las restricciones impuestas por (3.162). A partir de estas
restricciones,
n
X
e
Dl =
Ali yi = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K
(3.171)
i=1
que se cumplen para cualquier valor de x. Se usará el Método de los Multiplicadores
de Lagrange como se hizo en las secciones anteriores. Al multiplicar cada una de las
ecuaciones (3.171) por un factor indeterminado l resulta,
n
X
e
D
=
Ali yi = 0, con l = 1; 2; 3; :::; K
(3.172)
l l
l
i=1
donde la suma es la que es nula, no sus términos individuales en general. Puesto que
las restricciones (3.162) están prescritas para cualquier valor de la variable independiente x, los factores l tienen que ser aplicados para cualquier valor de esta variable,
haciéndolos dependientes de la misma l = l (x). Ahora, al ser sumadas miembro a
miembro estas K ecuaciones y luego integradas desde x1 hasta x2 se obtiene,
Z x2 X
K
n
X
Ali yi dx = 0
(3.173)
l
x1
l=1
i=1
Por otro lado, la variación de (3.170) viene dada por (ver sección 2.3),
Z x2
Z x2 X
n
d @f
@f
yi dx = 0
J=
f dx=
dx @yi0
x1
x1 i=1 @yi
(3.174)
que se ha igualado a cero para así encontrar el valor estacionario de J. Si ahora se
suman miembro a miembro (3.173) y (3.174) resulta,
)
Z x2 (X
n
K
n
X
X
@f
d @f
yi +
Ali yi dx = 0
l
@yi dx @yi0
x1
i=1
i=1
l=1
o,
Z
x2
x1
"
n
X
@f
@yi
i=1
d
dx
@f
@yi0
+
K
X
l=1
l Ali
#
yi dx = 0
(3.175)
Al igual que en la sección anterior, esta movida no es trivial. A pesar de haberse
sumado cero, se ha adicionado realmente una suma cuyos términos individuales no
son nulos. Aquí aún no se puede aplicar el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones, puesto que las variaciones yi no son arbitrarias.
La eliminación de las K variaciones yi dependientes entre sí puede ser llevada a
cabo mediante la elección apropiada de los K factores l , de manera que los coeficientes de las yi en (3.169) se anulen. Estos l se obtienen a partir de las K ecuaciones,
@f
@yi
d
dx
@f
@yi0
+
K
X
l Ali
= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; K
(3.176)
l=1
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CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
que forman un sistema lineal de ecuaciones con respecto a las
debe ser no singular,
e1 ; D
e2 ; D
e3 ; : : : ; D
eK
D D
D (y1 ; y2 ; y3 ; : : : ; yK )
=
el
D D
D (yi )
l
cuyo determinante
6= 0, con i; l = 1; 2; 3; : : : ; K
garantizándose así que el sistema de ecuaciones posea solución
1;
2;
(3.177)
3; : : : ;
K.
Con las l escogidas en (3.176), la condición para valor estacionario de J (3.175)
queda como,
"
#
Z x2 X
n
K
X
@f
d @f
+
yi dx = 0
(3.178)
l (x) Ali
dx @yi0
x1 i=K+1 @yi
l=1
donde todas las yi son independientes entre sí. Ahora, es posible aplicar el Lema
Fundamental del Cálculo de Variaciones (cada uno de los coeficientes de las yi se
anulan por separado) resultando,
@f
@yi
d
dx
@f
@yi0
+
K
X
l Ali
con i = K + 1; K + 2; K + 3; : : : ; n
(3.179)
l=1
Finalmente, las condiciones sobre los l (3.176) combinadas con las ecuaciones
(3.179) conducen a la conclusión de que cada coeficiente de las yi en (3.175) se
anula justo como si todas las yi fuesen independientes entre sí de manera que,
@f
@yi
o,
2
6
4
d
dx
@f
@yi0
+
K
X
l Ali
= 0 con i = 1; 2; 3; : : : ; n
l=1
d @f
@f
= Qi , con i = 1; 2; 3; :::; n
dx @yi0
@yi
|
{z
}
Ecuaciones de Euler-Lagrange para funcionales de múltiples
el [yi (x) ; y 0 (x) ; x] = 0.
variables dependientes y restricciones del tipo D
i
(3.180)
3
7
5
donde,
Qi =
K
P
l Ali
(3.181)
l=1
Las expresiones (3.180) son las Ecuaciones de Euler - Lagrange buscadas para restricciones del tipo (3.162), sean no-holónomas o semi-holónomas. Estas restricciones
entran en forma explícita en los Qi dados por (3.181) mediante los coeficientes Ali . En
Mecánica de Lagrange y de Hamilton, igual como se mencionó antes, los Qi están
asociados con las llamadas Fuerzas Generalizadas de Ligadura.
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CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
La solución completa al problema depende ahora de la determinación de n funciones yi y K funciones l . Aquí las l son consideradas indeterminadas y pueden ser
obtenidas como parte de la solución.
Las restricciones tipo (3.162) integrables, previa integración, pueden ser
tratadas con las Ecuaciones de Euler-Lagrange (3.68) o (3.69). Sin embargo, puede ocurrir que la integración no sea fácil y es en estos casos donde realmente son útiles las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.180)
pues únicamente se requiere determinar los coeficientes Ali , lo cual
es muy trivial. También son útiles estas Ecuaciones de Euler-Lagrange
cuando se tienen restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 en las que se
hace difícil despejar las variables yi (x) dependientes en función de las
independientes, resolviéndose el problema al hallar la diferencial total
de dichas restricciones para expresarlas en la forma diferencial (3.162) y
luego aplicar (3.180).
el [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0:
Pasos a seguir cuando se tienen restricciones del tipo D
1. Se indentifica f del integrando de la J dada o construida a partir de
la cantidad que se desea extremar.
2. Se identifican las restricciones existentes. Si se tienen restricciones del
tipo Al [yi (x) ; x] = 0 pueden ser tratadas como restricciones del tipo
el [yi (x) ; y 0 (x) ; x] = 0 hallando su diferencial total sin realizar simplificaD
i
ciones (esto haría que la diferencial hallada no fuese exacta aunque
siga siendo integrable).
3. Se identifican los coeficientes Ali mediante comparación directa de
(3.162) con las restricciones dadas.
4. Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.180), usando la f
hallada en el paso anterior.
5. Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange
más las ecuaciones de las restricciones, que son usadas para completar el sistema. Aquí se obtienen las extremales yi (x) y los multiplicadores de Lagrange l que permiten encontrar los Qi dados por
(3.181).
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CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
...............................................................................................
EJEMPLO 3.9
Resolver el ejemplo 3.5 usando las ecuaciones de Euler-Lagrange
(3.174).
SOLUCION:
Se indentifica f : ya en el ejemplo 3.5 fue identificada f resultando,
f = 1 + y 02 + z 02
1
2
(3.182)
Aquí se tienen 2 variables y1 = y y y2 = z (i = 1; 2) dependientes de la variable independiente x.
Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1)
que viene dada por la ecuación del plano,
A=x+y+z =0
(3.183)
siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0. Puede ser tratada como una ligadura
e (d) [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 al hallar su diferencial total. En efecto,
del tipo D
l
e1(d) = dx + dy + dz = 0
D
(3.184)
e (d) [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0.
pudiendo ser vista ahora como una restricción del tipo D
l
Se identifican los coeficientes Ali : se tienen n = 2 variables yi y una restricción l = 1.
Entonces a partir de (3.162) para l = 1 se tiene que,
2
X
i=1
A1i dyi + B1 dx = 0 ) A11 dy1 + A12 dy2 + B1 dx = 0
(3.185)
o,
A1y dy + A1z dz + B1 dx = 0
(3.186)
Ahora, al comparar (3.184) con (3.186) se deduce que,
A1y = 1 A1z = 1 B1 = 1
(3.187)
Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.180), las ecuaciones
de Euler vendrán dadas por,
8
1
P
>
@f
@f
d
>
=
Q
=
< dx
y
l Aly = A1y
0
@y
@y
l=1
(3.188)
1
P
>
@f
@f
d
>
= Qz =
: dx @z0
l Alz = A1z
@z
l=1
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Pág.: 74
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
ahora, al sustituir (3.182) y (3.187) en estas ecuaciones resulta,
8
h
i
1
< d y 0 (1 + y 02 + z 02 ) 2 =
dx
h
i
1
: d z 0 (1 + y 02 + z 02 ) 2 =
dx
(3.189)
Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las restricciones: las ecuaciones (3.189) son idénticas a las ecuaciones (3.79) y (3.80) del ejemplo
3.5. Por lo tanto, los resultados subsiguientes son igualmente idénticos a los obtenidos
en dicho ejemplo.
...............................................................................................
EJEMPLO 3.10
Dada la funcional,
Z b
J=
S1 02 +
02
a
+ S2
02
+ S3
02
dx
sujeta a las restricciones,
0
0
S4 Sen
+ S4 Cos
0
= 0
0
= 0
encuéntrense las Qi . Aquí S1 , S2 , S3 y S4 son constantes positivas no nulas y la prima
indica derivada total con respecto a x.
SOLUCION:
Se indentifica f : en este caso,
f = S1
02
02
+
Aquí se tienen n = 4 variables y1 = , y2 =
de la variable independiente x.
+ S2
, y3 =
02
+ S3
02
y y4 =
(3.190)
(i = 1; 2; 3; 4) dependientes
Se identifican las restricciones existentes: existen 2 restricciones (K = 2 ) l = 1; 2)
que vienen dadas por,
e1(D) =
D
e2(D) =
D
0
0
S4 Sen
+ S4 Cos
0
0
=0
(3.191)
=0
(3.192)
e (D) [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 y se ha
que no son integrables. Estas restricciones son del tipo D
l
designado l = 1 a (3.191) y l = 2 a (3.192).
Se identifican los coeficientes Ali : se tienen n = 4 variables yi y dos restricciones
l = 1; 2. Entonces a partir de (3.162) se tiene que,
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CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
Para l = 1:
4
X
i=1
o,
A1i yi0 + B1 = 0 ) A11 y10 + A12 y20 + A13 y30 + A14 y40 + B1 = 0
A1
0
+ A1
0
+ A1
0
+ A1
0
+ B1 = 0
(3.193)
Para l = 2:
4
X
i=1
o,
A2i yi0 + B2 = 0 ) A21 y10 + A22 y20 + A23 y30 + A24 y40 + B2 = 0
A2
0
+ A2
0
+ A2
0
+ A2
0
+ B2 = 0
(3.194)
Ahora, al comparar (3.193) y (3.194) con (3.191) y (3.192) respectivamente se deduce
que,
A1 = 1 A1 = 0 A1 = S4 Sen
A1 = 0 B1 = 0
(3.195)
A2 = 0 A2 = 1 A2 = S4 Cos
A2 = 0 B2 = 0
Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.180), las ecuaciones
de Euler vendrán dadas por,
8
2
P
>
@f
@f
d
>
=
Q
=
>
l A l = 1 A1 + 2 A2
dx @ 0
@
>
>
l=1
>
>
2
>
P
>
@f
@f
d
>
=
Q
=
< dx
0
l Al = 1 A1 + 2 A2
@
@
l=1
(3.196)
2
P
>
@f
@f
d
>
=Q =
>
l A l = 1 A 1 + 2 A2
>
dx @ 0
@
>
l=1
>
>
2
>
P
>
@f
@f
d
>
: dx
=
Q
=
l Al = 1 A1 + 2 A 2
@ 0
@
l=1
pero a partir de (3.190),
@f
@
@f
@ 0
d
dx
=0
= 2S1
@f
@ 0
0
= 2S1
00
@f
=0
@
@f
= 2S1 0
@ 0
@f
d
= 2S1
dx @ 0
00
@f
=0
@
@f
= 2S2 0
@ 0
@f
d
= 2S2 00
dx @ 0
@f
=0
@
@f
= 2S3 0
@ 0
@f
d
= 2S3 00
dx @ 0
(3.197)
entonces, al sustituir los resultados (3.195) y (3.200) en las ecuaciones (3.196) resulta,
8
2S1 00 = 1
>
>
>
< 2S 00 =
1
2
(3.198)
00
>
2S
=
2
1 S4 Sen + 2 S4 Cos
>
>
:
2S3 00 = 0
SOLDOVIERI C., Terenzio. CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 76
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las restricciones: en este caso se deben encontrar los ya que son necesarios, debido a (3.181),
para encontrar los Qi pedidos. Al derivar con respecto a x las restricciones (3.190) y
(3.191) y despejar 00 y 00 resulta,
00
00
S4
S4
0
Cos
0
0
Sen
0
S4 Sen
+ S4 Cos
00
00
00
= 0)
00
= 0)
= S4
= S4
0
Cos
0
0
Sen
0
+ S4 Sen
S4 Cos
00
(3.199)
00
(3.200)
y al sustituirlos en las primeras dos ecuaciones (3.198) se obtiene,
1
2
0
= 2S1 S4 ( 0 Cos
+ Sen
00
)
(3.201)
Cos
00
)
(3.202)
0
= 2S1 S4 ( 0 Sen
Al sustituir estos resultados en la tercera de las ecuaciones (3.198) resulta,
2S2
00
=
=
2S1 S42 ( 0 Cos
2S1 S42
0
00
+ Sen
00
) Sen + 2S1 S42 ( 0 Sen
o,
2
|
S2 +S 1 S42
{z
6=0
}
00
=0)
(
00
0
0
=0
= c1
Cos
00
) Cos
(3.203)
además, de la última de las ecuaciones (3.198) se obtiene,
00
=0)
0
= c2
(3.204)
Si ahora se sustituyen (3.203) y (3.204) en (3.201) y (3.202) resulta,
1
= 2S2 S4 c1 c2 Cos
2
= 2S2 S4 c1 c2 Sen
(3.205)
(3.206)
Finalmente, a partir de (3.181) se tiene que teniendo presente los resultados (3.195),
(3.205) y (3.206),
8
2
P
>
>
>
Q
=
l Al = 1 A1 + 2 A2 = 1 = 2S1 S4 c1 c2 Cos
>
>
>
l=1
>
>
2
P
>
>
>
Q =
l Al = 1 A1 + 2 A2 = 2 = 2S1 S4 c1 c2 Sen
>
>
<
l=1
2
P
(3.207)
Q
=
>
l A l = 1 A 1 + 2 A2 =
1 S4 Sen + 2 S4 Cos
>
>
l=1
>
>
2
2
>
>
> = 2S1 S4 c1 c2 Cos Sen + 2S1 S4 c1 c2 Sen Cos = 0
>
>
2
>
P
>
>
: Q =
l A l = 1 A 1 + 2 A2 = 0
l=1
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CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
...............................................................................................
EJEMPLO 3.11
Resolver el ejemplo 3.7 usando las ecuaciones de Euler-Lagrange
(3.174).
SOLUCION:
Se indentifica f : ya en el ejemplo 3.7 fue identificada f resultando,
f = 1 + y 02 + z 02
1
2
(3.208)
Aquí se tienen 2 variables y1 = y y y2 = z (i = 1; 2) dependientes de la variable independiente x.
Se identifican las restricciones existentes: existe sólo una restricción (K = 1 ) l = 1)
que viene dada por la ecuación del cilindro,
A = x2 + y 2
R2 = 0
(3.209)
siendo una restricción del tipo Al [yi (x) ; x] = 0. Su diferencial total viene dado por,
e1(d) = 2xdx + 2ydy = 0
D
(3.210)
e (d) [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0.
pudiendo ser vista ahora como una restricción del tipo D
l
Se identifican los coeficientes Ali : se tienen n = 2 variables yi y una restricción l = 1.
Entonces a partir de (3.162) para l = 1 se tiene que,
2
X
i=1
A1i dyi + B1 dx = 0 ) A11 dy1 + A12 dy2 + B1 dx = 0
(3.211)
o,
A1y dy + A1z dz + B1 dx = 0
(3.212)
Ahora, al comparar (3.210) con (3.212) se deduce que,
A1y = 2y A1z = 0 B1 = 2x
(3.213)
Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.180), las ecuaciones
de Euler vendrán dadas por,
8
1
P
>
@f
@f
d
>
=
Q
=
< dx
y
l Aly = A1y
0
@y
@y
l=1
(3.214)
1
P
>
@f
@f
d
>
=
Q
=
A
=
A
: dx
z
l lz
1z
@z 0
@z
l=1
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Pág.: 78
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
pero de (3.208),
(
@f
@y
@f
@y 0
=0
=
y0
1
(1+y 02 +z 02 ) 2
@f
@z
@f
@z 0
=0
=
(3.215)
z0
1
(1+y 02 +z 02 ) 2
entonces, al sustituir (3.213) y (3.215) en las ecuaciones (3.214) resulta,
8
h
i
1
< d y 0 (1 + y 02 + z 02 ) 2 = 2y
dx
h
i
1
: d z 0 (1 + y 02 + z 02 ) 2 = 0
dx
(3.216)
Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las restricciones: las ecuaciones (3.216) son idénticas a las ecuaciones (3.113) y (3.114) del
ejemplo 3.7. Por lo tanto, los resultados subsiguientes son igualmente idénticos a los
obtenidos en dicho ejemplo.
...............................................................................................
EJEMPLO 3.12
Dada la funcional,
Z b
J=
S1 z 02 + y 02 + S2
02
a
+ S3 z + S4 Cos
dx
sujeta a la restricción,
z 0 Sen
y 0 Cos
=0
Encuéntrense las ecuaciones de Euler-Lagrange. Aquí S1 , S2 , S3 y S4 son constantes
positivas no nulas y la prima indica derivada total con respecto a x.
SOLUCION:
Se indentifica f : en este caso,
f = S1 z 02 + y 02 + S2
02
+ S3 z + S4 Cos
Aquí se tienen n = 3 variables y1 = z, y2 = y y y3 =
variable independiente x.
(3.217)
(i = 1; 2; 3) dependientes de la
Se identifican las restricciones existentes: existe 1 restricción (K = 1 ) l = 1) que
viene dada por,
e1(D) = z 0 Sen
D
y 0 Cos = 0
(3.218)
e (D) [yi (x) ; y 0 (x) ; x] = 0.
que no es integrable. Esta restricción es del tipo D
i
l
Se identifican los coeficientes Ali : se tienen n = 3 variables yi y una restricción l = 1.
Entonces a partir de (3.162) se tiene que,
Para l = 1:
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CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
3
X
i=1
o,
A1i yi0 + B1 = 0 ) A11 y10 + A12 y20 + A13 y30 + B1 = 0
A1z z 0 + A1y y 0 + A1
0
(3.219)
+ B1 = 0
Ahora, al comparar (3.219) con (3.218) se deduce que,
A1z = Sen
A1 = 0
A1y = Cos
B1 = 0
(3.220)
Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: al emplear (3.180), las ecuaciones
de Euler vendrán dadas por,
8
1
P
>
@f
> d @f0
=
Q
=
>
l Alz = 1 A1z
z
dx @z
@z
>
>
l=1
>
<
1
P
@f
@f
d
(3.221)
=
Q
=
l Aly = 1 A1y
y
0
dx @y
@y
>
l=1
>
>
1
>
P
>
@f
@f
d
>
: dx
=
Q
=
l Al = 1 A1
0
@
@
l=1
pero a partir de (3.217),
@f
= S3
@z
@f
= 2S1 z 0
@z 0
@f
d
= 2S1 z 00
dx @z 0
@f
@y
@f
@y 0
d
dx
=0
= 2S1 y 0
@f
@y 0
= 2S1 y 00
@f
= S4 Sen
@
@f
= 2S2 0
@ 0
@f
d
= 2S2 00
dx @ 0
(3.222)
entonces, al sustituir los resultados (3.220) y (3.222) en las ecuaciones (3.221) resulta,
8
00
>
S3 = 1 Sen
< 2S1 z
00
2S1 y =
1 Cos
>
:
00
2S2 + S4 Sen = 0
(3.223)
que son las ecuaciones de Euler-Lagrange pedidas.
...............................................................................................
3.4
Restricciones del tipo isoperimétrico
%l
R x2
x1
gl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx =
Se llaman Problemas Isoperimétricos a aquellos sobre la determinación de una
figura geométrica de superficie máxima con perímetro dado.
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Pág.: 80
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
El Problema Isoperimétrico [Ref. 7, 8] hunde sus raíces en la mitología. Su belleza
matemática se une a la mítica belleza de la reina Dido y a la fundación de la ciudad
de Carthago. Son varias las fuentes que proporcionan información sobre la leyenda de
la reina Dido, pero sin duda la más conocida es la que recoge Virgilio en el libro IV de
La Eneida [Ref. 9], y cuyo pasaje se reproduce al comienzo de este texto. Dido huyó
de su hermano Pigmalión junto con unos cuantos fieles por la costa del norte de África,
hasta llegar a un lugar (actual Túnez) donde habitaban los gétulos. Dido pidió a Jarbas,
rey de los gétulos, asilo y un trozo de tierra donde establecerse. Jarbas accedió a la
petición y le propuso quedarse con la extensión de tierra que pudiera ser abarcada
con la piel de un buey. A Dido se le ocurrió cortar la piel en finas tiras que unió por
sus extremos, de modo que se planteó encontrar la figura que debía formar con la
ristra de tiras de piel, es decir el perímetro está fijo, para encerrar la mayor área posible.
La leyenda dice que Dido resolvió de alguna manera el problema isoperimétrico: una
circunferencia.
Se les da el nombre de Problemas Isoperimétricos a todos los problemas variacionales en los cuales se pide hallar el extremo de la funcional
(1.32),
Z
x2
f [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx, con i = 1; 2; 3; :::; n
J=
(3.224)
x1
para que tome un valor estacionario pero bajo las llamadas Restricciones
Isoperimétricas,
Z x2
Il [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx = %l , con l = 1; 2; 3; :::; K
(3.225)
x1
donde las %l son constantes, K puede ser mayor, menor o igual a n, y
también problemas análogos para funcionales más complejas.
Los problemas isoperimétricos pueden ser reducidos a problemas con restricciones
del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0 por medio de la introducción de nuevas funciones desconocidas. En efecto, a partir de (3.225) haciendo el límite superior de la integral igual
a x,
Z x
x1
con,
(
Il [yi (e
x) ; yi0 (e
x) ; x
e] de
x = hl (x)
hl (x1 ) = 0
hl (x2 ) = %l , por la condición (3.225)
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(3.226)
(3.227)
Pág.: 81
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
donde se ha colocado s en la variable de integración para distinguirla del límite superior de la integral. Ahora derivando hl (x) con respecto a x se obtiene,
h0l (x) = Il [yi (x) ; yi0 (x) ; x]
o,
h0l (x) = 0
Il [yi (x) ; yi0 (x) ; x]
(3.228)
de manera que las restricciones isoperimétricas (3.225) se han reemplazado por restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0, reduciéndose así al problema estudiado en la
primera parte de la sección anterior. Por lo tanto, son aplicables las ecuaciones de
Euler-Lagrange (3.157) para las restricciones,
Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; h0l (x) ; x] = Il [yi (x) ; yi0 (x) ; x]
h0l (x) = 0
(3.229)
Las variables son, en este caso, las yi (x) y las h0l (x). Las ecuaciones de Euler-Lagrange
(3.157) correspondientes a estas dos variables vienen dadas por,
d
dx
@f
@yi0
d
dx
@f
@h0j
K
X
@f
=
@yi
l=1
l
@Dl
@yi
d
dx
@Dl
@yi0
0 @Dl
l
@yi0
, con i = 1; 2; 3; :::; n (3.230)
@f
@hj
l
@Dl
@hj
d
dx
@Dl
@h0j
0 @Dl
l
@h0j
, con j = 1; 2; 3; :::; K(3.231)
=
K
X
l=1
Entonces, al sustituir (3.229) en (3.230) resulta,
d
dx
X
@f
=
@yi
l=1
K
@f
@yi0
@ (Il h0l )
@yi
l
@ (Il h0l )
@yi0
d
dx
0@
l
(Il h0l )
@yi0
o,
d
dx
@f
@yi0
X
@f
=
@yi
l=1
K
l
@Il
@yi
d
dx
@Il
@yi0
0 @Il
l
@yi0
(3.232)
y al sustituir (3.229) en (3.231) resulta,
d
dx
@f
@h0j
@f
@hj
=
0 =
K
X
l=1
K
X
l=1
0 =
K
X
l
8
>
>
<
@ (Il h0l )
@hj
d
(
>
dx
>
: |
{z
l
0
l lj
=0
d
dx
lj )
}
@ (Il h0l )
@h0j
9
>
>
=
0
lj )
l(
>
>
;
0@
l
(Il h0l )
@h0j
l=1
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CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
o,
0
j
=0)
j
= constantes
(3.233)
Finalmente, debido al anterior resultado, las ecuaciones (3.232) se reducen a,
2
6
6
6
6
6
4
donde,
d @f
@f
= Qi , con i = 1; 2; 3; :::; n
0
dx @yi
@yi
|
{z
}
Ecuaciones de Euler-Lagrange para funcionales de múltiples
variables dependientes y restricciones del tipo
Rx
isoperimétrico x12 gl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx = %l .
Qi =
K
P
l=1
l
h
@Il
@yi
d
dx
@Il
@yi0
(3.234)
3
7
7
7
7
7
5
i
(3.235)
que son las ecuaciones de Euler-Lagrange para el problema isoperimétrico planteado.
Las restricciones del tipo isoperimétrico, como ya se mencionó antes, sólo pueden ser
usadas en forma explícita ya que no representan igualdades que únicamente involucren las yi (x).
Pasos a seguir cuando se tienen restricciones del tipo isoperimétrico:
1. Se identifican las Il a partir de los integrandos de las restricciones
isoperimétricas dadas o construidas y la f del integrando de la J dada
o construida a partir de la cantidad que se desea extremar.
2. Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.234), usando la f
y las Il halladas en los pasos 1 y 2.
3. Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange
más las restricciones, que son usadas para completar el sistema.Aquí
se obtienen las extremales yi (x) y los multiplicadores de Lagrange l
que permiten encontrar los Qi dados por (3.235).
...............................................................................................
EJEMPLO 3.13
Hallar las extremales de la funcional,
Z
J=
y 02 dx
0
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CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
sabiendo que y (0) = 0, y ( ) = 0 y sujeta a la restricción isoperimétrica,
Z
y 2 dx = 1
0
SOLUCION: aquí se tiene n = 1 variable y1 = y (i = 1) dependiente de la variable
independiente x y existe K = 1 restricción (l = 1).
Se identifican la f y las Il : a partir del integrando de la J se tiene que,
f = y 02
(3.236)
y a partir del integrando de la restricción isoperimétrica,
I1 = y 2
(3.237)
Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: a partir de las ecuaciones de
Euler-Lagrange (3.234) se puede escribir para este caso,
d
dx
@f
@y 0
@f
= Qy =
@y
pero de (3.236) y (3.237) se tiene que,
8
@f
>
>
< @y = 0
@f
= 2y 0
@y 0
>
>
: d @f0 = 2y 00
dx
@y
d
dx
@I1
@y
1
@I1
= 2y
@y
@I1
=0
@y 0
@I1
d
dx
@y 0
@I1
@y 0
9
>
>
=
>
>
=0 ;
(3.238)
(3.239)
resuldados que al ser sustituidos en (3.238) se obtiene,
y 00 =
(3.240)
1y
Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las restricciones: la ecuación diferencial (3.241) representa un problema de autovalores. Las
p
raíces del polinomio característico son
.
Se tienen dos casos posibles dos:
1. Si
0, la solución general viene dada por,
p
y (x) = c1 e
x
+ c2 e
p
x
(3.241)
que no puede satisfacer las condiciones de frontera dadas (verificarlo), no existiendo
así solución para
0.
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CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
2. Si
< 0, la solución general viene dada por,
y (x) = c1 Sen
p
x + c2 Cos
p
x
(3.242)
Esta es la solución útil. De la condición de frontera y (0) = 0 resulta,
y (0) = c2 = 0
(3.243)
y de y ( ) = 0,
Sen
p
=0)
= 0; 1; 4; : : : ; n2 , con n = 0; 1; 2; 3; : : :
(3.244)
Ahora, al sustituir los resultados (3.243) y (3.244) en la restricción isoperimétrica resulta,
Z h
i2
p
p
x + c2 Cos
x
dx = 1
(3.245)
c1 Sen
0
de la cual,
c1 =
r
2
(3.246)
Finalmente, al sustituir los resultados (3.243), (3.244) y (3.246) en (3.242) se obtiene
finalmente,
q
2
y (x) =
(3.247)
Sen (nx) ; conn = 1; 2; 3; : : :
...............................................................................................
EJEMPLO 3.14
Determinar la función y (x) de longitud ` limitada por el eje x en la
parte inferior, que pasa por los puntos P1 = ( a; 0), P2 = (a; 0) y que encierra la mayor
área.
SOLUCION: la figura 3.4 muestra la situación planteada en el enunciado del ejemplo.
Se identifican la f y las Il : a partir de la figura 3.4 se tiene que,
dA = ydx
(3.248)
Z
(3.249)
de la cual,
A=
a
ydx
a
que es la cantidad a ser maximizada. De aquí,
f =y
(3.250)
teniéndose presente que y (x) debe cumplir con las condiciones y ( a) = 0 y y (a) = 0.
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CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
Figura 3.4: Función y (x) cuya área por ella encerrada ha de maximizarse.
Por otro lado, y (x) debe tener longitud constante ` entonces,
Z a
1
1
2
2 2
ds = dx + dy
)s=
1 + y 02 2 dx = `
(3.251)
a
que es una restricción isoperimétrica. De aquí que,
I1 = 1 + y 02
1
2
(3.252)
De todo lo anterior se puede observar que existe n = 1 variable y1 = y (i = 1) dependiente de la variable independiente x y existe K = 1 restricción (l = 1).
Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: a partir de las ecuaciones de
Euler-Lagrange (3.234) se puede escribir para este caso,
d
dx
@f
@y 0
@f
= Qy =
@y
pero de (3.250) y (3.252) se tiene que,
8 @f
=1
>
>
< @y
@f
=0
@y 0
>
>
: d @f
dx
@y 0
@I1
@y
@I1
@y 0
d
dx
@I1
@y
1
=0
=
y0
1
(1+y 02 ) 2
=0
resuldados que al ser sustituidos en (3.253) se obtiene,
"
#
d
y0
1
=
1
dx (1 + y 02 ) 2
1
@I1
@y 0
9
>
>
=
>
>
;
(3.253)
(3.254)
(3.255)
Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de Euler-Lagrange más las restricciones: al integrar la ecuación diferencial (3.255) resulta,
y0
1
(1 + y 02 ) 2
=x
c1
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(3.256)
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CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
donde c1 es una constante de integración. Esta ecuación puede ser reescrita como,
(x
y0 =
2
c1 )
(x
(3.257)
1
2
2
c1 )
que al ser integranda resulta en,
y=
2
(x
c1 )2
1
2
+ c2 ) y =
2
(x
c1 )2
1
2
+ c2
(3.258)
donde c2 es otra constante de integración y se ha escogido el signo positivo para y en
concordancia con el sistema de coordenadas mostrado en la figura 3.4. Reordenando
términos,
(x c1 )2 + (y c2 )2 = 2
(3.259)
La expresión (3.259) representa una Circunferencia de radio centrado en (c1 ; c2 ). El
área máxima es un semicírculo limitado por la línea y = 0 (eje x). El semicírculo parte
del punto ( a; 0) y llega hasta el (a; 0) (o viceversa), lo cual significa que debe estar
centrado en el origen (c1 ; c2 ) = (0; 0) y tiene radio = a. La longitud del semicírculo es
a = `, por lo tanto, a = `= . De todo lo anterior a partir de (3.258) se deduce que,
y=
h
` 2
x
2
i 12
(3.260)
es la función buscada.
...............................................................................................
EJEMPLO 3.15
Para atravesar un río se coloca, desde una orilla a la otra, una
cuerda de longitud ` de densidad de masa lineal . Si la separación entre las orillas es
2a (2a < `), ¿qué forma tomará la cuerda con el fin de minimizar la energía potencial?
(ver figura 3.5).
SOLUCION:
Se identifican la f y las Il : si ds es el elemento de longitud de la cuerda, entonces su
energía potencial vendrá dada por,
dU =
(3.261)
gyds
donde y > 0 ya que su signo negativo ha sido considerado explícitamente. Como,
ds = dx2 + dy 2
entonces,
U=
g
Z
1
2
= 1 + y 02
a
y 1 + y 02
1
2
1
2
dx
dx
(3.262)
(3.263)
a
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CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
Figura 3.5: Cuerda de longitud ` colocada entre las orillas de un río de ancho 2a.
que es la cantidad que se desea minimizar. La minimización de U está sujeta a la
restricción de que la longitud de la cuerda permanezca constante e igual a `, es decir,
Z
Z a
1
ds =
1 + y 02 2 dx = `
(3.264)
a
que es una restricción de tipo isoperimétrica. De (3.263) y (3.264) se puede identificar,
f =
D1 =
gy 1 + y 02
1 + y 02
1
2
(3.265)
1
2
(3.266)
Aquí se tiene n = 1 variable y1 = y (i = 1) dependiente de la variable independiente
x y existe K = 1 restricción (l = 1).
Se encuentran las ecuaciones de Euler-Lagrange: a partir de las ecuaciones de
Euler-Lagrange (3.234) se puede escribir para este caso,
d
dx
@f
@y 0
@f
= Qy =
@y
pero de (3.265) y (3.266) se tiene que,
8
>
>
>
<
>
>
>
:
@f
@y
@f
@y 0
d
dx
=
=
@f
@y 0
@I1
@y
1
1
@I1
@y
@I1
@y 0
(1+y ) 2
y 02
1
(1+y 02 ) 2
+
yy 0 y 00
3
(1+y 02 ) 2
d
dx
yy 00
1
(1+y 02 ) 2
d
dx
@I1
@y 0
(3.267)
1
gy (1 + y 02 ) 2
g (1 + y 02 ) 2
0
g yy02 1
= g
1
(1 + y 02 ) 2
=0
=
y0
1
(1+y 02 ) 2
@I1
@y 0
=
y 02 y 00
3
(1+y 02 ) 2
+
resuldados que al ser sustituidos en (3.267) se obtiene,
y 00 y
g
= 1 + y 02
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y 00
1
(1+y 02 ) 2
9
>
>
>
=
>
>
>
;
(3.268)
(3.269)
Pág.: 88
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
o,
y puesto que dx =
dy 0
dx
=
02
1+y
y
dx
dy
dy
=
1
dy,
y0
(3.270)
g
entonces resulta que,
y 0 dy 0
dy
=
02
1+y
y
(3.271)
g
Ahora bien, al integrar (3.271) se obtiene,
2
02
y = c1 y
(3.272)
1
g
donde c1 es una constante de integración. Al hacer ahora la sustitución,
y
g
=
1
1=2
c1
(3.273)
Cosh u
en (3.272) se obtiene,
u02 = c1
(3.274)
u = c1 x + c2 , c2 = constante de integración
(3.275)
cuya solución es,
1=2
donde c2 es otra constante de integración. Entonces, de (3.273) y (3.275) se obtiene,
y=
1
1=2
c1
1=2
Cosh c1 x + c2 +
g
(3.276)
Las condiciones de frontera establecen que y ( a) = 0. Al aplicarlas sobre (3.276)
resulta que,
8
1=2
1
< y (a) = 0: 0 = 1=2
Cosh c1 a + c2 + g
c1
(3.277)
Para
1=2
1
: y ( a) = 0: 0 = 1=2
Cosh
c1 a + c2 + g
c1
de las cuales se puede deducir que c2 = 0 ya que a 6= 0 y por lo tanto,
=
g
1=2
c1
1=2
Cosh c1 a
(3.278)
Por otro lado, para hallar c1 se usa la restricción isoperimétrica (3.264). En efecto, al
sustituir (3.276) en dicha restricción resulta,
Z ah
i 21
2
1=2
1=2
1 + Senh2 c1 x
dx = ` ) 1=2 Senh c1 a = `
(3.279)
c1
a
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Pág.: 89
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
que es una ecuación trascendental para c1 .
Finalmente, de (3.276) y (3.278) resulta,
h
1=2
1
y = 1=2
Cosh c1 x
1=2
Cosh c1 a
c1
i
(3.280)
que es una Catenaria, con c1 dada por (3.279).
...............................................................................................
A manera de resumen, las restricciones a ser consideradas y las ecuaciones de EulerLagrange a ser usadas en el presente texto son las siguientes:
FUNCIONALES DE UNA SOLA VARIABLE DEPENDIENTE
ECUACION DE EULER
@f
@y
Forma estándar !
@f
@x
Segunda forma !
Forma integrada !
d
dx
d
dx
f
@f
@y 0
=0
@f
y 0 @y
0
=0
@f
@f
y 0 @y
0 = c; c = constante (para @x = 0)
f
RESTRICCIONES
Restricciones
del tipo
Restricciones
del tipo
!
(
Al [yi (x) ; x] = 0
l = 1; 2; 3; :::; K; i = 1; 2; 3; : : : ; n
8
n
>
e (d) [yi (x) ; y 0 (x) ; x] = P Alj [yi (x) ; x] dyj (x) + Bl [yi (x) ; x] dx = 0
>
D
>
i
l
>
>
j=1
>
>
>
Forma de diferencial o forma Pfaffiana
>
>
>
>
<
n
!
e (D) [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = P Alj [yi (x) ; x] yj0 (x) + Bl [yi (x) ; x] = 0
D
l
>
>
j=1
>
>
>
Forma de derivada
>
>
>
>
>
>
>
: l = 1; 2; 3; :::; K; i = 1; 2; 3; :::; n
Restricciones
del tipo isoperimétrico
!
( Rx
2
Il [yi (x) ; yi0 (x) ; x] dx = %l
l = 1; 2; 3; :::; K; i = 1; 2; 3; : : : ; n
x1
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Pág.: 90
CAPITULO 3. CALCULO DE EXTREMALES CON RESTRICCIONES
FUNCIONALES DE MULTIPLES VARIABLES DEPENDIENTES
ECUACIONES DE EULER-LAGRANGE
@f
@yi
= Qi
d
dx
@f
@yi0
!
8
(
>
>
>
Qi = 0 !
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
Q
=
0
!
i
>
>
>
>
:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
K
P
>
@Al
>
>
Q
=
l @yi
i
>
>
>
l=1
<
Sin restricciones
i = 1; 2; 3; : : : ; n
Restriciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0
en forma implícita
i = 1; 2; 3; : : : ; n; l = 1; 2; 3; : : : ; K
8
>
<
Restriciones del tipo
!
Al [yi (x) ; x] = 0 en forma explícita.
>
:
i = 1; 2; 3; : : : ; n; l = 1; 2; 3; : : : ; K
>
>
8
>
>
>
>
>
>
>
>
( Restriciones del tipo
>
>
>
<
>
K
e (d) [yi (x) ; y 0 (x) ; x] = 0
P
>
D
>
i
l
>
Q
=
A
!
i
l li
>
(D)
>
e
>
>
Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x] = 0
l=1
>
>
>
>
>
>
: i = 1; 2; 3; : : : ; n; l = 1; 2; 3; : : : ; K
>
>
>
>
>
>
>
>
>
8
>
>
Restriciones del tipo
>
>
>
>
>
>
>
<
h
i
K
>
P
isoperimétrico
>
@Il
@Il
d
>
R x2
Qi =
!
>
0
l @yi
>
dx
@y
i
>
>
I [y (x) ; yi0 (x) ; x] dx = %l
l=1
>
>
x1 l i
>
>
>
:
:
i = 1; 2; 3; : : : ; n; l = 1; 2; 3; : : : ; K
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Pág.: 91
CAPITULO 4
EJERCITACION
1. Hallar la extremal del problema isoperimétrico,
Z 1
J=
y 02 + x2 dx
0
con la restricción,
Z
1
y 2 dx = 2
0
sabiendo que y (0) = 0 y y (1) = 0. Resp.:
y=
2 Sen (n x)
donde n es un entero.
2. Hallar las extremales del problema isoperimétrico,
Z 1
J=
y 02 dx
0
con la restricción,
Z
1
ydx = a
0
donde a es una constante y sabiendo que y (0) = 0 y y (1) = 0. Resp.: y = 6ax (1
3. Dada la funcional,
J=
Z
x).
1
ay 02
by 2 dx
0
donde a y b son costantes positivas y que satisface las condiciones de frontera y (0) =
0 y y (1) = 1.
92
CAPITULO 4. EJERCITACION
3.1. Hallar el camino extremal de la funcional. Resp.: y = Csc
q
b
a
Sen
q
b
x
a
.
3.2. Encuentre
q el valor de J usando el camino extremal hallado en (a). Resp.: J =
2
b
b Csc
.
a
4. Hallar el extremal de la funcional,
J=
Z
2y Sen x
y 02 dx
0
que satisface y (0) = 0 y y ( ) = 0. Mostrar que este extremal hace que J tome un
máximo global. Resp.: y = Sen x.
5. Hallar las curvas (caminos) extremales del problema isoperimétrico,
Z 1
J=
y 02 + z 02 4xz 0 4z dx
0
con la restricción,
Z
1
y 02
xy 0
z 02 dx = 2
0
sabiendo que,
y (0) = 0, z (0) = 0 y y (1) = 1, z (1) = 1
Resp.: y =
5 2
x
2
+ 27 x o y = 3x2
2x; z = x.
6. Analizar el extremo de la funcional,
J=
Z
x2
y 2 + 2xyy 0 dx
x1
sabiendo que y (x1 ) = yo y y (x2 ) = y1 . Resp.: la integral no depende del camino de
integración. El problema variacional no tiene sentido.
7. Hallar las extremales de la funcional,
Z
J=
x2
y 0 1 + x2 y 0 dx
x1
Resp.: las extremales son las hipérbolas,
y = c2
con c2 =
1 c1
2
1
+ c3
x
y c3 una constante de integración.
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Pág.: 93
CAPITULO 4. EJERCITACION
8. Hallar las extremales de la funcional,
Z x2
y 02 + 2yy 0
J=
16y 2 dx
x1
Resp.: y = c1 Cos (4x) + c2 Sen (4x) o también y = C1 Sen (4x
general distintas, a c1 y c2 .
C2 ) donde C1 y C2 son en,
9. Hallar la extremal de la funcional,
J=
Z
1
y 02 + x dx
0
bajo las condiciones de frontera,
y (0) = 1 y y (1) = 2
Resp.: y = x + 1.
10. Hallar la extremal de la funcional,
J=
Z
1
y 02 + y 2 dx
0
bajo las condiciones de frontera y (0) = 1 y y (1) = e 1 . Tener presente que e
Cosh x Senh x. Resp.: y = Cosh x Senh x.
x
=
11. Hallar las extremales de la funcional,
Z x2
J=
xy 0 + y 02 dx
x1
Resp.: y =
x2
4
+ c1 x + c2 .
12. Hallar las extremales de la funcional,
J=
Z
`
y 03 ydx
0
bajo las condiciones de frontera y (0) = 0, y (`) = R. Resp.: y = R
parábola de grado 43 .
13. Hallar las extremales de la funcional,
Z x2
J=
y 2 + y 02
x
`
3
4
, que es una
2y Sen x dx
x1
Resp.: y = c1 ex + c2 e
x
+ 12 Sen x.
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CAPITULO 4. EJERCITACION
14. Hallar las extremales de la funcional,
Z
2yz
J=
2y 2 + y 02
z 02 dx
0
bajo las condiciones de frontera y (0) = 0, y ( ) = 1, z (0) = 0 y z ( ) = 1. Resp.:
y=
z=
1
1
x Cos x + c Sen x
x Cos x + 2 + c Sen x
donde c es una constante arbitraria. Es una familia de extremales.
15. ¿En qué curva puede alcanzar su extremo la funcional
Z 2
J=
y 02 y 2 dx
0
sabiendo que y (0) = 1 y y (2 ) = 1?. Resp.: y = Cos x + c Sen x, donde c es una
constante arbitraria, es decir, el problema variacional considerado tiene un conjunto
infinito de soluciones.
16. ¿En qué curvas puede alcanzar su extremo la funcional
Z 1
1
J=
1 + y 02 2 dx
0
sabiendo que y (0) = 0 y y (1) = 1?. Resp.: y = x.
17. ¿En qué curvas puede alcanzar su extremo la funcional
Z x2
J=
y 2 dx
x1
sabiendo que y (x1 ) = yo y y (x2 ) = y1 ?. Resp.: y = 0. La extremal y = 0 pasa por los
puntos frontera sólo cuando yo = 0 y y1 = 0.
18. Hallar el extremal de la funcional,
J=
Z
2
x2 y 02 dx
1
1
x
que satisface y (1) = 0 y y (2) = 1. Resp.: y = 2 1
.
19. Hallar el extremal de la funcional,
J=
Z
0
1
2
(1 + y 2 )
dx
y 02
que satisface y (0) = 0 y y (1) = 1. Resp.: y = tan
4
+n
x+n
, con n = 0; 1; 2; 3; : : :.
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CAPITULO 4. EJERCITACION
20. Hallar el extremal de la funcional,
J=
Z
1
y 02
y 04 dx
0
que satisface y (0) = 0 y y (1) = 0. Resp.: y = 0.
21. Hallar el extremal de la funcional,
J=
Z
2
1
x3
dx
y 03
que satisface y (1) = 1 y y (2) = 4.
22. Hallar la extremal de la funcional,
J=
Z
2
y (2x
y) dx
0
bajo las condiciones de frontera:
22.1. y (0) = 0 y y
2
= 2 . Resp.: y = x.
22.2. y (0) = 0 y y 2 = 1. Resp.: la extremal y = x no pasará por los puntos frontera
(0; 0) y 2 ; 1 de modo que el problema variacional con estas condiciones de
frontera no tendrá solución.
23. Hallar las extremales de la funcional,
Z
2
J=
y2
y 02
8y Cosh x dx
0
bajo las condiciones de frontera y (0) = 2 y y
24. Hallar las extremales de la funcional,
Z x2
J=
y2
y 02
2
= 2 Cosh 2 . Resp.: y = 2 Cosh x.
2y Sen x dx
x1
25. Obténgase la forma que adopta la ecuación de Euler-Lagrange en los siguientes
casos particulares:
25.1. f sólo depende de y.
25.2. f no depende de y.
p
25.3. f = Q (x; y) 1 + y 02 .
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CAPITULO 4. EJERCITACION
26. Hallar la extremal de la funcional,
Z
J=
2
y 02
2xy dx
1
bajo las condiciones de frontera y (1) = 0 y y (2) =
1. Resp.: y (x) =
x
6
(1
x2 ).
27. Hallar la extremal de la funcional,
J=
Z
3
(3x
y) ydx
1
bajo las condiciones de frontera y (1) = 1 y y (3) = 29 . Resp.: y = 32 x. La extremal encontrada no satisface la condición y (1) = 1, por lo tanto, este problema variacional
no tiene solución.
28. Hallar la extremal de la funcional,
Z
J=
2
2
(y 0 + y) dx
1
bajo las condiciones de frontera y (1) = 1 y y (2) = 0. Resp.: y (x) =
Senh(2 x)
.
Senh 1
29. Hallar la extremal de la funcional,
Z
J=
1
p
y (1 + y 02 )dx
0
bajo las condiciones de frontera y (0) =
dadas por,
1+ 3
y (x) =
p1
2
y y (1) =
p
2 2 (2x
p
4 2 1
p1 .
2
Resp.: Hay dos extremales
1)2
30. Hallar las extremales de la funcional,
J=
Z
1
yy 02 dx
0
p
3
bajo las condiciones
q de frontera y (0)
q = 1 y y (1) =
2
3
dadas por, y (x) = (x + 1) y y (x) = 3 (3x 1)2 .
31. Hallar la extremal de la funcional,
Z
J=
4. Resp.: Hay dos extremales
1
y 02
y2
y e2x dx
0
bajo las condiciones de frontera y (0) = 0 y y (1) = e 1 . Resp.:
y (x) =
1
e
2
x
+ (1 + e) xe
x
1
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CAPITULO 4. EJERCITACION
32. Hallar la extremal de la funcional,
J=
Z
e
xy 02 + yy 0 dx
1
bajo las condiciones de frontera y (1) = 0 y y (e) = 1. Resp.: y (x) = ln x.
33. Hallar la extremal de la funcional,
Z b
J=
2xy + x2 + ey y 0 dx
a
bajo las condiciones de frontera y (a) = A y y (b) = B. Resp.: La integral no depende
del camino de integración, por lo tanto, este problema variacional no tiene sentido.
34. Hallar la extremal de la funcional,
Z
J=
1
(xy 0 + ey ) dx
0
bajo las condiciones de frontera y (0) = 0 y y (1) = . Resp.: y (x) = 0 si
no existe extremal suave.
= 0; si
6= 0
35. Hallar la extremal de la funcional,
J=
Z
1
2ey
y 2 dx
0
bajo las condiciones de frontera y (0) = 1 y y (1) = e. Resp.: No hay extremales, la
ecuación de Euler no tiene soluciones.
36. Considérese la funcional,
J=
Z
x2
f [y (x) ; y 0 (x) ; x] dx
x1
con las condiciones de frontera y (x1 ) = A y y (x2 ) = B. Demostrar que la ecuación
de Euler se mantiene al agregar al integrando la derivada total de cualquier función
u = u (x; y).
37. Hallar las extremales de la funcional,
J=
Z
b
xn y 02 dx
a
y probar que para n > 1 no existen extremales que pasen por dos puntos distintos
situados sobre el eje Oy.
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Pág.: 98
CAPITULO 4. EJERCITACION
38. Demuéstrese la invariancia de la ecuación de Euler frente a cambios de coordenadas.
2
39. Considerar la función f = dy(x)
donde y (x) = x. Sumar a y (x) la función (x) =
dx
Sen (x), y (a) graficar y (x) y dos de sus variaciones y ( ; x) en un mismo plano Cartesiano, (b) encontrar J ( ) entre los límites x = 0 y x = 2 , (b) mostrar que el valor
estacionario de J ( ) se da cuando = 0. Resp.:
(b) J ( ) =
2
2+
40. Considerar la función
f=
:
2
dy (x)
dx
x
e
1
+ x2
1, y (a) graficar
donde y (x) = x + ex . Sumar a y (x) la función (x) = x2 Cos 2 x
y (x) y dos de sus variaciones y ( ; x) en un mismo plano Cartesiano, (b) encontrar
J ( ) entre los límites x = 1 y x = 1, (b) mostrar que el valor estacionario de J ( ) se
da cuando = 0. Resp.:
(b) J ( ) =
2 1
+
3
1
4
3
+
8
+ 16
3
2
:
41. Encuentre y resuelva las ecuaciones para las geodésicas sobre un plano usando coordenadas polares planas (r; '), en términos de las cuales el elemento de distancia
ds es dado por ds2 = dr2 + r2 d'2 . Resp.: r = c1 Sec (' c2 ), donde c1 y c2 son constantes
de integración. Esta es la ecuacción de la recta en coordenadas polares.
42. Encuentre:
42.1. La expresión general para el camino más corto sobre la superficie de un cono
de semiángulo mediante cálculo variacional. Tome la ecuación del camino
en la forma
= ('), donde es la distancia desde el vértice O y ' es el
ángulo polar cilíndrico medido alrededor del eje del cono (ver figura 42.1). La
p
ecuación de un cono viene dada por z = 1
x2 + y 2 . Resp.: = 1b Sen sec [(' c) Sen ],
con c una constante.
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Pág.: 99
CAPITULO 4. EJERCITACION
Problema 43.
42.2. Encuentre el camino particular que satisface las condiciones de frontera
a Cos( Sen )
= a. Resp.: = Cos('2Sen ) .
2
43. Un fabricante desea minimizar la funcional de costo,
Z 4
[(3 + y 0 ) y 0 + 2y] dx
C=
0
sujeta a las condiciones de frontera y (0) = 0 y y (4) = X, donde X es el volumen
deseado de producción. Encuentre el extremal de C que satisface las condiciones
dadas y pruebe que ésta hace que C tome un mínimo global. Resp.: y = 41 x (2x + X 8).
44. Considérese la propagación de los rayos de luz en un medio axialmente simétrico
donde, en un sistema de coordenadas cilíndricas (r; '; z), el índice de refracción es
n = n (r) y los rayos están en el plano z = 0. Para este caso el principio de Fermat
resulta en la funcional,
Z '
=c
1
1
n r2 + r02
1
2
d'
'o
donde c es la velocidad de la luz en el vacío, es el tiempo empleado por un rayo
de luz para ir de un punto a otro, r = r (') es la ecuación del camino seguido y
dr
r0 = d'
.
44.1. Mostrar que las extremales de
satisfacen la ecuación diferencial ordinaria,
nr2
1
(r2 + r02 ) 2
= constante
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Pág.: 100
CAPITULO 4. EJERCITACION
44.2. Mostrar que si se escribe r0 = r tan ( ángulo entre la tangente al rayo y la
superficie cilíndrica local r =constante), la anterior ecuación se transforma en,
= constante
rn Cos
que es la forma de la ley de Snell para este caso.
45. Muestre que al sustituir la funcional,
fe = f +
K
X
l=1
en las ecuaciones de Euler-Lagrange,
!
d
@ fe
@ fe
@yi
dx
@yi0
l
(x) Al [yi (x) ; x]
= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; n
se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange,
d
dx
@f
@yi0
X
@f
=
@yi
l=1
K
l
@Al
@yi
46. Encuentre el camino más corto sobre la superficie de una esfera usando los multiplicadores de Lagrange.
47. A partir de la forma usual (no integrada) de la ecuación de Euler, rehacer el problema de encontrar la geodésica sobre la superficie de una esfera de radio R, usando
como variable dependiente y ' como independiente.
47.1. Mostrar que se obtiene la ecuación diferencial,
Cos
Sen
donde
0
=
d
.
d'
d
d'
0
=0
Sen2
Use la restricción presente en forma implícita.
47.2. Mostrar que,
d
d'
Cos
Sen
=
0
Sen2
47.3. Use la expresión anterior para resolver la ecuación encontrada en (a). Resp.:
z = c1 x+c2 y, que es la ecuación de un plano que pasa a través del centro de la
esfera. Por lo tanto, la geodésica sobre una esfera es el camino que se origina
al intersectar este plano con la esfera, es decir, el círculo mayor.
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Pág.: 101
CAPITULO 4. EJERCITACION
48. Rehaga el problema de encontrar el camino más corto sobre la superficie de una
esfera usando ambas y ' como variables dependientes, formulándolo como un
problema paramétrico escribiendo las condiciones de frontera apropiadas. Combine las dos Ecuaciones de Euler - Lagrange resultantes y muestre que se obtiene el
camino ya conocido.
3
49. Dada la superficie z = x 2 ,
49.1. ¿cuál es la curva sobre esta superficie que une los puntos (x; y; z) = (0; 0; 0) y
(1; 1; 1) que tiene la mínima longitud?. Resp.:
#
"
3=2
8
9
y = 3=2
1
1+ x
13
8
4
49.2. Use la computadora para generar una gráfica conjunta que muestre la superficie dada y el camino más corto obtenido en (a).
50. Considérese la línea que une los puntos
(x1 ; y1 ) = (0; 0) y (x1 ; y1 ) = (1; 1)
Mediante los siguientes pasos, se mostrará explícitamente que la función y (x) =
x produce un camino de mínima longitud mediante el uso de la función variada
y ( ; x) = x + Sen [ (1 x)].
50.1. Muestre que la longitud s de la curva y ( ; x) que une los puntos (x1 ; y1 ) = (0; 0)
y (x1 ; y1 ) = (1; 1) es,
s=
p Z
2
1
Cos u +
2
1
0
donde se ha hecho el cambio
(1
2 2
2
Cos u
1
2
du
x) = u. Aquí s es el funcional.
50.2. La anterior integral no puede resolverse directamente puesto que, de hecho,
es una integral elíptica. Sin embargo, como es pequeña podemos desarrollar
el integrando en la forma (1 x)1=2 hasta el término cuadrático. Mostrar que el
resultado de esta operación viene dado por,
p Z
2
1
1 2 2
1
Cos u
Cos2 u
s =
2
2
0
#
2
1
1 2 2
2
Cos u
Cos u + ::: du
8
2
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CAPITULO 4. EJERCITACION
50.3. Ahora, si en la anterior expresión se dejan sólo los términos hasta Cos2 u y se
integra, mostrar que el resultado viene dado por,
p
1 2 2
s= 2 1+
16
50.4. Por último, mostrar que cumple con la condición para que esta integral tome
un valor estacionario, es decir,
@s
=0
@
=0
mostrándose así que la función y (x) = x produce un camino de mínima longitud.
51. Encuéntrese la ecuación de la línea que proporciona la distancia más corta entre dos puntos en el espacio (x1 ; y1 ; z1 ) y (x2 ; y2 ; z2 ). Ayuda: Supóngase que x, y y z
dependen del parámetro ` y que los puntos extremos son expresados por,
(x1 (`1 ) ; y1 (`1 ) ; z1 (`1 )) y (x2 (`2 ) ; y2 (`2 ) ; z2 (`2 ))
Resp.: xx2 xx11 = yy2 yy11 = zz2 zz11 que es la ecuación de la recta en el espacio que pasa
por los puntos (x1 ; y1 ; z1 ) y (x2 ; y2 ; z2 ).
52. Mostrar que la geodésica sobre la superficie de un cilindro circular recto de radio R
(ver figura 52.2) es un segmento de hélice,
' = c1 z + c2
Usar coordenadas cilíndricas ds2 = dr2 + r2 d'2 + dz 2 .
52.1. Usando la restricción presente en forma implícita.
52.2. Usando la restricción presente en forma explícita.
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CAPITULO 4. EJERCITACION
Problema 53.
53. Hallar la extremal de la funcional,
J=
Z
1
y 2 + x2 y 0 dx
0
bajo las condiciones de frontera y (0) = 0 y y (1) = a. Resp.: y = x. La primera
condición de frontera se cumple pero la segunda se satisface sólo cuando a = 1. Si
a 6= 1, no existe ninguna extremal que satisfaga las condiciones de frontera.
54. Hallar la extremal de la funcional,
J=
Z
x1
(y + xy 0 ) dx
x0
bajo las condiciones de frontera y (x0 ) = y0 y y (x1 ) = y1 . Resp.: La integral no depende del camino de integración, por lo tanto el problema variacional no tiene
sentido.
55. Hallar las extremales de la funcional,
Z 2
J=
y 02 + 2yy 0 + y 2 dx
1
bajo las condiciones de frontera y (1) = 1 y y (2) = 0. Resp.: y =
56. Hallar la extremal de la funcional,
Z
J=
Senh(2 x)
.
Senh 1
1
xy + y 2
2y 2 y 0 dx
0
bajo las condiciones de frontera y (0) = 1 y y (1) = 2. Resp.: No hay extremo.
57. Hallar las extremales de la funcional,
Z x1
J=
y 2 + y 02 +
x0
Resp.: y = c1 Cosh x + c2 Senh x + x Senh x
2y
cosh x
dx
Cosh x ln (Cosh x).
58. Hallar las extremales de la funcional,
Z x1
J=
x2 y 02 + 2y 2 + 2xy dx
x0
Resp.: y = c1 x +
c2
x2
+ 13 x ln jxj.
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CAPITULO 4. EJERCITACION
59. Hallar la extremal de la funcional,
J=
Z
0
y 02 dx
12xy
1
bajo las condiciones de frontera y ( 1) = 1 y y (0) = 0. Resp.: y =
60. Hallar la extremal de la funcional,
Z
4y Cos x + y 02
J=
x3 .
y 2 dx
0
bajo las condiciones de frontera y (0) = 0 y y ( ) = 0. Resp.: y = (c + x) Sen x, donde c
es una costante arbitraria.
61. Hallar la extremal de la funcional,
J=
Z
1
y 02 + 4y 2 dx
0
bajo las condiciones de frontera y (0) = e2 y y (1) = 1. Resp.: y = e2(1
62. Hallar las extremales de la funcional,
Z
J=
b
a
y+
y3
3
x)
.
dx
Resp.: no hay extremales.
63. Hallar las extremales de la funcional,
Z 2
J=
y 02 + z 2 + z 02 dx
1
bajo las condiciones de frontera y (1) = 1, y (2) = 2, z (1) = 0 y z (2) = 1. Resp.: y = x,
1)
z = Senh(x
.
Senh 1
64. Hallar las extremales de la funcional,
Z
4
J=
2z
4y 2 + y 02
z 02 dx
0
bajo las condiciones de frontera y (0) = 0, y
2
y = Sen (2x), z = 12 x2 + 32+
x.
8
65. Hallar las extremales de la funcional,
Z 1
J=
2xy
1
4
= 1, z (0) = 0 y z
4
= 1. Resp.:
1
y 02 + z 03 dx
3
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CAPITULO 4. EJERCITACION
bajo las condiciones de frontera y (1) = 0, y ( 1) = 2, z (1) = 1 y z ( 1) =
familia de extremales es:
y = 61 (x3 + 5x 6)
z=x
66. Hallar las extremales de la funcional,
Z
2
J=
y 02 + z 02
1. Resp.: La
2yz dx
0
bajo las condiciones de frontera y (0) = 0, y 2
familia de extremales es:
y = Sen x
z = Sen x
= 1, z (0) = 0 y z
2
= 1. Resp.: La
67. Hallar las extremales de la funcional,
Z 1
J=
y 02 + z 02 + 2y dx
0
bajo las condiciones de frontera y (0) = 1, y (1) = 23 , z (0) = 0 y z (1) = 1. Resp.: La
familia de extremales es:
y = 12 x2 + 1
z=1
68. Probar que la ecuación de Euler de la funcional,
Z b
F (y; z; y 0 ; z 0 ; x) dx
J=
a
tiene las siguientes primeras integrales:
68.1.
@F
@y 0
68.2. F
= c (c constante) si F no comprende y;
@F
y 0 @y
0
@F
z 0 @z
0 = c si F no comprende x.
69. Un cohete de masa m, partiendo del reposo, ha de ser acelerado verticalmente
hacia arriba desde la superficie de la Tierra hasta una altura h en un tiempo (ver
figura 4.1), mediante la fuerza generada por su motor mA (t) (A aceleración que
le imprime al cohete los gases expulsados). Si se supone que m y g permanecen
constantes durante el vuelo, que y (0) = y (0) = 0 y que y ( ) = h:
69.1. Mostrar que la aceleración resultante con la que sube el cohete viene dada
por,
y = A (t) g
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CAPITULO 4. EJERCITACION
Figura 4.1: Problema 70.
69.2. Mostrar que h viene dada por,
h=
1
g
2
2
+
Z
(T
t) A (t) dt
0
69.3. Si el consumo { de combustible del cohete viene dado por,
Z
{ [A (t)] =
A2 (t) dt
0
use el anterior resultado escrito en la forma,
Z
1
(T t) A (t) dt = h + g
2
0
2
= constante
como restricción isoperimétrica y muestre que la u (t) que minimiza dicho consumo viene dada por,
u (t) =
3
3
1
h+ g
2
2
(
t)
69.4. ¿Durante cuánto tiempo (mínimo) se debería acelerar el cohete para consumir
el mínimo posible de combustible y cuál sería el consumo para este tiempo?.
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CAPITULO 4. EJERCITACION
Resp.:
s
6h
g
4 p
{ =
g 6gh
3
=
70. Dado el problema isoperimétrico,
1
J (x; y) =
2
Z
t1
xy
y x dt
to
(el punto denota derivada total con respecto a t) con la restricción isoperimétrica,
Z t1 q
2
2
x + y dt = L
to
mostrar que J representa el área encerrada bajo la circunferencia,
(x
c2 )2 + (y
con,
=
c1 )2 =
2
1
L
2
71. Encuentre la extremal del problema isoperimétrico,
Z
y 02 dx
J (y) =
0
con y (0) = y ( ) = 0, sujeto a la restricción,
Z
y 2 dx = 1
0
72. Si f (x; y) = y + xy 0 muéstrese que la funcional,
J=
Z
b
f (x; y) dx
a
no depende de y = y (x) y, por lo tanto, no tiene sentido econtrar un camino que
haga de J un valor extremo.
73. Hallar la distancia más corta entre los puntos P1 ( 2; 1; 1) y P2 (6; 1; 2) en el plano
p
x + 2y 4z = 0. Use la restricción presente en forma explícita. Resp.: 77.
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Pág.: 108
CAPITULO 4. EJERCITACION
74. Encuentre la extremal del problema isoperimétrico,
Z 1
y 02 dx
J (y) =
0
con y (0) = 0 y y (1) = 14 , sujeto a la restricción,
Z
1
y 02 dx =
y
0
Resp.: y (x) = 41 (2x
1
12
x2 ).
75. Muestre que al sustituir la funcional,
fe = f +
K
X
l=1
l
(x) Dl [yi (x) ; yi0 (x) ; x]
en las ecuaciones de Euler-Lagrange,
!
d
@ fe
@ fe
= 0, con i = 1; 2; 3; : : : ; n
@yi dx @yi0
se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange,
d
dx
@f
@yi0
X
@f
=
@yi
l=1
K
l
@Dl
@yi
d
dx
@Dl
@yi0
0 @Dl
l
@yi0
76. Resuelva el problema 73 usando ahora la restricción presente en forma implícita.
p
Resp.: 77.
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Pág.: 109
APENDICE A
BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS
DESTACADOS EN EL PRESENTE TEXTO
A.1
RENE DESCARTES 1596 - 1650
René Descartes 1596 - 1650
Filósofo y científico francés, considerado “padre de la filosofía moderna”, Descartes
(también conocido con el nombre latinizado de Renatus Cartesius) es un pensador que
puso su vida al servicio de una noble causa: la consecución de la verdad. Genial innovador de la filosofía, fue también el primero en aplicar las matemáticas a las ciencias
físicas, y el iniciador de la concepción mecanicista de la naturaleza. Su doctrina tuvo
tal capacidad para espolear a los espíritus de su época, que, de una u otra forma, las
importantes corrientes posteriores han partido de él.
110
APENDICE A. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
Vida y obra
Perteneciente a una noble familia, nació en La Haye (Turena). A los ocho años entró
a la escuela jesuita de La Flèche, una de las más famosas de Europa en aquella época,
donde permaneció hasta la edad de 16 años. Luego estudió Derecho en Poitiers hasta
el año 1617. Fueron estos años de su juventud una etapa marcada por la disipación y
la incertidumbre, sin que nunca llegara a apagarse en él la inquietud por conocer. Con
afán de aventura se enroló, primero, en el ejército protestante de Mauricio de Nassau,
príncipe de Orange, y luego en el ejército católico del Duque de Baviera. En 1619,
estando acampados en Neuburg, en espera de que amainara la tormenta para entrar
en combate, y entregado Descartes a sus reflexiones, vivió una noche de entusiasmo,
de sueños exaltantes y reveladores, en los cuales tomaron forma las primeras intuiciones
de una nueva lógica (el inventum mirabile), capaz de fundar una ciencia universal.
Agradecido por aquel don, prometió peregrinar a los pies de la Virgen de Loreto, y
cumplió su promesa al viajar a Italia tres años después. En 1621 ya había abandonado
la vida militar. Vendió sus propiedades, y del dinero que obtuvo vivió toda su vida, sin
penurias, pero austeramente. El encuentro con el cardenal Bérulle, en 1627, reforzó
su decisión de consagrarse a la investigación filosófica. Buscando la paz y la libertad
necesarias que requería su trabajo científico y de reflexión, se trasladó a Holanda. Allí
conoció la fama, pero también las dificultades, pues las controversias contra sus teorías
le venían tanto de parte de los católicos como de los protestantes. En 1649, aceptando
una invitación de la reina Cristina, pasó a vivir a Estocolmo. En la corte sueca prosiguió
su intenso trabajo, el cual, unido al riguroso clima de Estocolmo, minó su salud, hasta
acarrearle la muerte.
Desde el principio de su filosofar, Descartes abandonó la filosofía de corte escolástico que había aprendido en La Flèche, -la cual, según él, poco tenía de utilidad-,
para entregarse a la búsqueda de un saber fundado en el modelo del conocimiento
matemático y, cada vez con mayor intensidad, la ambición de efectuar una síntesis
que, en cuanto alternativa a la escolástica, constituyese un marco sistemático a la vez
comprensivo y definitivo. Hubo dos momentos decisivos en este camino: uno fue el
encuentro, en 1618-19, con I. Beeckmann, matemático y físico holandés de formación
galileana, a raíz del cual abandonó también su tentación de adentrarse por el camino
del ocultismo de inspiración renacentista, al cual mirará desde ese momento como a
otro enemigo que combatir; el segundo fue en los años 1628-29, cuando halló el fundamento metafísico que le permitió la fundamentación de la física en la metafísica a
través de la deducción a priori de las leyes fundamentales de la naturaleza a partir
de un atributo de Dios, como es la inmutabilidad de la acción divina. A estos años
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Pág.: 111
APENDICE A. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
se remonta la genial contribución matemática de Descartes, con la elaboración de la
geometría analítica, la cual, al permitir la reducción de los problemas geométricos a
ecuaciones algebraicas, implicaba una gran universalización y, en consecuencia, una
gran simplificación de los problemas.
Sus obras principales son: Regulae ad directionem ingenii (1628), Discours de la
méthode pour bien conduir sa raison et chercher la vérité dans les sciences (1637),
Meditationes de prima philosophia (1641), Principia philosophiae (1644), y Les passions
de l’âme (1649).
Tomado de la web: La Web de las Biografías
http://www.mcnbiografias.com/app-bio/do/show?key=descartes-rene
A.2
JOHANN FRIEDRICH PFAFF 1765 - 1825
Johann Friedrich Pfaff 1765 - 1825
(Stuttgart, Germany, 22 de diciembre de 1765; Halle, Germany, 21 de abril de 1825)
Pfaff provenía de una distinguida familia de funcionarios de Wurttemberg. Su padre,
Burkhard Pfaff, fue jefe edil financiero y su madre era la única hija de un miembro del
consistorio y del erario público; Johann Friedrich fue el segundo de sus siete hijos.
El sexto hijo, Christoph Heinrich (1773-1852), hizo el trabajo de considerable mérito en
la química, la medicina y la farmacia. También investigó la "electricidad animal" con
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APENDICE A. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
Volta, Humboldt, y otros. El hermano menor de Pfaff, Johann Wilhelm Andreas (17741835), se distinguió en varias áreas de la ciencia, especialmente en matemáticas, y se
convirtió en profesor de matemáticas en las universidades de Würzburg y Erlangen; pero
los rápidos cambios en sus intereses científicos le impidieron alcanzar la importancia de
Johann Friedrich.
Como hijo de una familia al servicio del gobierno de Württemberg, Pfaff fue a la
Hohe Karlsschule en Stuttgart a la edad de nueve años. Esta escuela, en la que fue
sujeto a una disciplina militar dura, sirve principalmente para entrenar funcionarios gubernamentales de Württemberg y oficiales superiores. Pfaff completó sus estudios de
derecho allí en el otoño de 1785.
Sobre la base de los conocimientos matemáticos que adquirió por él mismo, Pfaff
pronto leyó “Euler’s Introductio in analysin infinitorum”. En el otoño de 1785, a instancias de Karl Eugen (duque de Wurttemberg), comenzó un viaje para aumentar sus
conocimientos científicos. Permaneció en la Universidad de Göttingen durante unos
dos años, estudiando matemáticas con AG Kaestner y física con GC Lichtenberg. En
el verano de 1787 viajó a Berlín, con el fin de mejorar su habilidad en la astronomía
práctica con JE Bode. Estando en Berlín, por recomendación de Lichtenberg, Pfaff fue
admitido en el círculo de seguidores de la Ilustración en torno Friedrich Nicolai. En la
primavera de 1788 viajó a Viena pasando por Halle, Jena, Helmstedt, Gotha, Dresde y
Praga.
Por recomendación de Lichtenberg, Pfaff fue nombrado catedrático de matemáticas en la Universidad de Helmstedt como un reemplazo de Klügel, que había sido llamado a Halle. Pfaff asumió el cargo mal pagado, con la aprobación del duque de
Württemberg.
Al principio Pfaff dirige toda su atención a la enseñanza, con un éxito evidente: el
número de estudiantes de matemáticas creció considerablemente. Gauss, después
de completar sus estudios en Gotinga (1795-1798), asistió a las conferencias de Pfaff
y en 1798 vivió en la casa del mismo. Pfaff recomienda la tesis doctoral de Gauss y,
cuando era necesario, le ayudó en gran medida. Gauss siempre conservó un recuerdo
agradable de Pfaff, tanto como profesor y como hombre.
Mientras estuvo en Helmstedt, Pfaff ayudó a los estudiantes cuyos talentos reconoció. Por ejemplo, él era un partidario de Humboldt tras su visita a Helmstedt y lo recomienda a los profesores en Gotinga. Durante este periodo también formó una amistad duradera con el historiador G. G. Bredow. Sus planes para editar todos los fragSOLDOVIERI C., Terenzio. CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
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APENDICE A. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
mentos de Pappus de Alejandría no progresó más de una edición parcial (Libro 4 de la
colección), realizado sólo por Bredow.
En 1803 se casó con Caroline Pfaff Brand, un prima materna. Su primer hijo murió
joven; el segundo, Carl, que editó una parte de la correspondencia de su padre, se
convirtió en un historiador, pero su carrera fue abreviada por la enfermedad.
Una seria amenaza para la carrera académica de Pfaff surgió al final del siglo XVIII,
cuando se discutieron los planes para el cierre de la Universidad de Helmstedt. Esta medida económica se pospuso - en no poca medida como resultado del interesante ensayo de Pfaff “Uber die Voteile, welche eine Universitat einem Lande gewahrt” (Haberlins Staatsarchiv [1796], no. 2) - pero en 1810 la universidad fue finalmente cerrada. Los
miembros de la facultad fueron trasladados a Göttingen, Halle y Breslau. Pfaff fue a
Halle, a petición propia, de nuevo como profesor de matemáticas. Tras la muerte de
Klügel en 1812 también se hizo cargo de la dirección del observatorio allí mismo.
Los primeros trabajos de Pfaff fueron fuertemente marcados por la influencia de
Euler. En su “Versuch einer neuen Summations-methode” (1788) empleó series divergentes en su tratamiento de las expansiones de Fourier.
Como amigo de K. F. Hindenburg, el líder de la escuela combinatoria alemana, Pfaff
preparó una serie de artículos entre 1794 y 1800 para Archiv der reinen und angewandten Mathematik y Sammlung combinatorisch-analytischer Abhandlungen, que
fueron editados por Hindenburg. Los artículos reflejan constantemente la forma de
pensamiento y expresión de la escuela de Hindenburg, con la única excepción de
“wichtigen Análisis einer Aufgabe des Herrn La Grange” (1794), que pretendía liberar
a la expansión de Taylor (con el resto en la forma de Lagrange ) de la tradición de incluirla en la teoría de combinaciones y en lugar de presentarla como una componente
principal de análisis.
En 1797 Pfaff publicó en Helmstedt el primer y único volumen de un tratado introductorio sobre análisis escrito en el espíritu de Euler: “Disquisitiones analyticae maxime
ad calculum integralem et doctrinam serierum pertinentes”. En 1810 participó en la
solución de un problema con Gauss referente a la elipse de mayor área que puede ser
inscrita en un cuadrilátero dado.
Pfaff presentó su más importante logro matemático, la teoría de las formas de Pfaff,
en “Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium, necnon aequationes
differentiales vulgares, utrasque primi ordinis, inter quotcunque variabiles, complete integrandi”, que presentó para ser impresa en la Abhandlumgen de la Academia de
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APENDICE A. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
Berlín (1814-1815) recibiendo una opinión muy favorable de Gauss, la obra no llegó
a ser ampliamente conocida. Su importancia no fue apreciada hasta 1827, cuando
apareció en un artículo de Jacobi, “Über Pfaff’s Methode, eine gewohnliche lineare
Differentialgleichung zwischen 2n Variabeln durch ein System von n Gleichungen zu integrieren” (Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2 347 ff.).
El “Método” de Pfaff constituyó el punto de partida de una teoría básica de la integración de las ecuaciones diferenciales parciales que, a través de la obra de Jacobi,
Lie, y otros, se ha convertido en el moderno cálculo de Cartan de las formas diferenciales extremas.
Tomado de la web: encyclopedia.com
http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830903390.html
A.3
GIUSEPPE LODOVICO LAGRANGIA (JOSEPH LOUIS LAGRANGE)
1736 - 1813
Giuseppe Lodovico Lagrangia (Joseph Louis Lagrange) 1736-1813
Joseph Louis Lagrange. Bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia. Matemático,
físico y astrónomo francés. Trabajó para Federico II el Grande de Prusia, en Berlín, durante veinte años. Demostró el Teorema del valor medio, desarrolló la Mecánica Lagrangiana y tuvo una importante contribución en Astronomía.
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APENDICE A. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
Primeros años
Nació el 25 de enero de 1736 en Turín, Italia. Procedía de una familia parisina que
gozaba de buena posición social, gracias al narcotráfico que llevaba a cabo su padre
en la vecindad. Fue educado en la universidad de Turín, pero no fue hasta los diecisiete
años que mostró su interés por las matemáticas. Su entusiasmo lo despertó la lectura
de una obra del astrónomo Edmund Halley. Tras un año de incesante trabajo, era ya un
matemático consumado.
Lagrange era de mediana altura, complexión débil, con ojos azul claro y un color de
piel pálida. Era de un carácter nervioso y tímido, detestó la controversia, y al evitarla
de buena gana permitió a otros tener crédito por cosas que él había hecho.
Cuando tenía sólo diecinueve años, envió una carta a Leonhard Euler en que resolvió un problema que había sido un asunto de discusión durante más de medio siglo
mediante una nueva técnica: el cálculo de variaciones. Euler reconoció la generalidad del método, y su superioridad; y con una cortesía rara en él, retuvo un artículo que
él había escrito previamente para que el joven italiano tuviera tiempo para completar
su trabajo, como exige la invención de un nuevo método de cálculo. El nombre de
esta rama del análisis la sugirió el propio Euler. Este trabajo puso a Lagrange en primera
línea entre los matemáticos de su época.
En 1758, con la ayuda de sus alumnos, Lagrange publicó en la Academia de Turín
la mayoría de sus primeros escritos consistentes en los cinco volúmenes, normalmente
conocidos como Miscellanea Taurinensia.
En 1761 Lagrange no tenía rival en el campo de las matemáticas; pero su trabajo
incesante durante los últimos nueve años habían afectado seriamente su salud, y los
doctores se negaron a ser responsables de su vida a menos que él se lo tomara en serio. Aunque su salud fue temporalmente restablecida, su sistema nervioso nunca recuperó su tono, y de aquí en adelante padeció constantemente ataques de melancolía
severa.
En la corte real de Prusia
En 1766 Leonhard Euler abandonó Berlín, y Federico II el Grande escribió a Lagrange
para expresarle su deseo de que "el rey más grande de Europa" debería tener "el
matemático más grande de Europa" viviendo en su corte.
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APENDICE A. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
Lagrange aceptó la oferta y durante los próximos veinte años en Prusia, no sólo
produjo la serie más grande de documentos publicada en el Berlín sino que publicó su
trabajo monumental, la Mécanique analytique.
Su estancia en Berlín comenzó con un desafortunado error: estando la mayoría de
sus colegas casados, y aconsejado por sus esposas de que era la única manera de
estar contento, se casó; su esposa se murió pronto, pero la unión no fue feliz.
Lagrange era el favorito del rey y frecuentemente disertó sobre las ventajas de una
regularidad perfecta en la vida. La lección la aplicó a su vida, y Lagrange estudió su
mente y su cuerpo como si fueran máquinas, y encontró experimentando la cantidad
exacta de trabajo que podía hacer sin perder la salud. Todas las noches se ponía una
tarea definida para el próximo día, y al completar cualquier tema escribía un corto
análisis para ver qué puntos en las demostraciones eran susceptibles de mejora. Siempre pensó en sus artículos antes de componerlos, y normalmente los escribió con aseo
y sin una sola raspadura o corrección.
Ultima etapa en Francia
En 1786 Federico II murió, y Lagrange que se había adaptado al clima de Berlín
aceptó alegremente la oferta de Luis XVI para emigrar a París. Había recibido invitaciones similares de España y Nápoles. En Francia fue recibido con distinción, y se
prepararon apartamentos especiales en el Louvre para su recepción.
Al principio de su residencia tuvo un ataque de melancolía, y tuvo una copia impresa de su Mécanique, en la que había trabajado un cuarto de siglo, sin abrir en su
escritorio durante más de dos años. La curiosidad acerca de los resultados de la revolución francesa lo sacó de su letargo, una curiosidad que pronto se volvió en alarma
con el desarrolló de la revolución.
En 1792, la inexplicable tristeza de su vida y su timidez movió la compasión de una
joven muchacha que insistió en casarse siendo feliz con dicha unión. Aunque el decreto de octubre de 1793 que exigía que todos los extranjeros dejaran Francia no le fue
aplicado, deseaba marcharse cuando le ofrecieron la presidencia de la comisión para
la reforma de pesos y medidas. La opción de las unidades finalmente seleccionadas
era principalmente debida a él, y por su influencia se aceptó por la comisión la subdivisión decimal 1799.
Aunque Lagrange había querido salir de Francia, nunca estuvo en peligro y los diferentes gobiernos revolucionarios (y más tarde, Napoleón) lo llenaron de honores y disSOLDOVIERI C., Terenzio. CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
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TEXTO
tinciones. En 1794 Lagrange fue nombrado profesor de École Polytechnique y las conferencias que dio allí a los matemáticos que tuvieron la buena suerte de poder asistir a
ellas, tenían su base en su Théorie des fonctions analytiques.
En 1795 ocupó una silla matemática honorífica en la École normale que disfrutó
sólo durante cuatro meses, ya que la école fue cerrada. Sus conferencias aquí eran
bastante elementales, y no contiene nada de importancia especial.
En 1810 comenzó una revisión completa de la Mécanique analytique, pero sólo
pudo completar unos dos tercios antes de su muerte que sucedió en 1813.
Muerte
Murió el 10 de abril de 1813, en París, Francia.
Su obra
Miscellanea Taurinensia
El primer volumen contiene un documento de la teoría de la propagación de sonido;
indica un error hecho por Newton, y obtiene la ecuación diferencial general para el
movimiento, y halla la solución para el movimiento en línea recta.
Este volumen también contiene la solución completa del problema de una cuerda
que vibra transversalmente; en este trabajo señala la falta de generalidad en las soluciones dadas previamente por Brook Taylor, D’Alembert y Leonhard Euler llegando a la
conclusión que la forma de la curva para un tiempo t cualquiera viene dada por la
ecuación.
El artículo concluye con una hábil discusión sobre ecos y sonidos compuestos. Otros
artículos en este volumen son serie recursivas, probabilidad y cálculo de variaciones.
El segundo volumen contiene un documento largo que incluye los resultados de
varios documentos del primer volumen y notas sobre el cálculo de variaciones; e ilustra
su uso deduciendo el principio de mínima acción, y las soluciones de varios problemas
de dinámica.
El tercer volumen incluye la solución de varios problemas de dinámica mediante
el cálculo de variaciones; algunos documentos de cálculo integral; una solución del
problema de Fermat, encontrar un número x qué hará que (x 2 n + 1) sea un cuadrado
dónde n es un entero dado que no es un cuadrado; y las ecuaciones de diferencial
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generales del problema del movimiento de n-cuerpos y su aplicación al Problema de
los tres cuerpos que se mueven bajo sus atracciones mutuas.
Los tratados
Su actividad mental durante estos veinte años en Prusia fue asombrosa, no sólo por
el hecho de producir su espléndida Mécanique analytique, sino por contribuir, con doscientos trabajos, a las Academias de Berlín, Turín, y París. Algunos de éstos realmente
son tratados, y todos, sin excepción, son de una extraordinaria calidad. Salvo un corto
tiempo cuando él estaba enfermo en que produjo aproximadamente un artículo por
término medio al mes. Los más importantes son:
1. Sus contribuciones a los volúmenes cuarto y quinto, 1766-1773, de la Miscellanea
Taurinensia; el más importante fue uno en 1771 en que discutió cómo numerosas
observaciones astronómicas deben combinarse para dar el resultado más probable.
2. Después, sus contribuciones a los primeros dos volúmenes, 1784-1785, de la Academia de Turín. Un artículo sobre la presión ejercida por los fluidos en movimiento, y
el segundo un artículo en la integración de una serie infinita, y el tipo de problemas
para que es conveniente.
La astronomía
El siguiente trabajo fue en 1764 sobre la libración de la Luna, y una explicación acerca de por qué siempre ofrece la misma cara a la Tierra, un problema que él trató con
la ayuda del trabajo virtual. Su solución es especialmente interesante por contener
el germen de la idea de ecuaciones generalizadas de movimiento, ecuaciones que
demostró formalmente en 1780.
La mayoría de los trabajos enviados a París versaba sobre preguntas astronómicas,
y entre estos papeles cabe mencionar el sistema joviano en 1766, su ensayo en el problema de los tres cuerpos en 1772, su trabajo sobre la ecuación secular de la Luna en
1773, y su tratado sobre las perturbaciones cometarias de 1778. Éstos eran todos asuntos propuestos por la Academia francesa, y en cada caso el premio se le otorgó a
él.
Existen numerosos artículos de astronomía. De estos los más importantes son:
1. Intentando resolver el Problema de los tres cuerpos, descubrió los puntos de Lagrange en 1772 de interés porque en ellos se han encontrado los asteroides troyanos
y satélites troyanos de Saturno.
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TEXTO
2. Gravitación de elipsoides, 1773: Punto de partida del trabajo de Maclaurin.
3. La ecuación secular de la Luna, 1773; también notable por la introducción de la
idea de potencial. El potencial de un cuerpo en un punto es la suma de la masa
de cada elemento del cuerpo dividido por su distancia del punto. Lagrange mostró
que si el potencial de un cuerpo a un punto externo fuera conocido, la atracción
en cualquier dirección podría encontrarse en seguida. La teoría del potencial se
elaboró en un artículo enviado a Berlín en 1777.
4. El movimiento de los nodos de la órbita de un planeta 1774.
5. La estabilidad de las órbitas planetarias, 1776.
6. Dos artículos sobre el método para determinar la órbita de un cometa con tres observaciones, en 1778 y 1783,: esto no se ha demostrado prácticamente disponible de
hecho, pero su sistema de calcular las perturbaciones por medio de las cuadraturas
mecánicas ha formado la base de la mayoría de las investigaciones subsecuentes
en el asunto.
7. Su determinación de las variaciones seculares y periódicas de los elementos orbitales
de los planetas, 1781-1784: los límites superiores asignados para que éstos están de
acuerdo con aquéllos obtenidos después por Le Verrier, y Lagrange procedió hasta
donde el conocimiento permitía entonces de las masas de los planetas.
8. A este tema volvió durante los últimos años de su vida cuando estaba ya en París.
La teoría del movimiento planetario había formado parte de algunos de los más notable papeles de Berlín de Lagrange. En 1806 el asunto se volvió a abrir por parte
de Poisson, quién, en un papel leído antes de la Academia francesa, mostró las
fórmulas de Lagrange llevadas a ciertos límites para la estabilidad de las órbitas. Lagrange que estaba presente discutió ahora de nuevo el asunto entero, y en una
carta comunicada a la Academia en 1808 explicó cómo, por la variación de constantes arbitrarias, las desigualdades periódicas y seculares de cualquier sistema de
cuerpos mutuamente unidos por la gravitación podrían ser determinadas.
El álgebra
El mayor número de sus artículos de álgebra los envió a la Academia de Berlín. Cabe
destacar:
1. Su discusión de la solución enteras de las formas cuadráticas, 1769, y generalmente
de ecuaciones indeterminadas, 1770.
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2. Su tratado de la teoría de eliminación de parámetros, 1770.
3. Sus papeles en el proceso general por resolver una ecuación algebraica de cualquier
grado, 1770 y 1771; este método falla para las ecuaciones de un orden superior al
cuarto, porque involucra la solución de una ecuación de orden superior, pero da
todas las soluciones de sus predecesores.
4. La solución completa de una ecuación binomial de cualquier grado, esta ocupa el
último lugar en los papeles mencionados.
5. Por último, en 1773, su tratamiento de determinantes de segundo y tercer orden, y
de sus invariantes.
La teoría de números
Algunos de sus artículos iniciales también tratan de preguntas conectadas con el
abandonado pero singularmente fascinante tema de la teoría de números. Entre éstos
es lo siguiente:
1. Su prueba del teorema que cada entero positivo que no es un cuadrado puede
expresarse como la suma de dos, tres o cuatro cuadrados de enteros, 1770.
2. Su prueba del teorema de Wilson que si n es un número primo, entonces ( n - 1)! + 1
siempre es un múltiplo de n , 1771.
3. Sus artículos de 1773, 1775, y 1777, qué da las demostraciones de varios resultados
enunciadas por Fermat, y no demostrado previamente.
4. Y, por último, su método para determinar los factores de números de la forma x2 +
ay2.
La matemática pura
Los intereses de Lagrange eran esencialmente aquéllos de un estudiante de matemática
pura: buscó y obtuvo resultados abstractos de largo alcance, y estaba satisfecho de
dejar las aplicaciones a otros. De hecho parte de los descubrimientos de su gran contemporáneo, Pierre-Simon Laplace, consiste en la aplicación de las fórmulas de Lagrange a los fenómenos de la naturaleza; por ejemplo, las conclusiones de Laplace
de la velocidad del sonido y de la aceleración secular de la Luna están ya implícitamente en los resultados de Lagrange. La única dificultad para entender a Lagrange
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TEXTO
es el asunto de interés y la generalidad extrema de sus procesos; pero su análisis es tan
lúcido y luminoso como es simétrico e ingenioso.
Un reciente escritor que habla de Lagrange dice el tomo un rol verdaderamente
prominente en el avance de casi todas las ramas de la matemática pura. Como Diofanto y Fermat, él poseyó un genio especial para la teoría de números, y en este asunto
dio soluciones de muchos de los problemas que se habían propuesto por Fermat, y
agregó algunos teoremas propios. Creó el cálculo de variaciones. La teoría de ecuaciones diferenciales está en deuda con él por convertirla en una ciencia en lugar de
una colección de ingeniosos artificios para la solución de problemas particulares.
Contribuyó al cálculo de diferencias finitas con la fórmula de interpolación que lleva
su nombre. Sus tres trabajos sobre el método de interpolación de 1783, 1792 y 1793,:
están ahora en la misma fase en que Lagrange los dejó.
Tomado de la web: EcuRed
http://www.ecured.cu/Joseph_Louis_Lagrange
A.4
SIR WILLIAM ROWAN HAMILTON 1805 - 1865
Sir William Rowan Hamilton 1805-1865
Matemático, físico, astrónomo y filósofo irlandés. Se dice que Hamilton nació en la
medianoche del 03 de agosto (04 de Agosto) de 1805 en Dublín (hay cierta confusión
sobre su fecha de nacimiento).
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TEXTO
William Rowan Hamilton fue el científico más grande de Irlanda. Fue un matemático,
físico y astrónomo e hizo importantes aportes en la óptica, la dinámica y el álgebra.
Nació en Dublín hijo de Archibald Hamilton, asistente legal, pero fue puesto en
adopción. Archibald Hamilton no tenía una educación universitaria y se cree que el
genio de Hamilton procedía de su madre, Sarah Hutton.
William Hamilton vivió con su tío, el reverendo James Hamilton lingüista y un sacerdote anglicano, con quien vivió desde antes de la edad de tres años hasta que entró
en la universidad. Desde niño mostro sus cualidades de genio, a la edad de cinco años
empezó a aprender latín y griego, a los siete años ya hablaba hebreo, A la edad de
diez leyó una copia latina de Euclides, su introducción en la geometría.
Sir-William-Rowan-Hamilton-1Además lenguas como el sánscrito, el malayo, el persa,
el árabe, el hindi, el persa y árabe para la relajación. Unos 15 idiomas para cuando
cumplió 13 años de edad. A esa misma edad aprendió francés y con el idioma comenzó
sus estudios con el álgebra de Clairaut.
En 1822 a la edad de 17 años, encontro un error en el Mechanique C’eleste de
Laplace. Esto llamó la atención del Dr. John Brinkley, astrónomo real de Irlanda y el
obispo de Cloyne, quien afirmo en 1.823 de Hamilton: “Este joven, no sé qué será, pero
sé que es el primer matemático de su edad.”
Hamilton ingresó en el Trinity College de Dublín, a la edad de 18 años. Acudió a
la escuela de matemáticos, estudio los clásicos de la ciencia. En 1827 fue nombrado
profesor de Astronomía.
Concibió el álgebra como una ciencia pura y orientó sus investigaciones hacia una
matematización sistemática del mundo de la física. Estructuró la teoría de números
complejos como pares de números reales, y definió una ley de composición conmutativa para estos.
Dos documentos principales de Hamilton, “sobre un método general en la dinámica”,
se publicaron en 1834 y 1835. En el segundo de ellos, las ecuaciones de movimiento
de un sistema dinámico se expresan en una forma muy elegante (las ecuaciones de
movimiento de Hamilton). El enfoque de Hamilton fue perfeccionado por el matemático
alemán Carl Jacobi , y se le dio importancia en el desarrollo de la mecánica celeste y
la mecánica cuántica.
En 1835, Hamilton fue nombrado caballero por el señor teniente de Irlanda, en el
transcurso de una reunión en Dublín de la Asociación Británica para el Avance de la
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TEXTO
Ciencia. Hamilton se desempeñó como presidente de la Real Academia de Irlanda
desde 1837 hasta 1846.
Para sus últimos días Hamilton se convirtió en era un alcohólico. Aunque mantuvo
sus facultades intactas hasta su muerte.
Murió el 02 de septiembre 1865 de un ataque severo de gota, sólo poco después de
recibir la noticia de que había sido elegido el primer miembro extranjero de la Academia Nacional de Ciencias de los EE.UU.
Sus estudios dieron origen a los cálculos que se utilizan hoy día para dar realismo a las
imágenes creadas en computadora. Y cada día su trabajo es más y más reconocido.
Hamilton dedicó los últimos 22 años de su vida al desarrollo de la teoría de los cuaterniones y sistemas relacionados. Para él, los cuaterniones son una herramienta natural
para la investigación de los problemas de la geometría tridimensional. Muchos conceptos básicos y los resultados en el análisis vectorial tienen su origen en los papeles
de Hamilton en cuaterniones. Un libro importante, Conferencias sobre cuaterniones,
fue publicado en 1853, pero no logró una gran influencia entre los matemáticos y los
físicos. Un tratamiento más largo, Elementos de cuaterniones, quedó inacabada en el
momento de su muerte.
En 1856, Hamilton investigado caminos cerrados a lo largo de los bordes de un dodecaedro (uno de los sólidos platónicos ) que visita cada vértice exactamente una vez.
En la teoría de grafos tales caminos son conocidos hoy como los circuitos hamiltonianos.
Tomado de la web: Moonmentum
http://moonmentum.com/blog/archivo/multimedia/sir-william-rowan-hamilton-2/
A.5
JOHANN BERNOULLI 1667 - 1748
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TEXTO
Johann Bernoulli 1667 - 1748
Johann Bernoulli, también conocido como Jean o John (Basilea, 27 de julio de 1667
- Basilea, 11 de enero de 1748), fue un matemático, médico y filólogo suizo.
Johann Bernoulli era el más afamado de todos los geómetras de su época. Fue
conocido como el Arquímedes de su época. Hijo de Nicolaus y Margaretha Bernoulli,
fue considerado dentro de los miembros de la familia que más se destacaron en la labor
científica como geómetras, junto a su hermano Jacob Bernoulli, su sobrino Nicolaus y
su hijo Daniel Bernoulli.
Infancia y juventud
El 27 de julio de 1667 nació el décimo de los hijos de Nicolaus y Margaretha Bernoulli,
tercer varón de la familia, 13 años más joven que su hermano Jacob, el primero de
la familia en dedicarse a las ciencias matemáticas. Le nombrarían Johann y desde
pequeño el padre lo destinaría a ser su sucesor en los negocios de farmacéutica. Por
eso a los 15 años, cuando terminó la escuela, fue enviado a Neuchâtel. Pero este viaje
solo le sirvió a Johann para aprender bien el francés y convencerse de que no servía
para el negocio de las hierbas medicinales. Con gran disgusto su padre consintió para
que Johann iniciara estudios en la Universidad de Basilea. Al poco tiempo obtuvo el
título de Bachiller y dos años más tarde el de Maestro en Artes. Es en esta época
que comienza a estudiar medicina siguiendo el consejo de su hermano mayor Jacob,
Doctor en Filosofía y docente en la Universidad de Basilea.
Johann siguió exitosamente la carrera de Medicina, sin embargo, la mayor parte
de su tiempo lo dedicaba al estudio de las matemáticas con su hermano Jacob. Tres
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TEXTO
años después de publicado el trabajo pionero de Leibniz sobre el Nuevo Cálculo ya los
hermanos Bernoulli lo conocían y habían logrado asimilar los fundamentos del mismo.
No obstante, en 1690 defendió la tesis que lo acreditaba para ejercer la medicina. En
ese mismo año aparece su primera publicación científica, que no versó precisamente
sobre un asunto matemático, sino sobre el proceso de fermentación. Pero, también
en ese mismo año, participa en el primer desafío matemático: la determinación de la
ecuación de la catenaria, el cual había sido lanzado por su hermano mayor Jacob. El
joven Johann inmediatamente resolvió el problema y asombró a sus contemporáneos,
ganando el reconocimiento de la comunidad científica europea.
Después de recibirse como médico, Johann va a realizar un prolongado viaje. Pasa
cerca de dos años en Génova donde enseñó cálculo diferencial y finalmente viajó a
París, donde estableció una serie de relaciones científicas que marcarán toda su vida
futura. La reputación obtenida por la solución al problema de la catenaria le facilitó
su entrada en el elitista Círculo de Malebranche, que era el foco de la intelectualidad
francesa de esa época. Allí conoció al marqués de L’Hôpital, célebre matemático,
a quién se le llamaba Grandseigneur de las Ciencias Matemáticas en Francia. Pero
el marqués no conocía el Nuevo Cálculo en la forma en que ya era dominado por
Johann. El marqués quedó maravillado de los conocimientos del veinteañero Johann y
no prestando importancia alguna a la diferencia de edad (L’Hôpital era 6 años mayor
que Johann), contrató a Johann para que fuera su maestro.
Sus progenitores
Johann estaba casado con Dorothea Falkner de familia acomodada en Basilea y
su hijo más pequeño tenía 7 meses, cuando la familia partió para Holanda en septiembre de 1695. Este primer hijo era Nicolaus(II), su preferido y quién sería conducido por
Johann al Imperio de las Ciencias Matemáticas. De sus cuatro hijos varones otros dos
también fueron geómetras: Daniel, quien nació mientras la familia estaba en Groninga,
y Johann(II), nacido después del regreso a Basilea. La prole de Johann se completa
con Anna Catherina y Dorothea que nacieron durante la estancia en los Países Bajos
y si hubieran tenido oportunidad no dudamos que hubieran elegido el camino de las
ciencias matemáticas.
De sus 4 hijos varones, 3 se dedicaron a las Ciencias Matemáticas. En los múltiples
desafíos intelectuales en que se vió envuelto fueron tantos sus partidarios como sus
adversarios. Gracias a algunos de estos retos, que él mismo lanzara a la comunidad
científica, se abrió una de las ramas más fructíferas de la Matemática: el Cálculo de
Variaciones, la teoría general de los problemas de máximos y mínimos.
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TEXTO
El problema de la braquistocrona
Johann propuso el problema de la braquistócrona en junio de 1696 y retó a la comunidad matemática a resolverlo antes del fin del año, añadiendo con sarcasmo que la
curva era una bien conocida de los matemáticos. El problema se expresa como sigue:
Dados dos puntos A y B en un plano vertical, hallar el camino AMB por el que una
partícula móvil M, descendiendo por su propio peso, iría de A a B en el menor tiempo
posible.
La novedad del problema en sí era evidente: no se trata de encontrar puntos donde
una curva tiene un máximo o un mínimo, sino que la misma incógnita buscada es una
curva que debe minimizar cierta relación. Según palabras de Leibniz este tipo de problemas resulta muy bello y hasta el momento totalmente desconocido.
Al llegar la Pascua del año siguiente se conocían en total 5 soluciones: además
de Johann y Leibniz, que fue el primero en responder, resolvieron el problema Jacob
Bernoulli, L’Hôpital y un autor inglés anónimo. Johann no tuvo dificultad en reconocer
que el autor era Isaac Newton y lo expresó con una frase histórica: por las garras se
conoce al león. La curva solución de este problema era la cicloide.
En las respuestas a este desafío, aparecen, además, las primeras señales de una
nueva rama de las Ciencias Matemáticas: el Cálculo de las Variaciones, que será la
disciplina matemática dedicada sobre todo a los problemas de optimización, después
de los aportes fundamentales de Euler y Joseph Louis Lagrange.
Tomado de la web: EcuRed
http://www.ecured.cu/Johann_Bernoulli
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TEXTO
A.6
PIERRE DE FERMAT 1601 - 1665
Pierre de Fermat 1601 - 1665
Pierre de Fermat fue un matemático francés del siglo XVII que hizo importantes contribuciones al desarrollo del cálculo infinitesimal. Hizo camino irrumpir investigación
teoría de números y descubrió varios nuevos patrones en números que habían intrigado a los matemáticos durante siglos. Nacido en una familia acomodada de alto
rango social, decidió ejercer profesión legal como se esperaba de los hombres jóvenes
de su estatura social en esos días a pesar de su profundo amor por las matemáticas.
Pero embarcarse en un campo profesional totalmente sin relación con el campo de las
matemáticas no guardó al joven se convierta en un matemático aficionado en su propio derecho. Inicialmente escribió sobre sus descubrimientos matemáticos a sus amigos
en las letras, a menudo con poca o ninguna de las pruebas. Más adelante como ganó
en prominencia, sus hallazgos fueron publicados y circuló ampliamente. Altamente inspirado por los trabajos del matemático helenístico Diofanto, junto con René Descartes,
pasó a convertirse en uno de los dos principales matemáticos de la primera mitad del
siglo XVII. Sus obras desempeñó un papel fundamental en el desarrollo del cálculo infinitesimal e hizo notables contribuciones a la geometría analítica, probabilidad y óptica
Infancia y primeros años de vida
Pierre de Fermat nació en Beaumont-de-Lomagne (actual Tarn-et-Garonne), Francia, en la primera década del siglo XVII. Su año de nacimiento se cree para ser 1601 o
1607.
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APENDICE A. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
El provenía de una familia adinerada. Su padre Dominique Fermat era un próspero
comerciante que había servido tres mandatos de un año como uno de los cuatro cónsules de Beaumont-de-Lomagne. Su madre se llamaba Françoise Cazeneuve o Claire
de Long. Tenía un hermano y dos hermanas.
Aunque varios detalles sobre su vida temprana son confusos, algunas fuentes sugieren que recibió su educación escolar en el colegio de Navarra en Montauban.
El había desarrollado un temprano interés por las matemáticas aunque decidió
seguir una carrera como abogado. Así se matriculó en la Universidad de Orléans en
1623 y obtuvo a su licenciatura en derecho civil en 1626.
Carrera
Luego se trasladó a Burdeos y comenzó sus investigaciones matemáticas. Entró en
contacto con Jean de Beaugrand, un prominente lineographer y matemático con los
que compartió a sus intereses. Fue aquí que le produjeron importantes trabajos en
máximos y mínimos.
Compró las oficinas de conseiller y commissaire aux servicios en el Parlamento de
Toulouse, uno de los altos tribunales de judicatura en Francia en 1630. Al año siguiente
él juró por la Chambre de Grand. Ocupó esta oficina por el resto de su vida.
Fue promovido a la posición de conseiller aux enquêtes en 1638 y dentro de cuatro
años, ingresó a los consejos más altos del ’Parlamento’ — la Corte Penal y luego la gran
sala.
Actuó como vocero principal del parlement en 1648 mientras negociaban con el
Canciller de Francia, Pierre Séguier. Sin embargo, ciertas cartas personales de alrededor de este tiempo sugieren que no fue satisfactorio, rendimiento de Fermat en oficina.
A pesar de sus alta-prolife puestos de trabajo, se sumergió en la investigación matemática
y escribió a menudo sobre sus descubrimientos a sus amigos en las letras. Muchos de
sus cartas escritas después de 1636 proporcionan sugerencias con respecto a su investigación matemática y su evolución como matemático.
En su obra, “Methodus ad disquirendam maximam et mínimos y en De tangentibus
linearum curvarum”, él desarrolló el método de “adequality” para la determinación
de máximos, mínimos y tangentes a curvas diferentes; Esto era análoga a la del cálculo diferencial, entonces desconocido. Él también desarrolló una nueva técnica para
encontrar los centros de gravedad de varios avión y Figuras sólidas.
SOLDOVIERI C., Terenzio. CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 129
APENDICE A. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
Estaba en correspondencia con Blaise Pascal en 1654, y los dos hombres ayudaron
a sentar las bases de la teoría de la probabilidad. Aunque su correspondencia con
Pascal fue breve, fue altamente productivo y conducido a la Fundación de la teoría
de la probabilidad.
Contribución de Pierre de Fermat a la teoría de los números ha sido tremendo. Su
estudio de la ecuación de Pell, números perfectos, números amistosos, enteros positivos
y números primos en última instancia condujo al descubrimiento de los números que
sería nombrados después de él: números de Fermat.
Fermat fue uno de los principales matemáticos del siglo XVII. El había desarrollado
el campo de la geometría analítica casi sin ayuda y han contribuido al desarrollo temprano de cálculo. Él también era conocido por haber trabajado en la refracción de la
luz y la óptica.
Una de sus obras más conocidas es el último teorema de Fermat que primero fue
descubierto por su hijo en el margen en la copia de su padre de una edición de Diofanto. Fermat afirmó que tenía una prueba pero no pudo probarlo. La primera prueba
exitosa fue lanzada siglos más tarde por Andrew Wiles en 1994.
Estaba con fluidez en varios idiomas incluyendo francés, Italiano, español, latín y
griego, y así también se metió en problemas filológicos y ganó reputación como un
erudito clásico.
Principales obras
El jugó un papel importante en el desarrollo del campo del cálculo infinitesimal y
se le atribuye haber descubierto un método original de encontrar el mejor y las más
pequeñas ordenadas de líneas curvas, que es análoga a la del cálculo diferencial.
También inventó un método de factorización que más tarde fue nombrado después
de él: método de factorización de Fermat.
Legado y vida personal
Pierre de Fermat se casó con la prima de su madre, Louise de Long, el 01 de junio de
1631. La pareja tuvo cinco hijos: dos hijos y tres hijas. Su hijo mayor, Clément-Samuel,
también se convirtió en abogado y heredó su oficina después de su muerte; más adelante también publicó documentos matemáticos de su padre.
Murió el 12 de enero 1665, en Castres, Francia.
SOLDOVIERI C., Terenzio. CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 130
APENDICE A. BIOGRAFIAS RESUMIDAS DE CIENTIFICOS DESTACADOS EN EL PRESENTE
TEXTO
Tomado de la web: Edukavital
http://edukavital.blogspot.com/2015/05/biografia-de-pierre-de-fermat-su-vida-y.html
SOLDOVIERI C., Terenzio. CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 131
APENDICE B
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Uno de los problemas más comunes en Cálculo es el de la determinación de los valores extremos (máximos y mínimos) de una función pero, a menudo, es difícil encontrar
una forma cerrada de la función a ser extremada. Tal dificultad frecuentemente surge
cuando se desea extremar una función sujeta a restricciones. Estas dificultades se resuelven mediante el uso del Método de los Multiplicadores de Lagrange [Ref. 10, 11],
llamado así en honor a Joseph Louis Lagrange .
Figura B.1: Paralelepípedo que encierra un volumen V = xyz.
Existen numerosos problemas donde es útil este método. Un ejemplo es aquél en el
que se trata de hallar las dimensiones del paralelepípedo (ver figura B.1) de menor área
Véase apéndice A.3 para una biografía resumida.
132
APENDICE B. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
que encierre un volumen dado V . Es fácil deducir que su volumen V es,
V (x; y; z) = xyz
y que su área total A es,
A (x; y; z) = 2 (xy + xz + yz)
Por lo tanto, es necesario encontrar el mínimo de la función A (x; y; z) definida en el
conjunto de puntos,
N = f(x; y; z) : xyz = V g
que es la restricción impuesta.
De esta manera,
El Método de los Multiplicadores de Lagrange es un poderoso procedimiento que sirve para encontrar los máximos y mínimos relativos de
funciones de n variables sujetas a k restricciones, sin la necesidad de resolverlas explícitamente con el fin de usarlas para eliminar las variables
extras.
En otras palabras, el Método de los Multiplicadores de Lagrange permite reducir el
problema restringido con n variables y k restricciones, a un problema sin restricciones
de n + k variables con ecuaciones que pueden ser resueltas más fácilmente. Estas
nuevas variables escalares desconocidas, una por cada restricción, son denominadas
Multiplicadores de Lagrange y suelen denotarse con la letra griega .
Considérese el caso de funciones de dos variables. Dos curvas son tangentes si sus
vectores normales son paralelos. En consecuencia, dado que los vectores normales a
dichas curvas son los vectores gradientes se tiene que, en el punto de tangencia, el
!
!
vector gradiente O f debe ser un múltiplo escalar del vector gradiente O . Luego,
!
!
O f (x; y) = O (x; y)
donde el escalar se conoce como Multiplicador de Lagrange. Las condiciones necesarias para la existencia de tales multiplicadores vienen dadas en el siguiente teorema [Ref. 12, 13]:
Teorema 1 (Teorema de Lagrange) Sean f = f (x; y) y = (x; y) funciones con primeras
derivadas parciales continuas tal que f tiene un valor extremo en el punto (x0 ; y0 ) de la
!
curva de la restricción (x; y) = 0. Si O (x0 ; y0 ) 6= 0, entonces existe un número real tal
que,
!
!
O f (x; y) = O (x; y)
(B.1)
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APENDICE B. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
El Teorema de Lagrange también se cumple para funciones de tres o más variables.
El Método de los Multiplicadores de Lagrange usa el teorema 1 para hallar los extremos de una función f sujeta a una ligadura (x; y) = 0.
Teorema 2 (Método de los Multiplicadores de Lagrange) Si f = f (x; y) y = (x; y) satisfacen las hipótesis del Teorema de Lagrange y f tiene un máximo o mínimo sujeto a la
restricción (x; y) = 0, entonces dicho extremo se produce en uno de los puntos críticos
de la función F dada por,
F (x; y; ) = f (x; y)
(B.2)
(x; y)
Puesto que puede ser indiferentemente positivo o negativo, la relación anterior
puede sustituirse por,
F (x; y; ) = f (x; y) +
(B.3)
(x; y)
La función (B.3) recibe el nombre de Función Auxiliar. Los puntos críticos vendrán determinados por las soluciones del sistema,
8 @F (x;y; )
(x;y)
(x;y)
>
= 0 ! @f@x
+ @ @x
=0
<
@x
@F (x;y; )
@f (x;y)
@ (x;y)
(B.4)
= 0 ! @y +
=0
@y
@y
>
: @F (x;y; )
= 0 ! (x; y) = 0
@
El método se puede generalizar. Para encontrar el máximo o el mínimo relativo de
una función f de n variables x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ,
(B.5)
f = f (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn )
bajo las restricciones,
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
(x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ) = 0
2 (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ) = 0
3 (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ) = 0
..
.
1
n
(B.6)
(x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ) = 0
se construye la función auxiliar,
F (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ;
1;
2;
3; : : : ;
n)
= f (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ) +
+
+
2 2
1 1
(x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ) +
+
n n
(x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn )
3 3
(x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn )
(x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn )
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APENDICE B. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
o,
F (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ;
1;
2;
3; : : : ;
n)
= f (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ) +
n
P
i i
(x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ) (B.7)
i=1
donde 1 ; 2 ; 3 ; : : : ; n son los Multiplicadores de Lagrange, independientes de las variables x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn . Los puntos críticos vendrán determinados por las soluciones del
sistema,
8
@f
@
@F
>
> @x1 = 0 ! @x1 + @x1 = 0
>
>
@f
@
@F
>
>
= 0 ! @x
+ @x
=0
>
@x2
2
2
>
>
@f
@
@F
>
>
> @x3 = 0 ! @x3 + @x3 = 0
>
>
..
>
>
.
>
>
>
< @F = 0 ! @f + @ = 0
@xn
@xn
@xn
(B.8)
@F
>
=
0
!
=
0
>
1
@
1
>
>
@F
>
>
=0 ! 2=0
>
@ 2
>
>
@F
>
>
=0 ! 3=0
>
@ 3
>
>
..
>
>
.
>
>
>
: @F = 0 !
=0
@
n
n
En el proceso de resolución del sistema (B.8) hay que procurar evitar perder soluciones en las simplificaciones. Por ejemplo, de la ecuación,
se obtienen dos soluciones
(
x=x
(B.9)
x=0
=1
(B.10)
mientras que si se simplifica la x, se pierde la solución x = 0.
El anterior método permite obtener los puntos críticos de la función (B.5), pero no
permite discriminar cuáles de ellos son máximos y cuáles son mínimos. Para discriminar
es posible seguir uno de los siguientes procedimientos:
B.1
Procedimiento 1
Consiste en suponer que el problema se ha resuelto por sustitución de la variable,
sin en realidad haberlo resuelto por dicho método, pero estudiando la naturaleza de
los puntos críticos como si así se hubiese hecho. Esto se puede conseguir, para el caso
de dos variables, de la siguiente manera:
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Pág.: 135
APENDICE B. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
1. Supóngase que la restricción (x; y) = 0 define y como una función implícita de x en
un entorno del punto crítico (x0 ; y0 ), es decir, y = h (x) con y0 = h (x0 ).
2. Ahora supóngase que se ha sustituido y = h (x) en f (x; y), obteniéndose así una
función de una sola variable,
fe(x) = f (x; h (x))
3. Entonces, la naturaleza (máximo o mínimo) del punto crítico (x0 ; y0 ) de f (x; y), restringido por (x; y) = 0, será la misma del punto crítico x0 de fe. Es evidente ahora
que la función f (x; y) posee un máximo (resp., mínimo), restringido por (x; y) = 0, en
(x0 ; y0 ) si y sólo si la función fe(x) = f (x; h (x)) posee un máximo (resp., mínimo) en x0 .
Con lo anterior, el estudio de la naturaleza de los puntos críticos se hace en una
función de una sola variable, acudiendo al signo de su segunda derivada,
f 00 (x0 ; h (x0 ) ; h0 (x0 ) ; h00 (x0 ))
sin que para ello sea necesario conocer la expresión de y = h (x) ya que h (x0 ) está dado
por el punto crítico, mientras que h0 (x0 ) y h00 (x0 ) se obtienen directamente a partir de
(x; y) = 0, en virtud del Teorema de la Función Implícita y .
El procedimiento anterior se generaliza a más de dos variables de manera natural.
Así, la función f (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ) posee un máximo (resp., mínimo) condicionado por la
restricción (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ) = 0, en (x10 ; x20 ; x30 ; : : : ; xn0 ) si y sólo si la función
fe(x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn 1 ) = f (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn 1 ; h (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn 1 ))
posee un máximo (resp., mínimo) en x10 ; x20 ; x30 ; : : : ; x(n 1)0 . Con lo anterior, el estudio
de la naturaleza de los puntos críticos se hace en una función de una variable menos,
acudiendo al signo de su Hessiano H, ello siempre que la ecuación (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ) =
0 defina implícitamente xn = h (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn 1 ), en un entorno del punto
x10 ; x20 ; x30 ; : : : ; x(n
1)0
Así,
Hfe x10 ; x20 ; x30 ; : : : ; x(n
y
1)0
=
@ 2 fe
@x21
@ 2 fe
@x2 @x1
@ 2 fe
@x3 @x1
@ 2 fe
@x1 @x2
@ 2 fe
@x22
@ 2 fe
@x3 @x2
@ 2 fe
@x1 @x3
@ 2 fe
@x2 @x3
@ 2 fe
@x23
@ 2 fe
@xn 1 @x1
@ 2 fe
@xn 1 @x2
@ 2 fe
@xn 1 @x3
..
.
..
.
..
.
..
.
@ 2 fe
@u1 @xn
@ 2 fe
@x2 @xn
@ 2 fe
@x3 @xn
..
.
1
1
1
(B.11)
@ 2 fe
@x2n 1
El Teorema de la Función Implícita establece las condiciones suficientes bajo las cuales una ecuación o
conjunto de ecuaciones de varias variables, permite definir a una de ellas o varias de ellas como función
de las demás.
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Pág.: 136
APENDICE B. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
donde no es necesario conocer la expresión xn = h (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn 1 ), mientras que
los elementos del anterior determinante en el punto x10 ; x20 ; x30 ; : : : ; x(n 1)0 , necesarios
para el cálculo de dicho Hessiano, se determinan mediante derivación implícita.
B.2
Procedimiento 2
También puede estudiarse la naturaleza del punto crítico, en el caso se dos variables, estudiando el signo del determinante,
=
@2F
@ 2
@2F
@x@
@2F
@y@
@2F
@ @x
@2F
@x2
@2F
@y@x
@2F
@ @y
@2F
@x@y
@2F
@y 2
0
=
@
@x
@
@y
@
@x
@2F
@x2
@2F
@y@x
@
@y
@2F
@x@y
@2F
@y 2
8
>
< + = máximo.
=
= máximo.
>
:
0 = sin información.
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(B.12)
Pág.: 137
APENDICE C
FORMA PFAFFIANA
Considérense n variables independientes x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn y una expresión de la forma,
dZ = A1 (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ) dx1 + A2 (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ) dx2 + A3 (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ) dx3
(C.1)
+ : : : + An (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ) dxn
que puede ser escrita como,
dZ =
n
P
Ai (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ) dxi
(C.2)
i=1
A (C.2) se le denomina Forma Pfaffiana o Expresión Diferencial Pfaffiana [Ref. 14, 15],
mientras que a la expresión,
dZ = A (x) dx
(C.3)
se le denomina Pfaffiano Truncado [Ref. 16].
Las denominaciones Forma Pfaffiana, Función Pfaffiana, Expresión Pfaffiana, Pfaffiano Truncado, etc., pudieron haber haber sido introducidas por el matemático griego
Constantin Caratheodory 1908 en “ Studies in the Foundation of Thermodynamics ”
[Ref. 17, 18], en lo que desde entonces se ha llamado el Teorema de Caratheodory
[Ref. 18].
Otra referencia parece indicar que las denominaciones Función Pfaffiana y Forma
Pfaffiana se introdujeron en la década de 1970, por el matemático ruso Askold Khovanskii, en honor del matemático alemán Johann Pfaff .
Ver apéndice A.2 para una biografía resumida de Pfaff.
138
APENDICE C. FORMA PFAFFIANA
Supóngase que se tiene la función de n variables independientes,
z = z (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn )
(C.4)
entonces, su diferencial total viene dado por,
n
X
@z
dz =
dxi
@xi
i=1
(C.5)
que, obviamente, es un caso particular de (C.1) donde,
Ai (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn ) =
@z
@xi
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(C.6)
Pág.: 139
APENDICE D
LEMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO DE
VARIACIONES
Ahora bien, teniendo presente lo anterior, se pasará a enunciar y demostrar el Lema
Fundamental del Cálculo de Variaciones [Ref. 19]:
Lema 3 (Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones) Si para cada función continua
(x) se tiene,
Z b
f (x) (x) dx = 0
a
siendo f (x) una función continua en el intervalo [a; b], entonces,
f (x) = 0
en dicho segmento.
Demostración. La afirmación del lema y su demostración no varían si a la función (x)
se le imponen las siguientes limitaciones: (a) = (b) = 0; (x) tiene derivadas continuas
hasta orden p, (s) (x) < " (s = 0; 1; :::; q; q p). Ahora bien, suponiendo que en el punto
x = x contenido en el intervalo [a; b], sea f (x) 6= 0, se llega a una contradicción. En
efecto, de la continuidad de la función f (x) se deduce que si f (x) 6= 0, entonces f (x)
conserva su signo en cierto entorno a; b del punto x. Pero entonces, tomando una
función (x) que también conserve su signo en este entorno y sea igual a cero fuera
del mismo (ver figura D.1), se obtiene,
Z
a
b
f (x) (x) dx =
Z
a
140
b
f (x) (x) dx 6= 0
(D.1)
APENDICE D. LEMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO DE VARIACIONES
Figura D.1: Función arbitraria (x).
ya que el producto f (x) (x) conserva su signo en el intervalo a; b y se anula fuera del
mismo. De este modo, se ha llegado a una contradicción, por lo tanto, f (x) = 0, con lo
cual queda demostrado el lema.
-
SOLDOVIERI C., Terenzio. CALCULO VARIACIONAL CON FRONTERAS FIJAS. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.
Pág.: 141
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