Clase IV (Medidas de posición)

Objetivos
Introducción a las medidas de
posición (tendencia central o
tipismo):
Moda
y Mediana
Media
aritmética
Cuartiles,
deciles y percentiles
1
Medidas de posición
Definición: referencia a un lugar
específico de una distribución,
expresado en la escala de clases,
intervalos o valores de la variable
considerada.
Dos tipos:
De
tendencia central
De tipismo
2
Medidas de tendencia
central
Medidas de tendencia central:
Moda:
valor más frecuente.
Mediana: valor que deja por debajo (y por
encima) a la mitad de las puntuaciones de
una distribución.
Media: suma de las marcas dividida el
total de casos.
Aritmética
Geométrica
Armónica
3
Moda
Una distribución puede ser unimodal,
bimodal o multimodal.
Si el nivel de medición es nominal u ordinal,
la clase modal es simplemente la que
detenta más cantidad de casos.
Puede no haber moda (cuando todas las
clases tienen idéntica cantidad de casos)
4
Moda
Práctico "a"
Práctico "b"
3
4
3
2
2
Ejemplo: calificaciones de grupos de
estudiantes diferentes:
1
1
0
2
4
Práctico “a”: 2 3 3 3 5 5 7 0
3
4
5
Pr
áctico
“b”:6 2 27 4 585 6
Práctico "c"
Práctico “c”: 2 2 2 3 4 5
4
Práctico “d”: 4 5 6 7 8 8 8
3
3
2
2
1
2
3
4
5
6
7
8
Práctico "d"
Tomando el ejemplo anterior, los valores que
toma la Moda son:
Mo“a” = 3 Mo“b” = 2 y 5 Mo“c” = 2
Mo“d” = 8
1
0
0
2
3
4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
7
8
5
Mediana
Nivel de medición ordinal o superior.
Dos formas de cálculo:
Mediana
para datos no agrupados:
Listado
ordenado;
Puedo trabajar en el nivel de la matriz.
Mediana
para datos agrupados:
Datos
organizados en una distribución de
frecuencias de clases o categorías.
Se estima la mediana para localizar la clase y
luego se interpola presumiendo uniformidad.
6
Mediana
Cuando N es impar, el valor que ocupa la posición
intermedia es la mediana:
Donde “kf” representa la categoría “k” que contiene el valor de frecuencia
que divide a la distribución en dos partes iguales.
Cuando N es par, es la media aritmética de los
valores centrales:
N +1
M d = k f =k + k
2
M =
Donde “kN/2” y “kN/2+1” representan los valores de frecuencia de las clases
intermedias “K1” y “K2”.
Tomando el ejemplo anterior, los valores de la
N
N
Mediana son:
+1
2 Md”d”2= 7
Md”a” = 3 Md”b” = 4,5 Md”c” = 2,5
d
2
7
Mediana
Ejemplo:
Un mismo valor
de Mediana para
distribuciones
diferentes.
Grupo “a”
Grupo “b”
Grupo “c”
Grupo “d”
10
10
12
13
13
3
5
7
12
13
14
15
2
4
12
12
22
73
2
12
33
M d = 12
8
Media
La media común o aritmética es la suma de
todas las puntuaciones dividida por la cantidad
de casos (un promedio).
Si podemos anotar cada puntuación como “xi”,
N + 1 la media aritmética puede expresarse así:
=K=
Md
2
n
x1 + x2 + ... + xn
x=
=
n
∑x
i =1
i
n
9
Media
Cuando se establecen pesos
específicos para cada
puntuación, se la conoce
N + 1 como media ponderada
=K=
2
y se calcula así:
Md
w1 x1 + w2 x2 + ... + wn xn
=
x=
w1 + w2 + ... + wnx =
wx
∑
∑∑xiw
i i
n
i
10
Media
Propiedades de la media aritmética:
Al contrario de la Mediana, resulta
muy sensible a los valores extremos.
La suma algebraica de las desviaciones de cada “xi”
con respecto a la media aritmética es igual a cero.
La suma de los cuadrados de las desviaciones de cada
“xi” con respecto a la media aritm
xiética es mínima.
x1 − tienen
nx = por
x1 −media
n
=, … yx1 n− números
x1 = 0
1 −nx )n=
( xSi
ú
meros
m
1
i
n 1
tienen por media mi, la media de todos los números es:
La suma o multiplicación de todos los valores por una
ni xi ón de la
constante,
el incremento o multiplicaci
n1mimplica
1 + n2 m2 + ... + ni mi
x = por esa misma constante. =
media
Md = K =
N +1
2
∑
∑
∑
n1 + n2 + ... + ni
∑
∑
∑
∑
∑n
i
11
Media
Media geométrica: raíz n-ésima del producto de
los números.
n
(x1 )(x2 )...(xn )
xG =
Media armónica: es el valor recíproco de la
Nmedia
+1
aritmética; el inverso de la media de los
=K=
2
inversos.
N
1
Md
x + x + ... + x
xC =
N
2
1
2
2
2
n
xA =
1
N
N
∑
i =1
1
xi
=
N
∑
i =1
1
xi
Media cuadrática: un valor tal que su cuadrado
es igual a la media aritmética de los cuadrados
de los números.
12
Medidas de posición
no central o tipismo
Se trata de medidas que permiten fijar
la posición de datos mayores que una
proporción determinada de casos.
Se trata de medidas análogas a la
Mediana.
Las más utilizadas son:
Cuartiles,
deciles y percentiles
13
Cuartiles
Definición de Cuartiles: los tres valores de la
variable que dividen el total de observaciones
en cuatro partes iguales.
1° Cuartil: un cuarto de los datos es de menor
magnitud que la suya.
2° Cuartil: la mitad de los datos es de menor
magnitud que la suya (se corresponde con la Md)
3° Cuartil: tres cuartos de los datos es de menor
magnitud que la suya.
14
Cuartiles
De forma similar a la Md, el valor de un cuartil
cualquiera es:
iq N
Qi = k f =
4
Donde “kf” representa la categoría “k” que contiene el valor de
frecuencia que divide a la distribución en tal forma que la “iq” esima
cuarta parte de los casos quedan por debajo de su valor.
Como puede observarse, el segundo cuartil,
por simplificación, se corresponde con la Md.
15
Deciles y percentiles
Siguiendo el mismo procedimiento, el valor de un decil
cualquiera, tanto como el de un percentil cualquiera se
define:
id N
Di =
10
ip N
Pi =
10
Nuevamente, por simplificación, se observará
claramente que el quinto decil, tanto como el
quincuagésimo percentil, se corresponden con la Md;
así como el décimo percentil lo hace con el primer decil.
16
Matriz para ejemplificar
n
∑M(x m= )14 años
=
x=
i
i =1
i
o
Edad
f
f%
fa
14
3
15,0
3
F%
15,0
15
1
5,0
20,0
4
n
2 + 24 +10,0
30,0
14M
⋅ 3)d+ 15
+19
16 ⋅años
2) + 17 + 18 + (19 ⋅ 2) + 20 + 2116+ 22 + 23
25 ⋅ 2) + 626 + 28 + 29
(
(
(
=
=
1
5,0
35,0=
7
20 17
18
1
5,0
40,0
8
405x = 20, 25 años
=
= 20,25
19
2
10,0
50,0
10
20
Q 3 = 24 años
20
1
5,0
11
55,0
21
1
5,0
12
60,0
1
5,0
13
65,0
1
5,0
14
70,0
1
5,0
15
75,0
2
10,0
17
85,0
1
5,0
18
90,0
1
5,0
19
95,0
1
5,0
20
100,0
22
P 90 = 26 años
23
ip N 90 ⋅ 20
P90 = k f =
=
= 18 = 26 años
24
4
100
25
p
26
iq N 3 ⋅ 20
28
Q3 = k f =
=
= 15 = 24 años
29
4
4
Total
q
20
100,0
17