Dada una ecuación diferencial ordinaria de la forma dy dt = y = f(t, y

Euler
Dada una ecuación diferencial ordinaria de la forma
dy
dt
se hace la aproximación
= y = f (t, y),
Δy
Δt
≈
dy
dt
.
De donde se tiene que
yk+1 − yk = f (t, y)Δt.
Tomando Δt = h se obtiene la regla recursiva del método de Euler:
yk+1 ← yk + hf (tk , yk )
(1)
Se requiere una condición inicial y(t0 ) = y0.
V
c M.
D.R. al e
1
nzuela, 200
7
Euler Modificado
yk+1 ← yk + h
yk+1 ← yk + h
yk + ŷk+1
2
f (tk , yk ) + f (tk+1 , ŷk+1)
2
donde ŷ se obtiene con la ecuación del método de Euler:
(2)
ŷk+1 = yk + hf (tk , yk )
V
c M.
D.R. al e
2
nzuela, 200
7
Sustituyendo, se obtiene la siguiente expresión:
yk+1 ← yk +
h
2
(f (tk , yk ) + f (tk + h, yk + hf (tk , yk )))
que se puede escribir como:
V
c M.
D.R. al e
1
yk+1
=
yk +
k1
=
hf (tk , yk )
k2
=
hf (tk + h, yk + k1)
2
(k1 + k2)
3
nzuela, 200
7
Runge-Kutta de cuarto orden
Runge-Kutta de cuarto orden:
1
yk+1 = yk + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
6
(3)
donde
k1
k2
=
=
hf (tk , yk )
hf
V
c M.
D.R. al e
1
1
tk + h, yk + k1
2
2
1
1
k3
=
hf
k4
=
hf (tk + h, yk + k3)
tk + h, yk + k2
2
2
4
nzuela, 200
7
RLC serie
R
−
+
vi (t)
L
C
Haciendo una ecuación de malla se obtiene:
vi (t) = i(t)R + L
di(t)
dt
La corriente en el capacitor es
i(t) = C
V
c M.
D.R. al e
+
1
C
t
i(t) dt
t=t0
dvc (t)
dt
Sustituyendo en la primera ecuación ponemos todo en términos del voltaje en el capacitor,
vc (t):
dvc (t)
d2 vc (t)
vi (t) = RC
+ vc (t)
+ LC
2
dt
d t
5
nzuela, 200
7
Solución analı́tica
La ecuación diferencial de segundo orden para R = 1, L = 10, C = 0.5, entrada
dvc (0)
vi (t) = 0, y condiciones iniciales de vc (0) = 1 y
= 0, tiene la siguiente solución
dt
analı́tica:
vc (t) = e−0.05t (0.112508 sen(0.444410t) + cos(0.444410t))
V
c M.
D.R. al e
6
nzuela, 200
7
Variables de estado
Las variables de estado de un sistema se definen como el conjunto mı́nimo de variables,
x1 (t), x2 (t), . . . , xn(t) tal que el conocimiento de estas variables para cualquier tiempo t0,
más la información de la entrada aplicada al sistema a partir del tiempo t0 es suficiente para
determinar el estado del sistema para cualquier tiempo t > t0.
V
c M.
D.R. al e
7
nzuela, 200
7
Variables de estado
Las variables de estado de un sistema se definen como el conjunto mı́nimo de variables,
x1 (t), x2 (t), . . . , xn(t) tal que el conocimiento de estas variables para cualquier tiempo t0,
más la información de la entrada aplicada al sistema a partir del tiempo t0 es suficiente para
determinar el estado del sistema para cualquier tiempo t > t0.
Las variables de estado no se deben confundir con las salidas de un sistema. Una salida es
una variable que puede ser medida, en cambio una variable de estado a menudo no puede ser
medida. Sin embargo, usualmente la salida de un sistema se define como función de las variables
de estado.
V
c M.
D.R. al e
7
nzuela, 200
7
Variables de estado
Las variables de estado de un sistema se definen como el conjunto mı́nimo de variables,
x1 (t), x2 (t), . . . , xn(t) tal que el conocimiento de estas variables para cualquier tiempo t0,
más la información de la entrada aplicada al sistema a partir del tiempo t0 es suficiente para
determinar el estado del sistema para cualquier tiempo t > t0.
Las variables de estado no se deben confundir con las salidas de un sistema. Una salida es
una variable que puede ser medida, en cambio una variable de estado a menudo no puede ser
medida. Sin embargo, usualmente la salida de un sistema se define como función de las variables
de estado.
Las variables de estado no son únicas.
V
c M.
D.R. al e
7
nzuela, 200
7
Variables de estado para el circuito RLC
Definimos las siguientes variables de estado:
x1
=
vc (t)
x2
=
x1
(4)
◦
Por lo tanto
(5)
◦
vi (t) = RCx2 + LC x2 + x1
◦
y despejando x2 tenemos que
◦
x2 = −
1
LC
x1 −
R
L
x2 +
1
LC
vi (t)
Podemos escribir las ecuaciones anteriores en forma matricial:
◦ x1
0
0
1
x1
+
=
vi (t)
◦
x
1/LC
−1/LC
−R/L
2
x2
V
c M.
D.R. al e
8
nzuela, 200
7
Un ejemplo
Tomando R = 1, L = 10, y C = 0.5 se tiene que
◦ x1
0
1
x1
0
=
+
vi (t)
◦
−0.2
−0.1
0.2
x
2
x2
Los valores caracterı́sticos (eigenvalores) de la matriz
0
−0.2
1
−0.1
son λ1,2 = −0.05 ± j0.4444, estos valores pueden verse en la solución analı́tica de la ecuación
diferencial.
V
c M.
D.R. al e
9
nzuela, 200
7
Comportamiento de un sistema
El comportamiento de un sistema mediante variables de estado puede observarse en el
tiempo, es decir x1(t), x2 (t), . . . , xn (t), o en el espacio estado.
V
c M.
D.R. al e
10
nzuela, 200
7
Solución para R = 1, L = 10, y C = 0.5
Para vi (t) = 0, y condiciones iniciales de x1(0) = 1 y x2 (0) = 0.
1
x1
x2
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
0
20
40
60
80
100
t
V
c M.
D.R. al e
11
nzuela, 200
7
Espacio de estado para circuito RLC
0.3
0.2
0.1
x2
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x1
V
c M.
D.R. al e
12
nzuela, 200
7
Otro circuito RLC más complejo
R1
L2
−
+
vi(t)
L1
R2
C
Escribiendo dos ecuaciones de malla se obtiene que:
vi (t)
0
V
c M.
D.R. al e
=
=
i1 (t)R + L1
1
C
t
t0
di1(t)
dt
+
1
C
t
(i1(t) − i2 (t)) dt
t0
(i2(t) − i1 (t)) dt + L2
di2 (t)
dt
+ i2 (t)R
13
nzuela, 200
7
Recordando que la corriente en el capacitor es
ic (t) = i1 (t) − i2(t) = C
dvc (t)
dt
y sustituyendo en las ecuaciones anteriores:
V
c M.
D.R. al e
di1 (t)
vi (t)
=
i1(t)R + L1
0
=
−vc(t) + L2
dt
di2 (t)
dt
+ vc(t)
+ i2(t)R
14
nzuela, 200
7
Definimos como variables de estado las corrientes en las inductancias y el voltaje en el
capacitor:
x1
=
i1 (t)
x2
=
i2 (t)
x3
=
vc (t)
de donde las ecuaciones de estado en forma matricial son las
⎡
⎤
◦
⎤⎡
⎡
x1
/L
0
−1/L
−R
1
1
1
⎢ ◦ ⎥
⎢ x ⎥ =⎣
0
−R2 /L2
1/L2 ⎦ ⎣
⎣ 2 ⎦
◦
1/C
1/C
0
x
3
siguientes:
⎤
⎡
⎤
1/L1
x1
x2 ⎦ + ⎣
0 ⎦ vi (t)
x3
0
Si la salida del sistema es el voltaje de la restencia R2, la ecuación de salida es
y=
V
c M.
D.R. al e
⎡
0
R2
⎤
x
1
0 ⎣ x2 ⎦
x3
15
nzuela, 200
7
Solución en el tiempo
2
x
1
x2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
0
20
40
60
80
100
t
V
c M.
D.R. al e
x1 (0) = x2(0) = x3 (0) = 0, R1 = 0.1, R2 = 0.2, L1 = 5, L2 = 10, C = 1,
sin(0.2πt).
16
nzuela, 200
7
Solución en espacio de estado
4
x
3
2
0
−2
−4
1
0.5
2
1
0
0
−0.5
x2
V
c M.
D.R. al e
−1
−1
−2
x
1
x1 (0) = x2(0) = x3 (0) = 0, R1 = 0.1, R2 = 0.2, L1 = 5, L2 = 10, C = 1,
sin(0.2πt).
17
nzuela, 200
7
Otro conjunto de variables de estado
para el circuito RLC
Existen muchos conjuntos de varialbles de estado. Para este caso, entre otros muchos
conjuntos tenemos los siguientes:
Los voltajes en R1 , R2 y C
Los voltajes en L1 , L2 , y R2
Los voltajes de nodo
etc.
V
c M.
D.R. al e
18
nzuela, 200
7
Ecuaciones de Lotka-Volterra
La relación entre una población de presas X y una población de depredores Y se puede
modelar como:
dX
dt
dY
dt
=
K1AX − K2XY
=
K2XY − K3BY
definiendo a = K1A, b = K3B , y k = K3, y las variables de estado x1 = X y x2 = Y :
◦
x1
◦
x2
=
ax1 − kx1 x2
=
kx1 x2 − bx2
Este sistema de ecuaciones diferenciales no lineales tiene un comportamiento periódico para
a = b = k = 1.
V
c M.
D.R. al e
19
nzuela, 200
7
Solución de las ecuaciones de Lotka-Volterra
Resolviendo para los valores anteriores para diferentes condiciones iniciales se obtiene la
siguiente gráfica:
3
2.5
Y
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
X
V
c M.
D.R. al e
20
nzuela, 200
7
Banda de Rössler
El siguiente sistema de ecuaciones
◦
x
◦
y
◦
z
=
−y − z
=
x + ay
=
b + z(x − c)
produce comportamiento caótico para a = 0.398, b = 2, y c = 4. Definiendo las variables de
estado x1 = x, x2 = y , y x3 = z :
x1
◦
=
−x2 − x3
x2
◦
=
x1 + ay2
◦
=
b + x3 (x1 − c)
x3
V
c M.
D.R. al e
21
nzuela, 200
7
Caos
Resolviendo las ecuaciones anteriores para condiciones inciales igual a cero se obtiene la
siguiente gráfica:
6
5
z
4
3
2
1
0
5
6
0
4
2
−5
y
V
c M.
D.R. al e
0
−10
−2
−4
x
22
nzuela, 200
7