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AUTORES CIENTÍFICO-TÉCNICOS Y ACADÉMICOS
¿Qué matemáticas
debemos enseñar
en el siglo XXI?
Víctor Arenzana Hernández
à
1. El rostro variable de las matemáticas
C
asi todo el mundo está de acuerdo en que el origen de todas las
matemáticas se encuentra en los problemas de la vida corriente.
Con las matemáticas se cuentan los rebaños y los hematíes de la sangre, se pueden medir la altura de un niño o la de una montaña sobre
el nivel del mar, se conoce mejor el mundo que nos rodea y se puede
predecir la hora precisa del próximo eclipse de Luna o la aceptación
que tendrá un producto en el mercado.
Hay muchos matemáticos que, iluminados por esta idea, no ven
en la evolución de las matemáticas más que una respuesta a las necesidades de la técnica o de las ciencias de la naturaleza. Esta suposición
está firmemente respaldada por el hecho de que desde el nacimiento
del cálculo infinitesimal una parte importante del análisis matemático
ha estado en estrecha relación con el desarrollo de la física, la astronomía y la mecánica.
Las matemáticas han desarrollado métodos para estudiar los problemas de la naturaleza y, además, la física ha proporcionado a las
matemáticas una serie de problemas y nuevas cuestiones de estudio.
La resolución de algunos problemas planteados por las ciencias físicas
ha producido grandes avances en el terreno de las ecuaciones diferenciales, en las ecuaciones en diferencias finitas o en las ecuaciones integrales, que no hacían más que extender el lenguaje del análisis matemático a los grandes conceptos físicos. Esta dinámica se mantuvo a lo
largo del siglo XVIII, época en que la física recibía en muchos casos el
nombre de matemática mixta, denominación que no hacía más que
poner de manifiesto la estrecha relación que existía entre las matemáticas y la física.
No obstante, junto a la matemática, que nació en íntima relación
con las ciencias de la naturaleza y con el objetivo específico de ser
herramienta y lenguaje de la mecánica o la astronomía, surgieron
otras ramas de las matemáticas con autonomía propia sin tener como
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ACTA
¿Qué matemáticas debemos enseñar en el siglo XXI?
punto de partida el mundo real y tampoco el de las
ciencias naturales. Los grupos, los invariantes, las
geometrías no euclídeas, la geometría algebraica…,
son ejemplos de tal autonomía de las matemáticas.
Jean Dieudonné señala que, entre las matemáticas
surgidas en el siglo XIX, sólo el análisis armónico y la
teoría espectral de operadores, proceden de los problemas que han planteado las ciencias de la naturaleza a las matemáticas1.
Con este panorama, responder a la pregunta
¿qué es la matemática? es plantearnos una cuestión
difícil de responder de forma precisa. ¿Es un lenguaje y sirve de herramienta para la ciencia? ¿Tiene
plena autonomía? ¿Es una creación del pensamiento humano sin trabas de ninguna especie? ¿Es la
lógica del pensamiento científico? ¿Es algo más que
lógica? Courant y Robins publicaron un libro excelente que tenía por título esta pregunta, pero la respuesta consistió en varios cientos de páginas que
trataban de temas diferentes que habían ocupado la
mente de los grandes matemáticos que ha habido a
lo largo de la historia. Tras su lectura se llega a la
conclusión de que las matemáticas están formadas
por una serie de temas: geometría, aritmética, algebra, teoría de números, cálculo infinitesimal, teoría
de grafos y otros muchos; pero a la pregunta ¿qué
es la matemática? no se le puede dar una respuesta que la defina y delimite plenamente.
Las matemáticas a lo largo de la historia han
mostrado un rostro cambiante. Para los pitagóricos
todo eran números y el número era la esencia de las
cosas; para los griegos clásicos (sobre todo desde
Euclides) todo era geometría. A partir del siglo XIII
acabó la hegemonía de la geometría en el mundo de
las matemáticas por la aparición de la aritmética
que, desde las escuelas de ábaco, extendieron sus
planteamientos por las matemáticas. Más tarde surgió el álgebra simbólica, que extendió los cálculos
de la aritmética a expresiones literales y a la resolución de ecuaciones. Después, llegaron los métodos
del cálculo infinitesimal y la aplicación de los mismos al estudio de la física. En seguida aparecieron
los recursos estadísticos, con lo que parecía que se
completaba el proceso de modelización de la naturaleza y algunos llegaron a creer que las matemáticas podían dar razón de todo lo que ocurría en el
mundo.
Para los matemáticos puros las matemáticas se
muestran como unas parcelas autónomas del pensamiento en las que ellos se mueven con plena inde1
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pendencia. Por su parte los matemáticos aplicados
buscan la adaptación de sus métodos e investigaciones a otros campos. Pero las matemáticas, tanto puras
como las aplicadas, tienen la capacidad de reflejar el
comportamiento de la naturaleza mediante sus leyes.
Lo que ha hecho pensar a muchos en el extraño fenómeno de que una creación de las matemáticas puras,
surgida de la mente de un matemático que no ha
tenido en cuenta ninguna referencia con el mundo
real, pueda ser útil, e incluso adaptarse como un
guante, para expresar el comportamiento de un fenómeno físico.
Desde que Heisenberg aplicara la teoría de
matrices al estudio de la física de partículas, áridos
y abstractos problemas de convergencia de series y
de integrales se han vuelto útiles en su aplicación a
problemas físicos. Los polinomios ortogonales se
han aplicado a problemas de optimización. Hoy día
muchos ingenieros y técnicos ven los resultados de
las matemáticas, con independencia de que sean
matemáticas puras o aplicadas, como una gran
biblioteca, de estructuras, algoritmos y modelos, a
la que se puede recurrir para resolver el problema
técnico que tienen planteado. Los modelos matemáticos permiten expresar temas tan diferentes
como el movimiento de los astros, el comportamiento de las ondas electromagnéticas o el origen y
evolución del universo.
Diremos como conclusión que, teniendo en cuenta la gran variedad de temas de los que se ocupa la
matemática y los sutiles matices que diferencian el
trabajo de los matemáticos, es difícil, si no imposible,
seleccionar los temas de estudio que debe conocer un
niño para hacer de él un buen matemático en el futuro. También sería una tarea compleja determinar los
niveles de profundidad que debe alcanzar el conocimiento del niño en los temas que hayamos elegido y
decidirse por una metodología adecuada. La fijación
de los niveles de enseñanza y la metodología que se
debe emplear sería una labor tan difícil como la de
elegir los temas que se deben explicar. Pero, aunque
no deseemos formar un matemático desde su infancia, si únicamente deseáramos formar a un ciudadano que se pudiera mover en el mundo actual comprendiendo las matemáticas y la ciencia que destila
una sociedad tecnificada como la nuestra nos encontraremos con los mismos problemas: la variedad de
temas de las matemáticas, la profundidad que deseemos alcanzar en los mismos y la metodología que
deseemos utilizar.
Jean Dieudonné, Abrégé, d’histoire des mathématiques 1700-1900, pp. 9-10, Ed Herman, 1978.
¿Qué matemáticas
debemos enseñar
en el siglo XXI?
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2. La enseñanza de
las matemáticas
en diferentes niveles
No cabe duda de que las matemáticas son una
parte esencial del soporte del mundo tecnológico que
nos rodea y que, por lo tanto, una sociedad que aspire al progreso científico y tecnológico se debe ocupar
de formar unos matemáticos que se muevan en el
mundo de la investigación, que sean creativos y puedan enfrentarse a los problemas que se les planteen
tanto por las ciencias experimentales como desde la
sociología y que les capacite a enfrentarse con cualquier problema que requiera una solución numérica o
de optimización. Evidentemente, estos matemáticos
realizarán su trabajo en una de las diferentes escuelas
matemáticas y no hay que pensar en qué matemáticas se les debe enseñar cuando niños, serán especialistas en unas de las diferentes ramas de las matemáticas y en ella realizarán su trabajo.
Podemos trasladar a un escalón inmediatamente inferior la pregunta ¿qué matemáticas se deben
enseñar? Es el peldaño de los ingenieros y de los
técnicos. Las matemáticas que se imparten para los
ingenieros se suelen denotar con el nombre métodos de las matemáticas y en ellas se muestran los
diferentes métodos matemáticos, como si se tratara
de una biblioteca de la que se echa mano para dar
sentido a los datos. Pero no vamos a discutir aquí
sobre la utilidad de las matemáticas en la ciencia,
porque es una cuestión que está fuera de toda duda
en una sociedad tecnológica, sino sobre cuál debe
ser la educación y la cultura matemática que debe
tener un ciudadano actual.
Los métodos matemáticos de la ingeniería se recogen en libros específicos como el libro de Erwin
Kreyszig y recogen temas que van desde las ecuaciones diferenciales a la estadística, pasando por el análisis numérico, el álgebra lineal, las funciones analíticas o el método de los elementos finitos. Pero los
estudiantes de ingeniería están motivados para el
estudio de matemáticas y, aunque algún tema que
hayan estudiado no lo lleguen a utilizar en su trabajo
específico, intuyen la importancia de cada tema por el
uso que hacen de algunos ingenieros en el ejercicio
diario de su profesión.
2
¿Cómo se podría justificar la enseñanza de las
matemáticas para los jóvenes que no van a ser ni
matemáticos ni ingenieros? La inclusión de las matemáticas en los planes de estudio de los jóvenes (en
edades de 6 a 16 años, que corresponden con la primaria y la ESO), se puede apoyar en tres tipos de
razones. La primera razón es que el estudio de las
matemáticas tiene un gran valor formativo para los
alumnos. En especial si en su enseñanza se fomentan
las actividades que son comunes en la resolución de
problemas matemáticos, la búsqueda de analogías,
formulación de conjeturas, probar estrategias, elaborar algoritmos, etc. Esta actividad, no sólo es importante para la adquisición de un razonamiento lógico,
sino que desarrolla otros aspectos intelectuales, como
son la intuición, el rigor de pensamiento, la tenacidad
en el trabajo…
La segunda razón para el estudio de las matemáticas en esas edades es que el aprendizaje de las mismas proporciona un conjunto de herramientas importantes para explorar la realidad, para representar e
interpretar los datos experimentales y para realizar
predicciones de sucesos futuros. El conocimiento de
las matemáticas a un nivel elemental nos permite desenvolvernos con los ojos más abiertos en la sociedad
actual, en la que necesitamos no solamente comprar,
vender, medir, comprender las operaciones de nuestro banco o la factura de la luz, sino también comprender las noticias económicas y las estadísticas que
publican los medios de comunicación. Con un nivel
de matemáticas adecuado podemos comprender
mejor la sociedad en que vivimos y hacernos ciudadanos más conscientes.
Tampoco debemos olvidar una tercera razón y es
que la enseñanza de las matemáticas es propedéutica
o de iniciación para el estudio de las ciencias. Dada
la gran importancia que tienen las matemáticas como
herramienta para el estudio de otras materias científicas, las matemáticas tienen el carácter de ciencia básica para abordar los estudios de física, química, economía o ingeniería, desde los niveles más elementales
en las profesiones y oficios técnicos hasta los niveles
superiores. El aprendizaje de las matemáticas proporciona esquemas mentales idóneos para desarrollar el
trabajo científico2.
No obstante, en esta razón pedagógica está el germen de la mayor parte de los problemas de aceptación que tienen las matemáticas entre los escolares.
Puesto que para que la formación matemática de un
Peralta, Javier, Principios didácticos e históricos para la enseñanza de la matemática, p. 25. Huerga y Fierro, ed, Madrid, 1995.
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ACTA
¿Qué matemáticas debemos enseñar en el siglo XXI?
ciudadano sea adecuada se han incluido temas diferentes según los diferentes planes de estudios, pero,
sobre todo, se ha entendido que el alumno tiene que
lograr trabajar con radicales con la misma agilidad
que lo puede hacer con números decimales; ha de llegar a operar con fracciones algebraicas con la misma
soltura que calcula con fracciones numéricas; debe
conseguir operar con potencias de exponente negativo con igual seguridad que calcula con números enteros; además, tiene que saber resolver ecuaciones
logarítmicas y ecuaciones exponenciales, debe saber
racionalizar expresiones y otras habilidades de cálculo que para muchos profesores suponen el pons asinorum de las matemáticas actuales3, porque su
manejo capacita para seguir y exponer un razonamiento matemático en el lenguaje usual de la ciencia. Es, precisamente, cuando la enseñanza de las
matemáticas se detiene en profundizar en estos cálculos (cuando los alumnos tienen entre 12 y 16 años) el
momento en el que los escolares muestran mayor
falta de interés por las matemáticas.
El estudio de las matemáticas en los diferentes
planes de estudios tiene dos fines, que no son excluyentes entre sí, sino, más bien, complementarios, el
fin utilitario y el fin formativo.
à
3. Las matemáticas útiles.
Las matemáticas del
hombre de la calle
Las matemáticas que se deben enseñar, las que
son útiles para las personas y, en consecuencia, para
la sociedad, deben desarrollar las cualidades más
nobles de las personas y conseguir el doble objetivo
que tienen las matemáticas. En primer lugar, el
aprendizaje de las matemáticas debe estructurar la
mente y reforzar algunas cualidades del pensamiento humano. Debe desarrollar el razonamiento deductivo, despertar la curiosidad por los problemas que se
les planteen y probar soluciones para los mismos.
Además, los planteamientos matemáticos deberían
potenciar la imaginación de los alumnos y la creatividad de los mismos haciéndoles formular hipótesis
para resolver problemas y, sobre todo, tener la confianza de que, con nuestro esfuerzo, nuestros ensayos de resolución y con nuestra imaginación, podremos resolver la mayor parte de los problemas que
nos plantee la vida.
3
Todas estas aptitudes que ofrecen las matemáticas
a los que las estudian las vienen ofreciendo desde que
se configuraron en Grecia como una ciencia deductiva. Pero es indudable que los contenidos de las matemáticas han ido creciendo a lo largo de la historia y
los tópicos que se han seleccionado así como los
métodos utilizados para llevar a cabo en cada
momento la educación matemática, han sido bien
diferentes a lo largo de la historia.
En la historia de las matemáticas ha habido diferentes tendencias; en el siglo XVI, como hemos apuntado
antes, la geometría perdió preponderancia frente a los
métodos numéricos y algebraicos. A lo largo del siglo
XVIII, como las matemáticas estaban muy influenciadas
por el peso de la física, la enseñanza de las matemáticas se apoyaba en la intuición y en analogías con el
mundo de alrededor. A mediados del siglo XX surgió
una tendencia logicista de la matemática, que recogía
la teoría de conjuntos y las estructuras algebraicas en
los planes de estudio desde la escuela primaria hasta la
universidad. Esta fue una tendencia aparecida en Estados Unidos, que en Francia fue apoyada por la corriente bourbakista y que en los años sesenta entró en España. La tendencia logicista fue abandonada por los
métodos de resolución de problemas. Metodología que
plantea a los alumnos la resolución de cuestiones para
las que es preciso plantearse estrategias diferentes para
atacar un problema, buscar métodos de resolución
adecuados y poner a prueba la aplicación de los métodos matemáticos conocidos.
Pese a los cambios que ha habido a lo largo de la
historia en los contenidos y en los métodos de las
matemáticas y en la didáctica de las mismas, hay algo
que permanece en la formación de los matemáticos y
es lo que hace que estén emparentados por la configuración de su pensamiento Euclides, Arquímedes,
Descartes, Newton, Gauss, Hilbert o Gödel.
à
4. Los grandes cambios
en los contenidos en la
enseñanza de las matemáticas
Los contenidos de la enseñanza de las matemáticas han cambiado a lo largo de la historia. La afirmación no supone ningún descubrimiento que produzca
sorpresa, puesto que la influencia de las diferentes
ramas de las matemáticas que han ido apareciendo
Pons asinorum o puente de los asnos tiene el significado tradicional de aquellos conocimientos básicos que separan a las personas
cultas de las incultas. Seguramente, en la actualidad nadie sabría decir qué conocimientos constituyen el pons asinorum de la historia o de la filosofía o de la física. En la Edad Media y en matemáticas estaba claramente definido, era el teorema de Pitágoras.
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en el siglo XXI?
han hecho que, en determinados periodos, los contenidos de los planes de estudios hayan sufrido variaciones. No vamos a destacar las pequeñas modificaciones de contenido, ni tampoco los cambios de
orientación o de acento que han alentado los diferentes planes de estudio de los distintos países. Simplemente vamos a destacar dos de las más grandes revoluciones que se han producido en la enseñanza de las
matemáticas.
La primera de ellas se produjo en los siglos XV y XVI
cuando la enseñanza de la geometría euclídea que se
impartía en las universidades medievales se vio paulatinamente desplazada por la influencia de la aritmética
arábiga y la aparición del álgebra. La difusión de la
aritmética y el álgebra que se impartía en las escuelas
de ábaco4 desplazó progresivamente a la geometría de
Euclides. La preponderancia de la aritmética sobre la
geometría se puso de manifiesto por el hecho de que
el primer libro de matemáticas que se imprimió en
Europa, en 1478, fue una aritmética para comerciantes, la conocida como Aritmética de Treviso. El autor de
esta aritmética es desconocido, Treviso es el nombre de
la ciudad en la que se imprimió. Los Elementos de
Euclides se publicaron cuatro años más tarde.
La segunda revolución en la enseñanza de las
matemáticas se produjo a mediados del siglo XX. A
mediados de los años cincuenta la sensación que producía la enseñanza de las matemáticas era parecida a
la que tenemos actualmente: los alumnos tenían baja
formación en matemáticas, la asignatura de matemáticas no despertaba el interés de los alumnos, a veces
hasta crispaba algunos y les producía terror. Los adultos no recordaban casi nada de las matemáticas que
habían aprendido; había algunos que no vacilaban en
afirmar que no habían sacado nada de sus estudios
de matemáticas. La reforma se conoció como la de la
matemática moderna porque su crítica se apoyaba en
dos puntos fundamentales, el primero era que en el
siglo XX, no se podían seguir explicando unos resultados matemáticos que habían sido descubiertos en el
siglo XVIII. Este argumento fue la principal carta de
presentación, junto con la propuesta de que dos
siglos en los que las matemáticas habían tenido un
avance espectacular algo tendrían que aportar a los
anticuados contenidos y a los obsoletos métodos de
enseñanza que se habían venido empleando. El
segundo punto con el que se enfrentaban los defensores de la matemática moderna a la enseñanza tra-
dicional era que en el plan tradicional los alumnos
aprendían a trabajar en matemáticas de forma
maquinal, por imitación y memorizando procedimientos y demostraciones. La propuesta que hacían
los defensores de la matemática moderna era mostrar
la matemática ordenada lógicamente evidenciando y
explicando el razonamiento en el que se apoya cada
paso. Con una comprensión lógica y racional de las
matemáticas los alumnos no tendrían necesidad de
estudiar de memoria, comprenderían las matemáticas
y su aprendizaje sería duradero 5.
4.1. El álgebra sustituye a la geometría
Con anterioridad a la aparición del álgebra en el
siglo XVI, los estudiantes medievales del quadrivium
resolvían problemas que implicaban ecuaciones de
segundo grado utilizando procedimientos geométricos. Los métodos matemáticos que empleaban están
recogidos en las primeras proposiciones del libro II de
los Elementos de Euclides. La geometría contenida
en este libro de los Elementos se conoce como álgebra geométrica. Los matemáticos medievales con
estos resultados, y con una visión del problema en
términos geométricos, que se le hace extraña a un
matemático actual, resolvían problemas de ecuaciones de segundo grado.
A continuación exponemos cómo un estudiante
de cualquier universidad medieval abordaría la resolución de una ecuación de segundo grado. Utilizando
los resultados del álgebra geométrica del libro II de los
Elementos.
Resolución de la ecuación:
x2 + ax = a2 ó x(x+a) = a2
El primer miembro de la ecuación lo podemos
representar geométricamente por la unión de un rectángulo de longitud a y anchura x y un cuadrado de
lado x, tal y como indica la figura:
4
Las escuelas de ábaco difundieron en Italia, a partir del siglo XIII, los conocimientos que traían los comerciantes sobre el sistema de
numeración hindú, el álgebra de los árabes y algunas obras matemáticas griegas traducidas al árabe. Con estos nuevos conocimientos y en estas escuelas se formaban comerciantes y artesanos.
5 Kline, M. (1981) El fracaso de la matemática moderna, p. 31, Siglo XXI, Madrid.
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Es decir, que se verifica:
Área del rectángulo = x (x+a)
El rectángulo de dimensiones a por x lo dividimos
en dos partes iguales
Y fácilmente podemos construir x
Después colocamos las tres partes como se indica
a continuación y obtenemos una figura que para
completar un cuadrado de lado a/2 + x, le falta un
cuadrado de lado a/2
Este método de resolución de ecuaciones resulta
extraño al matemático actual porque el álgebra geométrica ha desaparecido como método de resolución
de problemas de ecuaciones, y, más aún, la geometría ha sido desplazada por el álgebra y hoy un alumno de ESO podría resolver fácilmente esa ecuación y
obtendría, no sólo una, sino dos soluciones:
Por lo tanto:
y
Área del rectángulo = x (x+a) =
⇒
(teniendo en cuenta que la ecuación x2 + ax = a2 ó
x(x+a) = a2)
⇒ a2 =
o lo que es igual:
Una de las soluciones es positiva y otra negativa.
Otra cuestión sería que el alumno de ESO pudiera
explicarnos el sentido de la solución negativa que no
se había podido calcular por el método griego del
álgebra geométrica.
4.2. La revolución de la matemática
moderna de mediados del siglo XX
luego
es la hipotenusa de un triángulo rectán-
gulo de catetos a y
36
.
A comienzos de los años cincuenta del siglo pasado en Estados Unidos se tenía el convencimiento de
que la enseñanza de las matemáticas atravesaba un
momento bajo. Los estudiantes tenían un bajísimo
nivel de conocimientos de la materia y recordaban la
asignatura con cierto terror. La mayor parte de los
¿Qué matemáticas
debemos enseñar
en el siglo XXI?
adultos no sabían realizar sencillas operaciones con
sumas y restas y reconocían no recordar nada de lo
que les habían enseñado en sus clases de matemáticas. Ante este estado de opinión se concluyó que era
preciso elevar el nivel de conocimientos matemáticos
de la población. Se podía haber hecho un recuento
de las deficiencias matemáticas que encontraban los
diferentes profesionales en el ejercicio de sus labores
y, además, haber tenido en cuenta las numerosas
carencias matemáticas del ejército americano, recién
salido de la Segunda Guerra Mundial, carencias que
habían sido detectadas en estudios realizados y, con
esos datos haber elaborado un plan de choque con el
fin de subsanar las insuficiencias matemáticas, pero
se optó por reflexionar sobre los fallos globales de la
enseñanza de la materia y preparar un plan nuevo y
coherente que solucionara los defectos observados en
la formación matemática de la población media.
En Estados Unidos se formaron muchos grupos
de trabajo para detectar y atajar los males que padecía la enseñanza de las matemáticas. En 1952 el
comité de la facultad de matemáticas de Ilinois
comenzó a elaborar un plan para enseñanza secundaria que, en 1960, fue probado por un grupo experimental. En 1958, un grupo de trabajo de la American Mathematical Society elaboró un plan de estudios
para las matemáticas de todos los cursos de enseñanza secundaria. En 1959 la College Entrance Examination Board creó una comisión que culminó con la
redacción de un programa para preparar el ingreso de
matemáticas en los College. A finales de los años cincuenta todo el mundillo matemático estaba convencido de la necesidad del cambio de los planes y los profesores de enseñanza secundaria comenzaron a
escribir sus libros de texto siguiendo las directrices
marcadas por esos grupos. Sorprendentemente, y de
forma independiente numerosos grupos de escritores
siguieron la misma dirección, marcando una tendencia que ha sido denominada matemática moderna o
nueva matemática6.
En el camino de realización del nuevo plan se
pusieron de relieve los defectos más destacables de
la enseñanza tradicional de las matemáticas, que se
realizaba en las aulas. Los defectos que se detectaron en la enseñanza de las matemáticas fueron
numerosos y entre ellos destacan los que se enumeran a continuación.
La mayor parte de los reformistas coincidían en
que los alumnos aprendían a hacer matemáticas
memorizando procedimientos y demostraciones que
6
luego repetían y más tarde olvidaban. La propuesta
de los partidarios de la matemática era la de enseñar
las matemáticas lógicamente y que se mostrara claramente el razonamiento, de esa forma los alumnos no
tendrían necesidad de memorizar ni teoremas ni
métodos, comprenderían las matemáticas y no las
olvidarían. La lógica era la base de la nueva pedagogía y se proponía como línea medular del nuevo plan.
El sistema metodológico en el que se iba a basar el
plan que proponían los reformadores era el que tenía
la geometría, que ya estaba estructurada de forma
axiomática y extraía sus conclusiones de forma
deductiva. Es decir, la presentación didáctica de los
diferentes temas de las matemáticas se iba a desplegar de modo axiomático. Se trataba de, a partir de
unos axiomas y de unas definiciones, exponer de
forma deductiva las diferentes proposiciones y teoremas. El nuevo enfoque, como es natural, iba a afectar más a la presentación didáctica de la aritmética y
del álgebra que a la de la geometría.
Otra crítica no menos incisiva que aquejaba a la
enseñanza tradicional de las matemáticas era el proceso mecánico que se ponia de manifiesto en la progresión de procedimientos que se utilizaban para realizar operaciones. A los alumnos se les insistía en que
hicieran muchos ejercicios para conseguir calcular
con rapidez. Se les pedía que se ejercitaran en el
cálculo con números enteros, racionales e irracionales, que aprendieran a operar con fracciones numéricas para luego hacer cálculos con fracciones algebraicas y más tarde a simplificar expresiones algebraicas,
que iban a surgir en el cálculo infinitesimal. En estos
casos y en muchos más se exigía que los alumnos imitaran al maestro y tuvieran soltura y precisión en la
realización de una gran variedad de procedimientos
de cálculo, que aprendían de memoria. El desarrollo
de las habilidades hacen que el alumno aprenda a
realizar las operaciones con las que se trabaja en
matemáticas superiores. Pero los alumnos ven la
variedad de procedimientos como páginas arrancadas de un centenar de libros diferentes, y esas páginas juntas no muestran el verdadero pálpito de las
matemáticas, ni les transmiten ese gusanillo que ha
hecho a muchos de sus profesores estudiar matemáticas.
Los contenidos matemáticos de la enseñanza tradicional tampoco se libraron de las críticas Los
defensores de la matemática moderna pensaban que
había temas de matemáticas que habían perdido
importancia tanto utilitaria como formativa que per-
Kline, M. (1972) El fracaso de la matemática moderna, p. 22, Siglo XXI, Madrid.
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manecían en los planes de estudios. Tal era el caso
de la resolución de triángulos, que sólo tenía importancia práctica para los topógrafos, el estudio de los
números complejos, la descomposición en factores
de un polinomio, los métodos para encontrar las
soluciones irracionales de las ecuaciones polinómicas o el cálculo con logaritmos. No se podía argumentar la utilidad en el futuro, porque la mayor parte
de los adultos que no se dedicaban a la ciencia decían que nunca los habían utilizado y el grupo de
científicos sólo era una pequeña parte de los que
habían estudiado matemáticas.
Cuando se trata de justificar la elección de los
temas que deben configurar un currículo de matemáticas unas veces se suele argumentar que los temas se
seleccionan porque son un excelente entrenamiento
mental. Otras veces se justifica la inclusión de algunos
temas en el currículo por la claridad de sus métodos
y por la belleza de su pensamiento.
No obstante, algunos estudiantes, cuando sufren
por la dificultad de los temas de matemáticas, replican que para entrenar mentalmente el cerebro se
podían elegir otros temas más asequibles que los que
recogen las matemáticas, y que adquirir los métodos
de razonamiento inherentes al aprendizaje de las
matemáticas se puede lograr recurriendo a ejemplos
de la vida social o de la vida cotidiana de una forma
mucho más clara y próxima a los estudiantes. En
cuanto a la belleza del pensamiento que nos ofrece
una demostración, en algunos alumnos despierta,
más que admiración, un aumento de la preocupación
al intentar comprenderla y luego tener que recordarla
para responder en un examen.
Otra crítica a la enseñanza tradicional de las matemáticas es que las cuestiones de aplicación de la teoría, aunque están relacionadas con la vida real, presentan redacciones artificiales de unos problemas que
nunca se los plantean a los alumnos de manera natural. Es decir, que la práctica de las matemáticas elementales, aquello que constituye la aplicación de la
metodología adquirida son una colección de problemas artificiales que, además, están clasificados: problemas de calcular números que cumplan ciertas propiedades, de móviles, de grifos, de mezclas, de
edades y otros de corte similar se suceden en los
libros de texto de matemáticas, dando una imagen de
la materia algo alejada del mundo real. Dado que la
mayor parte de las matemáticas elementales han surgido de problemas relacionados con la realidad, la
matemática moderna propone que se planteen los
problemas que dieron origen a las grandes cuestiones
de las matemáticas o que, por lo menos, se planteen
problemas reales que estén relacionados con ellas.
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Por todo esto se detecta en la enseñanza tradicional de las matemáticas una falta de motivación, que
presente de una forma atractiva la belleza de los problemas de las matemáticas y sus reconocidas utilidades. La motivación, además de ser un estímulo psicológico, es una buena introducción al origen de los
problemas matemáticos y hace comprender el significado de la materia. Un aprendizaje de las matemáticas basado en un dominio del cálculo para después
aplicar todos los trucos de ese cálculo a problemas
artificiales y raídos sin llegar a los grandes problemas
matemáticos es como si pretendiéramos formar músicos enseñando a los alumnos a leer solfeo y nunca llegaran a interpretar la música.
Las matemáticas tradicionales han quedado fielmente reproducidas en los libros de texto. En ellos
rara vez se proponen problemas de ingenio y cuando
aparecen son un añadido en forma de miscelánea
que viene a aumentar la lista de problemas a los
alumnos no interesados.
4.3. Las aportaciones de la
matemática moderna
El origen del término matemática moderna surgió,
más que por la elección de sus contenidos, porque en
todos los comunicados, incluso antes de que hubiera
un acuerdo sobre los temas que se iban a seleccionar,
ni en la orientación que iba a tomar, un mensaje se
difundía como una consigna entre todos los profesores y era que la enseñanza tradicional de las matemáticas había fracasado porque explicaba unas matemáticas anticuadas; todas las teorías habían sido
descubiertas antes de 1750. En un ambiente en que
en el campo de los profesores corrían estos lemas, los
alumnos no estaban dispuestos a aprender unas
matemáticas obsoletas, o, cuando menos, antiguas,
con lo que la situación se complicó ¿Iría usted a un
médico cuyos conocimientos estuvieran anclados en
el siglo XVIII? Por lo tanto, la propuesta fue matemática moderna suponía sustituir los viejos temas por
otros nuevos y casi todos los temas tradicionales fueron sustituidos por otros de más reciente aparición,
como la teoría de conjuntos, la lógica simbólica, la
topología o el álgebra de Boole. La consigna era
matemática moderna.
El resultado de sustituir la geometría de Euclides
por el álgebra de Boole, los movimientos en el plano
por las estructuras algebraicas o la resolución de
ecuaciones algebraicas por la lógica de proposiciones
no hizo mejorar el aprecio de los alumnos por las
matemáticas. Aunque la matemática moderna no
supuso una mejora en la motivación de los alumnos
¿Qué matemáticas
debemos enseñar
en el siglo XXI?
tuvo un efecto colateral e importante y fue que el interés que mostraron por esta reforma los diferentes
estamentos administrativos de la enseñanza lo que
contribuyó a que éstas volvieran a ser consideradas
por la sociedad como una piedra angular de la formación de los estudiantes.
La metodología empleada por la matemática
moderna en el estudio de las sucesivas ampliaciones
numéricas, que era el comienzo de la aritmética elemental, fue axiomática y rigurosa y es un claro ejemplo de cómo se pretendía realizar la enseñaza de los
demás temas. En el estudio de los números naturales
el punto de partida eran los axiomas de Peano. Los
números enteros se explicaban, en la mayor parte de
los libros de texto, de forma algebraica definiendo
una relación de equivalencia en el conjunto producto
cartesiano N x N y, con otra relación de equivalencia
en el conjunto de los números enteros, se construían
los números racionales.
El entusiasmo mostrado en España por la nueva
matemática fue notable; era la época en que cuando
alguien proponía el estudio de un tema que diera
lugar a problemas en los que para resolverlo fuera
necesario echar mano de la intuición o diera lugar a
cuestiones particulares, siempre se encontraba con
algún colega que le decía: no queremos cabezas llenas, sino bien estructuradas. Evidentemente, lo que
estructuraba la mente de los alumnos era el conocimiento de las estructuras matemáticas, que representaban para algunos el resumen de muchos años
de historia de las matemáticas, sintetizado gracias a la
teoría de conjuntos, las estructuras algebraicas y el
método axiomático.
Los profesores de matemáticas hemos comprobado con nuestra propia experiencia que esta didáctica
matemática de taxidermistas tampoco prosperó.
Entre los factores que contribuyeron a que no tuviera
éxito está el que las matemáticas se presentaban
como una obra acabada. Presentaban todas las matemáticas de forma compacta y coherente, pero les
habían eliminado esa chispa que tiene un proceso
creativo. Se hicieron libros como si las teorías, las
grandes ideas y las estructuras de las matemáticas
hubieran nacido de esa forma en la mente de sus creadores. No se tenían en cuenta los tres siglos de profundización en la geometría que transcurrieron de
Thales a Euclides, ni la lenta creación del lenguaje
algebraico de los hindúes a Vieta y Descartes; tampoco se tenían en cuenta las grandes dudas que en
forma de paradojas lógicas le planteó Berkeley a
Newton en los comienzos del cálculo infinitesimal, ni
otras muchas pegas que planteadas y resueltas supusieron el avance de las matemáticas y nos ofrecen su
cara más dinámica, fresca y creativa. Debemos considerar también que a lo largo de la historia las matemáticas han avanzando mucho sin que sus fundamentos lógicos estuvieran bien asentados, basta con
pensar en el largo periodo que va del siglo XVII a
comienzos del siglo XX. Es el periodo en el que escriben sus obras grandes matemáticos como Euler
(1707-83), J. L. Lagrange (1736-1813), A. Cauchy
(1789-1857), K.F. Gauss (1777-1855) o F. Klein
(1849-1925). En estos periodos los matemáticos iban
resolviendo los problemas que surgían en la ciencia,
que planteaba la vida cotidiana y otros que planteaba la propia dinámica de las matemáticas y los resolvían llegando a conclusiones válidas haciendo uso de
cálculos en los que confiaban plenamente, utilizando
la intuición, manejando argumentos físicos o realizando generalizaciones de casos más sencillos.
à
5. Las calculadoras y
la informática: cambio
del ecosistema en el que
se enseñan la matemáticas
Casi todas las reformas de la enseñanza de las
matemáticas que se han hecho a lo largo de la historia se han realizado por cambios de la orientación de
la propia materia, es decir, que ha sido la propia evolución de la materia la que ha aconsejado realizar
modificaciones en los contenidos de los currículos o
en la metodología de los mismos. Como hemos reseñado anteriormente, en el siglo XVI el álgebra desplazó a la geometría euclídea, aunque, posteriormente,
la geometría encontró su lugar en los currículos convertida en geometría analítica. La ampliación sucesiva de las ramas del árbol de las matemáticas ha
hecho que en unos planes de estudio se haya hecho
más hincapié en determinados temas, se hayan relegado unos y abandonado otros. ¿Dónde están en los
currículos de hoy los números poligonales, el algoritmo de las fracciones continuas o el conjunto cociente? Pero, con todos los cambios y todas las modificaciones que han sufrido los planes de estudios, la
dificultad más importante, la que constituía el pons
asinorun de las matemáticas, era el cálculo numérico
y literal. Los profesores de matemáticas estamos convencidos de que los alumnos que aprenden a calcular
y saben aplicar el cálculo para resolver sencillos problemas podrán seguir estudios científicos con bastante facilidad.
Hasta el último cuarto del siglo XX las modificaciones de los planes de estudio de matemáticas se habían
39
ACTA
¿Qué matemáticas debemos enseñar en el siglo XXI?
producido por imperativo de la propia materia, la cual
producía tópicos nuevos o modificaba su metodología. Pero a partir de los años setenta del siglo pasado
el cambio no se ha producido, utilizando un símil de la
teoría de la evolución, por una mutación que haya
afectado a las matemáticas, sino por el profundo cambio que se está llevando a cabo en el ecosistema en
que evolucionan las matemáticas. El ecosistema de las
matemáticas y el de la ciencia en general se ha modificado por la aparición de las calculadoras y los ordenadores, que se han convertido en herramientas
imprescindibles para el trabajo de los científicos en
general y de los matemáticos en particular.
La aparición de los transistores en 1950 permitió
fabricar sistemas lógicos mucho más potentes que los
que se podían producir con las válvulas que tenían los
ordenadores primitivos como ENIAC. Los transistores
consumían menos energía y tenían mayor vida útil
que las válvulas y su utilización permitió la fabricación
de unos ordenadores nuevos, que constituyeron la
segunda generación de ordenadores. A finales de los
sesenta aparecieron los circuitos integrados, con ellos
se consiguió tener varios transistores unidos en un
único sustrato de silicio. Los circuitos integrados permitieron una reducción enorme del precio y del tamaño de las calculadoras y de los ordenadores; los ordenadores con circuitos integrados son la tercera
generación de ordenadores. Cuando en la década de
1970 apareció el microprocesador, que eran varios
miles de transistores en un sustrato de silicio, se inauguró una nueva etapa en la evolución de los ordenadores, que se conoce como la cuarta generación de
los ordenadores.
El avance de los ordenadores ha ido paralelo al de
las calculadoras. Las primeras calculadoras electrónicas portátiles aparecieron en Japón en 1970 y desde
ese momento sus prestaciones han ido aumentando.
El invento de mayor repercusión fue el de la calculadora de bolsillo, que es la más utilizada. Desde la primera, Texas Instruments de 1970 con circuitos con
transistores, algo más de un kilo y 150 dólares de precio, el progreso ha sido ininterrumpido. A partir de la
segunda mitad de los años setenta las calculadoras
dejaron de ser un artículo de lujo y se convirtieron en
una herramienta asequible para la mayor parte de la
población occidental.
Pero las calculadoras no solamente se limitaron a
ser pequeñas herramientas para realizar cálculos
numéricos. La calculadora científica permitía calcular
con logaritmos y razones trigonométricas. La calculadora borró del mapa de las matemáticas a las aborrecidas tablas de logaritmos y tablas de razones trigonométricas, pero, además, permitía hacer cálculos
40
estadísticos y calcular raíces de cualquier índice. El
progreso no paró en esto; en 1985 se lanzó al mercado la primera calculadora gráfica, la Casio fx7000G,
que permitía representar gráficamente funciones, curvas y datos estadísticos. Dos años después se lanzó al
mercado la calculadora HP-28, que podía realizar cálculo simbólico. Es decir, podía resolver ecuaciones
algebraicas, simplificar fracciones algebraicas o realizar el cociente de dos polinomios.
En consecuencia podemos decir que, a finales del
siglo XX, con las calculadoras se podían realizar de
una manera sencilla tediosos cálculos y, además, las
calculadoras habían conseguido hacer cálculos estadísticos, representar gráficamente los datos estadísticos y realizar cálculos algebraicos mecánicos complicados. Con algunas calculadoras hasta se podían
calcular derivadas e integrales o realizar desarrollos
en serie de funciones.
5.1. La repercusión de las calculadoras
y los ordenadores en las
matemáticas y en su enseñanza
Desde los años setenta hasta hoy la calculadora se
ha convertido en el instrumento más empleado en las
matemáticas en la ciencia y en la técnica. En el terreno profesional desplazó a las reglas de cálculo que
utilizaban los ingenieros, a las que superaba en velocidad de cálculo y precisión. Las calculadoras científicas han hecho, en sólo treinta años, que las tablas de
logaritmos sean los libros más obsoletos del mundo
de las matemáticas. Las calculadoras gráficas han
permitido representar gráficas de funciones, representación gráfica de curvas en paramétricas, así como de
datos estadísticos.
La utilización de la calculadora en la enseñanza
de las matemáticas y en la ciencia está plenamente
implantada. No obstante, en la mayor parte de los
centros de enseñanza secundaria de España se prohíbe el uso de la calculadora en los dos primeros cursos. La razón de esta prohibición tiene su fundamento pedagógico, y es que los alumnos deben aprender
a calcular por ellos mismos y el uso de la calculadora
suele producir el efecto de que los estudiantes utilicen
la calculadora hasta para realizar las operaciones más
sencillas y después no pueden realizar ningún cálculo
si no disponen de una.
Por otra parte, enseñar a los alumnos a calcular
correctamente sin ayuda de calculadora de forma que
estén capacitados para el estudio de las ciencias tiene
el efecto de que muchos alumnos pierden el gusto por
las matemáticas. Preparar a los alumnos para que cal-
¿Qué matemáticas
debemos enseñar
en el siglo XXI?
culen bien y entiendan el lenguaje de la física y de las
técnicas en general supone aprender a calcular con
fracciones, a operar con potencias de exponente
entero, a trabajar con radicales, a operar con polinomios y con fracciones algebraicas, a resolver ecuaciones algebraicas o a realizar cálculos con logaritmos. El
largo camino de este aprendizaje tiene el efecto negativo de que a muchos alumnos se les hace largo y
penoso y es una de las causas por la que algunos
alumnos, aburridos por lo árido del tema y cansados
de hacer un esfuerzo por algo de lo que no ven una
aplicación inmediata, comienzan a perder el gusto
por las matemáticas.
Esta situación se suele producir en segundo de la
ESO. En el primer curso los alumnos resuelven algunos problemas de repartos, otros de proporcionalidad, cuestiones prácticas que implican el uso de fracciones, adquieren el concepto de área y calculan las
áreas de algunas figuras planas. En segundo curso, a
medida que se hace más hincapié en el cálculo, bastantes alumnos dejan de mostrar interés o por las
matemáticas o empiezan a considerarlas como un
obstáculo insalvable. Sería interesante probar permitir el uso de la calculadora científica para hacer algunas operaciones y resolver problemas e incluso, con
algunos alumnos, utilizar una calculadora de cálculo
simbólico para comprobar el nivel que alcanzan en
matemáticas.
El uso de la calculadora ha contribuido a hacer
sencillos muchos problemas de matemáticas que sin
su utilización eran difíciles. Mi experiencia personal
con la asignatura de astronomía que se impartía en la
universidad de Zaragoza es que los problemas de
cambio de coordenadas astronómicas, de cálculo de
efemérides y todos los problemas que suponían la
resolución de triángulos esféricos eran de gran dificultad cuando se solucionaban con tablas de logaritmos
y tablas trigonométricas debido a la precisión que exigían los cálculos y la facilidad de equivocarse con el
manejo de tablas y con las interpolaciones. La aparición de la calculadora los transformó en sencillos problemas.
En la actualidad si analizamos los resultados de
alumnos de matemáticas en tercero de ESO, aproximadamente el 50% no sabe hacer correctamente
cálculos numéricos y literales, y muchos de ellos suelen optar por elegir en cuarto curso las matemáticas A
y orientarse hacia estudios relacionados con las ciencias sociales, estudiando ciclos profesionales de grado
medio, ciclos superiores o estudios universitarios.
Estos pasarán a engrosar el grupo de adultos que dirá
que el estudio de las matemáticas no les ha servido
para nada. Aproximadamente la mitad del resto cursa
las matemáticas B, de ellos las dos terceras partes cursarán módulos profesionales o se orientarán hacia
módulos profesionales o carreras bio-sanitarias. De
modo que solo a un 16% le sirve aprender el cálculo
numérico y literal en sus respectivas profesiones.
Si establecemos un paralelismo entre las matemáticas y la física y asociamos el cálculo con el solfeo,
solamente un 16% es capaz de interpretar una partitura con un instrumento, el resto no interpreta música
o toca de oído.
¿Qué matemáticas podrían aprender los alumnos
en el tiempo que dedicamos a insistir que aprendan
en el cálculo sin conseguirlo?
5.2. ¿Quién hace matemáticas
con lápiz y papel?
Algunos profesores, ante el retroceso progresivo
de los niveles de competencia que adquieren los
alumnos, han propuesto una vuelta a los conocimientos básicos intentando que se vuelva a exigir una
competencia en el cálculo con las operaciones aritméticas y contra el uso de las calculadoras. Esto supone
una vuelta al pasado ignorando la aparición de una
herramienta de cálculo que fuera de las aulas la utiliza todo el mundo. Es la vuelta a la instrucción tradicional con los algoritmos de la aritmética de lápiz y
papel; los alumnos aprenderán a hacer sumas de
muchos y grandes sumandos, diferencias de números
grandes, divisiones largas o raíces cuadradas. Otros
profesores piden que se abandone la enseñanza de la
aritmética de papel y lápiz desde la escuela primaria
y que esta enseñanza, que era tradicional e inevitable
hasta los años setenta del siglo XX, sea sustituida por
un currículo que haga uso de las calculadoras con
propósitos educativos desde la escuela primaria.
Ambas tendencias proponen que se haga uso del
cálculo mental y de los cálculos aproximados.
Lynn Arthur Steen escribió un artículo con el título de ¿Quién hace todavía matemáticas con lápiz y
papel? La respuesta que da es que los únicos que
hacen matemáticas con lápiz y papel son los estudiantes en sus cursos de matemáticas. En general, las personas y los profesionales que usan habitualmente las
matemáticas en su trabajo, en sus negocios, los ingenieros, los economistas y los científicos, cuando
hacen cálculos, usan calculadoras, hojas de cálculo,
programas de manipulación algebraica como Derive,
Matlab, Maple o Mathemática, y raramente utilizan el
lápiz y el papel.
Los matemáticos en sus investigaciones usan
ordenadores para experimentar sus conjeturas, para
41
ACTA
¿Qué matemáticas debemos enseñar en el siglo XXI?
explorar la complejidad de algunos problemas, para
simular situaciones e incluso para realizar demostraciones. Sin embargo, los profesores de matemáticas
acostumbramos a enseñar las matemáticas como las
aprendimos. Las clases de matemáticas continúan en
la era del lápiz y papel, sobre todo porque es el modo
habitual de responder el tipo de preguntas que se
plantean en los exámenes. Aunque la mayor parte de
los matemáticos utiliza el ordenador para sus investigaciones, casi todos creen que la computadora no es
apropiada para la enseñanza de las matemáticas.
Un ejemplo curioso de los recelos que despierta
el empleo del ordenador en matemáticas es el que
se produjo con la demostración del problema de los
cuatro colores. La prueba del teorema se tuvo que
hacer estudiando cerca de dos mil casos particulares con el ordenador. El problema de los cuatro
colores se planteó en el siglo XIX y se formuló así:
¿Cuántos colores son necesarios para colorear un
mapa de manera que dos países vecinos y con una
línea de frontera común estén coloreados de diferente color?
En 1878, el matemático A. Cayley (1821-85) conjeturó que eran suficientes cuatro colores. Más tarde
la conjetura se demostró para mapas que contuvieran
menos de treinta y ocho regiones y para algunas
superficies geométricas como el toro, pero no se consiguió dar una prueba de la conjetura de Cayley para
cualquier mapa dibujado en el plano. Tras un siglo de
intentos, en 1976, los matemáticos de la universidad
de Illinois Kenneth Appel y Wolfgang Haken publicaron un razonamiento que reducía la prueba a la comprobación de la conjetura en cerca de 2.000 tipos de
mapas diferentes. La comprobación se hizo con ordenador y fueron necesarias muchas horas de cálculo
con ordenador. La prueba de Appel y Haken ha resistido la crítica hasta la actualidad.
Como la prueba de la conjetura del problema de
los cuatro colores se realizó con ordenador analizando una serie de casos discretos, la demostración no
fue inicialmente aceptada por los matemáticos, que
dudaban si una demostración hecha con ordenador
era una demostración matemática. En realidad las
demostraciones matemáticas se consideran válidas
una vez que han sido examinadas por la comunidad
científica que, en ocasiones, está formada por una
reducida comisión de expertos que entienden del
tema particular. ¿Puede la comunidad científica fiarse
en las conclusiones de un ordenador con la misma
seguridad que en el grupo de expertos?, ¿Tendrá
alguno de los programas informáticos un error lógico
que invalide la demostración?
42
En realidad el programa de ordenador también
está revisado por un grupo de científicos, por lo que
las conclusiones del ordenador pueden tener una fiabilidad análoga a la que tienen los teoremas aceptados en matemáticas. Pero hay quien piensa que en
las demostraciones que se realizan con ordenador no
se alcanza la misma profundidad de conocimiento
que se logra con las demostraciones matemáticas tradicionales. El argumento que se esgrime es que la
ciencia tiene el fin de comprender el proceso y la
esencia de la solución de cada problema y con una
demostración tan extensa y farragosa como la del
problema de los cuatro colores no podemos decir
que entendemos la demostración. Afirman que las
matemáticas son, precisamente, el arte de evitar los
cálculos largos y tediosos mediante conceptos y técnicas que nos permitan ir más rápido e intuir la naturaleza del problema.
5.3. Ordenadores y calculadoras
en las clases de matemáticas
En la enseñanza universitaria se manejan diferentes paquetes de software de cálculo científico para
realizar prácticas en diferentes asignaturas y para
hacer trabajos. Los programas más utilizados son:
El Maple, que realiza cálculos simbólicos, algebraicos y permite resolver problemas de álgebra computacional, fue creado en 1980 en la universidad de
Waterloo en Ontario (Canadá); su nombre proviene
de las primeras sílabas de MAthematical PLEasure
(Placer Matemático).
El Matlab, cuyo nombre está formado por las primeras sílabas de Matrix Laboratory, es un programa
de análisis numérico creado en 1984.
El Mathematica es un programa de álgebra computacional desarrollado inicialmente por Stephen
Wolfram y distribuido por la compañía, Wolfram
Research; utiliza librerías para ampliar las capacidades y reorientar el cálculo.
El Derive apareció en 1988, es un programa de
álgebra computacional desarrollado por Soft Warehouse en Hawaii, Estados Unidos; actualmente pertenece Texas Instruments, que lo ha colocado en sus
calculadoras TI-89 y TI-Nspire.
Los programas estadísticos más utilizados son
Minitab, que apareció en 1972 y permite realizar cálculos en estadística avanzada y va por la versión 15,
o el Statistical Package for the Social Sciences (SPSS),
muy usado en las ciencias sociales y en las cuestiones
de investigación de mercado.
¿Qué matemáticas
debemos enseñar
en el siglo XXI?
Las características que destacan los profesores
que utilizan estos programas en la enseñanza universitaria son que el uso del ordenador ofrece ciertas ventajas no solamente en lo que se refiere a la
adquisición de conceptos, sino también en el gusto
por la actividad matemática y destacan las siguientes características positivas que se despiertan en los
alumnos:
a) Cambia la percepción del estudiante sobre
las matemáticas.
b) Permite la concentración en la resolución de
problemas.
c) Invita a experimentar.
d) Revitaliza el énfasis geométrico-visual.
e) Constituye un medio para coordinar los distintos aspectos de un concepto.
f) Proporciona madurez.7
Estas características beneficiosas también se
podrían conseguir con los alumnos de la ESO elaborando programaciones adecuadas, cuidadosamente
organizadas y pautadas; para ello tendríamos que:
En primer lugar decidirnos porque los alumnos
aprendan un programa de manipulación algebraica a
medida que aprenden las operaciones. Es curioso
que al comienzo de la aparición de la informática
desde la Administración se propusiera que se enseñaran programas como el Open-Acces o el Works, programas precarios que no superaron con éxito el paso
del sistema operativo MS-dos, y ahora que tenemos
desde hace años unos sistemas operativos estables
nos cueste decidirnos por recomendar uno; hay
muchos profesores de Matemáticas que han recomendado el uso de Derive.
En segundo lugar insistir en que los alumnos comprendan, no solamente los algoritmos de las operaciones, sino lo que significan conceptualmente las
mismas. Esto lo podemos conseguir planteando problemas y cuestiones con las que puedan experimentar con el ordenador.
En tercer lugar es preciso recolectar las ideas que
muchos profesores de enseñanza media han ido sembrando en diferentes trabajos, artículos y en comunicaciones en congresos y jornadas para elaborar un
cuerpo de ejercicios, cuestiones y problemas con los
que sacar partido a la resolución de problemas con el
ordenador.
5.4. Una propuesta para el uso
de la informática en las aulas
de matemáticas de enseñanza
secundaria
El conocimiento de la historia de los grandes
cambios en la enseñanza de las matemáticas nos
hace ser cautos a la hora de proponer variaciones
metodológicas radicales. La aparición del lenguaje
algebraico aunque consiguió inicialmente arrinconar
la geometría euclídea, no consiguió acabar con ella.
La geometría apareció en el siglo XVII con un lenguaje algebraico y llena de prestigio, hasta el punto que
R. Descartes, P. Fermat, I. Newton, J. Bernoulli y
muchos matemáticos de los siglos XVII y XVIII fueron
llamados geómetras. El cambio metodológico que
supuso la matemática moderna en la segunda mitad
del siglo XX, pese a basarse en la lógica y ofrecer lo
más nuevo y fresco del pensamiento matemático, no
tuvo el éxito que anunciaban. Es por lo que cualquier propuesta metodológica nueva que se proponga para la enseñanza de las matemáticas en el tiempo de la calculadora y los ordenadores ha de hacerse
con prudencia. La tecnología hay que tenerla en
cuenta, pero sin pensar en abandonar definitivamente las prácticas de cálculo y sin confiar en que basta
con que los alumnos entiendan el significado de las
operaciones elementales para que, con una calculadora o un ordenador, puedan resolver los problemas
de las matemáticas.
Estoy casi convencido de que abandonar la
práctica del cálculo manual ocasionaría serias deficiencias en la formación de los alumnos. ¿Qué ocurriría si en la enseñanza secundaria se abandonara
el cálculo algebraico tradicional? Suponiendo que
sólo se exigiera el manejo de las operaciones aritméticas elementales y la proporcionalidad y dejáramos la mayor parte del lenguaje algebraico fuera de
la enseñanza, esa pequeña parte sería de poco
valor formativo. La razón fundamental es que el
cálculo es el lenguaje de las matemáticas y sólo seríamos capaces de expresar balbuceos matemáticos;
sería como si se quisiera conseguir hablar un idioma nuevo con una pizca de gramática y un poquito de vocabulario. Únicamente los más expresivos
conseguirían hacerse entender, pues, del mismo
modo, con tan poca formación en cálculo sólo los
más dotados para las matemáticas conseguirán
resolver los problemas.
7 Alfonso Gutiérrez, R.M.: Problemas de convergencia en un contexto de software educativo, Revista Números, Sociedad Canaria Isaac
Newton de Profesores de Matemáticas, Diciembre 2003, pp. 1-40.
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ACTA
¿Qué matemáticas debemos enseñar en el siglo XXI?
¿Quiere decir que los programas de manipulación
algebraica y las hojas de cálculo sólo los puede utilizar bien el que tiene buena formación en cálculo? Es
indudable que el que está mejor formado matemáticamente le podrá sacar mayor partido, pero, sin
embargo, hay unos hechos reales que los profesores
vemos todos los días. Hay alumnos que a los trece
años han decidido no calcular más, ni estudiar más
matemáticas; para estos alumnos, resolver problemas
de estadística y representar gráficamente los datos
con una hoja de cálculo suele resultar atractivo. Hay
alumnos a los catorce años que saben resolver algunas ecuaciones lineales sencillas a los que las divisiones con polinomios, la resolución de ecuaciones irracionales cuadráticas o las operaciones con fracciones
algebraicas se les hacen barreras infranqueables; para
estos alumnos un manipulador algebraico tipo Derive
sería de gran utilidad porque ya han adquirido cierta
familiaridad con los cálculos literales y estos programas informáticos suponen un apoyo para cubrir las
carencias formativas.
44
Por consiguiente, la propuesta es permitir el uso
de los medios informáticos en la medida que los
alumnos comiencen a sentir los obstáculos en el cálculo. Es decir, que sirvan de apoyo al aprendizaje. De
este modo, los alumnos con más dificultades de
aprendizaje comenzarán antes a apoyarse en la informática. Esta decisión tiene la ventajosa contrapartida
de que si se aplicara a los alumnos que en la actualidad no aprenden a calcular, aunque no lleguen a
tener un dominio del cálculo, tendrán el apoyo de un
programa informático con el que pueden resolver los
problemas.
El uso de la informática en la enseñanza también
es útil para los alumnos mejor dotados para las matemáticas y que dominan las técnicas del cálculo algebraico. Para estos alumnos sería de gran importancia
que resolvieran problemas amplios y realizaran trabajos que requieran cálculos más largos con el fin de
que se fueran familiarizando con la informática y
hagan cálculos matemáticos como los hacen científicos y técnicos en la práctica habitual de sus trabajos.