Dibujo Paralelismo y Perpendicularidad De igual forma que en Geometría Métrica Plana hablamos de dos elementos fundamentales: el punto y la recta, en Geometría del Espacio los elementos fundamentales son tres: punto, recta y plano. El plano se define como una superficie tal que toda línea real que tenga dos puntos en dicha superficie estará totalmente contenida en ella. Un plano se determina: - Por una recta y un punto exterior. - Por tres puntos no alineados. - Por dos rectas que se cortan. - Por dos rectas paralelas. Postulados de posición: Los dos primeros corresponden a la G. M. Plana, siendo necesario incorporar los otros dos para el desarrollo de la Geometría del Espacio. 1.- Dos puntos determinan una sola recta. 2.- Dos rectas coplanarias distintas se cortan en un solo punto. 3.- Una recta y un plano definen un solo punto conocido como punto de intersección (propio o impropio) o traza de la recta y el plano. 4.- Si una recta tiene dos puntos comunes con un plano, todos los puntos de la rectapertenecen al plano. ----------------------------------------------------------------------PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD. PROYECCIONES SOBRE UN PLANO. ----------------------------------------------------------------------PARALELISMO. Recta y plano paralelos: Una recta y un plano son paralelos cuando se cortan únicamente en el punto impropio. La condición necesaria y suficiente para que una recta sea paralela a un plano es que lo sea a una recta cualquiera del plano. Planos paralelos: La condición necesaria y suficiente para que dos planos sean paralelos es que uno de ellos contenga dos rectas paralelas a l otro no siendo paralelas entre si. Teoremas sobre paralelismo: 1.- Si por una recta paralela a un plano se hace pasar un segundo plano que corte al inicial,la intersección de estos dos planos es una recta paralela a la primitiva. 2.- Si dos planos paralelos son cortados por un tercero, las intersecciones son dos rectas paralelas. 3.- Si dos rectas son paralelas, todo plano que corte a una de ellas corta también a la otra. 4.- Si dos planos son paralelos: - Toda recta que corta al primero corta tambén al segundo. - Todo plano que corta al primero corta también al segundo. 5.- La intersección de dos planos paralelos a una misma recta es otra recta también paralela a ella. 6.- Si dos planos paralelos cortan a dos recta también paralelas, los segmentos intersectados de la recta son iguales. 7.- Si dos rectas cualesquiera son cortadas por un haz de planos paralelos, los segmentos definidos entre los planos son proporcionales. ----------------------------------------------------------------------PERPENDICULARIDAD. Recta y plano perpendiculares: Una recta es perpendicular a un plano cuando lo es a todas las rectas de dicho plano. La condición necesaria y suficiente para que una recta sea perpendicular a un plano es que lo sea a dos rectas no paralelas del plano. Planos perpendiculares: La condición necesaria y suficiente para que dos planos sean perpendiculares es que uno de ellos contenga una perpendicular al otro. Teoremas sobre perpendicularidad: 1.- Si dos rectas son paralelas, todo plano perpendicular a una de ellas lo es también a la otra. De igual forma, si dos planos son paralelos, toda recta perpendicular a uno de ellos lo es también al otro. 2.- Si una recta es perpendicular a un plano, toda perpendicular a esta recta es paralela al plano o está contenida en él. 3.- Si dos planos P y P´ son perpendiculares a un tercer plano Q, su intersección también lo es. 4.- Teorema de las tres perpendiculares: si por el pie O de la perpendicular a un plano se traza de nuevo la perpendicular r a una recta cualquiera s del plano. La recta r´que une el pie de esta segunda perpendicular con un punto cualquiera A de la recta primitiva, es también perpendicular a la recta elegida del plano. 5.- Si una recta es perpendicular a un plano, todo plano que contenga a dicha recta, o sea paralelo a ella, es perpendicular al plano inicial. 6.- Por una recta oblícua a un plano, sólo se puede trazar conteniéndola, un plano perpendicular al dado. 7.- Si dado un punto exterior a un plano se trazan la perpendicular al mismo y diversas oblicuas, se obtienen las siguientes consecuencias: - Dos oblicuas cuyos pies distan lo mismo del pie de la perpendicular son iguales. - La perpendicular es la más corta. - De dos oblicuas que se alejen distinto, es mayor la que tenga mayor distancia del pie de la perpendicular. ----------------------------------------------------------------------PROYECCIONES SOBRE UN PLANO. Se llama proyección de un punto sobre un plano a la intersección del rayo proyectante que pasa por el punto con el plano. El rayo proyectante puede ser normal (perpendicular) u oblicuo con el plano. Las proyecciones a su vez pueden ser de dos tipos: cónicas o cilíndricas. Proyecciones cónicas: Se llama proyección cónica de un punto A respecto de otro V, llamado vértice de proyección, a la intersección A´ con el plano de proyección de la recta que partiendo de V pasa por A. La proyección cónica de un segmento AB se obtendrá con la proyección cónica de dos de sus puntos. Proyecciones cilíndricas: Definida una dirección r y un plano P, la proyección cilíndrica de un punto A se obtiene por la intersección A´con el plano de proyección de la recta paralela a la dirección dada que pase por el punto A. La proyección cilíndrica se denomina ortogonal cuando la dirección de proyección es perpendicular al plano de proyección. - Propiedades de las proyecciones cilíndricas: 1.- La proyección de una línea recta sobre un plano es otra línea recta. 2.- Las proyecciones de dos rectas paralelas sobre un plano son a su vez dos rectas también paralelas. 3.- Si dos rectas son perpendiculares en el espacio sus proyecciones sobre un plano paralelo a una de ellas son también perpendiculares. http://www.loseskakeados.com