X PI PI PI PI PI

 DE MATEMATICAS
AMPLIACION
SERIES DE FUNCIONES
Las series de funciones son un caso particular, especialmente importante, de sucesiones de funciones.
En primer curso estudiamos las series de Taylor y en este vamos a
estudiar series de Fourier.
Si consideramos una sucesion de funciones (fn )1
y formamos la
n
sucesion de sumas parciales
=1
( )=
SN x
N
X
n=1
( )
donde
fn x ;
N
2N
(proceso analogo al seguido en el caso de series numericas visto en
primer curso) podemos preguntarnos si existe el lmite de la sucesion
P1
de sumas parciales (SN )1
N . As por
n fn (x) denotamos una serie
de funciones que hace referencia al lmite, si existe, de la sucesion de
sumas parciales (SN )1
N .
=1
=1
=1
Denicion 1. La serie de funciones
1
P
n=1 fn (x),
donde
x
2 R,
A
1. converge puntualmente a la funcion f en x 2 A si f (x) es el
lmite puntual de la sucesion de sumas parciales (SN (x))1
N . En
P1
ese caso escribimos f (x) = n fn (x).
P
2. La serie de funciones 1
n fn (x) converge uniformemente a f
sobre A si f (x) es el lmite uniforme sobre A de la sucesion de
P1
sumas parciales (SN )1
N . En ese caso escribimos f =
n fn
sobre A.
=1
=1
=1
=1
=1
Ahora los resultados que tenemos para la convergencia de sucesiones
de funciones se trasladan directamente a la convergencia de series con
un simple cambio de notacion.
1
2
C. RUIZ
Corolario 1. Sea
P
1
una serie de funciones que converge uniformemente a la funcion f sobre un intervalo [a; b] R, entonces
1. si cada funcion fn es continua en [a; b], tambien lo sera SN =
PN
P1
n fn (x) para cada N y as f =
n fn es continua sobre
[a; b];
2. si cada funcion fn es integrable sobre [a; b], tambien lo sera SN =
PN
n fn (x) para cada N y as f es integrable sobre [a; b] y se
verica la formula
Z b
1 Z b
X
f (x)dx =
fn (x)dx:
n=1 fn
=1
=1
=1
a
Ejemplo 1. Para la funcion
n=1 a
x
f (x) = e
Taylor converge uniformemente.
vamos a ver que su serie de
La serie de Taylor de la funcion exponencial es
1
X xn
n=0
!
n
. Tenemos que
N
n
X
x
) (o de los po! N
linomios de Taylor de la funcion exponencial) converge uniformemente.
ver que la sucesion de sumas parciales (SN (x) =
j
x
e
N
n
X
x
n=0
!
n
j=j
RN;0;ex
n=0
n
j
El Teorema de Taylor, en su forma integral, nos deca que el resto
anterior es igual a
Z
Z
Z x
x N
x t
f
(
t)
e
jx tjN dt
N
N
j
xj
(
x
t) dt =
(
x
t) dt e
N!
N!
N!
N
a
N
jxj
maxf1; e ga
= ejxj
!N !1 0
(N + 1)!
(N + 1)!
para todo x 2 [ a; a] donde a es una cantidad positiva. Por tanto la
serie de Taylor de la exponencial converge uniformemente a la exponencial sobre todo intervalo [ a; a] siendo a > 0.
+1)
0
0
0
+1
Ejemplo 2. Queremos calcular la integral
+1
Ra
0
e
x2 dx.
2
En primer curso aprendimos que la funcion e x no admite una primitiva elemental, y por tanto la regla de Barrow no es aplicable en este
caso. Por otro lado una integral como la de arriba es muy importante
APUNTES AM
3
en la Teora de las Probabilidades. Para calcularla tenemos en cuenta
que
1
X
( x )n
x2
8x 2 [ a; a]
e
=
n!
n
con convergencia uniforme. Luego podemos aplicar la segunda parte
del corolario anterior y as
2
=0
Z
a
1
Z
a
( 1)n x n
dx
n!
n
calculando una primitiva y, ahora si, aplicando la regla de Barrow
1
1
X
( 1)n x n a X ( 1)n a n
=
j = (2n + 1)n! :
(2n + 1)n!
n
n
x2
e
dx
=
X
0
0
=0
2
2
+1
2
+1
0
=0
=0
En el caso de las series de funciones tenemos un criterio que nos
dice cuando una serie de funciones converge uniformemente a su lmite
puntual.
Teorema 1. (Prueba M de Weierstrass) Sea (fn )1
una sucen
=1
sion de funciones denidas sobre A R. Supongamos que existe una
sucesion numerica (Mn )1
de modo que
n
1. 0 jfn (x)j Mn
2. la serie numerica
=1
8 2
1
P
x
A;
es convergente;
P
entonces para todo x 2 A la serie numerica 1
n fn (x) converge absoP1
f
converge uniformelutamente y ademas la serie de funciones
n=1 Mn
=1
n=1 n
mente a su lmite puntual sobre A.
Demostracion:
j
1
X
n=1
( )j fn x
1
X
n=1
j
( )j fn x
1
X
n=1
Mn <
1
P
1
por tanto existe una funcion f (x) = n fn (x) para toda
lmite puntual de la serie de funciones. Ademas
N
1
1
X
X
X
jf (x)
fn (x)j = j
fn (x)j Mn !N !1 0
=1
n=1
N +1
x
2
A
,
N +1
independientemente de la x. As la convergencia de la serie de funciones
es uniforme sobre N 4
C. RUIZ
Ejemplo 3. Queremos averiguar el caracter de la serie de funciones
1
X
n=1
sen
2
nx
2
n
j
Como
.
1
X
sen
n=1
2
nx
2
n
1
X
j
n=1
j
sen
2
nx
2
n
j
1
X
1
n=1
n
2
y sabemos que esta
ultima serie numerica es convergente, la prueba M de Weierstrass nos
dice que la serie de funciones converge uniformemente sobre todo R.
Observacion 1. Para tratar con series de funciones es conveniente
recordar los criterios de convergencia de series numericas que vimos en
primer curso (en particular el Criterio de Comparacion y el Criterio
del Cociente).
P
Ejemplo 4. Si queremos estudiar la serie de funciones 1 xn con
x
2 [0 1]
;
n=0
;
hay que tener en cuenta que es una serie geometrica y por tanto conP
n
verge si jxj < 1. As si x 2 (0; 1) se tiene que 1
n x =
x . Es nula
si x = 0 y diverge para x = 1. Usando la prueba M de Weierstrass se
P
n
puede ver que la serie de funciones 1
n x converge unifromemente
sobre todo intervalo [0; a] siempre que a < 1.
P
n
Ejemplo 5. Sabemos que ex = 1 x con convergencia uniforme
1
=0
1
=0
sobre [
n=0 n!
]
a; a ; a >
Para todo
x
2[
0. Otra forma de verlo es la que sigue.
], podemos usar el criterio del cociente
jxjn+1
jxj = 0 < 1
n
lm jxjn = lm
n!1
n!1 n + 1
a; a
(
+1)!
n!
y as deducimos que la serie de funciones converge puntualmente en can
n
da x 2 R. Por otro lado jxnj janj para todo x 2 [ a; a], como ademas
P
jajn es convergente, la prueba M de Weierstrass
la serie numerica 1
n
n
P
xn converge uniforme sobre
nos dice que la serie de funciones 1
n
n
[ a; a].
La convergencia de la serie de Taylor de la funcion exponencial nos
permite intuir que se puede dar una denicion de una funcion exponencial de variable compleja. Esta funcion junto con sus propiedades
nos sera muy util cuando estudiemos la Transformada de Fourier.
!
=1
!
!
=0
!
APUNTES AM
5
Denicion 2. Para todo numero complejo z 2 C se dene la funcion
exponencial compleja por
z
e
=
1
X zn
n=0
!
n
Tomando modulos jz j en la serie y aplicando el criterio del cociente,
vemos que la serie que dene a la exponencial compleja converge absolutamente para todo z y por tanto es convergente. Tambien se puede
ver que la convergencia es uniforme en todo conjunto acotado de C.
Proposicion 1. (Formula de Euler ) Si t 2 R entonces
it
e
D emostracion:
= cos t + i sen t
1
1
( )n X i k t k X ii k t k
=
+
e
=
n!
(2k )! k (2k + 1)!
n
k
1
1
X
X
( 1)k t k
( 1)k t k
+i
= cos t + i sen t
=
(2k )!
(2k + 1)!
k
k
1
X it
it
2
=0
2
2
=0
2 +1
=0
2 +1
2
=0
=0
donde hemos usado que i = 1 y las expresiones en serie de Taylor
de las funciones coseno y seno De aqu, en primer lugar una curiosidad.
2
Observacion 2.
e
i
+ 1 = 0.
Las siguientes propiedades de la exponencial compleja nos seran utiles a la hora de calcular transformadas de Fourier.
Proposicion 2.
1.
i(t+2)
e
= eit
2. jeit j = 1
3. eit = e it int
e
+ e int
4. cos nt =
y sen nt =
2int
Z e
int
.
5.
e
dt =
int
e
e
int
2i
in
D emostracion: 1 y 2 salen directamente de la formula de Euler. Para
ver 3
e
it
= cos t + i sen t = cos t
i
sen t = cos(
) + i sen(
t
)=e
t
it
6
C. RUIZ
Veamos la primera igualdad de 4; la segunda queda como ejercicio.
+ e int cosnt + i sen nt + cos nt
=
2
2
Una forma de ver 5 es la que sigue
e
int
Z
sen nt n
+ i(
cos nt n
)
=
i
e
int
Z
dt
=
sen nt in
Referencias
i
+(
sen nt
= cos nt:
Z
cos ntdt + i
cos nt in
)
=
sen ntdt
int e
in
lisis Matema
tico, Facultad de Matema
ticas,
Departamento de Ana
Universidad Complutense, 28040 Madrid, Spain
E-mail address :
Cesar Ruiz@mat.ucm.es