h p = λ

Mecánica Cuántica Moderna
La hipótesis de De Broglie
En 1923, Louis de Broglie hizo una propuesta revolucionaria: que
los electrones no siguen el comportamiento de las partículas
clásicas, sino que su comportamiento es similar al de las ondas.
De Broglie propuso que la longitud de onda asociada al movimiento
de los electrones debía ser similar a la de los fotones, para los
cuales es válida la ecuación:
pf =
h
λ
Concluyó que el movimiento ondulatorio de las partículas materiales
debía estar “guiado” por una onda asociada, a la que denominó
“onda piloto”, que se trata de una onda estacionaria que cumpliría
con la relación de De Broglie:
λ=
h
p
Vemos que lo que hizo De Broglie fue extender la naturaleza dual
partícula-onda existente en la luz a las partículas materiales.
Con dos ejemplos veremos de qué manera se aplica la relación de
De Broglie para obtener casos de cuantización de la vieja teoría
cuántica.
Mecánica Cuántica Moderna
La hipótesis de De Broglie
Ejemplo 1: A partir de la relación de De Broglie alcance la expresión
de la energía para una partícula que se mueve en un segmento de
recta de longitud a.
Una onda estacionaria debe ser la onda piloto de esta partícula.
No puede ser una onda no estacionaria
Una onda estacionaria presenta un número entero de medias
oscilaciones en el segmento de recta:
Por lo cual la relación general entre a y λ es:
a=
nλ
2
n = 1, 2, 3, ...
Despejando λ e igualando a h/p, obtenemos
2a h
=
n
p
Despejamos ahora la cantidad de movimiento de la partícula:
nh
p=
2a
Aprovechamos la definición de la energía cinética para obtener una
expresión para la energía de la partícula
p 2 n2h 2
Ec =
=
2m 8ma 2
Vemos que la energía cinética está cuantizada
Mecánica Cuántica Moderna
La hipótesis de De Broglie
Ejemplo 2. Obtenga la cuantización del momentum angular de Bohr
al aplicar la relación de De Broglie a una onda estacionaria
asociada al movimiento de un electrón en una órbita circular.
Como muestra la figura, sólo se obtienen ondas piloto sin
interferencia (estacionarias) cuando dentro del perímetro de la
órbita quepa una o más longitudes de onda completas, es decir
2π r = nλ
n = 1, 2, 3, ...
Al despejar λ y sustituir en la relación de De Broglie
2πr h
=
n
p
Y ya que p=mv, alcanzamos la expresión
h
mvr = n
2π
que es la expresión de Bohr para la cuantización de la cantidad de
movimiento angular.
Mecánica Cuántica Moderna
Evidencias experimentales del comportamiento ondulatorio de
la materia
Einstein y De Broglie propusieron la confirmación experimental de la
hipótesis de las ondas piloto. Si fuera cierto que un movimiento
ondulatorio estaba asociado a las partículas, éstas deberían
presentar patrones de interferencia y difracción similares a los de la
radiación electromagnética.
En 1927 culminaron los experimentos. Por una parte Clinton J.
Davisson y L. H: Germer, estadounidenses, se dedicaron a difractar
un haz de electrones al hacerlos pasar por un cristal de níquel.
Por la otra, en Inglaterra, George P. Thomson (precisamente el hijo
de J. J: Thomson) empleó láminas metálicas delgadas para
provocar la difracción de los electrones
Mecánica Cuántica Moderna
Evidencias experimentales del comportamiento ondulatorio de
la materia
Los resultados fueron similares a los de difreacción de la radiación
electromagnética. Por ejemplo, en la figura se muestra un patrón de
difracción de rayos X.
De Broglie recibió el premio Nobel de física en 1929. Davisson y
Thomson lo recibieron en 1937.
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La ecuación de Schroedinger
Erwin Schroedinger fue el primero en emplear la idea de la relación
de las ondas piloto de De Broglie dentro de una ecuación de onda.
Empecemos por obtener la ecuación diferencial de una onda
estacionaria en una dimensión.
Para ello hay que recordar la ecuación de un campo eléctrico que
viaja a la velocidad de la luz. Cuando t=0 la ecuación del perfil de la
senoide es:
Cuya ecuación es:
E ( x,0) = A sen
2π
λ
x
y ahora X es la variable que mide la onda desde el origen
desplazado, o sea que la ecuación de la nueva onda, al tiempo t,
es:
E ( x, t ) = A sen
pero como
2π
λ
X
X = x − ct
podemos escribir la ecuación anterior en términos de x, como
E ( x, t ) = A sen
Sustituyendo
finalmente a
2π
λ
( x − ct )
c = λν y metiendo λ dentro del paréntesis llegamos
x
E ( x, t ) = A sen 2π ( − υt )
λ
que es la ecuación de una onda que viaja hacia la derecha.
Una onda estacionaria unidimensional puede obtenerse sumando
una onda que se mueve a la derecha con una que se mueve hacia
la izquierda.

x

x
− νt  + A sen 2π  + νt 
λ

λ

φ EST ( x, t ) = A sen 2π 
Esta expresión se puede simplificar con la relación trigonométrica
sen(a ± b ) = sen a cosb ± sen b cos a
De donde
sen(a − b ) + sen(a + b ) = 2sen a cos b
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La ecuación de Schroedinger
La ecuación de una onda estacionaria sinusoidal unidimensional
resulta ser, entonces
φ EST (x, t ) = 2 Asen
2πx
λ
cos 2πν t
Cualquier otro perfil inicial de la onda, Ψ(x), diferente de la
sinusoide, tendría por lo tanto la forma:
φ EST (x, t ) = Ψ ( x ) cos 2πνt
En particular, la senoide satisface la siguiente ecuación diferencial
d 2Ψ(x )
 2π 
= −  Ψ (x )
dx 2
 λ 
2
Por lo que esta ecuación se conoce como ecuación diferencial de
una onda estacionaria.
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La ecuación de Schroedinger
Es sobre esta ecuación sobre la que Schroedinger sustituye la
relación de De Broglie: λ = h/p, que corresponde a la longitud de
onda de la onda piloto asociada al movimiento de un electrón, para
obtener la ecuación de onda de un electrón.
2
d 2 Ψ (x )
 2π  2
=
−
  p Ψ(x )
2
dx
 h 
Sustituyendo la relación entre el cuadrado de la cantidad de
movimiento y la energía cinética:
p 2 = 2mEc = 2m (E − V )
Obtenemos:
d 2 Ψ(x )
2m(E − V )
=
−
Ψ(x )
2
2
dx
h
De donde derivamos la ecuación de Schroedinger
para una partícula que se mueve en una dirección:
h 2 d 2 Ψ(x )
−
+ VΨ ( x ) = EΨ ( x )
2
2m dx
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La ecuación de Schroedinger
¿Qué tiene de particular el hecho de que la ecuación de
Schroedinger sea una ecuación diferencial?
1. Que lo que intenta resolverse es la(s) función(es) Ψ(x) que
satisface(n) la ecuación
Ejemplo 1: Obtener la solución de la ecuación
dΨ ( x )
=4
dx
Tiene una solución general
Ψ( x ) = 4 x + C
2. Por lo tanto se presentan un número infinito de soluciones, por el
valor arbitrario de C.
Ejemplo 2. Obtener la solución de la ecuación
d 2 Ψ(x )
 2π 
=
−
  Ψ (x )
2
dx
 λ 
2
La solución general de esta ecuación es
Ψ ( x ) = Asen
2πx
λ
+ Bcos
2πx
λ
Por lo tanto, se presentan también un número infinito de soluciones,
por los valores arbitrarios de A y B.
De estos dos ejemplos, es claro que la solución de la ecuación de
Schroedinger ha de ser una función o, más bien, un conjunto de
funciones Ψ(x), que la satisface.
h 2 d 2 Ψ(x )
−
+ VΨ ( x ) = EΨ ( x )
2m dx 2
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Solución de la ecuación de Schroedinger para la partícula en
una caja de potencial unidimensional
Procedamos a resolver la ecuación de Schroedinger
h 2 d 2 Ψ(x )
−
+ VΨ ( x ) = EΨ ( x )
2m dx 2
para una partícula que se mueve en un sistema con la siguiente
energía potencial:

0 para 0<x<a
V(x) =


∝ para x<0 y x>a
Donde la energía potencial vale cero (en el intervalo 0<x<a ) sí
existe probabilidad de que se encuentre la partícula, pero en la zona
donde la energía potencial vale infinita (es infinitamente repulsiva)
no existe probabilidad de encontrar a la partícula, por lo que la
función de onda debe valer cero allí.
Ψ(x) = 0 para x<0 y x>a
Por otra parte, en el intervalo 0<x<a debemos resolver la ecuación
de Schroedinger, en la que hemos sustituido
d 2 Ψ(x )
− 2
= EΨ ( x )
2
8π m dx
h = h / 2π
h2
Sujeta a las condiciones a la frontera
Ψ(0) = 0
Ψ(a) = 0
Para tener una función de onda continua en todo el espacio.
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Solución de la ecuación de Schroedinger para la partícula en
una caja de potencial unidimensional
La solución de esta ecuación son las senoides y las cosenoides
siguientes:
1/ 2
2
2
 8π mE 

Ψ (x ) = Asen 
2
 h

Dada la primera condición a la frontera, B debe valer cero.
Dada la segunda condición a la frontera, debe cumplirse que
Asen
2π
h
2mE a = 0
Lo cual se cumple si el argumento de la senoide es un número
entero de veces π
2π
h
2mE a = nπ
1/ 2
 8π mE 

x + Bcos
2
 h

con n = 1,2,3,...
De donde resulta que la energía E del sistema está cuantizada y
resulta igual a
n2h2
E=
8ma 2
Esta resulta ser la tercera ocasión en el curso que obtenemos esta
expresión. Primero la obtuvimos aplicando la cuantización de
Sommerfeld y Wilson a una partícula en un frontón, luego aplicando
la hipótesis de De Broglie a una partícula que viajaba en un
segmento de recta y ahora resolviendo la ecuación de Schroedinger
para la partícula en la caja de potencial unidimensional.
x
Mecánica Cuántica Moderna
Solución de la ecuación de Schroedinger para la partícula en
una caja de potencial unidimensional
Para acabar de encontrar la solución de la ecuación de
Schroedinger en este caso, vamos a sustituir el valor de E en la
función de onda, para obtener:
Ψ ( x) = Asen
nπ
x
a
n = 1,2,3,... a ≤ x ≤ 0
Así, hemos obtenido los siguientes valores para la energía
Y las siguientes funciones de onda (se presentan solamente las dos
primeras de ellas)
Mecánica Cuántica Moderna
Primeras dos funciones de onda que son la solución de la
ecuación de Schroedinger para la partícula en una caja de
potencial unidimensional
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Operadores en mecánica cuántica
Para un sistema en el cual la energía potencial valga cero:
V=0, E=Ec
La ecuación de Schroedinger
h 2 d 2 Ψ(x )
−
+ VΨ ( x ) = EΨ (x )
2
2m dx
(1)
toma la forma
h2 d 2Ψ(x )
−
= Ec Ψ (x ) (1' )
2
2m dx
La función de onda de esta partícula debe ser tal que, “derivada dos
veces con respecto a x y multiplicada por –ħ2/2m”, nos debe dar de
nueva cuenta la función de onda, pero ahora multiplicada por la
energía cinética.
Dada esa característica, la frase entrecomillada en el párrafo
anterior se le conoce como operador de la energía cinética
variable para la cual usaremos una Ec con un sombrero.
h2 d 2
Eˆ c = −
2m dx 2
Un operador no es sino una receta que debe seguirse sobre la
función a la que está aplicada. En la ecuación,
Eˆ c Ψ = Ec Ψ
( 2)
que no es sino la ecuación (1’) de esta página, la primera Ec con
sombrero es el operador de la energía cinética, que opera sobre la
función de onda y la segunda Ec es el valor de la energía cinética
del sistema, que está multiplicado por la función de onda.
Mecánica Cuántica Moderna
Operadores en mecánica cuántica
Schroedinger obtuvo los operadores asociados a cualquier variable
dinámica del sistema. Por ejemplo, para la componente x de la
cantidad de movimiento lineal, obtuvo
pˆ x = −ih
d
dx
(3)
Lo cual resulta congruente con el operador de la energía cinética,
pues
2
2
2
p
1
d
d
h
d
ˆ




Eˆ c =
=
 − ih  − ih  = −
2m 2m 
dx 
dx 
2m dx 2
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Operadores en mecánica cuántica
El operador de la energía potencial consiste simplemente en la
multiplicación por la energía potencial de la partícula:
VˆΨ = VΨ
(4)
y el operador energía total, o hamiltoniano, consiste en la suma de
los operadores de la energía cinética y el de la energía potencial.
La misma ecuación de Schroedinger puede escribirse en notación
de operadores, de la siguiente forma:
 h2 d 2

ˆ
 −
Ψ ( x ) = EΨ ( x )
+
V
2
 2m dx

(5)
Reconocemos al operador de energía cinética al inicio de esta
expresión:
(Eˆ
c
+ Vˆ )Ψ ( x ) = EΨ (x )
La suma de los operadores de la energía cinética más el de la
energía potencial es el operador hamiltoniano de la energía total:
Hˆ Ψ (x ) = E Ψ( x )
(6)
Esta es una forma sintética de escribir la ecuación de Schroedinger,
donde el operador hamiltoniano es igual a:
 h2 d 2

ˆ

Hˆ =  −
+
V
2
 2m dx

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Operadores en mecánica cuántica
A expresiones como la (6) se les conoce con el nombre de
ecuaciones de valor propio:
Hˆ Ψ (x ) = E Ψ ( x )
(6)
A las funciones que satisfacen estas expresiones se les llama
funciones de valor propio y al valor de la variable E se le conoce
como valor propio. del operador Ĥ.
Resolver un problema de valor propio como el siguiente:
Aˆ Ψ ( x ) = a Ψ (x )
implica encontrar las funciones Ψ(x) que satisfacen que la operación
sobre ellas del operador  las vuelve a dejar tal cual, salvo la
multiplicación por un factor numérico a.
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Operadores en mecánica cuántica
Ejemplo 1: Encuentre las funciones y los valores propios de la
ecuación de valor propio del operador d/dx.
La ecuación a resolver es:
d
Ψ ( x ) = aΨ ( x )
dx
Rearreglando esta expresión,
dΨ
= a dx
Ψ
Integrando ahora ambos lados de la igualdad
dΨ
∫ Ψ = a ∫ dx
Integramos introduciendo una constante de integración como lnC
ln Ψ = ax + ln C
podemos despejar Ψ(x) como
Ψ( x) = Ceax
Esta es la expresión general de las funciones propias del operador
d/dx, cuyo valor propio es a.
En particular, podemos decir que 5e 2x es una función propia del
operador d/dx, cuyo valor propio es 2, pues se cumple que:
d
5e 2 x = 2 5e 2 x
dx
(
) (
)
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Operadores en mecánica cuántica
La función de onda de un sistema siempre es una función propia del
operador hamiltoniano, Ĥ, pues la ecuación de Schroedinger es
Hˆ Ψ (x ) = E Ψ ( x )
(6)
Para obtener el valor de cualquier otra variable dinámica del
sistema, hay que aplicar el operador de esa variable a la función de
onda. Si tenemos suerte y la función de onda es también una
función propia de ese operador, entonces no hay problema:
Aˆ Ψ ( x ) = a Ψ (x )
Los valores de a corresponderán a los de la variable dinámica A.
Pero si, como es frecuente, Ψ no resulta ser una función propia del
operador Â,
Aˆ Ψ ( x ) ≠ a Ψ (x )
entonces la variable dinámica A no está determinada con
absoluta precisión. Tenemos que contentarnos entonces con
obtener el promedio de la variable dinámica A, con la expresión:
*
Ψ Aˆ Ψdx
∫
< A >=
∫ Ψ Ψdx
*
En mecánica cuántica un buen número de variables dinámicas del
sistema no están determinadas con precisión y tenemos que vernos
obligados a aceptar conocer nada más los parámetros estadísticos
de esas variables, como su valor promedio <A>.
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Operadores en más de una dimensión y para más de una
partícula
La ecuación de Schroedinger para más de una dimensión y más de
una partícula puede plantearse al conocer los operadores para las
diversas expresiones de la energía total. Empecemos por la
ecuación de Schroedinger tridimensional. La energía total clásica
tiene la expresión:
E=
(
)
1
2
2
2
p x + p y + p z + V ( x, y , z )
2m
A partir de ésta, obtenemos el operador energía total, o
hamiltoniano, reemplazando las variables dinámicas por sus
operadores:
(
)
1
2
2
2
ˆ
H=
pˆ x + pˆ y + pˆ z + Vˆ ( x, y , z )
2m
(7 )
Los operadores de la cantidad de movimiento pueden obtenerse al
generalizar el caso de px, como
∂
pˆ x = −ih
∂x
∂
pˆ y = −ih
∂y
∂
pˆ z = −ih
∂z
pˆ x
pˆ y
pˆ z
2
2
2
∂2
= −h
∂x 2
2
∂2
= −h
∂y 2
2
∂2
= −h
∂z 2
2
Las derivadas son ahora “parciales” lo cual implica que, por
ejemplo, al derivar con respecto a x se mantienen y y z como fijas.
Mecánica Cuántica Moderna
Operadores en más de una dimensión y para más de una
partícula
Reemplazando estos operadores en la ecuación (7), obtenemos el
hamiltoniano:
2
2
2
2
h ∂
∂
∂ 
ˆ
 2 + 2 + 2  + V ( x, y , z )
H =−
2m  ∂x
∂y
∂z 
(8)
O bien, utilizando la definición de ∇2:
2
h
Hˆ = −
∇ 2 + V ( x, y , z )
2m
Con lo cual, la ecuación de Schroedinger para el movimiento
tridimensional de una partícula es:
Hˆ Ψ (x, y, z ) = E Ψ (x, y, z )
(9)
Para el caso de que tengamos más de una partícula, tendremos en
la energía total más de una expresión para la energía cinética
(tendremos un término de energía cinética para cada partícula en el
sistema). Por ello aparecerán en el hamiltoniano más de un término
con nabla cuadrada y la función de onda del sistema será función
de las coordenadas de las dos o más partículas que forman el
sistema:
2
2
2
2
1
2
1
1 1
2
2
1
2
Donde la ecuación de Schroedinger sería:
h
h
ˆ
H =−
∇ −
∇
2m
2m
+ V ( x , y , z , x , y , z2 )
Hˆ Ψ ( x1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 ) = E Ψ ( x1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 )
Mecánica Cuántica Moderna
Ecuación de Schroedinger para el átomo de hidrógeno
El átomo de hidrógeno es un ejemplo de tres dimensiones y dos
partículas: el núcleo y el electrón.
En este caso la energía potencial es igual a
Ze 2
V = −κ
r
Y debemos colocar dos términos de energía cinética, uno para el
electrón y el otro para el núcleo, o sea que el hamiltoniano es:
h2 2
h2 2
Ze 2
Hˆ = −
∇ N−
∇ e −κ
2M
2m
r
La ecuación de Schroedinger depende, en este caso, de las tres
coordenadas para el electrón y las tres coordenadas para el núcleo:
Hˆ Ψ ( x N , y N , z N , x e , y e , z e ) = E Ψ ( x N , y N , z N , x e , y e , z e )
Mecánica Cuántica Moderna
Ecuación de Schroedinger para el átomo de helio
En el caso del átomo de helio tenemos tres partículas (los dos
electrones y el núcleo) y tres energías potenciales (las atracciones
del núcleo por cada uno de los dos electrones y la repulsión entre
los dos electrones).
De esta manera, el hamiltoniano para el átomo de helio es:
2
2
2
2
2
2
Ze
Ze
e
h
h
h
2
2
2
Hˆ = −
∇ N−
∇ 1−
∇ 2 −κ
−κ
+κ
2M
2m
2m
r1
r2
r12
En este caso, la función de onda depende de nueve coordenadas:
tres para cada uno de los electrones y tres para el núcleo:
Ψ (x N , y N , z N , x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 )
Con esta particularidad, la ecuación de Schrodinger es, en este
caso,
Ĥ Ψ = E Ψ
Mecánica Cuántica Moderna
La mecánica cuántica como un modelo
El método científico suponer constituir una serie de pasos mediante
los cuales se construye el conocimiento.
• Nuestras fuentes de conocimientos son la observación y la
experimentación.
• Buscando regularidades en los datos encontramos leyes
• Al tratar de explicarnos las leyes, construimos modelos y teorías
Resulta curioso y paradójico que en el afán de conquistar
conceptualmente la realidad, construyamos idealizaciones, como
modelos y teorías.
En mecánica cuántica, el modelo de átomo lo constituye el
operador hamiltoniano. Uno modela el átomo considerando
parcial o totalmente las interacciones energéticas del sistema dentro
del hamiltoniano.
La función de onda, Ψ, no corresponde con ningún observable del
sistema real, por lo que no se trata de ninguna predicción que
pueda corroborarse experimentalmente.
La energía total, E, sí es un observable del sistema, así como los
valores promedio de las variables dinámicas del sistema, por lo cual
es por su correspondencia con los resultados experimentales como
puede darse validez a la mecánica cuántica
Mecánica Cuántica Moderna
Interpretación estadística del cuadrado de la función de onda
En 1927, Max Born propuso que el cuadrado de la función de onda
tuviera una significación estadística:
Si Ψ representa la función de onda de un sistema que contiene
una sola partícula, entonces su cuadrado Ψ*Ψ
Ψ debe
interpretarse como la densidad de probabilidad para la
posición de la partícula.
Si Ψ representa la función de onda de un sistema que contiene
varias partículas, entonces su cuadrado Ψ*Ψ
Ψ debe interpretarse
como la densidad de probabilidad para la posición de las
diversas partículas del sistema.
Mecánica Cuántica Moderna
El concepto de “densidad de probabilidad”.
Vale la pena aclarar lo que significa el concepto “densidad de
probabilidad”.
Abordaremos en el ejemplo el caso de la duración de las llamadas
telefónicas.
Sea p(t) la probabilidad de que las llamadas duren hasta t minutos.
Esta función podría tener la siguiente forma:
En la figura, por ejemplo, el caso con t=3 representaría la
probabilidad de que las llamadas durasen hasta 3 minutos, y sería
igual a 57%. Lo que quiere decir que 57 de cada 100 llamadas
duran hasta 3 minutos.
La densidad de probabilidad es otro concepto, paralelo al de
probabilidad. Se define como:
ρ (t ) = lim ∆t → 0
( p(t + ∆t ) − p(t ) ) = lim
∆t
∆t → 0
∆p dp
=
∆t dt
ρ(t) resulta ser la derivada de p(t) con respecto a t. Tiene unidades
de probabilidad por unidad de tiempo, o sea min-1.
Mecánica Cuántica Moderna
El concepto de “densidad de probabilidad”.
A la derivada de la función de probabilidad con respecto a la
variable de esa probabilidad se le conoce como densidad de
probabilidad.
Así, para funciones de onda unidimensionales, Ψ(x)*Ψ(x) es una
función de densidad de probabilidad para la variable x, lo cual
quiere decir que
Ψ(x)*Ψ(x) = ρ(x) = dp(x)/dx
Ψ(x)*Ψ(x) = ρ(x) es una función que mide la rapidez de cambio de la
probabilidad de encontrar al electrón con respecto a la variable x.
Las unidades de la densidad de probabilidad son, en este caso, las
de probabilidad por unidad de longitud, por lo cual las unidades de
la función de onda deben ser las de probabilidad por unidad de
longitud a la ½.
En el caso de la partícula en la caja de potencial, Ψ(x)*Ψ(x) es una
función que nos indica que la máxima densidad de probabilidad se
da en el centro de la caja, para n=1, y en la cuarta y tres cuartas
partes de la caja, para n=2.
Mecánica Cuántica Moderna
El concepto de “densidad de probabilidad”.
En el caso de una función de onda tridimensional Ψ(x,y,z), la
densidad de probabilidad tiene semejanza con la función de
densidad másica.
La densidad másica se obtiene mediante un proceso límite sobre
una secuencia de cubos, todos los cuales tienen como vértice al
punto (x,y,z) para el cual se desea conocer la densidad.
La densidad se obtiene mediante el proceso límite:
ρ ( x, y, z ) = lim ∆V → 0
m[( x, y, z ), ∆V ]
∆V
Lo que podemos representar como
dm
ρ ( x, y, z ) =
dV
Mecánica Cuántica Moderna
El concepto de “densidad de probabilidad”.
El cuadrado de la función de onda, Ψ(x,y,z), es una función de
densidad de probabilidad, lo cual quiere decir que la probabilidad
toma el lugar de la masa en la densidad másica
Sea P[(x,y,z, ∆V] la probabilidad de que el electrón se encuentre
dentro del volumen ∆V del cubo de la secuencia que converge en el
punto (x,y,z), entonces, la función de densidad de probabilidad es:
ρ ( x, y, z ) = Ψ * ( x, y, z )Ψ ( x, y, z ) = lim ∆V → 0
P[( x, y , z ), ∆V ]
∆V
Por lo cual podemos decir que el cuadrado de Ψ es la derivada de
la probabilidad con respecto al volumen:
Ψ ( x, y , z )
2
=
dP
dV
El cuadrado de la función de onda tiene unidades en este caso de
probabilidad por unidad de volumen, así que la función de onda
debe tener unidades de probabilidad por unidad de volumen a la ½
o bien por unidad de distancia a la 3/2.
Mecánica Cuántica Moderna
El concepto de “densidad de probabilidad”.
Hemos visto que si Ψ*(x,y,z) Ψ(x,y,z) es una función de densidad de
probabilidad, entonces se cumple que
Ψ ( x, y , z )
2
=
dP
dV
Despejando dP de esta expresión tenemos que una diferencial de
probabilidad puede interpretarse como el producto de psi cuadrada
por la diferencial de V:
dP = Ψ ( x, y , z ) dV
2
Escojamos un pequeño volumen, digamos de un picómetro cúbico,
y supongamos que psi cuadrada está dada en unidades de pm-3.
Si todos los puntos del cubo unitario mostrado tuvieran la misma
densidad de probabilidad que la del punto (x,y,z), entonces la
pequeña diferencial de probabilidad de encontrar a la partícula
[Ψ 1pm ]
2
dentro del cubo sería
3
La probabilidad de encontrar a la partícula en todo el espacio
valdría uno:
∫ dP =
T .E .
∫ Ψ dV = 1
2
T .E .
Mecánica Cuántica Moderna
Propiedades que debe satisfacer la función de onda
Toda función de onda debe satisfacer las siguientes tres
propiedades:
1) Si el cuadrado de psi representa una densidad de probabilidad,
entonces Ψ debe ser una función continua, pues no resulta
lógico suponer que la densidad de probabilidad de encontrar a la
partícula cambie abruptamente en el espacio.
2) La función de onda debe ser una función matemática, que para
cada valor en su dominio solamente posea una imagen, o sea
que Ψ debe ser una función univaluada.
3) El cuadrado de la función de onda debe ser integrable y su
integral en todo el espacio debe ser igual a la unidad.
Las relaciones de Heisenberg
Estas relaciones son conocidas como “Principio de incertidumbre”.
Empecemos por definir la variancia y la desviación estándar.
La variancia, σ, o dispersión de cualquier variable se define como el
promedio de los cuadrados de las diferencias de unos datos con su
promedio:
σ = (∆e )2 = ⟨(e − ⟨ e⟩ )2 ⟩
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la variancia, ∆e.
Tomemos por ejemplo las estaturas de los 5 alumnos de un
conjunto:
2
5
(∆e) = ⟨(e − ⟨ e⟩ ) ⟩ = ⟨e ⟩ − ⟨e⟩ = 1 ∑ (ei − ⟨e⟩ )
5 i =1
Si las estaturas son todas iguales a 1.55 m, su promedio es también
1.55 m, y su variancia es cero. La variancia vale cero cuando todos
los datos son iguales (no hay variancia).
Sin embargo, si las estaturas son: 1.51 m, 1.53 m, 1.55 m, 1.57 m y
1.59 m, su promedio es 1.55 m, pero su variancia es:
(∆e)2 = (1/5)[ (-0.04)2 + (-0.02)2 + (0)2 +(0.02)2 +(0.04)2] = 0.0008 m2
∆e = 0.028 m = 2.8 cm
Si ahora las estaturas están un poco más dispersas alrededor de la
media: 1.49 m, 1.52 m, 1.55 m, 1.58 m y 1.61 m, su promedio sigue
valiendo 1.55 m, pero su variancia es:
(∆e)2 = (1/5)[ (-0.06)2 + (-0.03)2 + (0)2 +(0.03)2 +(0.06)2] = 0.0018 m2
∆e = 0.042 m= 4.2 cm
2
2
2
2
Vemos que la desviación estándar es mayor conforme más disperso
es el conjunto de datos alrededor de su media.
Werner Heisenberg encontró una propiedad de los parámetros
estadísticos de dos variables dinámicas de un sistema cuántico.
En particular, para dos variables físicas conjugadas, como la
coordenada x y la cantidad de movimiento en x, px, se cumple la
siguiente desigualdad entre sus desviaciones estándar:
(∆x )(∆p x ) ≥
h
4π
En pocas palabras que la desviación estándar de la posición en x
nunca puede ser cero y a la vez ser cero la desviación estándar de
la cantidad de movimiento en x. EL ELECTRÓN NO POSEE UNA
POSICIÓN Y UNA CANTIDAD DE MOVIMIENTO CON
DESVIACIONES ESTÁNDAR PARA AMBAS IGUALES A CERO.
Se dice que ésta es una ecuación del “Principio de Incertidumbre”
porque se atribuye a un ser humano la medición de estas
propiedades y se decide que se tiene incertidumbre en esas
mediciones (que es el humano el que no puede determinar con toda
precisión la x y la px). NO PUEDEN CONOCERSE CON TODA
PRECISIÓN LAS MAGNITUDES DE x Y DE px.
A mí en lo particular no me gusta el término “Principio de
Incertidumbre” y prefiero el de “Relaciones de Heisenberg”, porque
ésta es una propiedad atribuible al electrón y no a un supuesto
humano que intenta medir sus propiedades.