Transmisión de calor por el Método de los Elementos Finitos

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Transmisión de calor por el Método de
los Elementos Finitos
Introducción
Se estudia la difusión del calor en un medio continuo
Flujo térmico: cantidad de calor transferida por unidad de área
Q
Q
⎧⎪⎪q x ⎫⎪⎪
q = ⎨q ⎬
⎪⎩⎪ y ⎪⎭⎪
El flujo térmico está relacionado con el gradiente de la
temperatura T (ecuación constitutiva)
Q
⎡kx
⎧⎪⎪q x ⎫⎪⎪
⎨q ⎬ = − ⎢⎢
⎪⎩⎪ y ⎪⎭⎪
⎢⎣ 0
Flujo térmico es
contrario al gradiente
1
⎧⎪ ∂T ⎫⎪
0 ⎤ ⎪⎪⎪ ∂x ⎪⎪⎪
⎥⎨
⎬
ky ⎥⎥ ⎪⎪ ∂T ⎪⎪
⎦⎪
⎪⎩⎪ ∂y ⎪⎪⎭⎪
q = −k ∇T
Equilibrio térmico
Q
Equilibrio en un elemento de volumen unidad entre:
X El calor que entra = - divergencia del flujo térmico q
X El calor generado en el material por unidad de volumen Q
(aportado al material)
X El calor acumulado en el material (c = calor específico por unidad de
volumen)
qy +
⎛ ∂q x
∂qy ⎟⎞
∂T
⎜
−⎜
+
⎟⎟ + Q = c
⎜⎝ ∂x
∂y ⎠
∂t
∂q y
∂y
Q
qx
qx +
qy
2
∂q x
∂x
∂T
−∇ q + Q = c
∂t
Τ
Transmisión de calor transitoria en 2D
Sustituyendo el valor del flujo dado por la ecuación constitutiva:
Q
⎧⎪ ∂T ⎫⎪
0 ⎤ ⎪⎪⎪ ∂x ⎪⎪⎪
∂T
⎥⎨
⎬ +Q = c
⎥
T
∂
ky ⎥ ⎪⎪
∂t
⎪⎪⎪
⎦⎪
⎪⎩⎪ ∂y ⎪⎭⎪
∂ ⎫⎪⎪ ⎢⎡kx
⎬
∂y ⎭⎪⎪ ⎢⎣⎢ 0
⎧
∂
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪ ∂x
⎩
T
∇
(
∂T
k ∇T + Q − c
=0
∂t
)
∂ ⎛ ∂T ⎞⎟ ∂ ⎛⎜ ∂T ⎞⎟
∂T
⎜kx
+
ky
=0
⎟ +Q −c
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜⎝ ∂y ⎠
∂t
3
Condiciones de contorno
Esencial
T = Tc
Natural
∂T
∂T
kx
n x + ky
ny + q + h(T − Tf ) = 0
∂x
∂y
en S1
T = T0 (x , y )
Valor inicial
t=0
en
q
Tf
S
Q
S1
4
TC
en S
Método de residuos ponderados
T ≈ T = ∑ N iTi
Q
Aproximación:
Q
Residuo
Q
Hallar Ti que anulen el residuo
∂ ⎛⎜ ∂T ⎞⎟ ∂ ⎛⎜ ∂T ⎞⎟
∂T
R(x , y ) =
≠0
⎟⎟ +
⎟⎟ + Q − c
⎜⎜kx
⎜⎜ky
⎟
⎟
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠
∂t
Wi linealmente independientes
Q
i = 1, n
∫ W (x, y )R(x, y ) d Ω = 0
i
i = 1, n
Ω
Q
Galerkin: Wi = Ni
∫
Ω
5
⎡ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞
⎤
∂
T
⎟
⎟
⎜⎜k
⎥ dΩ = 0
+
+Q −c
N i ⎢ ⎜⎜kx
⎟
⎟
y
⎟
⎟
⎢ ∂x ⎜⎝ ∂x ⎠⎟ ∂y ⎝⎜ ∂y ⎠⎟
⎥
t
∂
⎣
⎦
i = 1, n
Planteamiento débil
Q
Integrando por partes:
∫ N (∇ ⋅ v)d Ω = −∫ v ⋅ ∇N dΩ + ∫ N (v ⋅ n)dS
Ω
−∫
Ω
Q
Ω
S
⎡ ∂N i
⎡ ∂T
∂T ∂N i ∂T ⎤
∂T ⎤
⎢
⎥ d Ω + ∫ N i ⎢kx
kx
ky
n x + ky
ny ⎥ dS
+
⎢ ∂x
⎢ ∂x
∂x
∂y
∂y ⎥⎦
∂y ⎥⎦
⎣
⎣
S
∂T
dΩ = 0
i = 1, n
+ ∫ N iQ d Ω − ∫ N ic
∂t
Ω
Ω
Segunda integral: condición de contorno natural en S:
∂T
∂T
kx
n x + ky
ny = −q − h(T − Tf )
∂x
∂y
6
Planteamiento débil (cont.)
−∫
Ω
⎡ ∂N i
∂T ∂N i ∂T ⎤
⎢
⎥ d Ω − ∫ N iq dS − ∫ N i h(T − Tf ) dS
+
kx
ky
⎢ ∂x
∂x
∂y
∂y ⎥⎦
⎣
S
S
∂T
dΩ = 0
i = 1, n
+ ∫ N iQ d Ω − ∫ N ic
∂t
Ω
Ω
Sustituyendo la aproximación
Q
T = N Te
∂N i
∂T
=∑
Ti = Bx Te
∂x
i =1,n ∂x
N : Matriz fila con las funciones Ni
Te : Vector de temperaturas nodales
Bx : Matriz fila con las derivadas
7
N = ⎡⎢N 1 ... N n ⎤⎥
⎣
⎦
⎡ ∂N 1
Bx = ⎢
⎢⎣ ∂x
∂N n ⎤
⎥
...
∂x ⎥⎦
Ecuaciones finales
−∫
Ω
⎡ ∂N i
⎤
∂N i
e
e
⎢
kx Bx T +
ky By T ⎥ d Ω − ∫ N iq dS − ∫ N i h(N Te − Tf ) dS
⎢⎣ ∂x
⎥⎦
∂y
S
S
+ ∫ N iQ d Ω − ∫
Ω
Ω
∂Te
N ic N
dΩ = 0
∂t
i = 1, n
Agrupando las n ecuaciones y ordenando
Q
Conducción
∫
Ω
Inercia térmica
Convección
⎡kx BTx Bx + ky BTy By ⎤ d Ω Te + NT N h dS Te + NT N c d Ω T e =
∫
∫
⎣
⎦
Ω
S
+ ∫ NTQ d Ω − ∫ NT q dS + ∫ NT hTf dS
Ω
Calor generado
8
S
Flujo de calor
S
Temperatura fluido
Ecuaciones finales
e
e
K
+
K
T
+
H
T
= Qv + Qs + Q f
( c
h)
Matriz de conducción
Q
Kc =
∫
Ω
Forma compacta:
Kc =
⎡kx BTx Bx + ky BTy By ⎤ d Ω
⎣
⎦
∫B
T
k Bd Ω
Ω
Q
Matriz de convección
Kh =
∫
S
9
NT N h dS
⎡ Bx ⎤
B = ⎢⎢ ⎥⎥
⎢⎣ By ⎥⎦
Ecuaciones finales (cont.)
Matriz de inercia térmica
Q
H=
∫
NT N c d Ω
Ω
Q
Vector de calor generado
Qv =
∫
NTQ d Ω
Ω
Q
Vector de flujo de calor exterior
Qs = −∫ NT q dS
S
Q
Vector de temperatura del fluido
Qf =
∫
S
10
NT hTf dS
Formulación isoparamétrica
x = ∑ N i'x i
Interpolación de coordenadas
1,n
⎡N 1 0 N 2 0
x⎫
⎧
⎪
⎪
⎨⎪y ⎬⎪ = ⎢⎢
⎪
⎪
⎪
⎩ ⎪
⎭ ⎢⎣ 0 N 1 0 N 2
η
N
Y
2x2
X
x = N xe
N definidas en formulación Serendip o lagrangiana.
Elementos con lados curvos, según el tipo de N
11
1,n
ξ
η
ξ
y = ∑ N i'yi
⎧⎪x 1 ⎫⎪
⎪⎪ ⎪⎪
⎪⎪y1 ⎪⎪
...⎤ ⎪ ⎪
⎥ ⎨⎪x 2 ⎬⎪
...⎥⎥ ⎪⎪ ⎪⎪
⎦ ⎪y2 ⎪
⎪⎪ ⎪⎪
⎪⎪⎩...⎪⎪⎭
Matriz de conducción (I)
η
Kc =
∫
BT k Bd Ω
ξ
Ω
(0,0)
Integral se evalúa en ξ, η
(-1,-1)
B contiene las derivadas de N respecto de x,y
Relación entre las derivadas
⎧⎪ ∂ N i ⎫⎪
⎪⎪⎪ ∂ξ ⎪⎪⎪
⎪⎨
⎪⎬ =
⎪⎪ ∂ N i ⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎪ ∂η ⎭⎪
⎡ ∂x
⎢
⎢ ∂ξ
⎢
⎢ ∂x
⎢
⎢⎣ ∂η
⎧⎪ ∂ N i ⎫⎪
∂y ⎤ ⎧⎪ ∂ N i ⎫⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎥ ⎪⎪
∂ξ ⎥ ⎪⎪ ∂ x ⎪⎪
⎪ ∂ x ⎪⎪
⎥⎨
⎬ = J ⎪⎨
⎬
⎪⎪ ∂ N i ⎪⎪
∂y ⎥ ⎪⎪ ∂ N i ⎪⎪
⎥⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪
∂η ⎥⎦ ⎪⎪⎩ ∂y ⎪⎪⎭
∂
y
⎪⎩
⎪⎭
Necesario para B
⎧⎪ ∂ N i ⎫⎪
⎧⎪ ∂ N i ⎫⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪ ∂ξ ⎪⎪
⎪⎪ ∂ x ⎪⎪
−1 ⎪
⎨
⎬= J ⎨
⎬
⎪⎪ ∂ N i ⎪⎪
⎪⎪ ∂ N i ⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
∂
y
⎪⎩
⎪⎭
⎩⎪ ∂η ⎭⎪
Jacobiana de la transformación x,y / ξ, η
12
(+1,+1)
Matriz de conducción (II)
Conocidas de N(ξ,η)
Matriz Jacobiana J
⎡ ∂x
⎢
⎢ ∂ξ
J=⎢
⎢ ∂x
⎢
⎢⎣ ∂η
∂y ⎤ ⎡
∂N i
xi
⎥ ⎢∑
∂ξ ⎥ ⎢
∂ξ
⎥=⎢
∂y ⎥ ⎢
∂N i
xi
⎥ ⎢∑
∂η ⎥⎦ ⎢⎣
∂η
∂N i ⎤
∑ ∂ξ yi ⎥⎥
⎥
∂N i ⎥
∑ ∂η yi ⎥⎥
⎦
Coordenadas de los nudos
Dominio de integración
Espesor variable
13
d Ω = t dxdy = t J d ξd η
t = ∑ N i ti
Matriz de conducción (III) Aspecto final
Kc =
Kc =
∫
∫
⎡ ∂N ⎤
⎢
1 ⎥
⎢
⎥
⎢ ∂x ⎥
⎢ ... ⎥ kx
⎢
⎥
⎢ ∂N ⎥
⎢ n⎥
⎣⎢ ∂x ⎦⎥
BT k B d Ω
⎡kx BTx Bx + ky BTy By ⎤ d Ω
⎣
⎦
∂N n ⎤
⎥ t dxdy + ∫
...
∂x ⎥⎦
⎡ ∂N ⎤
⎢
1 ⎥
⎢
⎥
∂
y
⎢
⎥
⎢ ... ⎥ k
⎢
⎥ y
⎢
⎥
∂
N
⎢ n⎥
⎢
⎥
⎢⎣ ∂y ⎥⎦
⎡ ∂N 1
⎢
⎢⎣ ∂y
⎛ ∂N ∂N j
∂ N i ∂ N j ⎞⎟
i
⎜
⎟⎟ t J d ξ d η
= ∫ ⎜kx
+ ky
⎜⎝ ∂ x ∂ x
∂y ∂y ⎠⎟
−1
+1
14
∫
Ω
⎡ ∂N 1
⎢
⎢⎣ ∂x
Kcij
=
∂N n ⎤
⎥ t dxdy
...
∂y ⎥⎦
Matriz de conducción (IV) Proceso de cálculo
⎛ ∂N ∂N j
∂ N i ∂ N j ⎞⎟
i
⎜
= ∫ ⎜kx
+ ky
⎟⎟ t J d ξ d η
⎜ ∂x ∂x
∂ y ∂ y ⎠⎟
−1 ⎝
+1
Kcij
⎧
∂Ni ⎫
⎧⎪ ∂ N i ⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
∂ξ
⎪⎪ ∂ x ⎪
−1 ⎪
⎪
⎪
⎨
⎬= J ⎨
⎬
⎪⎪ ∂ N i ⎪
⎪
⎪
∂
N
i⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
∂
y
∂η
⎪
⎩⎪
⎭
⎪
⎩
⎭
Integrando:
J constante: polinomio
J no constante: cociente de polinomios
J constante: elemento sin distorsión
(rectángulo)
15
⎡
∂Ni
⎢∑
xi
⎢
∂ξ
⎢
J=
⎢
∂Ni
⎢∑
xi
⎢⎣
∂η
⎤
∑ ∂ξ yi ⎥⎥
⎥
∂Ni ⎥
∑ ∂η yi ⎥⎥
⎦
∂Ni
Matrices de convección e inercia térmica
Q
Convección
Kh =
∫
NT N h dS
∫
NT hTf dS
Q fi =
∫ N hT dS
∫
NT N c d Ω
H ij =
∫NN
K hij =
S
Qf =
Q
∫NN
i
j
h t dl
S
i
f
Inercia térmica
H=
Ω
16
i
j
c J d ξd η
Vector de calor generado en el elemento
Qv =
∫
NTQ d Ω
Ω
e
Q = NQ
Variación permitida
Qv =
M=
∫
Ω
∫
NT N d Ω Qe = M Qe
⎡ ⎤
⎢N1 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ... ⎥
⎢ ⎥
⎢N ⎥
⎣⎢ n ⎦⎥
⎡N ... N ⎤ t dxdy
n⎥
⎢⎣ 1
⎦
+1
M ij =
∫N
−1
17
Valores nodales del
flujo térmico (Ctes)
i
N j t J dξ dη
Vector de flujo de calor exterior en S
Qs = −∫ NT q dS
S
Variación permitida
Valores nodales del
flujo térmico (Ctes)
q = N qe
Qs = −∫ NT N dS qe = Ms qe
Real
S
Aprox.
q
Ms = −∫
L
⎡ ⎤
⎢N1 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ... ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣N n ⎥⎦
⎡N ... N ⎤ t dl
n⎥
⎢⎣ 1
⎦
Msij = −∫ N i N j t dl
18
Elemento de 2 nudos
⎡1 − ξ
N=⎢
⎢⎣ 2
1+ ξ⎤
⎥
2 ⎥⎦
⎡ dN 1
Bx = ⎢
⎢⎣ dx
dN 2 ⎤ ⎡ dN 1
⎥=⎢
dx ⎥⎦ ⎣⎢ d ξ
Kc = ∫
h, Tf
1
dN 2 ⎤ d ξ ⎡ −1
⎥
=⎢
⎢⎣ 2
d ξ ⎥⎦ dx
⎡ 1 −1⎤
kA
⎢
⎥
k BTx Bxd Ω =
L ⎢⎢⎣−1 1 ⎥⎥⎦
⎡1/ 3 1/ 6⎤
⎥
Kh = ∫ h NT Nds = hPL ⎢⎢
⎥
s
1/
6
1/
3
⎢⎣
⎥⎦
P: perímetro lateral
19
2
1⎤ 2
⎥
2 ⎥⎦ L
⎡1/ 3 1/ 6⎤
⎥
H = cAL ⎢⎢
⎥
1/
6
1/
3
⎢⎣
⎥⎦
Qf =
∫
⎡1/ 2⎤
⎥
NT hTf dS = hTf PL ⎢⎢
⎥
1/
2
⎢⎣
⎥⎦
Elemento triangular
N 1 = (a1 + b1x + c1y ) / 2A
a1 = x 2y 3 − x 3y2
N 2 = (a2 + b2x + c2y ) / 2A
b1 = y2 − y 3
c1 = x 3 − x 2
N 3 = (a 3 + b3x + c3y ) / 2A
N = ⎡⎢N 1 N 2
⎣
1 ⎡⎢b1 b2 b3 ⎤⎥
B=
2A ⎢⎣c1 c2 c3 ⎥⎦
T = N 1T1 + N 2T2 + N 3T3
2
N1
N3
N2
1
1
1
2
3
1
1
3
20
N 3 ⎤⎥
⎦
Elemento triangular (II)
Kc = ∫ BT k B d Ω = At BT k B
H=∫
Convección por la cara lateral (uniforme)
Kh =
∫
S
Qf =
∫
S
21
⎡2 1 1⎤
⎢
⎥
hA ⎢
⎥
T
N N h dS =
⎢1 2 1⎥
12 ⎢
⎥
⎢⎢1 1 2⎥⎥
⎣
⎦
⎡1⎤
⎢ ⎥
hTf A ⎢ ⎥
T
N hTf dS =
⎢1⎥
3 ⎢ ⎥
⎢⎢1⎥⎥
⎣ ⎦
V
⎡2 1 1⎤
⎢
⎥
cAt ⎢
⎥
T
N N c dV =
1
2
1
⎢
⎥
12 ⎢
⎥
⎢⎢1 1 2⎥⎥
⎣
⎦
2
h, Tf
1
3
Elemento triangular (III)
Convección uniforme en un lado de longitud L
KhL =
∫
L
Q fL = ∫
L
22
2
⎡2 1⎤
htL
⎢
⎥
NT N h dl =
6 ⎢⎢⎣1 2⎥⎥⎦
⎡1/ 2⎤
⎥
NT hTf dl = hTf tL ⎢⎢
⎥
1/
2
⎢⎣
⎥⎦
h, Tf
1
3
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