Repartiendo tierras I.-Restrictiva: Las parcelas triangulares las delimitan los dos trozos La superficie de la parcela es 10.000 m2 que tendrá por lado √10.000 = 100 m. Entonces les da 4·100 = 400 m. de cuerda que deben cortar en dos trozos; U y D. La nueva parcela tendrá por superficie Si no quieren perder superficie, ésta deberá mantenerse en 10.000 m2. Entonces = 10.000. U+D = 400 U·D sen β = 20.000 senβU2 – senβ400U -20000= 0 U= = 0 Para valores reales 2·senβ -1 ≥0 senβ ≥ ½ β≥ 30 Veamos valores de U y D para 30, 45, 60 y 900 30 45 60 90 200 200 200 + 200 - 200 + 200 - 200 + 200 - Calculemos el punto de contacto entre ambos trozos, diagonales, para conseguir triángulos de área entera. Dividirá a U y D en U1 U2 y D1 D2 de forma que U1+U2= U y D1+D2 = D. Los triángulos tendrán un área de D1·H1/2 , D1·H2/2, D2·H1/2 y D2·H2/2, siendo H1= U1senβ y H2 = U2senβ Para β = 300 ; X,Y desplazamientos desde punto central T1 = (D1 · U1·sen 300)/2 = D1·U1 /4 = Entero = (100+X)·(100+Y)/4 = 2500 + 25X + 25Y + XY/4 T2 = (D2 · U1·sen 300)/2 = D2·U1 /4 = Entero = (100+X)·(100-Y)/4 = 2500 +25X – 25Y- XY/4 T3 = (D2 · U2·sen 300)/2 = D2·U2 /4 = Entero = (100-X)·(100+Y)/4 = 2500 – 25X +25Y –XY/4 T4 = (D1 · U2·sen 300)/2 = D1·U2 /4 = Entero = (100-X)·(100-Y)/4 = 2500 – 25X -25Y + XY/4 X,Y desplazamientos desde punto central Para conseguir los triángulos más próximos a 2500, pero diferentes, deberemos ajustar X e Y a los menores valores posibles válidos Si 25X y 25Y han de ser enteros X e Y habrán de ser enteros ó “divisores” de 25 y XY/4 entero. O bien Que X ó Y sea < 1 y 25X ó 25Y tenga la misma parte decimal que XY/4 y dado que XY/4 suma en unos triángulos y resta en otros, el decimal buscado en ambos, 25Y ó 25X y XY/4, sólo puede ser 0.5 (0.5-0.5 =0 y .5+.5= 1) Así X=1/2 25 X = 12,5 XY/4 = Y/8 = 0,5 Y =4 T1 = 100,5 x 48 /2 = 2.412; T2 = 99,5 x 48 / 2 = 2.388; T3 = 100, 5 x 52 / 2 = 2.613 T4 = 99,5 x 52 /2 = 2.587, que completa los 10.000 m2 Pero quizás existen otros mejores… 25X, 25Y e XY/4. Si tomamos 25X = entero X= n/5 (n<5); R (25Y) = 0.5; R(XY/4) = 0.5 Y= m/2 (m, impar) R(25Y)=0.5 Entonces si R(XY/4)=0.5 R( mn/40) = 0.5 mn =20 m= 5, n=4 X= 4/5 e Y = 5/2 darían T1 = 100,8 x 51,75 /2 = 2.583; T2 = 100,8 x 48,75 / 2 = 2.457; T3 = 99,2 x 51,75 / 2 = 2.542 T4 = 99,2 x 48,75 /2 = 2.418, que completa los 10.000 m2 II.-“Pitagórica”: Delimitada la nueva parcela buscar el óptimo reparto Después de pasar por el Club se ha visto que obtenida la nueva forma, rectángulo o romboide, de 10.000 m2, nada impedía buscar una distribución libre de las parcelas. Así, intentaremos 0 conseguir 4 triángulos de áreas 2502, 2501, 2499 y 2498. Para β=30 Partimos de 4 parcelas de 2500 m2 cada una con lados interiores de valor 100. Vamos a calcular la altura de estos triángulos h= sen 30· 100 = 50 , ahora desplazamos el punto central de la parte superior en X , la nueva área será (100+X)·25 = 2501 X= 1/25 = 0,04 Área nueva = 100,04 · 25 = 2501 El otro, misma altura y base 100-0,04 = 99,96 Área = 99,96 · 25 = 2499 Ahora desplazamos el punto de la parte inferior en Y Otro, base 100-Y y área (100-Y)· 25 = 2498 Y = 2/25 = 0,08 nueva área = 99,92· 25 = 2498 El último, base = 100+0,08 Área = 100,08·25 = 2502 En la parcela romboidal En este II apartado el óptimo se consigue para todos los ángulos enteros. Veamos cómo: 2 Diagonales; altura= sen β ; base = Ahora desplazamos el punto central de la parte superior en X, ) y ) Ahora desplazamos el punto de la parte inferior en Y; de forma análoga llegamos a y ) Ahora haciendo 2502·2 = ·sen β 2499·2= ·sen β 2501·2 = ·sen β 2498·2= ·sen β Hallamos los desplazamientos a realizar desde el punto de contacto entre diagonales que hacen 4 triángulos iguales Veamos algunos ejemplos; ángulos de 30, 45, 60 90, 75, 50 grados U D 100 154,11961 165,0115167 170,7106781 169,4522793 158,9318552 100 45,880390 34,988483 29,289322 30,547721 41,068145 β 30 45 60 90 75 50 sen β 0,5 0,707107 0,866025 1 0,965926 0,766044 desplazamientos X Y 0,08 0,04 0,1232957 0,061647844 0,1320092 0,066004607 0,1365685 0,068284271 0,1355618 0,067780912 0,1271455 0,063572742 2502 2502 2502 2502 2502 2502 Triángulos 2498 2501 2498 2501 2498 2501 2498 2501 2498 2501 2498 2501 2499 2499 2499 2499 2499 2499