167 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B 22 DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM PARTES IGUAIS Dividir a circunferência em partes (ou arcos) iguais é o mesmo que construir polígonos regulares. Isso porque os pontos que dividem uma circunferência num número n (n>2) qualquer de partes iguais são sempre vértices de um polígono regular inscrito na mesma. Se dividirmos uma circunferência em n partes iguais, teremos também a divisão da mesma em 2n partes, bastando para isso traçar bissetrizes. Existem processos exatos e aproximados para a divisão da circunferência. Se existe um processo exato para divisão da circunferência este deve ser utilizado (e não um aproximado). 22.1 CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS QUANTO AO NÚMERO DE LADOS Número de lados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Polígono não existe não existe triângulo quadrilátero pentágono hexágono heptágono octógono eneágono decágono undecágono dodecágono tridecágono tetradecágono pentadecágono hexadecágono heptadecágono Número de lados 18 19 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100 1000 1.000.000 109 10100 Polígono octodecágono eneadecágono icoságono pentacoságono triacontágono tetracontágono pentacontágono hexacontágono heptacontágono octacontágono eneacontágono hectágono quilógono megágono gigágono googólgono circunferência Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100 lados, basta se combinar os prefixos e os sufixos a seguir: Departamento de Expressão Gráfica Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 168 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B Dezenas 20 30 40 50 60 70 80 90 e icositriacontatetracontapentacontahexacontaheptacontaoctacontaenneaconta- -kai- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Unidades -hena-di-tri-tetra-penta-hexa-hepta-octa-enea- sufixo gono Assim, um polígono de 42 lados deve ser nomeado da seguinte maneira: Dezenas tetraconta- e -kai- Unidades sufixo -di-gono nome completo do polígono tetracontakaidigono O polígono de 50 lados da seguinte forma: Dezenas pentaconta- 22.2 e Unidades sufixo -gono nome completo do polígono pentacontagono PROCESSOS EXATOS Dividindo a circunferência em n partes iguais, estamos dividindo o ângulo central de 360o em n partes também iguais. Logo, o ângulo cêntrico (vértice no centro e lados passando por vértices consecutivos do polígono) correspondente à divisão da circunferência em n partes iguais medirá 360o/n. O lado de um polígono regular de n lados é denotado por \Observação: ln 2 ln . ≠ l2 n Departamento de Expressão Gráfica Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 169 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B 1) Dividir uma circunferência em n = 2, 4, 8, 16,... = 2.2m partes; m∈ N O Medida do l 4 numa circunferência de raio r é l 4 = r 2 . n 2 4 8 16 Ângulo Cêntrico 180o 90o 45o 22,5o Polígono Regular “2 arcos capazes de 90o” Quadrado Octógono Hexadecágono 2) Dividir uma circunferência em n = 3, 6, 12, ... = 3.2m partes; m∈N O Medida do l 6 numa circunferência de raio r é l 6 = r. Medida do l3 numa circunferência de raio r é l3 = r 3 . Departamento de Expressão Gráfica Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 170 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B n 3 6 12 Ângulo Cêntrico 120o 60o 30o Polígono Regular Triângulo equilátero Hexágono Dodecágono 3) Dividir uma circunferência em n = 5, 10, 20, ... = 5.2m partes; m∈N Propriedade: O lado do decágono regular inscrito numa circunferência é o segmento áureo do raio. Ou seja, l10 2 = r.(r- l10 ). O Medida do l10 numa circunferência de raio r é l10 = r( 5 -1)/2. Propriedade: Para uma mesma circunferência, o l5 é hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são o l 6 e l10 . Medida do l 5 numa circunferência de raio r é l5 = r ( Departamento de Expressão Gráfica 5 − 5 1/ 2 ) 2 Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 171 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B n 5 10 20 Ângulo Cêntrico 72o 36o 18o Polígono Regular Pentágono Decágono Icoságono 4) Dividir uma circunferência em n = 15, 30, 60, ... = 15.2m partes; m∈N O n Ângulo Cêntrico Polígono Regular 15 30 24o 12o Pentadecágono Triacontágono Departamento de Expressão Gráfica Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 172 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B Exercícios 1. Construir os polígonos regulares de n lados sendo dado a medida do lado l. a) n = 3 b) n = 4 c) n = 5 Departamento de Expressão Gráfica d) n = 6 e) n = 8 f) n = 10 Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 173 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B 2. Construir ângulos de 48o, 24o, 12o, 144o, 72o e 36o. O O O O O O Departamento de Expressão Gráfica Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 174 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B 3. Construir um pentágono regular dado o seu semiperímetro p = 10cm. 4. Construir um pentagrama, dado a medida l do lado. 22.3 PROCESSOS APROXIMADOS Foram vistos processos para a divisão da circunferência em n partes iguais, por exemplo, para n igual a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15,... É possível dividir uma circunferência em 7, 9, 11, 13,... partes iguais, completando a primeira seqüência, porém estas divisões são aproximadas. Para determinar o erro teórico que se comete nas construções aproximadas determina-se o lado de um polígono regular de n lados em função do ângulo central (ou cêntrico) correspondente, ou seja, l n vale: 180 l n = 2 r sen n Departamento de Expressão Gráfica 0 Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 175 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B 1) Dividir uma circunferência em n = 7, 14, 28, ... = 7.2m partes; m∈N O Medida do l 7′ numa circunferência de raio r é l 7′ = l 3 /2 = r 3 /2 ≅ 0,86602 r Medida do l 7 numa circunferência de raio r é l 7 = 2r sen(180o/7) ≅ 0,86776 r Erro teórico cometido: εt = l 7′ - l 7 = -0,00174 r Ou seja, o erro é por falta e da ordem de dois milésimos, pois 0,0017 ≅ 0,002 n 7 14 Ângulo Cêntrico 51,4o... 25,7o... Departamento de Expressão Gráfica Polígono Regular Heptágono Tetradecágono Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 176 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B 2) Dividir uma circunferência em n = 9, 18, 36, ... = 9.2m partes; m∈N O Medida do l 9′ numa circunferência de raio r é l 9′ = r - (r 3 - r 2 ) ≅ 0,68216 r Medida do l 9 numa circunferência de raio r é l 9 = 2r sen(180o/9) ≅ 0,68404 r Erro teórico cometido: εt = l 9′ - l 9 = -0,00188 r Ou seja, o erro é por falta e da ordem de dois milésimos, pois 0,0018 ≅ 0,002. n 9 18 Ângulo Cêntrico 40o 20o Departamento de Expressão Gráfica Polígono Regular Eneágono Octadecágono Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 177 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B 3) Dividir uma circunferência em n = 11, 22, 44, ... = 11.2m partes; m∈N O Medida do l11′ numa circunferência de raio r é l11′ = r 5 /4 ≅ 0,55901 r Medida do l11 numa circunferência de raio r é l11 = 2r sen(180o/11) ≅ 0,56346 r Erro teórico cometido: εt = l11′ - l11 = -0,00445 r Ou seja, o erro é por falta e da ordem de quatro milésimos. n 11 22 Ângulo Cêntrico 32,7o... 16,3o... Departamento de Expressão Gráfica Polígono Regular Undecágono Icosikaidigono Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 178 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B 4) Dividir uma circunferência em n = 13, 26, 52, ... = 13.2m partes; m∈N O Medida do l13′ numa circunferência de raio r é l13′ = 2r 17 ≅ 0,48507 r 17 Medida do l13 numa circunferência de raio r é l13 = 2r sen(180o/13) ≅ 0,47863r Erro teórico cometido: εt = l13′ - l13 = 0,00644r Ou seja, o erro é por excesso e da ordem de seis milésimos. n 13 26 Ângulo Cêntrico 27,69o... 13,84o... Departamento de Expressão Gráfica Polígono Regular Tridecágono Icosikaihexagono Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 179 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B 5) Dividir uma circunferência em n = 15, 30, 60, ... = 15.2m partes; m∈N O ′ ′ Medida do l15 numa circunferência de raio r é l15 = r 2 - r ≅ 0,41421r Medida do l15 numa circunferência de raio r é l15 = 2r sen(180o/15) ≅ 0,41582r ′ Erro teórico cometido: εt = l15 - l15 = -0,00161 r Ou seja, o erro é por falta e da ordem de aproximadamente dois milésimos. Observação: Apesar de existir um processo exato que forneça o l15 , nota-se que este implica em muitos erros gráficos. O processo aproximado para a obtenção do l15 , a construção do l15′ dada acima, obtem melhores resultados graficamente. Departamento de Expressão Gráfica Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 180 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B Exercício: Construir os polígonos regulares de n lados sendo dado a medida do lado l. n=7 n=9 Departamento de Expressão Gráfica n = 11 n = 15 Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 181 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B 22.4 PROCESSOS GERAIS Quando se propõe uma divisão da circunferência em n partes iguais, se existir um processo exato, este deverá sempre ser utilizado. Nos casos em que não exista tal processo, pode-se utilizar os anteriores ou os gerais – isto é, para qualquer número de partes aplica-se um mesmo procedimento. 22.4.1 Processo de Rinaldini Departamento de Expressão Gráfica Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 182 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B 22.4.2 Processo de Bion Departamento de Expressão Gráfica Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 183 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B 22.4.3 Processo de Tempieri Departamento de Expressão Gráfica Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 184 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B 23 POLÍGONOS ESTRELADOS Definições: 1) Polígono estrelado é um polígono cujos ângulos são alternadamente salientes e reentrantes, e cujos lados pertencem a uma linha poligonal fechada que é percorrida sempre no mesmo sentido. 2) Polígono regular estrelado é aquele que se forma de cordas iguais e onde há lados iguais e ângulos iguais. Propriedade: Pode-se obter tantos polígonos estrelados de n vértices quantos números p há, exceto a unidade, menores que a metade de n e primos com n. Processo Geral de Construção: Para obter um polígono regular estrelado de n vértices, deve-se dividir a circunferência em n partes iguais, e unir os pontos de divisão de p em p, sendo que p < n/2, p ≠ 1 e p e n primos entre si. Exercícios: 1. Construir os polígonos estrelados de n lados. a) Para n=7 ⇒ 3;2;1 < 7/2 = 3,5 ∴ p=3;2 O Departamento de Expressão Gráfica O Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 185 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B b) Para n=15 ⇒ 7;6;5;4;3;2;1 < 15/2 = 7,5 ∴ p=7;4;2 O O c) Para n=8 ⇒ 3;2;1 < 8/2 =4 ∴ p=3 O O Departamento de Expressão Gráfica Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 186 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B 2. Dada uma circunferência de centro O e raio r=3cm, construir os seguintes polígonos regulares estrelados: a) Pentágono (n=5, p=2) b) Octógono (n=8, p=3) O c) Decágono (n=10, p=3) O O Departamento de Expressão Gráfica Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes 187 CD 031 – DESENHO GEOMÉTRICO I – TURMA B 3. Quantos polígonos regulares estrelados distintos podem ser traçados quando uma circunferência está dividida em 20, 24, 30 e 36 partes iguais? 4. Construir o pentágono regular estrelado dado a medida a=4cm do seu lado. Departamento de Expressão Gráfica Prof. M.Sc. Anderson Roges T. Góes