Modelos autorregresivos

Econometría II
Grado en finanzas y contabilidad
Procesos autorregresivos
Profesora: Dolores García Martos
E-mail:mdgmarto@est-econ.uc3m.es
Este documento es un resumen/modificación de la
documentación elaborada por D. Antoni Espasa
Descomposición de Wald
Todo proceso estocástico estacionario se puede descomponer como la
suma de dos procesos no correlacionados, donde:
• Un proceso estacionario singular lineal (una constante, una
función lineal del tiempo, etc.)
• Un proceso estacionario regular. En concreto una función lineal de
variables aleatorias
{X}= {Y}+ {W}
Ej: X(t) = µ + ψ 1 a(t) + ψ2 a (t-1) + ψ3 a (t-2) +…..
Descomposición de Wald
Esta condición implica que el
proceso tiene varianza finita
Esta condición significa que los shocks pasados afectan cada vez menos sobre
el presente de la serie temporal. Es la condición de estacionariedad
El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)
X (t)= función del pasado de la serie + a (t)
•El proceso autorregresivo es un modelo de regresión en el
que las variables explicativas son la misma variable
dependiente retardada
•Un modelo autorregresivo no siempre es estacionario.
•Un paseo aleatorio es un proceso autorregresivo con una
raíz unitaria (coeficiente que acompaña a X (t-1)) y no es
estacionario
 Xt = X t-1+ a t
•El proceso más simple es el autorregresivo de orden 1
AR(1)
 Xt =Φ X t-1 +a t
Donde X t-1 es conocido en t y a t no. at
constituye un shock o innovación
El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)
La condición para que el proceso sea estacionario es que
• | Φ| < 1
• Supongamos que Φ= 0.5
Wt = 0.5 W t-1 + at
Wt-1 = 0.5 W t-2 + a t-1
Wt = 0.52 Wt-2 + 0.5 a t-1 +at
Wt-2 = 0.5 W t-3 + a t-2
Wt = 0.53 W t-3 + 0.52 a t-2 +0.5 a t -1 + a t
…….
En general:
Como el parámetro es menor que la unidad la suma anterior es finita
La expresión en términos de a t se denomina Proceso de
Medias Móviles, MA
El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)
Caso 1: -1>Φ>1
• El efecto sobre W t de una innovación distante
no es exactamente cero, pero es despreciable.
Menor a medida que nos alejamos en el
tiempo.
•Un AR(1) se puede aproximar por un modelo
de medias móviles de orden q, MA(q)
 q es el número de at que permiten
aproximar el AR(1)
En un AR(1), la innovación a t-j tiene un efecto
restringido a Φj
El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)
Caso 1: Φ>1
•A partir de un valor inicial w el proceso es
explosivo.
•Las innovaciones pasadas son más
importantes que las recientes
•De manera similar ocurre con Φ<-1
•La realidad no parece comportarse de una
manera explosiva permanentemente y se
rechaza que |Φ| >1
El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)
Caso 1: Φ=1
•Esta situación no es explosiva
•Es la situación que se ha considerado para
tendencias que presentan oscilaciones locales
de nivel.
•Pero ahora no estamos hablando de la
tendencia. Ahora se está trabajando con series
estacionarias, Wt (desviaciones con respecto a
la tendencia). Por ello, trabajamos con
procesos en los que |Φ|<1
El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)
|Ф|<1
El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)
El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)
En definitiva, podemos expresar el modelo de la siguiente manera
Propiedades1:
E (Wt ) = 0
es, por tanto, constante
Var (W t ) = γ0 = σ2 /(1-Ф2), donde σ2 es la varianza de at
Cov (W t , W t-k )= γk=Фk γ0 = Ф γk-1
Corr (W t , Wt-k )= ρ k = γk/ γ0= Φk
La función de autocorrelación no se anula, pero decrece, se dice que
tiene memoria infinita.
El correlograma tendrá estructura. Dependerá del valor del parámetro Φ.
Cuanto mayor sea, mayor será la relación entre el presente y el
pasado y viceversa.
A partir de un determinado retardo los rk serán prácticamente cero
1. Demostración en anexo
El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)
El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)
Si en la última expresión hacemos s=12, tendremos que una diferencia estacional es
equivalente a tomar una diferencia regular por un polinomio suma
•Es por ello que al tomar una diferencia estacional sobre la serie original, se corrige
parte de la tendencia.
Procesos ARI (1,1)
• Sea X t una serie no estacionaria y al aplicar una primera diferencia regular
se consigue que la serie si sea estacionaria en la parte regular (no se han
puesto logaritmos por simplificar). Entonces:
X t = X t-1 +Wt
Wt = Xt - Xt-1
• Y Wt sigue un proceso AR(1)
 (1-ΦL) Wt = Wt – ΦWt-1 = at
•En definitiva tendremos
(1-ΦL) (Xt - X t-1 )= (1-ΦL) Δ X t = at
Es decir
 Xt = Xt-1 + Φ (Xt-1 -Xt-2 )+ at
Este proceso de llama integrado de orden 1 y autorregresivo de orden 1 ARI(1,1)
•Xt es un proceso no estacionario
Procesos ARI (1,1)
Recuérdese que en general se aplican logaritmos para
conseguir estacionariedad en varianza.
Además, el trabajar con la transformación logarítmica nos
permite relacionar las tasas de crecimiento con las
transformaciones de estacionariedad en media.
• (1-L) log Xt =(log X t -log X t-1) se aproxima a una tasa
de crecimiento.
Es decir, tenemos
(1-L) log Xt =Wt , y Wt es un proceso AR(1)
• La serie original sigue un modelo ARI(1,1)
• La serie de tasas sigue un proceso AR(1)
El modelo de la serie de tasas de crecimiento se deriva del de la serie original,
ya que las tasas son iguales a la primera diferencia de la serie expresada en
logaritmos
Procesos AR (p)
El modelo autorregresivo de segundo orden AR(2)
El modelo autorregresivo de segundo orden AR(2)
1
Z2 –Φ1 Z-Φ2 =0
(1-G1 L) (1-G2 L) Wt = a t
1. Ver más detalles en anexo
El modelo autorregresivo de segundo orden AR(2)
(1-G1 L) (1-G2 L) Wt = a t
1
Estacionariedad en función de los parámetros:
•|Φ1 +Φ2 | <1
•|Φ1 -Φ2 | <1
•|-Φ2 | <1
El modelo autorregresivo de segundo orden AR(2)
El modelo autorregresivo de segundo orden AR(2)
El modelo autorregresivo de orden p, AR(p)
Φp
Las raíces son función de los parámetros
Otra forma de verlo escrito es:
Wt -Φ1 W t-1 -Φ2 Wt-2 -….-Φp Wt-p = at
(1-Φ1 L-Φ 2 L2 -……….-Φp Lp) W t = Φp (L) Wt =at
El modelo autorregresivo de orden p, AR(p)
El modelo autorregresivo de orden p, AR(p)
El modelo autorregresivo de orden p AR(p)
cero
El modelo autorregresivo de orden p AR(p)
• La forma de la función de autocorrelación dependerá del valor de las
raíces más elevadas o dominantes.
• Si hubiera raíces complejas, tendríamos que la serie presenta un ciclo
y la forma del correlograma sería sinusoidal.
Para la determinación del orden del autorregresivo, es decir, p, se utiliza
el criterio de información de Akaike (no es el único criterio).
Se estiman los correspondientes modelos
Se escoge el modelo (retardo) con menor valor del criterio de
Akaike.
Donde N es el número de observaciones, ˆσ2a es la varianza
residual y k el número de parámetros
Procesos ARI (2,1)
Significa que incluirá una constante en el modelo, por tanto, el
proceso estacionario tendrá una media distinta de cero
(1-Φ1 L-Φ2 L2 ) (1-L) X t = c+ a t
ANEXO
Características del proceso AR(1)
Esperanza
W = ΦW t-1 + at
E (W t )= Φ E (Wt-1 )+ E (a t )
µ = Φ µ+ 0 ,
at es un proceso ruido blanco con
esperanza nula
E(Wt )= E (Wt-1 ) por estacionariedad
(1- Φ) µ = 0
µ=E (W t )= 0
Varianza
Var (W t )= Φ2 var (Wt-1 )+ var (a t )
con
γ0 = Φ2 γ0 + σ2 ,
at es un proceso ruido blanco
con varianza σ2
Var(Wt )= Var (Wt-1 ) por estacionariedad
(1- Φ2) γ0 = σ2
γ0 =var (W t )= σ2/ (1- Φ 2)
Características del proceso AR(1)
Covarianza
Φ
Lo que ocurre en t-1
es independiente del
shock que habrá en t
Φ
Φ
Φ
Φ
Correlación
ρk = γk/ γ0= Φ k
Φ
Ecuaciones de segundo grado
La ecuación de segundo grado tiene la siguiente expresión:
aX2 +b X +c =0
Esta ecuación tiene dos soluciones, no necesariamente iguales, o
raíces, que pueden ser reales o complejas:
X=-b (b2 -4ac)-½ / 2a
Donde el valor de b2 -4ac determinará si las raíces son reales o
imaginarias
•Si tiene valor negativo, se obtendrán un par de raíces
complejas conjugadas.
En nuestro caso a=0, b=-Φ1 y c=-Φ2
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado