Filtro LMS

FILTRO LMS
INTRODUCCION- FILTRO DE WIENER

Es un sistema al que le llegan dos señales:
x(n) y e(n). A los coeficientes del filtro se les
llama w(n), que son los que multiplican a la
entrada x(n) para obtener la salida.
y(n)=w(n)x(n)
e(n)=d(n)-y(n)
CARACTERÍSTICAS:

El objetivo del filtrado de Wiener es
determinar la respuesta impulsional h*(n),
de longitud Q muestras, de modo que la
salida y(n) sea lo mas parecida posible a
la señal d(n). Se puede tomar, como
medida de parecido, el error cuadrático
medio entre la salida y la referencia.
ξ = E{|d(n) − y(n)|2 }

La respuesta impulsiva del filtro de Wiener se
obtiene encontrando una expresión para el
error cuadrático medio y minimizándola con
respecto a la respuesta al impulso.
Siendo Φmm la auto correlación y Φmn
correlación cruzada de dos señales m y n.
la
El valor mínimo del error determina los
coeficientes óptimos del filtro, es decir su
mejor diseño.
La ecuación que nos permite encontrar los
coeficientes (W), del filtro es:
Rxw=rdx
Donde
Rx Matriz de Autocorrelación
rdx Vector de Correlación Cruzada
W Vector de coeficientes.
TIPOS DE FILTROS WIENER
Existen diversas estructuras para el filtro
de wiener. Comenzaremos con el caso en
q el filtro puede ser no causal y de
duración infinita, el filtro IIR no causal .
Posteriormente añadiremos la restricción
de causalidad para obtener un filtro IIR
causal. Por ultimo, la restricción de
longitud finita nos conducirá al filtro FIR.
Filtro de Wiener IIR
Nuestro propósito es diseñar un filtro h(n) que produzca una salida:
y(n) = x(n) * h(n)
Tan cercana como sea posible, en sentido cuadrático-medio, a la
respuesta deseada, d(n).
El enunciado del problema es idéntico para filtros FIR y para IIR, pero
existe una gran diferencia que cambia la solución.
Para el filtro FIR, existe un número finito de posibles coeficientes del
filtro, mientras que con el filtro IIR, el número de incógnitas, es decir,
de valores de h(n) para todo n, es infinito.
Vamos a considerar dos situaciones:
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Primero el caso en que no aplicamos restricciones a la solución.
Obtendremos que el filtro óptimo es, en general, no causal, y por
tanto, irrealizable: Filtro Wiener IIR no causal.
Posteriormente, aplicaremos la condición de causalidad, y para ello
forzaremos h(n) a cero para valores de índice n negativos: Filtro
Wiener IIR causal.
FILTRO DE WIENER IIR NO CAUSAL
Para un filtro de Wiener IIR no causal (sin restricciones), debemos determinar la respuesta
impulsional, h(n),
que minimice el error cuadrático medio
donde e(n) es la diferencia entre la respuesta deseada d(n) y la salida del filtro de Wiener,
Para encontrar la respuesta derivamos x respecto a h*(k) para todo k e igualamos las derivadas a
cero. Así, obtenemos
Esta ecuación se conoce como principio de ortogonalidad, y establece que x es mínimo y los
coeficientes del filtro asumen sus valores óptimos cuando e(n) está incorrelado con cada muestra
de entrada x(n) que es utilizada para el cálculo de la estimación. Como consecuencia, el error
también es ortogonal a la salida del filtro. Este principio establece una condición suficiente y
necesaria para la optimización.
Ordenando términos llegamos a
Observamos que el valor medio esperado en la
izquierda es la autocorrelación de x(n), y que el
término de la derecha es la correlación cruzada
entre x(n) y d(n). Por tanto, podemos escribir la
ecuación anterior como
ecuaciones de Wiener-Hopf para el filtro de Wiener IIR no causal.
Filtro de Wiener IIR causal
En esta sección vamos a aplicar la restricción de causalidad al filtro de Wiener. La
respuesta impulsional, por tanto, será cero para valores de n menores de cero,
y la estimación de d(n) tomará la forma
Debemos encontrar los coeficientes que minimizan el error cuadrático medio, y
para ello, derivamos x respecto a h*(k) con k = 0 e igualamos las derivadas a
cero. Así obtenemos las ecuaciones de Wiener-Hopf para el filtro de Wiener IIR
causal:
APLICACIONES
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Otra aplicación de interés del filtrado de Wiener esta en los
denominados canceladores de ruido. En esta ocasión, se supone que
la señal deseada s(t) (habitualmente voz o audio) se ve afectada por
un ruido aditivo h(t)*w(t), donde h(t) es el canal de propagación del
ruido hasta el micrófono. Si dicho ruido puede captarse (muy
importante) libre de señal deseada, vía otro micrófono (o un galga
extensiométrica si se trata de una superficie vibrante, caso de ruido
de baja frecuencia), entonces puede usarse de referencia para
cancelar este a la salida . Lo que se espera del filtro de Wiener es que
sea capaz de lograr una copia adecuada del canal h(t).
Bajo un diseño óptimo del filtro, el error será precisamente la señal
deseada libre de ruido. Esto ocurrirá cuando el filtro copie
perfectamente el canal de propagación del ruido. Es crucial que el
canal, denominado de datos en la figura, no contenga señal deseada
s(n), de otro modo se produciría la cancelación de ésta. Por esta razón
es recomendable el usar sensores de vibración en paneles vibrantes o
micrófonos direccionales con un nulo en la dirección donde se recoge
la señal deseada. Para comprobar el correcto funcionamiento del filtro
se calculara la coherencia espectral de los datos con la referencia.
El filtro de Wiener como cancelador de ecos. Por falta de aislamiento en
el transformador híbrido cercano al origen de la conversación 2, la conversación
de 1 vuelve después de atravesar el híbrido (modelado como un canal lineal). El
cancelador debe generar una réplica de dicho canal para eliminar el eco.
CANCELADOR DE RUIDO UTILIZANDO UN FILTRO
ADAPTIVO NLMS
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Como forma de solucionar este problema se realiza lo
siguiente, se coloca otro micrófono cerca del martillo
neumático, y mediante un filtro adaptivo, se busca estimar el
"ruido" que se suma a mi señal, para luego restarlo y así
obtener la voz del orador únicamente.
Nuestro objetivo es realizar el filtro FIR, cuyos coeficientes se
adapten mediante el algoritmo NLMS (Normlaized Least Mean
Square) para cancelar el ruido
CANCELACIÓN ADAPTIVA DE RUIDO
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Una de las técnicas de procesamiento adaptivo de
señales mas simples y efectivas es la cancelación de
ruido adaptiva. Como se muestra en la figura, la entrada
primaria u(n) contiene la señal mas el ruido, donde v2(n)
es la referencia del ruido, un filtro adaptivo es usado para
estimar el ruido de u(n) y el ruido estimado y(n) se resta
del canal primario. La salida del cancelador de ruido es
entonces e(n).
FILTRO DE WEINER ADAPTIVO (COEFICIENTES
ADAPTADOS POR LMS)
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La implementación más común de un filtro
adaptivo es la estructura transversal. La señal
de salida del filtro y(n) es
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donde:
Algoritmo de adaptación:
El algoritmo de adaptación usa la señal de error:
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e(n) = u(n) – y(n)
Donde y(n) es la salida del filtro. El vector de
entradas v2(n) y e(n) son utilizados para
actualizar los coeficientes del filtro adaptivo de
acuerdo al criterio que se quiera minimizar. El
criterio que utilizamos nosotros es el de
minimizar el error cuadrático medio:

Ya habíamos visto que
Donde
La solución óptima
se obtiene resolviendo la ecuación:
, que minimiza el error cuadrático medio,
Donde llegábamos a la solución:
Un algoritmo LMS ampliamente usado es un algoritmo que
adapta los coeficientes en cada muestra. Este método puede
evitar el complicado cálculo de R-1 y p, este algoritmo es un
método práctico para encontrar soluciones aproximadas a la
ecuación anterior.
(8)
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Donde b es el paso de adaptación que controla la estabilidad y
la velocidad de convergencia. Para el algoritmo LMS, el
gradiente en la n-ésima iteración
, es estimado asumiendo
el error al cuadrado como un estimador del error cuadrático
medio. Así, la expresión para el estimador del gradiente puede
ser simplificada a:

Al sustituir este estimador instantáneo del gradiente en la
ecuación (8) conduce al algoritmo LMS de Widrow-Hoff:
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donde 2β es usualmente reemplazado por β en la
implementación práctica .
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Si comenzamos con un w(0) cualquiera, el vector de coeficientes
convergerá a su solución óptima w*, si se cumple que:
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donde λmax es el mayor valor propio de la matriz R. λ max puede ser
acotado por:
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donde Tr[R] es la traza de R y r(0) = E{v22(n)} es la potencia promedio
de la entrada. Para aplicaciones de procesamiento de señales, la
consideración práctica más importante es la velocidad de
convergencia, que determina la habilidad del filtro de seguir señales
no estacionarias. Hablando generalmente, la convergencia del vector
de coeficientes está garantizada sólo cuando el coeficiente más
lento ha convergido. La constante de tiempo del modo más lento es:

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Esto indica que la constante de tiempo para la convergencia
de los coeficientes es inversamente proporcional a by
además depende de los valores propios de la matriz de
autocorrelación de la entrada. Con valores propios muy
eparados i.e. λ max λ min, el tiempo de establecimiento está
limitado por el modo más lento, λ min. La adaptación basada
en un estimador del gradiente resulta en ruido en el vector
de coeficientes, y por lo tanto una pérdida de performance.
Este ruido en el proceso adaptivo causa que el vector de
coeficientes en régimen varíe aleatoriamente alrededor del
vector de coeficientes óptimos.
Todo esto nos lleva a ver el compromiso entre la velocidad
de convergencia y el error en régimen, si queremos obtener
una velocidad de convergencia buena, entonces el
paso b debe ser grande, pero en este caso la performance
en régimen del filtro no sería muy buena, y viceversa si
queremos obtener buena performance en régimen, entonces
debemos hacer que b sea chico, pero esto limita la
velocidad de convergencia.
GRACIAS