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SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE APLICACIÓN
TEMA 5
Ejercicio de Aplicación 5.1 (Probabilidad)
Para la señalización de emergencia se han instalado dos indicadores que
funcionan independientemente. La probabilidad de que el indicador se accione
durante la avería es igual a 0.95 para el primero, y 0.9 para el segundo. Hallar
la probabilidad de que durante la avería se accione:
1) los dos indicadores
2) sólo un indicador
3) al menos un indicador
Solución
Sea
A el suceso “el indicador 1 se acciona durante una avería” y
B el suceso “el indicador 2 se acciona durante una avería”.
Como ambos indicadores funcionan independientemente los sucesos A
y B son independientes, al igual que los sucesos contrarios A’ y B’
Según los datos del enunciado sabemos que
P(A)=0.95
P(B)=0.9
P(A’)=0.05
P(B’)=0.1
1. Probabilidad de que durante la avería se accionen los dos indicadores:
A∩B es el suceso “los indicadores 1 y 2
se accionan durante la avería”
P(A∩B)=P(A)·P(B)=0.95·0.9=0.855
2. Probabilidad de que durante la avería sólo se accione un indicador:
A∩B’ es el suceso “el indicador 1 se
acciona y el 2 no se acciona durante la
avería”
A’∩B es el suceso “el indicador 1 no
se acciona y el 2 se acciona durante la
avería”
(A∩B’)U(A’∩B) es el suceso “sólo un indicador se acciona durante la
avería”
Los sucesos A∩B’ y A’∩B son incompatibles luego
P((A∩B’)U(A’∩B))=P(A∩B’)+P(A’∩B)= P(A)·P(B’)+P(A’)·P(B)=
0.95·0.1+0.05·0.9=0.14
3. Probabilidad de que al menos se accione un indicador: AUB
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.95+0.9-0.855=0.995
Observa que la probabilidad de que
la señalización de emergencia sea
efectiva es prácticamente la unidad
(suceso seguro).
Ejercicio de Aplicación 5.2 (Probabilidad condicionada/ Bayes)
Una explosión en un almacén en reparación pudo ocurrir a consecuencia de la
electricidad estática (A), mal funcionamiento del equipo eléctrico (B), una llama
en contacto con el revestimiento (C) o sabotaje industrial (D). Las entrevistas
con los ingenieros que analizaran los riesgos condujeron a estimar que la
explosión ocurriría con una probabilidad de 0.25 a causa de (A), de 0.20 a
consecuencia de (B), de 0.40 por (C) y de 0.75 por una acción premeditada.
Las probabilidades a priori de estas cuatro causas son de 0.3, 0.4, 0.15 y 0.15,
respectivamente ¿Cuál es la causa más probable de la explosión?
Solución
Sean A el suceso “electricidad estática”
B el suceso “mal funcionamiento del equipo eléctrico”
C el suceso “llama en contacto con el revestimiento”
D el suceso “sabotaje industrial”
Según los datos del enunciado sabemos que “a priori”
P(A)=0.3
P(B)=0.4
P(C)=0.15
P(D)=0.15
Observamos que estas cuatro causas se consideran incompatibles entre sí y
son las únicas posibles causas que se analizan ya que la suma de las
probabilidades de que suceda cada una de ellas es la unidad:
Sea
E el suceso “explosión en el almacén en reparación”
Según los datos del enunciado sabemos que
P(E/A)=0.25
P(E/B)=0.2
P(E/C)=0.4
P(E/D)=0.75
Queremos saber cuál de las cuatro causas es más probable sabiendo que ha
habido una explosión, es decir, calcularemos las probabilidades “a posteriori”
utilizando el Teorema de Bayes:
4. Calculamos la probabilidad del suceso E:
P(E)=P(E∩A)+ P(E∩B)+ P(E∩C)+P(E∩D)=
=P(A)·P(E/A)+P(B)·P(E/B)+P(C)·P(E/C)+P(D)·P(E/D)=
=0.3·0.25+0.4·0.2+0.15·0.4+0.15·0.75=0.3275
5. Calculamos las probabilidades “a posteriori”:
P( A / E ) =
P( A) ⋅ P( E / A) 0.075
=
= 0.2290
P( E )
0.3275
P( B / E ) =
P ( B) ⋅ P( E / B)
0.08
=
= 0.2443
P( E )
0.3275
P(C / E ) =
P(C ) ⋅ P( E / C )
0.06
=
= 0.1832
P( E )
0.3275
P( D / E ) =
P( D) ⋅ P( E / D) 0.1125
=
= 0.3435
P( E )
0.3275
Observamos pues que la causa más probable de la explosión es la de
sabotaje industrial.
Ejercicio de Aplicación 5.3 (Distribuciones de Probabilidad)
El peso de los sacos de cemento obtenidos en una empaquetadora de la
cementera Cemsa sigue una distribución normal, de media 50 kg y desviación
típica 6 kg.
1. ¿Qué proporción de los sacos de Cemsa pesarán menos de 47 kg?
2. ¿En qué intervalo, centrado en la media se encuentra,
aproximadamente, el peso del 95,5% de los sacos de Cemsa?
3. Cemsa vende sus sacos en lotes de 10 unidades. El comprador Ediequis
rechaza un lote de cemento cuando dos o más sacos del lote no
superan el peso de 44 kg, ¿qué probabilidad hay de que Ediequis
rechace cierto lote de sacos de la cementera Cemsa?
Solución
 X − 50 47 − 50 
1. P ( X ≤ 47) = P 
≤
 = P ( Z ≤ −0,5 ) = 1 − P (Z ≤ 0,5)
6 
 6
0,3085
Distribución Normal
2. En un
3.
0,08
4.
Media = 50
5.
0,06
Desv. Tip. = 6
6.
7.
8.
0,04
30,85%
9.
10.
0,02
11.
12.
0
13.
26
32
38
44 47 50
56
62
68
74
14.
15.
16.
2. En una distribución normal, aproximadamente el 95,5% de la población
se encuentra en un intervalo, centrado en la media, de semi-amplitud
igual a dos desviaciones típicas.
Normal Distribution
0.4
0.3
95.45%
0.2
0.1
0
-5
µ–2σ
µ+2σ
5
Por tanto, aproximadamente el 95,5% de los sacos de cemento de
Cemsa tiene un peso comprendido en el intervalo (50–2x6, 50+2x6), es
decir, el 95,5% de los sacos tendrá un peso entre 38 y 62 kg.
3. La probabilidad de que un saco de Cemsa no supere el peso de 44 kg
es:
 X − 50 44 − 50 
P ( X ≤ 44) = P 
≤
 = P ( Z ≤ −1) = 1 − P (Z ≤ 1)
6 
 6
0,16
Consideramos ahora la variable Y=número de sacos de cada lote de 10
unidades, cuyo peso no supera los 44 kg.
Esta variable sigue una distribución binomial, con n=10 y p=0,16 ya que
hemos visto que la probabilidad de que un saco no supere los 44 kg es,
precisamente, p=0,16.
Ediequis rechaza aquellos lotes que contienen por lo menos dos sacos
de peso no superior a 44 kg y, por tanto, la probabilidad de que Ediequis
rechace un lote de Cemsa es:
P (Y ≥ 2) = 1 − P (Y = 0 ) + P (Y = 1) =
 10 
0
10 − 0 )  10 
1
10 −1) 
= 1 −   ( 0,16 ) (1 − 0,16 )(
+   ( 0,16 ) (1 − 0,16 )(
=
1
 0 

= 1 − 1⋅ 1⋅ 0,8410 + 10 ⋅ 0,16 ⋅ 0,849 


0,49
Como se observa por este resultado es “casi” tan probable que el
comprador Ediequis rechace un lote de sacos de Cemsa (probabilidad
algo inferior al 50%) como que no lo rechace (probabilidad algo superior
al 50%).