Ayuda teórica

AYUDA TEÓRICA
Introducción a la probabilidad
Frecuentemente se usa el término probabilidad para sugerir que existe duda o
incertidumbre sobre lo que ocurrió, lo que ocurre u ocurrirá. La experiencia humana
demuestra que existe una serie de hechos, acontecimientos, experimentos cuyos
resultados no se pueden determinar anticipadamente, pero que sin embargo si es
posible definir, estimar o predecir el probable resultado. Podemos conocer el
pasado, pero nunca el futuro, pero existe un permanente interés por despejar las
incertidumbres.
Las situaciones que implican incertidumbre varían desde simples juegos de azar,
como la ruleta, los dados, los naipes, la lotería, etc. a otros experimentos y
acontecimientos tan variados, complejos e importantes dentro de las ciencias
médicas, ciencias sociales, la economía, las industrias, los negocios, los seguros,
etc. Permanentemente interesa predecir o estimar lo que sucederá en ciertas
circunstancias. Un empresario puede decidir la comercialización de un producto si
conoce que la “probabilidad” de éxito es muy alta. El aficionado de fútbol, puede
apostar contra su equipo favorito si sabe que la probabilidad que gane es muy
pequeña. El agricultor no sembrará demasiadas hectáreas de café si la probabilidad
de que baje el precio es muy elevada. Es posible que ninguno de ellos sepa definir o
medir la probabilidad, pero si encontrará útil la idea de estimar intuitivamente; así
como ellos, tú también estas elaborando supuestos en relación a la ocurrencia de
un hecho, es decir estas preocupado en aspectos que pertenecen al campo de la
“probabilidad”, la expectativa y los supuestos.
Pero, ¿qué es probabilidad?, ¿cómo se puede medir?, ¿cómo se usa?
Las respuestas a estas preguntas son preocupación de esta ayuda.
Noción de probabilidad
En principio será necesario tener idea de algunos conceptos previos, como:



Experimento aleatorio
Espacio muestral de un experimento
Evento de un espacio muestral
Fenómeno aleatorio
Es un fenómeno que puede repetirse varias veces, no se sabe que resultado se
obtendrá en cada repetición, pero si se sabe cuál es el conjunto de todos los
resultados posibles.
Ejemplos:
a) Lanzar un dado normal, esperar que se detenga y leer el número que
aparece en la cara superior.
b) Lanzar dos monedas y cuando hayan caído leer las figuras que aparecen en
el lado superior.
c) Elegir al azar una persona de un grupo y decir su sexo.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Generalmente se le representa por  (omega).
Ejemplos:
a) El espacio muestral de lanzar un dado es,  = {1 , 2 , 3, 4, 5, 6}
b) El espacio muestral de lanzar dos monedas es,  = {cc, cs, sc, ss}
c) El espacio muestral de elegir una persona de un grupo es,  = {hombre,
mujer}
Evento o suceso
Es un subconjunto (una parte) del espacio muestral. Generalmente se le representa
por una letra mayúscula.
Ejemplos:
Luego de lanzar un dado, cuyo espacio muestral es,  = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 },
El evento de obtener un número menor que 3 es, A = {1, 2}
El evento de obtener un número primo es, B = {2, 3, 5}
El evento de obtener un número mayor que 6 es, C = { }
El evento de obtener un número menor que 7 es, D = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Notas:
a) Dos eventos se llaman disjuntos, o excluyentes cuando no pueden ocurrir a
la vez, es decir si A  B = { }
b) Dos eventos son complementarios cuando la reunión de los dos es igual al
espacio muestral y son excluyentes. Es decir, si A  B =  y además A  B
={}
Ejemplos:
En el espacio muestral de lanzar un dado,
A = {2, 3} y B = {5, 6} son eventos excluyentes
A = {2, 3} y C = {1, 4, 5, 6} son eventos complementarios
Probabilidad de un evento
Dado un evento A de un espacio muestral , la probabilidad que ocurra A es,
Número de elementos de A
P(A) = --------------------------------Número de elementos de 
Veamos algunos ejemplos:
a)
Si se hace rodar un dado correcto (experimento aleatorio) se puede obtener
como resultado cualquiera de sus seis caras o lados (Espacio muestral {1, 2, 3, 4,
5, 6}) que tiene el dado (casos posibles), esto significa que la suerte o
“probabilidad” que tiene cada cara es 1/6.
Si ahora se espera obtener un número para, tenemos que pensar que hay tres
caras (el evento es {2, 4, 6}) que cumplen la condición de ser número par (casos
favorables), luego “la probabilidad” de obtener número par será 3/6 es decir ½.
De este ejemplo se deduce:
3
1
casos favorables
P(obtener par) = ---- = ---- = --------------------6
2
casos posibles
En términos de conjuntos, sería:
 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
A = {2 ; 4 ; 6}
El espacio muestral  tiene 6 elementos, n() = 6, y el evento tiene 3
elementos
n(A) = 3
n(A)
3
1
P(A) = -------- = --- = --n()
6
2
b) Si el experimento es lanzar dos monedas y observar el resultado, su espacio
muestral es,  = {cc, sc, cs, ss}
La probabilidad de obtener dos caras es la probabilidad del evento A = {cc}
Entonces esa probabilidad es,
P(dos caras) = P({cc}) = P (A) = ¼
c) El experimento consiste en lanzar dos monedas y un dado, y observar el
resultado obtenido.
Su espacio muestral es,
 = {cc1, cc2, cc3, cc4, cc5, cc6, sc1, sc2, sc3, sc4, sc5, sc6, cs1, cs2, cs3,
cs4,
cs5, cs6, ss1,ss2, ss3, ss4, ss5, ss6}
¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y un número par?
El evento es: A = {cc2, cc4, cc6}
Como A tiene 3 elementos y  tiene 24 elementos, entonces:
P(dos caras y un número par) = P(A) = 3/24 = 1/8 = 0,125
Propiedades de las probabilidades
Las propiedades fundamentales de las probabilidades son tres:
a) La probabilidad es un número positivo menor o igual a uno
0  P(A)  1
P(A) = 0 , si A = { }
P(A) = 1 , si A = 
b) La probabilidad que no ocurra un evento es igual a uno menos la
probabilidad que si ocurra el evento.
P(no A ) = P(A`) = 1 – P(A)
c) La probabilidad que ocurra un evento A o un evento B es igual a la suma de
las probabilidades de A y de B, menos la probabilidad que ocurran A y B a la
vez.
P(A  B) = P(A) + P(B) – P( A  B)
Si los eventos A y B son disjuntos entonces, P(A  B) = P(A) + P(B)
Tablas de frecuencia
Son tablas de trabajo estadístico, que presentan la distribución de un conjunto de
elementos de acuerdo a las categorías de la variable. En ellas se observa la
frecuencia o repetición de cada uno de los valores de la variable que se obtiene
después de realizar la operación de tabulación.
Las frecuencias pueden ser de dos tipos: absolutas y relativas.
Las tablas de frecuencia sirven también para organizar los datos.
Veamos dos ejemplos:
1. Se ha consultado a los alumnos de una sección por el número de hermanos que
tiene, obteniéndose como resultado la siguiente tabla de frecuencias:
Nº de
hermanos
0
1
2
3
4
frecuencia
2
7
9
4
3
El número 7 que está delante del 1 indica que hubieron siete alumnos que
declararon tener un solo hermano. También se puede ver que hay dos alumnos
que son hijos únicos, porque declaran no tener hermano. Tres alumnos tienen 4
hermanos.
En total fueron consultados 25 alumnos, eso se ve en la suma de las
frecuencias.
Si además se quiere saber que parte del total corresponde a cada número de
hermanos, se obtiene la frecuencia relativa. Para eso basta dividir la frecuencia
del número que le corresponde a cada número de hermanos entre el total.
Así, 2/25 = 0,08; 7/25 = 0,28; 9/25 = 0,36; 4/25 = 0,16; 3/25 = 0,12
Entonces la tabla sería:
Número de
hermanos
0
1
2
3
4
Total
frecuencia frecuencia
absoluta
relativa
2
0,08
7
0,28
9
0,36
4
0,16
3
0,12
25
1,00
2. Ahora queremos presentar en una tabla de frecuencias el número de sacos de
papa que Ricardo cosechó por día durante la semana pasada, en la chacra que
tiene en el distrito de Ricrán de la provincia de Junín en el departamento del
mismo nombre.
Día
Lunes
Número de
Frecuencia
sacos
relativa
5
0,15625
Martes
7
0,21875
Miércoles
4
0,12500
Jueves
5
0,15625
Viernes
8
0,25000
Sábado
3
0,09375
Total
32
1,00000
Notas:
En ambos ejemplos se puede observar algunas cosas resaltantes:
a) La suma de las frecuencias relativas es igual a uno.
b) Las frecuencias relativas son números decimales positivos menores que uno.
Será cero si la frecuencia absoluta para esa categoría de la variable es cero.
Frecuencia y probabilidades
En la tabla de frecuencias que corresponde al número de hermanos que tienen los
alumnos de una sección:
Número de
hermanos
0
1
2
3
4
Total
frecuencia frecuencia
absoluta
relativa
2
0,08
7
0,28
9
0,36
4
0,16
3
0,12
25
1,00
Si se quiere saber cuál es la probabilidad que un alumno de esa sección elegido al
azar tenga un solo hermano, se puede decir que es 7 de 25, o lo que es lo mismo:
P(1) = 7/25 = 0,28
De donde se puede concluir que: P(0) = 0,08 ; P(2) = 0,36 ; P(3) = 0,16 y P(4)
= 0,12
En otras palabras la probabilidad de cada una de las categorías de la variable
números de hermanos, es igual a la frecuencia relativa.
Notas:
a) En muchos casos, la frecuencia relativa de una tabla de frecuencias
representa también la probabilidad de una categoría de la variable.
b) No se puede decir que esto es válido para todos los casos.
Por ejemplo, para la otra tabla de frecuencias, la que corresponde al número de
sacos de papa.
Día
Lunes
Número de
Frecuencia
sacos
relativa
5
0,15625
Martes
7
0,21875
Miércoles
4
0,12500
Jueves
5
0,15625
Viernes
8
0,25000
Sábado
3
0,09375
Total
32
1,00000
No tendría ningún sentido decir que la probabilidad de martes es 0,21875. Esto
ocurre porque el 7 que corresponde al martes no indica el número de veces que
aparece martes, sino el número de sacos de papa que se cosechó ese día.
Veamos, en cambio otro ejemplo:
Ricardo está estudiando el número de sacos que cosecha por día durante un mes,
sin importarle de qué día de la semana se trata; entonces tiene la siguiente tabla
de frecuencias:
Número de Frecuencia
sacos
absoluta
Frecuencia
relativa
3
4
0,1333
4
7
0,2333
5
9
0,3000
6
5
0,1667
7
3
0,1000
8
2
0,0667
total
30
1,0000
Entonces si, la probabilidad de cosechar 4 sacos en un día elegido al azar es:
0,2333. Lo mismo se puede decir de las otras categorías de la variable número de
sacos cosechados por día.
Distribuciones de probabilidad
Una distribución de probabilidad es una fórmula, tabla o gráfico que proporciona la
probabilidad asociada a cada categoría de la variable. Puesto que cada categoría de
la variable, en una tabla de frecuencias, tiene una determinada frecuencia absoluta,
es posible encontrar la probabilidad de ocurrencia de la categoría.
En los casos de nuestro trabajo las distribuciones de probabilidad
presentadas únicamente bajo la forma de tablas o cuadros de distribución.
serán
Veamos las tablas de distribución de probabilidades de los dos ejemplos anteriores.
En el caso del número de hermanos de los alumnos de una sección se tendría:
x
P(x)
0
1
2
3
4
0,08
0,28
0,36
0,16
0,12
En el caso del número de sacos de papa cosechados por día, la tabla de distribución
de probabilidades sería:
x
P(x)
3
4
0,1333
5
0,2333
6
0,3000
0,1667
7
0,1000
8
0,0666
También podría presentarse como tablas verticales.
Simulación
En síntesis la simulación es la reproducción de un proceso o de un fenómeno
mediante otro más sencillo o más cómodo de manejar, que evoluciones de manera
semejante al primero.
Desde el punto de vista matemático, simulación es un procedimiento cuantitativo
que conduce una serie de experimentos de tanteos organizados en un modelo de
un proceso para predecir la conducta de ese proceso con el tiempo.
Pese a que los matemáticos recomiendan el uso de la simulación solo como “último
recurso”, es una de las técnicas de la ciencia administrativa más ampliamente
usadas.
Razones para el uso de la simulación:
a)
b)
c)
d)
Por la dificultad que representa la observación real del fenómeno.
La observación del fenómeno real es muy costosa.
La observación del fenómeno real toma demasiado tiempo.
La operación real del fenómeno resulta demasiado destructiva.
Limitaciones de la simulación:
a) No es precisa. No es un proceso de optimización, no proporciona una
respuesta sino un conjunto de respuestas del fenómeno bajo diferentes
condiciones de operación.
b) Un buen modelo de simulación muchas veces es muy caro y toma a
veces demasiado tiempo elaborarlo.
c) No todas las situaciones se pueden simular, las mejores son las que
involucran incertidumbre.
d) Genera formas de evaluar el fenómeno más no proporciona soluciones al
mismo.
El método Montecarlo
El método Montecarlo es un método de simulación de procesos para generar
valores de una variable de acuerdo con una distribución de probabilidades conocida.
Cuando se inicia el proceso, un generador de números aleatorios produce un
número. Los números producidos deben tener una distribución de probabilidad
uniforme, es decir, deben ser igualmente probables. Después la transformación
convierte los números con distribución uniforme en el valor que se desea, de
acuerdo con la distribución que se quiere.
En el fondo no es más que la adjudicación de números de manera proporcional a las
probabilidades, para luego, al azar extraer los números y teóricamente ejecutar el
proceso según el número extraído.
Ejemplo:
María vive muy cerca del colegio, durante varias semanas ha tomado el tiempo que
demora en llegar desde su casa al colegio y ha obtenido los siguientes resultados:
Tiempo en minutos
2
4
8
frecuencia
9
45
6
Frecuencia acumulada
9
54
60
A partir de esa información ha encontrado la distribución de probabilidad, para cada
uno de esos tres tiempos de llegada de su casa al colegio.
Logrando incluso construir la tabla siguiente:
Tiempo en minutos
Probabilidad
2
4
8
0,15
0,75
0,10
Probabilidad
acumulada
0,15
0,90
1,00
Ahora vamos a simular los tiempos de llegada de 10 veces que María va desde
su casa al colegio. No será necesario que María realice sus desplazamientos. La
simulación lo haremos con el método Montecarlo.
Primero precisamos los números que le corresponderán a cada variación de la
variable tiempo que demora en llegar desde su casa al colegio.
Tiempo en
minutos
2
4
8
Probabilidad
0,15
0,75
0,10
Probabilidad
acumulada
0,15
0,90
1,00
Número que
corresponde
De 1 a 15
De 16 a 90
De 91 a 100
En trocitos de papel escribimos los números desde el 1 hasta el 100. Los ponemos
en una bolsa y al azar extraemos un número. Si el número que salió es 43,
entonces el tiempo es 4 minutos (porque 43 está de 16 a 90, que corresponde a 4
minutos). Regresamos el número a la bolsa, y extraemos otro número al azar. Si el
número que sale es 13, el tiempo es 2 minutos. De este mismo modo extraemos
los 10 números y en cada extracción anotamos el número de minutos que le
corresponde. No puede olvidarse de regresar el número que se ha extraído.
Evidentemente si las probabilidades son más sencillas, por ejemplo con un solo
decimal, solo sería necesario trabajar con los números del 1 al 10.
El método de simulación Montecarlo, se puede aplicar a toda situación en la que se
conozcan los valores de las variables y sus probabilidades, con la condición que la
probabilidad sea total, es decir, que la suma de las probabilidades sea 1.
No se puede aplicar este método de simulación si no se conoce de antemano las
probabilidades que le corresponde a cada categoría de la variable.
APLICACIONES DEL MÉTODO MONTECARLO
En el mundo real, principalmente en el empresarial, la simulación tiene muchísimas
aplicaciones. Aquí te presentamos algunas situaciones en las que se utilizó el
Método Montecarlo para simularlas.
SISTEMA DE COLAS
La compañía Xerox, empresa que se dedica especialmente a la venta de
fotocopiadoras, uso una simulación de para analizar la eficacia del servicio
proporcionado por su duplicadora modelo 9200.
Las llamadas de los clientes para solicitar servicio de mantenimiento de urgencia y
de mantenimiento preventivo regular “llegaban” en forma aleatoria a la unidad de
servicio técnico representativo local, las que eran atendidas por una unidad
conformada por un representante técnico de la empresa.
Se quería saber cuántas personas deberían atender esas solicitudes, de modo que
los clientes estén satisfechos y la empresa no invierta mucho dinero.
Con una simulación de este sistema, la Xerox exploró varios tamaños de unidades
de servicio desde 1 hasta 5 personas (representantes técnicos). Encontraron que
las unidades de 3 técnicos serían más eficaces que las de 1 que venia usando.
SISTEMA DE INVENTARIOS
El banco de sangre de un Hospital tenían un gran problema en el mantenimiento de
un stock de bolsas de sangre, debido especialmente a tres cosas: primero a la
aleatoriedad de la demanda, también porque se trata de un bien perecedero y, por
último, al alto costo por no tener el stock adecuado.
Se usó una simulación para permitir al hospital explorar las diferentes políticas de
inventarios en un esfuerzo para encontrar la política más eficaz. De ese modo los
gastos por la falta de stock y la satisfacción de los solicitantes mejoraron
notablemente.
JUEGOS DE NEGOCIOS
Las negociaciones que se hacen en el mundo gerencial real son muy diversos,
variado y aleatorio. Formar a una persona para que pueda desempeñarse
adecuadamente en ese mundo no es fácil.
La simulación de muchos juegos de negocios usada en las escuelas de
administración de empresas en programas de entrenamiento es una buena solución
en estos casos.
Se han construido modelos de firmas y de industrias completas que permiten
insumos externos para ciertas variables como el precio del producto. Los jugadores,
estudiantes de gerencia) introducen sus decisiones, procesan el modelo para el
siguiente periodo y se dan los resultados a los jugadores para otro ciclo de decisión.
De este modo se está logrando que los futuros gerentes estén preparados a
resolver situaciones muy semejantes a los de la realidad, de manera eficaz.
TOMA DE DECISIONES HUMANAS
Otra aplicación de la simulación es para imitar los procesos de toma de decisiones
de un individuo o un grupo.
Por ejemplo, se construyo un modelo de simulación para imitar el proceso por
medio del cual en una ciudad se alteró los reglamentos de zonificación con objeto
de satisfacer nuevas necesidades. En este tipo de
simulación no busca la
optimización, ni siquiera las mejoras. Más bien se trata de automatizar un proceso
humano. El modelo de creado se juzgó exitoso, porque en la mayoría de los casos
la decisión tomada fue la misma que la de los participantes humanos.