Transmisión de calor por el Método de los Elementos Finitos Introducción Se estudia la difusión del calor en un medio continuo Flujo térmico: cantidad de calor transferida por unidad de área Q Q ⎧⎪⎪q x ⎫⎪⎪ q = ⎨q ⎬ ⎪⎩⎪ y ⎪⎭⎪ El flujo térmico está relacionado con el gradiente de la temperatura T (ecuación constitutiva) Q ⎡kx ⎧⎪⎪q x ⎫⎪⎪ ⎨q ⎬ = − ⎢⎢ ⎪⎩⎪ y ⎪⎭⎪ ⎢⎣ 0 Flujo térmico es contrario al gradiente 1 ⎧⎪ ∂T ⎫⎪ 0 ⎤ ⎪⎪⎪ ∂x ⎪⎪⎪ ⎥⎨ ⎬ ky ⎥⎥ ⎪⎪ ∂T ⎪⎪ ⎦⎪ ⎪⎩⎪ ∂y ⎪⎪⎭⎪ q = −k ∇T Equilibrio térmico Q Equilibrio en un elemento de volumen unidad entre: X El calor que entra = - divergencia del flujo térmico q X El calor generado en el material por unidad de volumen Q (aportado al material) X El calor acumulado en el material (c = calor específico por unidad de volumen) qy + ⎛ ∂q x ∂qy ⎟⎞ ∂T ⎜ −⎜ + ⎟⎟ + Q = c ⎜⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂t ∂q y ∂y Q qx qx + qy 2 ∂q x ∂x ∂T −∇ q + Q = c ∂t Τ Transmisión de calor transitoria en 2D Sustituyendo el valor del flujo dado por la ecuación constitutiva: Q ⎧⎪ ∂T ⎫⎪ 0 ⎤ ⎪⎪⎪ ∂x ⎪⎪⎪ ∂T ⎥⎨ ⎬ +Q = c ⎥ T ∂ ky ⎥ ⎪⎪ ∂t ⎪⎪⎪ ⎦⎪ ⎪⎩⎪ ∂y ⎪⎭⎪ ∂ ⎫⎪⎪ ⎢⎡kx ⎬ ∂y ⎭⎪⎪ ⎢⎣⎢ 0 ⎧ ∂ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ∂x ⎩ T ∇ ( ∂T k ∇T + Q − c =0 ∂t ) ∂ ⎛ ∂T ⎞⎟ ∂ ⎛⎜ ∂T ⎞⎟ ∂T ⎜kx + ky =0 ⎟ +Q −c ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜⎝ ∂y ⎠ ∂t 3 Condiciones de contorno Esencial T = Tc Natural ∂T ∂T kx n x + ky ny + q + h(T − Tf ) = 0 ∂x ∂y en S1 T = T0 (x , y ) Valor inicial t=0 en q Tf S Q S1 4 TC en S Método de residuos ponderados T ≈ T = ∑ N iTi Q Aproximación: Q Residuo Q Hallar Ti que anulen el residuo ∂ ⎛⎜ ∂T ⎞⎟ ∂ ⎛⎜ ∂T ⎞⎟ ∂T R(x , y ) = ≠0 ⎟⎟ + ⎟⎟ + Q − c ⎜⎜kx ⎜⎜ky ⎟ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂t Wi linealmente independientes Q i = 1, n ∫ W (x, y )R(x, y ) d Ω = 0 i i = 1, n Ω Q Galerkin: Wi = Ni ∫ Ω 5 ⎡ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎤ ∂ T ⎟ ⎟ ⎜⎜k ⎥ dΩ = 0 + +Q −c N i ⎢ ⎜⎜kx ⎟ ⎟ y ⎟ ⎟ ⎢ ∂x ⎜⎝ ∂x ⎠⎟ ∂y ⎝⎜ ∂y ⎠⎟ ⎥ t ∂ ⎣ ⎦ i = 1, n Planteamiento débil Q Integrando por partes: ∫ N (∇ ⋅ v)d Ω = −∫ v ⋅ ∇N dΩ + ∫ N (v ⋅ n)dS Ω −∫ Ω Q Ω S ⎡ ∂N i ⎡ ∂T ∂T ∂N i ∂T ⎤ ∂T ⎤ ⎢ ⎥ d Ω + ∫ N i ⎢kx kx ky n x + ky ny ⎥ dS + ⎢ ∂x ⎢ ∂x ∂x ∂y ∂y ⎥⎦ ∂y ⎥⎦ ⎣ ⎣ S ∂T dΩ = 0 i = 1, n + ∫ N iQ d Ω − ∫ N ic ∂t Ω Ω Segunda integral: condición de contorno natural en S: ∂T ∂T kx n x + ky ny = −q − h(T − Tf ) ∂x ∂y 6 Planteamiento débil (cont.) −∫ Ω ⎡ ∂N i ∂T ∂N i ∂T ⎤ ⎢ ⎥ d Ω − ∫ N iq dS − ∫ N i h(T − Tf ) dS + kx ky ⎢ ∂x ∂x ∂y ∂y ⎥⎦ ⎣ S S ∂T dΩ = 0 i = 1, n + ∫ N iQ d Ω − ∫ N ic ∂t Ω Ω Sustituyendo la aproximación Q T = N Te ∂N i ∂T =∑ Ti = Bx Te ∂x i =1,n ∂x N : Matriz fila con las funciones Ni Te : Vector de temperaturas nodales Bx : Matriz fila con las derivadas 7 N = ⎡⎢N 1 ... N n ⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ∂N 1 Bx = ⎢ ⎢⎣ ∂x ∂N n ⎤ ⎥ ... ∂x ⎥⎦ Ecuaciones finales −∫ Ω ⎡ ∂N i ⎤ ∂N i e e ⎢ kx Bx T + ky By T ⎥ d Ω − ∫ N iq dS − ∫ N i h(N Te − Tf ) dS ⎢⎣ ∂x ⎥⎦ ∂y S S + ∫ N iQ d Ω − ∫ Ω Ω ∂Te N ic N dΩ = 0 ∂t i = 1, n Agrupando las n ecuaciones y ordenando Q Conducción ∫ Ω Inercia térmica Convección ⎡kx BTx Bx + ky BTy By ⎤ d Ω Te + NT N h dS Te + NT N c d Ω T e = ∫ ∫ ⎣ ⎦ Ω S + ∫ NTQ d Ω − ∫ NT q dS + ∫ NT hTf dS Ω Calor generado 8 S Flujo de calor S Temperatura fluido Ecuaciones finales e e K + K T + H T = Qv + Qs + Q f ( c h) Matriz de conducción Q Kc = ∫ Ω Forma compacta: Kc = ⎡kx BTx Bx + ky BTy By ⎤ d Ω ⎣ ⎦ ∫B T k Bd Ω Ω Q Matriz de convección Kh = ∫ S 9 NT N h dS ⎡ Bx ⎤ B = ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎣ By ⎥⎦ Ecuaciones finales (cont.) Matriz de inercia térmica Q H= ∫ NT N c d Ω Ω Q Vector de calor generado Qv = ∫ NTQ d Ω Ω Q Vector de flujo de calor exterior Qs = −∫ NT q dS S Q Vector de temperatura del fluido Qf = ∫ S 10 NT hTf dS Formulación isoparamétrica x = ∑ N i'x i Interpolación de coordenadas 1,n ⎡N 1 0 N 2 0 x⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨⎪y ⎬⎪ = ⎢⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎢⎣ 0 N 1 0 N 2 η N Y 2x2 X x = N xe N definidas en formulación Serendip o lagrangiana. Elementos con lados curvos, según el tipo de N 11 1,n ξ η ξ y = ∑ N i'yi ⎧⎪x 1 ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪y1 ⎪⎪ ...⎤ ⎪ ⎪ ⎥ ⎨⎪x 2 ⎬⎪ ...⎥⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎦ ⎪y2 ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎩...⎪⎪⎭ Matriz de conducción (I) η Kc = ∫ BT k Bd Ω ξ Ω (0,0) Integral se evalúa en ξ, η (-1,-1) B contiene las derivadas de N respecto de x,y Relación entre las derivadas ⎧⎪ ∂ N i ⎫⎪ ⎪⎪⎪ ∂ξ ⎪⎪⎪ ⎪⎨ ⎪⎬ = ⎪⎪ ∂ N i ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎪ ∂η ⎭⎪ ⎡ ∂x ⎢ ⎢ ∂ξ ⎢ ⎢ ∂x ⎢ ⎢⎣ ∂η ⎧⎪ ∂ N i ⎫⎪ ∂y ⎤ ⎧⎪ ∂ N i ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎥ ⎪⎪ ∂ξ ⎥ ⎪⎪ ∂ x ⎪⎪ ⎪ ∂ x ⎪⎪ ⎥⎨ ⎬ = J ⎪⎨ ⎬ ⎪⎪ ∂ N i ⎪⎪ ∂y ⎥ ⎪⎪ ∂ N i ⎪⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ∂η ⎥⎦ ⎪⎪⎩ ∂y ⎪⎪⎭ ∂ y ⎪⎩ ⎪⎭ Necesario para B ⎧⎪ ∂ N i ⎫⎪ ⎧⎪ ∂ N i ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ∂ξ ⎪⎪ ⎪⎪ ∂ x ⎪⎪ −1 ⎪ ⎨ ⎬= J ⎨ ⎬ ⎪⎪ ∂ N i ⎪⎪ ⎪⎪ ∂ N i ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ∂ y ⎪⎩ ⎪⎭ ⎩⎪ ∂η ⎭⎪ Jacobiana de la transformación x,y / ξ, η 12 (+1,+1) Matriz de conducción (II) Conocidas de N(ξ,η) Matriz Jacobiana J ⎡ ∂x ⎢ ⎢ ∂ξ J=⎢ ⎢ ∂x ⎢ ⎢⎣ ∂η ∂y ⎤ ⎡ ∂N i xi ⎥ ⎢∑ ∂ξ ⎥ ⎢ ∂ξ ⎥=⎢ ∂y ⎥ ⎢ ∂N i xi ⎥ ⎢∑ ∂η ⎥⎦ ⎢⎣ ∂η ∂N i ⎤ ∑ ∂ξ yi ⎥⎥ ⎥ ∂N i ⎥ ∑ ∂η yi ⎥⎥ ⎦ Coordenadas de los nudos Dominio de integración Espesor variable 13 d Ω = t dxdy = t J d ξd η t = ∑ N i ti Matriz de conducción (III) Aspecto final Kc = Kc = ∫ ∫ ⎡ ∂N ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂x ⎥ ⎢ ... ⎥ kx ⎢ ⎥ ⎢ ∂N ⎥ ⎢ n⎥ ⎣⎢ ∂x ⎦⎥ BT k B d Ω ⎡kx BTx Bx + ky BTy By ⎤ d Ω ⎣ ⎦ ∂N n ⎤ ⎥ t dxdy + ∫ ... ∂x ⎥⎦ ⎡ ∂N ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ∂ y ⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ k ⎢ ⎥ y ⎢ ⎥ ∂ N ⎢ n⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ∂y ⎥⎦ ⎡ ∂N 1 ⎢ ⎢⎣ ∂y ⎛ ∂N ∂N j ∂ N i ∂ N j ⎞⎟ i ⎜ ⎟⎟ t J d ξ d η = ∫ ⎜kx + ky ⎜⎝ ∂ x ∂ x ∂y ∂y ⎠⎟ −1 +1 14 ∫ Ω ⎡ ∂N 1 ⎢ ⎢⎣ ∂x Kcij = ∂N n ⎤ ⎥ t dxdy ... ∂y ⎥⎦ Matriz de conducción (IV) Proceso de cálculo ⎛ ∂N ∂N j ∂ N i ∂ N j ⎞⎟ i ⎜ = ∫ ⎜kx + ky ⎟⎟ t J d ξ d η ⎜ ∂x ∂x ∂ y ∂ y ⎠⎟ −1 ⎝ +1 Kcij ⎧ ∂Ni ⎫ ⎧⎪ ∂ N i ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ξ ⎪⎪ ∂ x ⎪ −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬= J ⎨ ⎬ ⎪⎪ ∂ N i ⎪ ⎪ ⎪ ∂ N i⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ∂ y ∂η ⎪ ⎩⎪ ⎭ ⎪ ⎩ ⎭ Integrando: J constante: polinomio J no constante: cociente de polinomios J constante: elemento sin distorsión (rectángulo) 15 ⎡ ∂Ni ⎢∑ xi ⎢ ∂ξ ⎢ J= ⎢ ∂Ni ⎢∑ xi ⎢⎣ ∂η ⎤ ∑ ∂ξ yi ⎥⎥ ⎥ ∂Ni ⎥ ∑ ∂η yi ⎥⎥ ⎦ ∂Ni Matrices de convección e inercia térmica Q Convección Kh = ∫ NT N h dS ∫ NT hTf dS Q fi = ∫ N hT dS ∫ NT N c d Ω H ij = ∫NN K hij = S Qf = Q ∫NN i j h t dl S i f Inercia térmica H= Ω 16 i j c J d ξd η Vector de calor generado en el elemento Qv = ∫ NTQ d Ω Ω e Q = NQ Variación permitida Qv = M= ∫ Ω ∫ NT N d Ω Qe = M Qe ⎡ ⎤ ⎢N1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢N ⎥ ⎣⎢ n ⎦⎥ ⎡N ... N ⎤ t dxdy n⎥ ⎢⎣ 1 ⎦ +1 M ij = ∫N −1 17 Valores nodales del flujo térmico (Ctes) i N j t J dξ dη Vector de flujo de calor exterior en S Qs = −∫ NT q dS S Variación permitida Valores nodales del flujo térmico (Ctes) q = N qe Qs = −∫ NT N dS qe = Ms qe Real S Aprox. q Ms = −∫ L ⎡ ⎤ ⎢N1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣N n ⎥⎦ ⎡N ... N ⎤ t dl n⎥ ⎢⎣ 1 ⎦ Msij = −∫ N i N j t dl 18 Elemento de 2 nudos ⎡1 − ξ N=⎢ ⎢⎣ 2 1+ ξ⎤ ⎥ 2 ⎥⎦ ⎡ dN 1 Bx = ⎢ ⎢⎣ dx dN 2 ⎤ ⎡ dN 1 ⎥=⎢ dx ⎥⎦ ⎣⎢ d ξ Kc = ∫ h, Tf 1 dN 2 ⎤ d ξ ⎡ −1 ⎥ =⎢ ⎢⎣ 2 d ξ ⎥⎦ dx ⎡ 1 −1⎤ kA ⎢ ⎥ k BTx Bxd Ω = L ⎢⎢⎣−1 1 ⎥⎥⎦ ⎡1/ 3 1/ 6⎤ ⎥ Kh = ∫ h NT Nds = hPL ⎢⎢ ⎥ s 1/ 6 1/ 3 ⎢⎣ ⎥⎦ P: perímetro lateral 19 2 1⎤ 2 ⎥ 2 ⎥⎦ L ⎡1/ 3 1/ 6⎤ ⎥ H = cAL ⎢⎢ ⎥ 1/ 6 1/ 3 ⎢⎣ ⎥⎦ Qf = ∫ ⎡1/ 2⎤ ⎥ NT hTf dS = hTf PL ⎢⎢ ⎥ 1/ 2 ⎢⎣ ⎥⎦ Elemento triangular N 1 = (a1 + b1x + c1y ) / 2A a1 = x 2y 3 − x 3y2 N 2 = (a2 + b2x + c2y ) / 2A b1 = y2 − y 3 c1 = x 3 − x 2 N 3 = (a 3 + b3x + c3y ) / 2A N = ⎡⎢N 1 N 2 ⎣ 1 ⎡⎢b1 b2 b3 ⎤⎥ B= 2A ⎢⎣c1 c2 c3 ⎥⎦ T = N 1T1 + N 2T2 + N 3T3 2 N1 N3 N2 1 1 1 2 3 1 1 3 20 N 3 ⎤⎥ ⎦ Elemento triangular (II) Kc = ∫ BT k B d Ω = At BT k B H=∫ Convección por la cara lateral (uniforme) Kh = ∫ S Qf = ∫ S 21 ⎡2 1 1⎤ ⎢ ⎥ hA ⎢ ⎥ T N N h dS = ⎢1 2 1⎥ 12 ⎢ ⎥ ⎢⎢1 1 2⎥⎥ ⎣ ⎦ ⎡1⎤ ⎢ ⎥ hTf A ⎢ ⎥ T N hTf dS = ⎢1⎥ 3 ⎢ ⎥ ⎢⎢1⎥⎥ ⎣ ⎦ V ⎡2 1 1⎤ ⎢ ⎥ cAt ⎢ ⎥ T N N c dV = 1 2 1 ⎢ ⎥ 12 ⎢ ⎥ ⎢⎢1 1 2⎥⎥ ⎣ ⎦ 2 h, Tf 1 3 Elemento triangular (III) Convección uniforme en un lado de longitud L KhL = ∫ L Q fL = ∫ L 22 2 ⎡2 1⎤ htL ⎢ ⎥ NT N h dl = 6 ⎢⎢⎣1 2⎥⎥⎦ ⎡1/ 2⎤ ⎥ NT hTf dl = hTf tL ⎢⎢ ⎥ 1/ 2 ⎢⎣ ⎥⎦ h, Tf 1 3