Primera Prueba Parcial Lapso 2015-2 753−759 –1/2 Universidad Nacional Abierta Álgebra II (753−759) Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 508 – 126 Área de Matemática Fecha: 09 – 01 – 2016 MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 1 al 3 OBJ 1 PTA 1 Determine la solución del siguiente problema, aplicando el método de eliminación de Gauss. Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, románticas y acción. Se sabe que: El 60% de las películas infantiles más el 50% de las románticas representan el 30% del total de las películas. El 20% de las infantiles más el 60% de las románticas más el 60% de las de acción representan la mitad del total de las películas. Hay 100 películas románticas más que de infantiles. Halle el número de películas de cada tipo. Solución: Para facilitar la formulación del sistema de ecuaciones que modela el problema llamaremos x= películas infantiles, y= películas románticas y z= películas de acción. Así, el sistema asociado al problema es: 60 50 30 ( x + y + z) x + 100 y = 100 100 20 60 60 y + 100 z = 12 ( x + y + z ) . 100 x + 100 y = x + 100 Al reordenar las variables del sistema de ecuaciones y aplicar el método de eliminación de Gauss, se tiene que: Tipo de película Cantidad infantiles 500 románticas 600 acción 900 OBJ 2 PTA 2 Calcule de ser posible, la inversa de la siguiente matriz usando algún método numérico: 0 6 2 3 3 2 1 0 2 0 1 − 2 . 0 2 − 2 6 Solución: Una manera de resolver este problema es la siguiente: Sea A la matriz dada, de existir su inversa, ella debe cumplir las siguientes igualdades: AxA−1 = I = A−1xA. ¿Por qué? Supongamos, α1 α 2 α 3 α 4 β 2 β3 β 4 −1 β1 A = . γ1 γ 2 γ 3 γ 4 δ δ δ δ 2 3 4 1 Especialista: Alvaro Stephens Evaluadora: Florymar Robles Primera Prueba Parcial Lapso 2015-2 753−759 –2/2 Por la unicidad de la inversa debemos probar que: 6 2 2 0 2 3 0 α1 α 2 α 3 α 4 1 0 1 0 3 β1 β 2 β 3 β 4 0 1 = 0 1 − 2 γ1 γ 2 γ 3 γ 4 0 0 2 − 2 6 δ1 δ 2 δ 3 δ 4 0 0 0 0 1 0 0 α1 α 2 α 3 α 4 6 2 3 0 0 β1 β 2 β 3 β 4 2 1 0 3 . = 0 γ1 γ 2 γ 3 γ 4 2 0 1 − 2 1 δ1 δ 2 δ 3 δ 4 0 2 − 2 6 De estas igualdades se obtienen cuatro sistemas de ecuaciones y al resolver cada sistema de ecuaciones obtenemos los siguientes valores: α1 = −1 / 4 α 2 = 1 / 2 α 3 = 3 / 4 α4 = 0 β1 = 1 / 2 β 2 = −3 / 2 β3 = 0 β4 = 3 / 4 . γ1 = 1/ 2 γ2 = 0 γ 3 = −3 / 2 γ 4 = −1 / 2 δ1 = 0 δ 2 = 1 / 2 δ 3 = −1 / 2 δ 4 = −1 / 4 Desarrolle los cálculos para llegar a estos resultados. Así tenemos que la inversa de la matriz dada es: 0 −1/ 2 1 3 / 2 −3 0 3/ 2 1 1 . 0 −3 −1 2 1 0 1 − 1 − 1 / 2 Compruebe que efectivamente esta es la inversa. Existen muchas maneras de responder esta pregunta, como por ejemplo, aplicando el método de Gauss-Jordan simultáneamente a la matriz dada y a la matriz identidad del mismo orden. OBJ 3 PTA 3 Demuestre que si E es un espacio vectorial real entonces S={ 0 } es un subespacio vectorial de E. Solución: El subespacio S={ 0 } se conoce con el nombre de subespacio trivial ya que cumple trivialmente con la definición de espacio vectorial. Verifique que efectivamente las cumple. Ver página 38 y 39 del texto UNA, sección 6. NOTA: Para que este objetivo se considere logrado el estudiante debe haber verificado explícitamente que S cumple la definición de espacio vectorial. FIN DEL MODELO. Este modelo se elaboró para uso de asesores y estudiantes, debe servir como material para la retroalimentación de los estudiantes. Especialista: Alvaro Stephens Evaluadora: Florymar Robles