Diseño de Elementos Mecánicos ME-5600 Capítulo 3 Análisis de Carga y Esfuerzo Alejandro Ortiz Bernardin www.cec.uchile.cl/~aortizb Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad de Chile Contenidos del Capítulo • Diagramas de Cuerpo Libre • Diagramas de Momento y Corte • Esfuerzo Plano y Tridimensional • Deformación Elástica • Esfuerzo Uniformemente Distribuido • Esfuerzos Normales para Vigas en Flexión ∂ • Esfuerzos Cortantes para Vigas en Flexión • Esfuerzos Debidos a Torsión • Concentración de Esfuerzos • Esfuerzos en Cilindros Presurizados • Esfuerzos en Ajustes a Presión y por Contracción • Esfuerzos Térmicos • Esfuerzos E f de d C Contacto t t Análisis de Carga y Esfuerzo Equilibrio y Diagrama de Cuerpo Libre La suma de todas las fuerzas y todos los momentos actuando en un sistema en equilibrio es cero: X X F =0 M =0 ∂ El objetivo de un diagrama de cuerpo libre es conocer todas las f fuerzas y momentos t que actúan tú en un sistema i t Un diagrama de cuerpo libre simplifica el análisis dado que permite dividir en varias p partes un sistema complejo p j p para analizarlas p por separado Análisis de Carga y Esfuerzo Equilibrio y Diagrama de Cuerpo Libre (Cont.) ∂ Análisis de Carga y Esfuerzo Diagramas de Corte y Momento en Vigas Cortar las vigas en cualquier punto x1 Fuerza de corte interna V y momento de flexión M deben asegurar equilibrio ∂ Análisis de Carga y Esfuerzo Convención de Signos Para Corte y Momento ∂ Análisis de Carga y Esfuerzo Diagramas de Corte-Momento ∂ Análisis de Carga y Esfuerzo Diagramas de Momento en Dos Planos ∂ Análisis de Carga y Esfuerzo Diagramas de Momento en Dos Planos (Cont.) ∂ El momento total es la suma vectorial: q M = My2 + Mz2 En el punto B el momento total es: MB = p 80002 + 20002 = 8246 lbf-in Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzo • Esfuerzo normal es normal a una superficie y es denotado • Esfuerzo de corte tangencial es tangente a una superficie y es denotado • Esfuerzo normal actuando hacia afuera de una superficie es un esfuerzo de tracción • Esfuerzo normal actuando hacia adentro de una superficie es un ∂ esfuerzo compresivo • La L unidad id d d de esfuerzo f en ell Si Sistema t IInglés lé es lib libras por pulgadas l d cuadradas (psi) • La unidad de esfuerzo en el Sistema Internacional (SI) es Newton por metro cuadrado (N/m2) • 1 N/m2 = 1 pascal (Pa) Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzo (Cont.) ∂ • Representa el esfuerzo en un punto • Dirección Di ió d de llas coordenadas d d es arbitraria bi i • Si se eligen coordenadas tal que el corte es cero, entonces se obtienen los esfuerzos p principales p Análisis de Carga y Esfuerzo Componentes Cartesianas del Esfuerzo • Definidas por tres superficies mutualmente ortogonales en un punto d t de dentro d un cuerpo • Cada superficie puede tener esfuerzos f de d corte t y esfuerzos f normales ∂ • El primer i subíndice bí di iindica di lla di dirección ió de la normal a la superficie • El segundo d subíndice bí di iindica di lla dirección del esfuerzo de corte Análisis de Carga y Esfuerzo Ecuaciones de Transformación (Esfuerzo Plano) Cortando el cubo de esfuerzos en un ángulo arbitrario y balanceando esfuerzos, se llegan a las siguientes Ecuaciones de Transformación para esfuerzo plano: σ= σx + σy σx − σy + cos 2φ + τxy sin 2φ 2 2 σx − σy τ =− sin 2φ + τxy cos 2φ 2 ∂ Análisis de Carga y Esfuerzo Ecuaciones de Transformación (Esfuerzo Plano) σ= σx + σy σx − σy + cos 2φ + τxy sin 2φ 2 2 Diferenciando la ecuación de arriba con respecto a φ e igualando a cero, se obtiene la siguiente ecuación: 2ττxy tan 2φ φp = σx − σy ∂ Los dos valores para φ definen las dos direcciones principales El ángulo entre las direcciones principales es de 90º Los esfuerzos en las direcciones principales son los esfuerzos principales (máximo y mínimo) y son esfuerzos normales Los esfuerzos de corte son cero en la superficie que define alguna dirección principal Análisis de Carga y Esfuerzo Ecuaciones de Transformación (Esfuerzo Plano) Substituyendo tan 2φ φp = en σ= 2τxy σx − σy σx + σy σx − σy + cos 2φ + τxy sin 2φ 2 2 ∂ Se obtienen los dos valores no nulos para los esfuerzos principales máximo á i y mínimo: í i sµ ¶2 σx − σy σx + σy 2 σ1 , σ2 = ± + τxy 2 2 Observar que σ3 = 0 Análisis de Carga y Esfuerzo Ecuaciones de Transformación (Esfuerzo Plano) De manera similar, se puede obtener que los esfuerzos de corte máximos están en superficies ubicadas a ±45º desde las direcciones principales Los dos valores de corte extremos son: sµ ¶2 σx − σ y 2 τ1 , τ2 = ± + τxy 2 ∂ Orientación x-y Orientación esfuerzos principales Orientación esfuerzos de corte máximo Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzo Tridimensional General Los esfuerzos son en general 3-D Elementos en esfuerzo plano tienen una superficie con esfuerzos nulos Para los casos en que no hay superficies con esfuerzos nulos, los esfuerzos principales se encuentran resolviendo las raíces de la∂siguiente ecuación cúbica: σ 3 − (σx + σy + σz )σ 2 2 2 2 +(σx σy + σx σz + σy σz − τxy − τyz − τzx )σ 2 2 2 −(σx σy σz + 2τxy τyz τzx − σx τyz − σy τzx − σz τxy ) = 0 Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzo Tridimensional General (Cont.) Siempre hay tres esfuerzos de corte extremos τ1/2 σ1 − σ2 σ2 − σ 3 σ1 − σ 3 , τ2/3 = , τ1/3 = = 2 2 2 El esfuerzo de corte máximo es el más grande ∂ Los esfuerzos principales son usualmente ordenados como σ1 > σ2 > σ3 en cuyo caso σ 1 − σ3 τmax = 2 Análisis de Carga y Esfuerzo Deformación Elástica • Ley de Hooke σ = Eε • E es el Módulo de Young o Módulo de Elasticidad • Tensión en una dirección produce contracción ∂ dirección perpendicular (deformación negativa) en otra • Para esfuerzo axial en dirección x, σx εx = ; E σx εy = εz = −ν E • es el Coeficiente de Poisson. ( ~ 0.3 para acero) Análisis de Carga y Esfuerzo Deformación Elástica (Cont.) • Para un elemento de esfuerzo que desarrolla σx , σy , σz simultáneamente, 1 εx = [σx − ν(σy + σz )] E 1 ∂ x + σz )] εy = [σy − ν(σ E 1 εz = [σz − ν(σx + σy )] E Análisis de Carga y Esfuerzo Deformación Elástica (Cont.) • Ley de Hooke para corte τ = Gγ • La deformación de corte (), conocida como deformación i ingenieril, i il es ell cambio bi que d desarrolla ll un á ángulo l recto t d de un elemento de esfuerzo cuando está sujeto a corte puro ∂ • G es ell Mód Módulo l Elástico Elá ti d de C Corte t o Mód Módulo l d de Ri Rigidez id • Para un material lineal, isotrópico y homogéneo, E = 2G(1 + ν) Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzo Uniformemente Distribuido • Esfuerzo uniformemente distribuido se refiere usualmente a tensión p pura,, compresión p p pura o corte puro • Para tensión y compresión, compresión ∂ F σ= A • Para corte puro, V τ= A Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzos Normales para Vigas en Flexión • Viga recta en flexión positiva • Eje x es el eje neutral • Plano xz es el plano neutro • En este caso, el eje neutral coincide con el eje centroidal ∂ Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzos Normales para Vigas en Flexión (Cont.) • El esfuerzo de flexión varía linealmente con la distancia desde el eje neutral, My σx = − I • I es el segundo momento de área con respecto al eje z I= Z y 2 dA ∂ Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzos Normales para Vigas en Flexión (Cont.) • El esfuerzo de flexión máximo ocurre cuando y toma el mayor valor, Mc M = σmax = I Z • c es la magnitud del mayor valor de y •Z= I es el módulo de sección ∂ c Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzos Normales en Vigas - Supuestos • Estado de flexión pura (no hay carga axial, ni torsional, ni cargas g de corte)) • El material es isotrópico y homogéneo • El material obedece a la ley de Hooke ∂ • La viga g está inicialmente recta con sección transversal constante • Las secciones transversales permanecen planas durante la flexión Análisis de Carga y Esfuerzo Flexión en Dos Planos • Considerar flexión en los planos xy y xz, simultáneamente • En sección con dos planos de simetría simetría, σx = − Mz y My z + Iz Iy ∂ • Para una sección circular sólida, el esfuerzo de flexión máximo es (My2 + Mz2 )1/2 (d/2) 32 Mc 2 2 1/2 = = σmax = (M + M y z) 4 3 I πd /64 πd Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzo de Corte en Vigas ∂ VQ τ= Ib Z c dM Q= y dA dx y1 • El esfuerzo de corte transversal está siempre acompañado por esfuerzo de flexión V = • En vigas cuya razón largo/alto es mayor que 10, el esfuerzo de flexión es dominante y el esfuerzo de corte es despreciable p Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzo de Corte en Vigas (Cont.) ∂ Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzos de Corte Transversal Máximos ∂ Análisis de Carga y Esfuerzo Torsión • Momento co-lineal con el eje de algún elemento mecánico • Una barra q que está sujeta j a torque q se dice q que se encuentra en torsión • El ángulo g de g giro,, en radianes,, para p una barra en torsión es ∂ Tl θ= GJ Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzo de Corte Torsional • Para una barra redonda en torsión, el esfuerzo de corte torsional es proporcional al radio Tρ τ= J • El esfuerzo de corte torsional máximo se encuentra en la superficie exterior de la barra redonda ∂ Tr τmax = J Análisis de Carga y Esfuerzo Supuestos para las Ecuaciones de Torsión • Estado de torque puro • Punto de interés alejado de cualquier discontinuidad o punto de aplicación de torque • El material obedece a la ley de Hooke ∂ • La sección transversal originalmente g p plana y p paralela,, permanece plana y paralela • Las ecuaciones anteriores son aplicables sólo para secciones transversales redondas Análisis de Carga y Esfuerzo Potencia, Velocidad y Torque • Potencia (H) es igual a torque (T) por velocidad angular () H [W] = T [Nm] ω [rad/s] • Conversión con velocidad en rpm ∂ H [W] T [Nm] = 9.55 n [rpm] • En términos de velocidad (V) y fuerza (F) tangenciales H [W] = F [N] V [m/s] Análisis de Carga y Esfuerzo Ejercicio #2 Resolver el Ejemplo 3-8 del libro guía utilizando un programa de elementos finitos. Validar/Comparar los resultados computacionales p con los resultados teóricos dados en el libro. Escribir un informe. Fecha Entrega: Jueves 3 de Noviembre, en clases. ∂ Análisis de Carga y Esfuerzo Concentración de Esfuerzos • Crecimiento localizado de esfuerzos cerca de discontinuidades • El factor teórico de concentración de esfuerzo es σmax Kt = σ0 ∂ τmax Kts = τ0 Análisis de Carga y Esfuerzo Factor Teórico de Concentración de Esfuerzos • Gráficos disponibles para configuraciones estándar • Ver Apéndice A del Shigley • Muchos más disponibles en el Peterson’s Peterson s StressConcentration Factors ∂ • Kt crece a medida que la discontinuidad es más pronunciada Análisis de Carga y Esfuerzo Factor de Concentración Condición Estática y Dúctil • Bajo carga estática y con materiales dúctiles ◦ Las fibras localizadas en la zona de concentración fluyen (plastificación) ◦ La plastificación es localizada ∂ daño a menos que el ◦ La pieza en conjunto no sufre esfuerzo de ruptura sea sobrepasado ◦ Efectos debido a concentración de esfuerzos son comúnmente ignorados cuando se está en presencia de carga estática con materiales dúctiles Análisis de Carga y Esfuerzo Técnicas para Reducir Concentración de Esfuerzos • Usar radios más grandes • Usar “zonas muertas” para disminuir tensiones ∂ Análisis de Carga y Esfuerzo Ejemplo ∂ Análisis de Carga y Esfuerzo Ejemplo (Cont.) ∂ Fig. A−15 −1 Análisis de Carga y Esfuerzo Ejemplo (Cont.) ∂ Análisis de Carga y Esfuerzo Ejemplo (Cont.) ∂ Fig. g A−15−5 Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzos en Cilindros Presurizados Cilindro con radio interior ri, radio exterior ro, presión interna pi y presión externa po Esfuerzo radial y esfuerzo tangencial ∂ Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzos en Cilindros Presurizados (Cont.) • Caso especial cuando po = 0 ∂ • Si los extremos del cilindro están cerrados cerrados, entonces hay esfuerzo longitudinal Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzos en Cilindros de Pared Delgada • Espesor de pared menor o igual que 1/10 del radio • Esfuerzo radial es muy y pequeño p q con respecto p al esfuerzo tangencial g • Esfuerzo tangencial (promedio) • Esfuerzo tangencial máximo ∂ • Esfuerzo longitudinal si extremos están cerrados Análisis de Carga y Esfuerzo Ajustes a Presión y por Contracción • Dos partes cilíndricas son ensambladas con una interferencia radial • La presión de interferencia es ∂ • Si los dos cilindros están hechos con el mismo material Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzos en Ajustes a Presión y por Contracción • Aplicar las ecuaciones de esfuerzo para cilindros presurizados • Para el cilindro interior, po = p y pi = 0 ∂ • Para el cilindro exterior, po = 0 y pi = p Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzos Térmicos Deformación D f ió normall en cuerpo sin i restricción t i ió d debida bid a expansión ió por cambio de temperatura donde es el coeficiente de dilatación térmica Esfuerzos térmicos ocurren cuando componentes son restringidos para prevenir deformación durante el cambio de temperatura ∂ Para una barra recta restringida en ambos extremos, un i incremento t en lla ttemperatura t genera un esfuerzo f de d compresión ió Idénticamente, para una placa plana restringida en ambos extremos Análisis de Carga y Esfuerzo Coeficientes de Dilatación Térmica ∂ Análisis de Carga y Esfuerzo Esfuerzos de Contacto • Dos cuerpos de superficies curvas son presionados uno con otro • Puntos P t o líneas lí de d contacto t t se transforman en áreas de contacto • Aparecen pa ece es esfuerzos ue os ttridimensionales d e s o a es conocidos como Esfuerzos de Contacto o Esfuerzos de Hertz ∂ • Ejemplos Ej l ◦ Ruedas de ferrocarril en riel ◦ Acople entre dientes de engranajes ◦ Cojinetes de contacto rodante Análisis de Carga y Esfuerzo Ejemplo: Esfuerzos de Contacto Esférico • Dos esferas sólidas de diámetros d1 y d2 son presionadas una con otra por una fuerza F • Área de contacto es un círculo de radio a ∂ • La distribución de presión es hemisférica • La presión máxima es en el centro del área de contacto Análisis de Carga y Esfuerzo Ejemplo: Esfuerzos de Contacto Esférico (Cont.) • El esfuerzo máximo (compresivo) ocurre en el eje z • Los esfuerzos principales, todos de compresión, son ∂ • El esfuerzo de corte máximo es Análisis de Carga y Esfuerzo Ejemplo: Esfuerzos de Contacto Esférico (Cont.) Esfuerzos principales y esfuerzo de corte máximo en función de la distancia debajo de la superficie de contacto. Notar N que max ocurre cercano a la superficie de contacto ∂ El esfuerzo de corte máximo es el responsable de la fatiga g superficial (grietas) de los elementos en contacto Análisis de Carga y Esfuerzo