Tema II : Mecánica Hamiltoniana Como en Termodinámica, pueden aplicarse transformaciones de Legendre para tener funciones con variables independientes distintas: Ejm. F es transformada de Legendre de la energía interna U: dU = TdS − PdV , sea F = U − PV ⇒ dF = − PdV − SdT Análogamente,puede definirse otra función H con otras variables independientes distintas las de la Lagrangiana: (ver pág. 15) Diferenciando H(q,p,t) se obtendrán 2f ecuaciones diferenciales de primer grado: Equivalentemente, puede pasarse de H a L: Ecuaciones de Hamilton. Deducción La forma más conveniente es por medio del momento canónico ∂L p= , ∂ q& ∂ 2L q& = q& ( q, p, t ), 2 ≠ 0 ∂ q& y la función de Hamilton o Hamiltoniana que se define & − L) H ( q, p, t ) = ( qp dH = q& ( q , p ,t ) ≡ E ( q, q& , t ) q& ( q , p ,t ) ∂H ∂H ∂H ∂L ∂L ∂L & + pdq& − dq + dp + dt = qdp dq − dq& − dt , ∂q ∂p ∂t ∂q ∂ q& ∂t ∂L ∂H ∂ q + ∂ q dq − ∂ L d ∂ L dp = = , ∂ q dt ∂ q& dt ∂H & q − dp + ∂p Ecuaciones canónicas de Hamilton ∂H ∂L + dt = 0, ∂t ∂t & ∂H q = ∂ p , p& = − ∂ H , ∂q q, p Variables canónicas ∂H ∂L = − , ∂t ∂t Ecuaciones de Hamilton. Notación y comentarios. (pág. 22) Nota:Las 2n ecuaciones pueden derivarse del Principio variacional de Hamilton (modificado) sin imponer que p(t) esté fijo en los instantes finales. (ver pág.23) (II.1.3 Principio de Hamilton modificado) t2 S = ∫ L(q, q& , t ) dt con q ( t1 ) y q ( t2 ) fijados: t1 δ S= δ t2 ∫( t1 t2 = − ∫ ( p& + t1 t2 t 2 t2 ∂H ∂H & & & p gq − H (q, p, t ) ) dt ≡ − ∫ ( p + )gδ q dt + ∫ (q − )gδ p dt + ( p g δ q ) t 1 ∂q ∂ p t1 t1 ∂H ∂H )gδ q dt = 0 ⇒ p& k + = 0 ⇒ ∂q ∂ qk q&i = ∂ H ( q, p, t ) ∂ pi p& i = − ∂ H ( q, p, t ) ∂ qi Se pueden escribir en notación matricial o simpléctica (II. 1): q1 M q qn η = = p p1 M pn 0 1 ∂H dη ∂H ⇒ = J ⋅ = g -1 0 dt ∂η ∂η J 2 = − 1 , J T ⋅ J = 1 , ( J T = J -1 = − J ) Para evaluar la derivada temporal de una función u(q,p,t) a lo largo de las soluciones del sistema hamiltoniano, en el espacio de fases asociado, conviene formalizar cálculos con el Corchete de Poisson. II.1.1 Constantes del movimiento. Corchete de Poisson du dt T ∂ u dη ∂ u = ⋅ + ∂η dt ∂ t T ∂u ∂H ∂u = ⋅ J ⋅ + ∂η ∂ t ∂η El corchete de Poisson de dos funciones u, v se define: ∂u ∂v ∂u ∂v − ∂ p i ∂ qi i = 1 ∂ qi ∂ pi n [ u, v ] q , p = ∑ Entonces: [u, v ]η ∂u = ∂η T ⋅J⋅ du ∂u = [ u, H ] q , p + dt ∂t Los corchetes fundamentales son: [qj, qk ] = [pj, pk ] = 0 ; [qj, pk ] = -[pk, qj ] =δ Y las ecuaciones de Hamilton quedan: jk ∂v ∂η q&i = [ qi , H ] p& i = [ pi , H ] o bien dη ∂H = J⋅ ≡ [η , H ] dt ∂η Propiedades (corchete nulo,, antisimetría, linealidad, producto e Identidad de Jacobi): Aplicado a H , y si u(p,q,t) es una constante del movimiento: Si u y v son dos constantes de movimiento ¿lo será [u,v]? SÍ [ H , u] = ∂u ∂t y de [ H , v ] = ∂v ∂t d [ u, v ] = 0 dt Esta propiedad es un caso particular del llamado Teorema de los Corchetes de Poisson, que establece: (Sólo ver, no se aplicará) Si η (t ,η (t0 )) da la evolución de un sistema en el espacio de fases, tal evolución corresponde a un sistema hamiltoniano si , y solo si, para todo par de funciones dinámicas u(q,p,t), v(q,p,t) de verifica: d [u , v] = [u& , v] + [u , v&] dt En particular: la condición necesaria y suficiente para que un sistema sea hamiltoniano es que para todo par de variables canónicas del espacio de fase se satisfaga d dt [η α ,η β ] = 0 = [η&α ,η β ] + [η α ,η&β ] Demostración: la condición necesaria, suponer existe H(q,p,t), evaluar la derivada temporal de [u,v] y aplicar la identidad de Jacobi de los corchetes: d ∂ [u , v ] = [[u , v ], H ] + [u , v ] = − [[v, H ], u ] − [[ H , u ], v ] + dt ∂t ∂u ∂v [ , v ] + [u , ] ∂t ∂t Para la condición suficiente, dado que d [η α ,η β ] = 0 para todo par de variables canónicas, dt Considerando un sistema general, d(q,p)/dt=(f,g) basta evaluar las derivadas de los corchetes fundamentales asumiendo ahora que se cumple la condición del teorema: ∂fj ∂ fi d dt [ qi , q j ] = 0 = [ q&i , q j ] + [ qi , q& j ] = − ∂pj + ∂ pi ∂ gi ∂ g j d & i , p j ] + [ pi , p &j]= [ pi , p j ] = 0 = [ p − dt ∂qj ∂ qi d & j]= [ qi , p j ] = 0 = [q&i , p j ] + [ qi , p dt ∂gj ∂ fi + ∂qj ∂ pi Con lo que ha de darse que tanto las componentes de f como de g deriven de una sola función escalar H, tal que se dé la condición de integrabilidad (identidad de derivadas cruzadas) fi = ∂H ∂ pi ∂H gi = − ∂ qi Dando las ecuaciones de Hamilton con d ∂H η α = Jα β = Fα (η , t ) dt ∂η β o d ∂H ∂H ( q, p ) = ( f , g ) = ( ,− ) ( notación dt ∂p ∂q vectorial) Transformaciones canónicas. (pág. 24) La transformación de punto Q=Q(q,t) en el espacio de configuración es un caso particular de transformaciones más generales (de contraste o contacto) en el espacio de fases Q=Q(q,p,t) , P=P(q,p,t) permitidas en la formulación de Hamilton. Ejm. de transformación local : Problema 17 En general, el sistema transformado no conservará la forma canónica con un hamiltoniano nuevo H´, si esto se da con INDEPENDENCIA del H inicial, la transformación se dice canónica. Pero en general, debe cumplirse: ∑ pi dqi − H dt = ∑ Pi dQi − H ′ dt + dF o pi dqi − Hdt = PdQ i i − H ´dt + dF ( q, p, Q, P , t ) (suma en índices rep.) La función generatriz F puede elegirse atendiendo a las variables que se deseen como independientes, pues en general la relación anterior vuelve a ecuaciones diferenciales para F. Se aconseja tomar las dependencias para F en 1) (q,Q) que daría explícitamente p y P 2) (q,P) que daría explícitamente p y Q 3) (p,Q) que daría explícitamente q y P 4) (p, P) que daría explícitamente q y Q. Pero siempre se da que pdq-Pdq=dF es una diferencial exacta Para el caso 1) se supone F=F(q,Q,t), q y Q se toman como independientes, así: De las que se obtienen Q=Q(q,p,t) primero, luego P(q,Q(q,p,t),t) y finalmente el nuevo hamiltoniano. Los otros casos de funciones generatrices básicas están en pág. 24-25 y son transformadas de Legendre de F1. (ver Goldstein por ejemplo) O el enfoque siguiente visto en GRADO por el prof. Sanz: TRANSFORMACIONES CANÓNICAS • En la Dinámica Lagrangiana se tiene la libertad de escoger cualquier sistema de coordenadas generalizadas. Si q es un conjunto de coordenadas, cualquier transformación puntual reversible Q=Q(q,t) nos proporciona otro conjunto de coordenadas Q con Lagrangiana L′ (Q, Q& , t ) = L( q, q& , t ) q = q (Q ,t ) . d ∂L ∂L − = 0, dt ∂ q& ∂ q d ∂ L′ ∂ L′ − = 0, & dt ∂ Q ∂ Q •Una libertad similar existe también en la Dinámica Hamiltoniana. Consideremos en primer lugar una transformación (independiente del tiempo) de las variables canónicas antiguas (q,p) a las nuevas variables (Q,P), de la forma Q = Q ( q, p ), P = P( q, p ), (independiente del tiempo) 11 Imponemos que la transformación retenga la froma general de las ecuaciones de Hamilton (T. canónica): q& = ∂H ∂H , p& = − , ∂p ∂q en las nuevas variables canónicas ∂ H′ ∂ H′ & & Q= , P= − , ∂P ∂Q con la nueva Hamiltoniana H’(Q,P,t), dada por H ′ (Q, P, t ) = H ( q(Q, P ) , p(Q, P ) , t ) , 12 • Tª: La transformación es canónica si y solo si, ∂Q∂P ∂Q∂P − = [Q, P] = cte. = 1 ∂q ∂p ∂p ∂q el corchete de Poisson, [u,v], de dos funciones u(q,p,t) and v(q,p,t) de las variables canónicas [ u, v ] = ∂u ∂v ∂u ∂v − , ∂q ∂p ∂p ∂q Demostración: Q = Q ( q, p ), P = P ( q, p ), ∂Q ∂Q ∂Q ∂H ∂Q ∂H Q& = q& + p& = − , ∂q ∂p ∂q ∂p ∂p ∂q ∂P ∂P ∂P ∂H ∂P ∂H P& = q& + p& = − , ∂q ∂p ∂q ∂p ∂p ∂q H ′ (Q, P, t ) = H ( q(Q, P ) , p(Q, P ) , t ) , ∂ H ∂ H′ ∂ Q ∂ H′ ∂ P = + , ∂q ∂Q ∂q ∂P ∂q ∂ H ∂ H′ ∂ Q ∂ H′ ∂ P = + , ∂p ∂Q ∂p ∂P ∂p ∂ H′ ∂ H′ & & Q= [Q , P ], P = − [Q , P ], ⇒ ∂P ∂Q ¡Y solo si! [Q , P ] = 1 . ∂ H′ ∂K ∂ H′ ∂K Q& = [Q , P ] ≡ , P& = − [Q , P ] ≡ − , ⇒ ∂P ∂P ∂Q ∂Q ∂ 2K ∂ 2K = ,⇒ ∂ Q∂ P ∂ P∂ Q ∂ ∂ H′ ∂ ∂ H′ [ Q , P ] = [ Q , P ] ,⇒ ∂Q ∂P ∂P ∂Q ∂ H ′ ∂ [Q , P ] ∂ H ′ ∂ [Q , P ] = , ⇒ ∂P ∂Q ∂Q ∂P ∂ [Q , P ] ∂ [Q , P ] = = 0, ∂Q ∂P 14 • Función generatriz de una transformación canónica La propiedad de transformación canónica [Q, P ] = ∂Q ∂P ∂Q ∂P − = 1, ∂q ∂p ∂p ∂q es equivalente a que pdq − PdQ sea una diferencial exacta: pdq − PdQ = pdq − P ( ∂Q ∂Q ∂Q ∂Q dq + dp ) = p − P dq − P dp, ∂q ∂p ∂q ∂p ∂ ∂Q ∂ ∂Q p − P = − P ∂ p ∂ q ∂ q ∂ p pdq − PdQ = dF , F= ∂Q ∂P ∂Q ∂P − ≡ [Q , P ] = 1 , ∂q ∂p ∂p ∂q función generatriz de la transformación 15 Tipos de funciones generatriz: a) Tipo 1: F = F1 ( q, Q ), p= pdq − PdQ = ∂ F1 ( q, Q ) ∂ F ( q, Q ) , P= − 1 , ∂q ∂Q pdq − PdQ = dF , ∂ F1 ∂F dq + 1 dQ, ∂q ∂Q q(Q , P ), p(Q , P ), ∂ F2 ∂ F2 dq + dP − QdP − PdQ , b) Tipo 2: F = F2 ( q, P ) − QP, pdq − PdQ = ∂q ∂P p= ∂ F2 ( q, P ) ∂ F ( q, P ) , Q= 2 , ∂q ∂P c) Tipo 3: F = F3 (Q , p ) − qp, q= − q(Q , P ), p(Q , P ), ∂ F3 ∂ F3 pdq − PdQ = dQ + dp − qdp − pdq, ∂Q ∂p ∂ F3 (Q, p) ∂ F (Q, p) , P= − 3 , ∂p ∂Q q(Q , P ), p(Q , P ), d) Tipo 4: F = F4 ( p, P ) + qp − QP, pdq − PdQ = q= − ∂ F4 ∂F dp + 4 dP + qdp + pdq − QdP − PdQ, ∂p ∂P ∂ F4 ( p, P ) ∂ F ( p, P ) , Q= 4 , ∂p ∂P q(Q , P ), p(Q , P ), Generalización •La transformación Q = Q ( q, p, t ), P = P( q, p, t ), es canónica si y solo si: [Q, P ] = 1. En las nuevas variables las ecuaciones de Hamilton toman la forma: ∂ H′ & ∂ H′ & Q= , P= − , ∂P ∂Q Donde la nueva Hamiltoniana H’ se obtiene a partir de la función generatriz, para los tipos 1,2,3 y 4. ∂ Fµ H′ = H + ∂ t , µ = 1, 2,3,4. ( q, p ) − > (Q , P ) 17 Demostración Principio de Hamilton modificado: δ S = δ t2 t2 t1 t1 ∫ Ldt = δ ∫ ( pq& − H )dt = 0, • Se toma el nuevo funcional con integrando: Φ ( q, p, q& , p & , t ) ≡ pq& − H ( q, p, t ), • La primera variación de la acción para el nuevo funcional con los extremos fijados para ambos, q y p, tiene como extremales las soluciones de las ecuaciones de Hamilton (Principio Variacional). • Al integrando del nuevo funcional se le puede sumar la diferencial (dF) de una función arbitraria sin afectar al principio variacional. • Para una transformación que sea canónica el principio variacional se escribirá en la forma: t2 δ ∫ ( PQ& − H ′ )dt = 0, • Tomando: pdq − Hdt = PdQ − H ′dt + dF t1 F = F1 ( q, Q, t ), F = F2 ( q, P, t ) − QP, F = F3 (Q, p, t ) + qp, F = F4 ( p, P, t ) + qp − QP, ∂F H′ = H + µ ∂t , µ = 1,2,3,4. ( q , p ) − > (Q , P ) GENERALIZACIÓN A n GRADOS DE LIBERTAD Ecuaciones canónicas de Hamilton Sea L( q1 ,K, qn , q&1 ,K, q&n , t ) ∂L p = j ∂ q& , j j = 1,K, n ∂ 2L det ≠ 0 ∂ q&i ∂ q& j q& j = q& j ( q1 ,K, qn , p1 ,K, pn , t ), La función de Hamilton (H) o Hamiltoniana se define: H ( q1 ,K, qn , p1 ,K, pn , t ) = ∑ q& j p j − L j q& ( q , p ,t ) ≡ E ( q, q& , t ) q& ( q , p ,t ) Se deduce (ver pag. 15 de Mecánica Analítica): ∂H & q = j ∂p , j j = 1,K , n. p& = − ∂ H , j ∂ qj ∂H Además: ∂t = − q, p dH ∂ H = . dt ∂t H = const. Se comprueba que: • Si ∂ H = 0 ∂t ∂L . ∂ t q,q& TRANSFORMACIONES CANÓNICAS: Sea un sistema con Hamiltoniana H ( q, p, t ) , y las correspondientes ecuaciones canónicas q& j = ∂H , ∂ pj p& j = − ∂H , ∂ qj j = 1,K, n. La transformación de variables Q j = Q j ( q, p, t ), Pj = Pj ( q, p, t ), se dice que es canónica si las ecuaciones del movimiento en las nuevas variables se pueden escribir de la forma ∂ H′ ∂ H′ & & Qj = , Pj = − , ∂ Pj ∂ Qj para cierta función H ′ (Q , P, t ) . j = 1,K, n, Teorema: Una transformación es canónica si y solo si los corchetes de Poisson de las funciones Q j , Pj verifican: Q j , Qk = 0, Pj , Pk = 0, Q j , Pk = δ jk . Cuando la transformación canónica es independiente del tiempo, la nueva Hamiltoniana es H ′ (Q , P, t ) = H ( q, p, t ) ( q , p )→ ( Q , P ) . El corchete de Poisson de dos funciones u, v , de las variable cánonicas y del tiempo, es independiente de las variables canónicas utilizadas: . ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v − = ∑j ∂ q ∂ p ∂ p ∂ q ∑j ∂ Q ∂ P − ∂ P ∂ Q = [ u, v] . j j j j j j j j Función generatriz de una transformación canónica La aplicación del Principio de Hamilton ante una transformación canónica nos lleva a: ∑ ∑ p j dq j − Hdt = j Pj dQ j − H ′dt + dF . j Un cálculo análogo al efectuado para un grado de libertad nos conduce a los siguientes cuatro tipos básicos de función generatriz: ∂ F ( q, Q , t ) ∂ F ( q, Q , t ) , Pj = − 1 , a) Tipo 1: F = F1 ( q, Q , t ), p j = 1 ∂ qj ∂ Qj b) Tipo 2: F = F2 ( q, P, t ) − ∑ Q j Pj , pj = j c) Tipo 3: F = F3 (Q, p, t ) − ∑ qj pj, j d) Tipo 4: F = F4 ( p, P, t ) + ∑ ∂ F2 ( q, P, t ) ∂ F ( q, P , t ) , Qj = 2 , ∂ qj ∂ Pj qj = − ∂ F3 (Q , p, t ) ∂ F (Q , p, t ) , Pj = − 3 , ∂ pj ∂ Qj ( q j p j − Q j Pj ), q j = − j ∂ Fµ H′ = H + ∂ t ∂ F4 ( p, P, t ) ∂ F ( p, P, t ) , Qj = 4 , ∂ pj ∂ Pj , µ = 1,2,3, 4. ( q, p ) − > (Q , P ) 21 Nota: probar que una transformación local , probl. 17, puede obtenerse de F=f(q)P ¿sólo de este tipo? De Goldstein: Forma simpléctica de las transformaciones canónicas (TC). Como [ u, v ]η T ∂u ∂u ∂v ∂v = ⋅ J ⋅ ⇔ u , v = ⋅ J ⋅ [ ] αβ η ∂ η ∂ η ∂ η ∂η β α Tomando un cambio de variables (reducido) en (7) ξ = ξ (η ) dξ ∂H ∂H = M ⋅ η& = M ⋅ J ⋅ = M ⋅ J ⋅ MT ⋅ dt ∂η ∂ξ ∂ξi donde M ij = para que sea canónica: ξ = ξ (η ) ∂η j M ⋅ J ⋅ M T = J= M T ⋅ J ⋅ M ⇒ det(M)=1. Para dos variables dinámicas, y con el cambio se ve que el CORCHETE de Poisson es INVARIANTE ante transformaciones canónicas (es condición necesaria y suficiente, también para transformaciones dependientes de t, de contacto) ξ = ξ (η , t ) (conserva volumen en espacio de fases ver II.1.3. Y II2.2.3) En particular, los corchetes elementales son invariantes en TC y para un grado de libertad [Q,P]=1. Ejm. Oscilador armónico. Problema 60 Teoría de Hamilton-Jacobi ¿Existe una transformación canónica tal que H´=0? SÍ. El problema dinámico de 2N ecuaciones diferenciales con t como variable independiente, PASA a otro con una ecuación diferencial en parciales para UNA función S (variable dependiente) y N+1 variables independientes, las q y t. Partiendo de ∂F H ´(Q, P, t ) = 0 = H (q, p, t ) + ∂t Q& k = 0 y P&k = 0 daría (las Q y las P serían constantes, sus valores en cierto t0 ) Tomando una Función generatriz del tipo 2, en (q,P,t) S = F2 ( q, P, t ) = F2 (q1 ,..., qN , P1 ,...., PN , t ) ∂ F2 ∂ F2 pk = y Qk = ∂ qk ∂ Pk Sustituyendo los argumentos p de H por su expresión en S(q,P,t) se obtiene una ecuación en derivadas parciales para función de Hamilton S , función que ahora depende de las N variables q y de t ∂S ∂S , t) + =0 ; ∂q ∂t S = S (q1 ,..., qN , P1 ,...., PN , t ), las Pj son constantes. H (q, Ecuación de primer orden para S para la que existen N+1 constantes de integración (las q(to) y t=to). Se ve que S es la INTEGRAL DE ACCIÓN (pág.28). Si H no depende del tiempo, tiempo puede ponerse: La resolución del problema se deja en manos de la función generatriz y de la transformación canónica en cuestión. cuestión La elección de las constantes asociadas a las P es libre para cada problema, la flexibilidad en la elección de las N constantes (requiere habilidad) permite dar la solución; las constantes se ajustarán a posteriori con las condiciones iniciales Como la derivada de S respecto a t es: dS ( q, P, t ) ∂ S ∂S & ∂S = q&k + Pk + = q&k pk + 0 − H = L ⇒ dt ∂ qk ∂ Pk ∂t t S= ∫ L(q(τ ), q& (τ ),τ )dτ es la integral de acción. t0 Para H independiente de t la función generatriz puede descomponerse como S=W(q,P)-E t Es un caso particular de separación de variables, pues E y t son funciones canónicas conjugadas (como p y q). Ver Secc. II3.3. H ( q, ∂ W / ∂ q ) = E (ecu. de hamilton para la acción reducida) ¿Qué ocurre si interpretamos en este caso la propia W como una generatriz tipo F2? W (q, P ) = F2 (q, P ) ⇒ H ' = E ≠ 0 Ahora podemos interpretar la propia E como una de las variables P, la número 1, por ejemplo. H ' = E = P1 ⇒ Q&1 = 1 ⇒ Q1 = t + cte. y Q& k = 0 (k = 2,3,..., N ) Y todas las P son constantes (las Q son cíclicas): P&k = 0 ⇒ Pk = P0 k (cte.) = α k con P1 = E Qk = β k , k = 2, 3,... Pk = α k , α1= E Y se tienen ∂ W ( q, E , α 2 ...α N ) = βi ∂α i (i = 2,3,...) Ejm. De clase. Partícula libre bajo los dos enfoques, caso particular de: Separación de Variables.II.3.3 Sistemas separables. Si existe al menos un conjunto de variables generalizadas que dan para el sistema particular un hamiltoniano del tipo: (pág.30) H ( q, p ) = n ∑ k=1 H k (qk , pk ) ⇒ H k ( qk , ∂ Wk )= α ∂ qk k ( N ecuaciones unidimensionales) El problema puede ser de variables separables para unas coordenadas generalizadas y no para otras. A veces hay que manipular la forma de escribir H. VER Ejm. Problema de Kepler pag. 30 y 31 Diagramas de fases (en sistemas hamiltonianos) Variables Acción-Ángulo (II.3.3) 1) Caso de un grado de libertad. Supongamos un sistema hamiltoniano de un grado de libertad con p y q funciones periódicas en t . Busquemos una transformación canónica tal que el hamiltoniano nuevo sea H(I) (q, p) → (ϕ , I ) ≡ (Q, P) La variable I será una constante del movimiento y las ecuaciones serán: ∂H P& = I& = − = 0 ∂ϕ Entonces y & = ϕ& = ∂ H = ω ( I ) una cte. Q ∂I ϕ = ϕ 0 + ω t = ω (t − t0 ) buscando función generatriz tipo 1, F1 ( q, Q = dW ´= pdq − Idϕ ϕ ) = W ´(q, ϕ ) ( diferencial exacta ) Tal función existe , y es periódica en la variable angular (al suponer periódicas p y q) puede definirse la variable de acción I (tiene unidades de H t -energía por tiempo- como la integral de acción) Ñ∫ dW ´= 0 = Ñ∫ 2π pdq − I ∫ dϕ 0 ⇒ I= 1 2π Ñ∫ pdq Extensión a sistemas de n grados de libertad (II.3.4) Es posible la representación acción-ángulo para sistemas finitos (acotados) y que sean de variables separables en al menos un conjunto de variables generalizadas. De W = n ∑ i= 1 Wi (qi ; α 1 , K , α n ) se pasa a → W = con las α obtenidas despejándolas de ∂ W ∂ Wi pi = = ∂ qi ∂ qi y 1 2π ∂W ϕi = = ∂ Ii I i (α ) = n ∑ i= 1 Wi (qi ; I1 , K , I n ) Ñ∫ pi dqi n ∑ ∂ W j (q j ; I1 , K , I n ) ∂ Ii j= 1 Y de las ecuaciones del movimiento para el nuevo H'=H(I) se tienen: I i = cte. , ϕ i = ω it + ϕ i0 , (90) En cada par (qi,pi) pueden darse los casos de libración (caso univaluado) o de rotación (qi multivaluada). La variación de la i-ésima variable-ángulo con respecto a una qj, dejando las demás constantes es: ∆ jϕ i = ∂ pj Ñ∫ ∂ I i dq j = ∂ ∂ Ii Ñ∫ p j dq j = ∂ 2π I j = 2π δ i j ∂ Ii Independiente de las demás, luego la variable-ángulo es monótona y tras un m ciclos varía ∆ ϕ i = 2π mi Pero no se asegura la T-periodicidad del sistema ni en el caso de que todas las (q,p) sean periódicas y cada una con periodo Ti. Razonando como en el caso de un grado de libertad, se definirían q'i variables. Las nuevas q' (o bien q, p ó una F(q,p) cualquiera) admiten desarrollo en series de Fourier +∞ ∑ qj = j1 , j2 ,K, jn = − ∞ +∞ ∑ j1 , j2 ,K, jn = − ∞ a j1 , j2 ,K, jn exp { i ( j1ϕ 1 + L + jnϕ n )} = b j1 , j2 ,K, jn exp { i ( j1ω 1 + L + jnω n )t} El sistema será periódico bajo ciertas condiciones, no basta que lo sea en cada variable: periódico sólo si las frecuencias son conmensurables, ωi ki = ω j kj con los k enteros para todo par i , j (frecuencias conmensurables) En este caso hay n-1 relaciones (de resonancia) entre vectores de enteros k y frecuencias del tipo n r r k ⋅ω ≡ ∑ i= 1 ki ω i = 0 y el movimiento es periódico (órbita cerrada en espacio de fases) y el sistema se dice completamente degenerado (pág. 35) y si no hay ninguna relación como la anterior, se dice sistema n veces multiperiódico. Puede haber sistemas com m relaciones de resonancia (m veces degenerado) y (n-m) veces multiperiódico. Teorema de Liouville de la integrabilidad (II.3.4) Si de un sistema de n grados de libertad con hamiltoniana H(q,p) se conocen n constantes del movimiento F1, F2,...,Fn independientes y en involución mutua ([Fi,Fj]=0) entonces el sistema queda resuelto con n cuadraturas. De las n relaciones F j (q, p ) = α j ⇒ g j ≡ p j − f j (q, α ) = 0 y ∂fj ∂f g k , g j = − k = 0, las g en involucion, y ∂ qk ∂ q j dW (q, α ) = n ∑ k=1 pk dqk ≡ n ∑ k=1 f k (q, α ) dqk es una diferencial exacta La función W puede tomarse como función de Jacobi al ser integral de la ecuación de Hamilton-Jacobi, resolviendo el problema: H (q1 ,K , qn , f1 ,K , f n ) = α 1 ⇒ H ′ ≡ H = α 1 = P1 y Q1 = t + β 1 = ∂ W ( q, α ) ∂ W ( q, α ) y Qj = β j = , j = 2,K , n ∂α 1 ∂α j Ejm. Problema 29. (Ver problemas de, Hamilton-Jacobi, del 19 al 25 y 28) En este caso existe la función W (pues H es de variables separables) que depende de tres constantes de separación que son las F anteriores y que pueden tomarse como los momentos generalizados nuevos P. W ( r , θ , z , α 1 = F1 , α 2 = F2 , α 3 = F3 ) = α 2θ + R ( r ) + Z ( z ) ⇒ H ' = α 1 , Q1 = t + β 1 , Q2 = β 2 = ∂W ∂α 2 ... Problema 54. Pero la F no es única, puede ser también la F3 básica. F3 ( p, Q = x, t ) = − pQ exp(− λ t / 2) Problema 18: usar ∇ R rk r r k− 2 R = kR R