Laboratorio de Física APARATO DE OSCILACIÓN GIRATORIA Cálculo de Momentos de Inercia 1. OBJETIVO Estudio de las vibraciones de torsión aplicadas a la determinación cuantitativa de momentos de inercia de distintos cuerpos. Comprobación experimental del teorema de Steiner. 2. FUNDAMENTO TEÓRICO La dinámica de la rotación nos indica que la variación temporal del momento angular, Lo, de un sistema de partículas es igual al momento de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema, Mo, siendo “o” el centro de masas del sistema ó un punto fijo: dL o = Mo dt (1) Para un sólido rígido que gire con una velocidad ω alrededor de uno de los ejes principales de inercia: Lo = Io·ω (2) siendo Io el momento de inercia del sólido respecto de dicho eje, y por lo tanto: Mo = dL o d(I o ω) dω d2 Φ = = Io = Io 2 dt dt dt dt (3) siendo Φ el ángulo de rotación. Para un muelle de torsión que se comporte de acuerdo a la ley de Hooke, el momento producido por el muelle será proporcional al ángulo de separación respecto a su posición de equilibrio: (4) Mo = -K .Φ donde K es la constante de recuperación del muelle. La ecuación del movimiento resulta ser entonces: d²Φ/dt² + (K/Io) Φ = 0 (5) que corresponde a un movimiento armónico simple con un período: T² = 4π²(Io/K) Momentos de Inercia (6) 1 Laboratorio de Física ecuación que nos permitirá determinar Io si conocemos K y medimos T. Si el sólido gira respecto a un eje paralelo al que pasa por su centro de masas situado a una distancia d, el momento de inercia, según el teorema de Steiner, será: I = Io + m d² (7) siendo m la masa del cuerpo. En esta situación el período vendrá dado por la expresión: T² = (4π²/K) (Io + m d²) (8) 3. MATERIAL UTILIZADO • • • • • • • • Eje de rotación Esfera de 14 cm de diámetro, con espiga tensora para su sujeción al eje de rotación. Cilindro hueco metálico de 10 cm de diámetro exterior y 0.4 cm de grosor de pared. El cilindro lleva en el centro una espiga tensora para la sujeción en el eje de rotación. Cilindro macizo con distribución homogénea de la masa y diámetro 10 cm. Una espiga tensora sirve para fijarlo directamente al eje de rotación. Barra con masas móviles, siendo la longitud de la barra de 60 cm. Las masas son iguales y se fijan a la varilla mediante tornillos aprisionadores. Disco con perforaciones diametrales. Dispone de una pieza tensora con espiga para la sujeción al eje de rotación. Barrera Fotoeléctrica con contador para medida del periodo. Dinamómetro para medida de la fuerza. 4. EXPERIMENTACIÓN 4.1.- Determinación de la constante de recuperación K del muelle de torsión Se coloca el disco con perforaciones diametrales centrado sobre el eje de torsión, tal y como muestra la figura 1. Con un dinamómetro colocado sobre uno de los agujeros del disco, se determina la fuerza necesaria para girar el conjunto un ángulo determinado. Se mantendrá siempre el dinamómetro perpendicular al radio del disco para que el producto de la fuerza por la distancia, desde el punto de aplicación al centro del disco, dé directamente el momento de la fuerza, M. Se toma el valor de la fuerza para varios ángulos, utilizando los diferentes agujeros del disco. Momentos de Inercia 2 Laboratorio de Física Figura 1. Dispositivo experimental Angulo Φ (rad) Distancia d (m) Fuerza F (N) Momento M=F·d Representen gráficamente el momento, M, en función del ángulo, Φ. Ajusten los datos a una recta por el método de mínimos cuadrados y, a partir de la pendiente calculen la constante de recuperación del muelle K, según se deduce de la expresión (4). 4.2.- Comprobación experimental del teorema de Steiner Se mide el período de oscilación del disco, T, en los diferentes agujeros que se encuentran a una distancia d del centro de masas. Para la medida de los períodos de oscilación se utiliza un contador de tiempos, ver figura 2. Asegúrense que está seleccionada la posición y sigan los siguientes pasos: - Coloquen el dispositivo experimental (muelle de torsión +disco) de tal forma que la guía que sobresale del disco quede situada sobre el sensor del contador. - Giren el disco 90o. Momentos de Inercia 3 Laboratorio de Física - Presionen el set de la barrera fotoeléctrica y suelten el disco. El contador nos da directamente el valor de la mitad del periodo. Realicen varias medidas (3 por ejemplo) de cada período a determinar, tomando como valor final la media de ellas. Figura 1. Barrera Fotoeléctrica con Contador Distancia d (m) Periodo T (s) d2 T2 De acuerdo con la expresión (8), al representar gráficamente el periodo al cuadrado, T2, frente a la distancia al cuadrado, d2, debe obtenerse una línea recta. A partir del valor de la ordenada en el origen podrá determinarse el momento de inercia del disco Io. Calculen el error relativo cometido, comparando el valor del momento de inercia así calculado con el real, calculado en base a su forma geométrica.. 4.3.- Determinación del momento de inercia de otros cuerpos Determinen, a partir de la expresión (6), los momentos de inercia del cilindro hueco, cilindro macizo y esfera. Midan para cada uno de los elementos los periodos de oscilación, T, de forma análoga a la realizada en el apartado anterior. Calculen, en cada caso, el error relativo cometido, comparando el valor del momento de inercia así calculado con el real, calculado en base a su forma geométrica. Momentos de Inercia 4 Laboratorio de Física T (s) Io(experimental) (kgm2) Io(real) (kgm2) %ε Cilindro Hueco Cilindro Macizo Esfera Para el caso particular de la barra con masas (ver figura 3), se realizarán medidas para varias posiciones de separación entre las dos masas sobre la barra. Figura 3. Barra con masas móviles Al ser los momentos de inercia aditivos, para hallar el momento de inercia del conjunto se sumará el momento de inercia de la barra más el momento de inercia de las dos masas, es decir: Iconjunto = Ibarra + 2 Imasa = Ibarra + 2 m d2 (9) Representen Iconjunto, calculado a partir de la expresión (6), en función de d2. Realicen un ajuste por mínimos cuadrados y determinen, a partir de la ordenada en el origen, el momento de inercia de la barra. Comparen el valor así obtenido con el valor teórico en base a su forma geométrica. Indiquen el porcentaje de error cometido. Momentos de Inercia 5 Laboratorio de Física T (s) d (m) Iconjunto (kgm2) d2 (m2) Al terminar la práctica, entreguen una copia de los datos experimentales obtenidos indicando el título de la práctica, sus nombres y apellidos, grupo de teoría al que pertenecen y fecha de realización. En el Informe a entregar, se deben incluir todas las tablas de datos, las gráficas y ajustes realizados, los valores calculados y su comparación con los valores reales, comentando los posibles errores cometidos, y las conclusiones obtenidas. Momentos de Inercia 6