Modelo matemático del problema del agente viajero para encontrar

&
Investigación
gestión organizacional
Modelo matemático
del problema del
agente viajero para
encontrar la ruta
óptima de distribución
Modelo matemático del problema del agente viajero para encontrar la ruta óptima de distribución
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www.unitec.edu.co/
&
Investigación
gestión organizacional
Volumen 1, número 2, julio-diciembre de 2013 ISSN 2322-8393
Modelo matemático del
problema del agente viajero
para encontrar la ruta
óptima de distribución
Aarón Fernando Quirós Morales
Gilda María Martínez Solano
Mauricio López Acosta
Anneliz Esthela Alcaraz Escamilla
Instituto Tecnológico de Sonora
Instituto Tecnológico de Sonora
Instituto Tecnológico de Sonora
Instituto Tecnológico de Sonora
Luis Carlos Montiel Rodríguez
Instituto Tecnológico de Sonora
Recibido: 17 de octubre de 2013
Aceptado: 06 de noviembre de 2013
JEL: C61
resumen
En el presente trabajo se describe la implementación de la metodología del problema del agente viajero en una fábrica de tostadas,
con la finalidad de encontrar la ruta óptima de distribución para los dos días críticos de reparto, es decir, minimizar la distancia que
debe recorrer el repartidor sin dejar de visitar a ningún cliente. El total de la distancia que se recorría sin haber hecho un análisis
para minimizar la distancia a recorrer del viernes era de 32,76 km; una vez que se ha resuelto el problema del agente viajero
en el sistema WinQSB se observó que se puede reducir la distancia recorrida a 9,72 km, lo que representa una disminución de
70,3 % del total que se tenía. De igual manera, para el sábado de 36,37 km que se recorrían, una vez que se ha resuelto el
modelo la distancia recorrida se reduce a 8,05 km, logrando una disminución de 77,8 % del total que se tenía, representativos a
28,32 km. Sumando las distancias que se disminuirían por los días viernes y sábado, se tiene un total de 51,36 km y en cuanto
a costo por consumo de gasolina disminuido por los dos días, se obtiene un total de $ 95 mensualmente $ 380 y anualmente
aproximadamente $ 4556. Las mejoras antes mencionadas se verán reflejadas directamente en la productividad de la organización.
palabras clave
redes de optimización, modelo matemático, productividad, logística, ruta óptima.
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Modelo matemático del problema del agente viajero para encontrar la ruta óptima de distribución
Mathematical model of the travelling salesman problem to find the optimal distribution route
abstract
This study describes the implementation of the methodology of the travelling salesman problem in a toast factory, with the purpose
of finding the optimal distribution route for two critical delivery days, i.e., minimizing the distance that the delivery person must travel
without skipping any customer. The total distance that would have to be covered, without doing an analysis to minimize the distance
travelled on a Friday, was 32.76 km. After the travelling salesman problem was solved using the WinQSB system, we observed
that the distance travelled can be reduced to 9.72 km, 70.3 % less than the initial total distance. Similarly, the distance travelled on
Saturday, 36.37 km, was reduced by 8.05 km to 77.8 % of the initial total distance, or 28.32 km. The total reduction in distance
travelled on Friday and Saturday was 51.36 km. The savings in the cost of gasoline in the two days was $ 95, for a total of $ 380
per month, and approximately $ 4.556 per year. These savings will be reflected directly in the productivity of the organization.
Keyywords: optimization networks, mathematical model, productivity, logistics, optimal route.
Modelo matemático do problema do agente viageiro para encontrar a rota perfeita de distribuição
resumo
No presente trabalho se descreve a implementação da metodologia do problema do agente viageiro em uma fábrica de torradas,
com a finalidade de encontrar a rota perfeita de distribuição para os dois dias críticos de entrega, ou seja, minimizar a distância
que deve percorrer o entregador sem deixar de visitar nenhum cliente. O total da distância que se percorria sem ter feito uma
análise para minimizar a distância a percorrer da sexta-feira era de 32,76 km; uma vez que o problema do agente viageiro
foi resolvido no sistema WinQSB se observou que se pode reduzir a distância percorrida a 9,72 km, o que representa uma
diminuição de 70,3 % do total que se tinha. De igual forma, para o sábado de 36,37 km que se percorriam, uma vez que foi
resolvido o modelo a distância percorrida se reduz a 8,05 km, conseguindo uma diminuição de 77,8 % do total que se tinha,
representativos a 28,32 km. Somando as distâncias que se diminuiriam pelas sextas-feiras e sábados temos um total de 51,36 km
e sobre o custo por consumo de gasolina diminuído pelos dois dias, obtemos um total de $ 95 mensalmente $ 380 e anualmente
aproximadamente $ 4556. As melhoras antes mencionadas se verão refletidas diretamente na produtividade da organização.
palavras-chaves: redes de otimização, modelo matemático, produtividade, logística, rota perfeita.
Aarón Fernando Quirós Morales
Docente tiempo completo, Instituto Tecnológico de Sonora. Maestro en Ingeniería en
Sistemas Productivos. Ramón Corona s/n, Colonia ITSON, Navojoa, Sonora, México.
Tel. (01642) 4225929 EXT 5117. aaron.quiroz@itson.edu.mx
Mauricio López Acosta
Docente tiempo completo, Instituto Tecnológico de Sonora. Maestro en Ingeniería en
Sistemas Productivos. Ramón Corona s/n, Colonia ITSON, Navojoa, Sonora, México.
Tel. (01642) 4225929 EXT 5404. mauricio.lopez@itson.edu.mx
Luis Carlos Montiel Rodríguez
Docente tiempo completo, Instituto Tecnológico de Sonora. Maestro en Ingeniería en
Sistemas Productivos. Ramón Corona s/n, Colonia ITSON, Navojoa, Sonora, México.
Tel. (01642) 4225929 EXT 5124. luis.montielz@itson.edu.mx
Gilda maría Martínez Solano
Docente tiempo completo, Instituto Tecnológico de Sonora. Maestra en Ingeniería en
Logística y Calidad. Ramón Corona s/n, Colonia ITSON, Navojoa, Sonora, México. Tel.
(01642) 4225929 EXT 5115. gilda.martinez@itson.edu.mx
Anneliz Esthela Alcaraz Escamilla
Egresada del programa de Maestría en Ingeniería de Sistemas (MIS), Instituto
Tecnológico de Sonora. Ingeniero Industrial y de Sistemas. Ramón Corona s/n, Colonia
ITSON, Navojoa, Sonora, México. Tel. (01642) 4225929. gilda.martinez@itson.edu.mx
Este es un artículo de acceso abierto
distribuido bajo los términos de la licencia
de Creative Commons ReconocimientoNoComercial-SinObraDerivada (CC
BY-NC-ND), la cual permite su uso,
distribución y reproducción de forma
libre siempre y cuando el o los autores
reciban el respectivo crédito.
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Quirós, López, Montiel, Martínez & Alcaraz
Introducción
S
e dice que hoy en día la investigación de operaciones (en adelante IO)
es una herramienta dominante e indispensable para tomar decisiones; por tal motivo, es importante saber que las primeras actividades
formales de la IO se dieron en Inglaterra, durante la Segunda Guerra Mundial,
cuando se encomendó a un equipo de científicos ingleses la toma de decisiones acerca de la mejor utilización de materiales bélicos. Al término de la
guerra, las ideas formuladas en operaciones militares fueron adaptadas para
mejorar la eficiencia y la productividad en el sector civil (Taha, 2004).
Uno de los términos utilizados en la IO es logística. Es necesario entender
la logística como aquella función que se encarga de distribuir de manera eficiente los productos de una determinada empresa con un menor costo y un
excelente servicio al cliente (Roldán, Moras & Aguilar, 2007).
Asimismo, entendemos que la distribución, según Chopra y Meindl
(2008), se refiere a los pasos a seguir para mover y almacenar un producto
desde la etapa del proveedor hasta la del cliente en la cadena de suministro;
considerándola una directriz clave de la rentabilidad total de la compañía.
Algunas aplicaciones de IO demuestran mejoras en las organizaciones en
casos de logística y distribución; por ejemplo, Roldán, Moras y Aguilar (2007)
consiguieron optimizar la secuencia de visita a los clientes y minimizaron la
distancia total recorrida en un 30 %; por su parte, Flores (2004) presenta una
optimización de rutas para cumplir con toda la entrega a los clientes.
Teniendo como referencia de estudio los casos anteriores y el análisis de
los resultados obtenidos, se considera la posibilidad de aplicar herramientas
que permitan crear valor y obtener beneficios significativos en una fábrica de
tostadas (frituras de maíz) de la región del Mayo, en el sur del estado de Sonora, México, debido a que no cuenta con una ruta definida para su distribución
ya que realiza una secuencia de visitas a sus clientes según su experiencia le
indica, destacando que este proceso es realizado por un solo repartidor.
Investig. Gest. Organ. | jul.-dic. | 2013 | Vol. 1 | No. 2 | pp. 9-26
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Modelo matemático del problema del agente viajero para encontrar la ruta óptima de distribución
Con el paso de los años las ventas se han incrementado y se han creado rutas de reparto para tener
más cobertura de entregas. Sin embargo, se considera que debe existir una mejor distribución si este
proceso se realiza en orden y de forma planeada.
De acuerdo con lo anterior y con el fin de encontrar ventajas competitivas para la empresa, sobre
todo la reducción de costos y disminución de distancias, se plantea lo siguiente: ¿cuál es orden del flujo
de distribución de tiendas a recorrer en los dos días
críticos de reparto de la organización, lo cual permita
minimizar las distancias recorridas por el repartidor?
Se pretende establecer una ruta de reparto definida, la cual permita reducir distancias recorridas y,
por ende, los costos de transporte de sus productos,
buscando crear valor y ventajas competitivas que
proporcionen a la empresa una base sólida que le
permita permanecer dentro del mercado incrementando a su vez la cobertura de reparto (Martínez,
2003).
De acuerdo con Maneiro y Loyo (2003), algunos
de los beneficios que se pueden obtener con la definición de la ruta son:
• Reducción de costos en combustible por kilómetro recorrido.
• Minimización de distancias recorridas.
• Incremento de cobertura de reparto (mayor cantidad de clientes visitados).
• Aumento de ventas y utilidades.
Objetivo general
De acuerdo con lo anterior, el objetivo del estudio
fue determinar el flujo de la ruta de reparto mediante
el algoritmo del problema del agente viajero para la
optimización de distancias recorridas y minimización del costo total de transporte.
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Objetivos específicos
• Recolectar la información necesaria para obtener
datos de ubicaciones de los clientes y sus distancias, entrevistando al propietario del negocio.
• Encontrar las distancias entre cada uno de los
clientes mediante el programa AutoCad™ para
definir distancias entre un origen y un destino.
• Diseñar el modelo matemático representativo
del caso en estudio para encontrar el flujo de
la ruta de reparto óptimo según sus elementos
correspondientes.
• Resolver el modelo matemático bajo estudio
mediante el programa WinQSB para obtener la
solución.
Método y materiales
Sujeto bajo estudio
La empresa bajo estudio se dedica a la fabricación
de tostadas y frituras hechas a base de maíz, mediante procesos tales como: elaboración de tortillas, secado, freído, horneado y empaque de sus productos, los
cuales son vendidos tanto en el propio establecimiento como en tiendas de abarrotes al alcance del cliente
final. Actualmente, la fábrica de tostadas posee 144
clientes localizados en la ciudad de Navojoa, Sonora,
México, a los cuales debe proveer con producto en
un día o dos a la semana (de lunes a viernes), según
convenio previamente establecido.
Procedimiento
1. Obtención y análisis de datos: en esta etapa se recolecta la información necesaria para obtener datos de ubicaciones de los clientes y sus distancias.
2. Formulación del modelo matemático: se procede
a traducir la definición del problema a relaciones
matemáticas. Debido a que las relaciones matemáticas eran demasiado complejas como para
permitir el cálculo de una solución analítica, se
optó por buscar un modelo más práctico para
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Quirós, López, Montiel, Martínez & Alcaraz
resolver el problema de decisiones, el cual fue el
problema del agente viajero.
3. Solución del modelo: para elaborar esta parte del
proyecto se realiza la corrida del modelo en el
software WinQSB, como el problema del agente
viajero.
4. Validación del modelo: en este apartado del proyecto se comparan los resultados obtenidos con
el sistema real.
Materiales
Los materiales que se necesitaron principalmente para el desarrollo del presente trabajo fueron los
siguientes:
• Programa AutoCAD™.
• Programa y manual de WinQSB (Quantitative
System Business).
• Microsoft Office™ (Excel™, Power Point™, Word™).
• Datos relevantes y actuales de la ruta de reparto
de la empresa.
Resultados
Obtención y análisis de datos
La empresa bajo estudio posee actualmente un
proceso de distribución de sus productos visitando a
25 clientes cada viernes y otros 25 los sábados de cada
semana, siendo estos los dos días analizados en el presente estudio por ser considerados críticos, debido a
que presentan una mayor demanda. Con la finalidad
de conocer el flujo de distribución de dicho proceso
se realizaron tres visitas programadas con el propietario/distribuidor de la fábrica. Las reuniones son descritas a continuación, al igual que la información que
se obtuvo como resultado de cada encuentro.
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• La primera visita consistió en obtener el recorrido del repartidor de tostadas de los viernes según
los establecimientos acordados a hacer entregas.
• En esta reunión se plasmó en un croquis de la ciudad de Navojoa, Sonora el recorrido que se lleva
a cabo para llegar hasta cada punto de entrega de
tostadas, desde la fábrica como referencia de salida hasta el último cliente.
• La segunda visita fue la misma dinámica que
la anterior, la diferencia consistió en obtener el
recorrido del repartidor los sábados según los
clientes acordados para hacer entregas, donde se
determinó la ruta desde el punto que el repartidor
sale de la fábrica y visita cada punto de entrega de
tostadas en este día y llega hasta el último cliente.
• La tercer reunión con el propietario de la fábrica de tostadas fue con la finalidad de definir las
distancias correctas entre cada punto de entrega.
De lo anterior, se obtuvo como resultado la tabla 1
para los viernes y la tabla 2 para los sábados, donde
se pueden observar las distancias en kilómetro para
cada cliente, identificado con la abreviación “T” y un
número, los cuales representan un cliente diferente
desde el número uno hasta el 50 (ejemplo T1, T2,
T3…); cabe señalar que el orden de la numeración
es como se realizaba el recorrido del repartidor. Las
distancias se localizaron utilizando el software AutoCAD, donde se indicaron los puntos de cada uno
de los clientes que se deseaban obtener las distancias
desde un origen hacia un destino, para los 50 establecimientos, distribuidos en los dos días de reparto.
Con lo anterior, se obtiene que para el viernes la
distancia recorrida total en las entregas es de 32,76
km y para el sábado 36,37 km.
13
14
1,00
1,11
1,60
1,50
1,32
1,33
1,25
1,24
1,07
1,53
1,73
0,03
0,32
0,62
1,12
1,47
1,55
2,16
2,25
1,65
1,47
1,20
1,19
1,55
1,50
Fábrica
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
T10
T11
T12
T13
T14
T15
T16
T17
T18
T19
T20
T21
T22
T23
T24
T25
Fábrica
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
T10
T11
T12
T13
T14
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T16
T17
T18
T19
T20
T21
T22
T23
T24
T25
0,05
0,40 0,35
1,62 1,64 2,09 2,07 2,07 1,13 2,08 2,07 1,95 2,30 2,47 1,53 1,62 1,24 0,88 1,23 1,25 1,28 1,35 0,34 0,27 0,27 0,35 0,05
1,67 1,69 1,14 1,13 2,12 2,18 2,13 2,12 2,00 2,35 2,52 1,58 1,65 1,27 0,90 1,22 1,24 1,25 1,31 0,30 0,25 0,32 0,40
0,20 0,32 0,27
0,32 0,50 0,25 0,27
1,28 1,32 1,78 1,75 1,75 1,81 1,75 1,74 1,62 1,98 2,27 1,22 1,35 1,02 0,85 1,26 1,30 1,50 1,58 0,60 0,50 0,20
1,45 1,50 1,98 1,94 1,90 1,96 1,91 1,90 1,77 2,16 2,36 1,23 1,33 0,97 0,68 1,09 1,10 1,31 1,38 0,45 0,32
0,15 0,45 0,60 0,30 0,34
1,03 1,10 1,38 1,58 1,31 1,35
1,77 1,80 2,30 2,25 2,22 0,23 2,22 2,21 2,10 2,42 2,65 1,50 1,55 1,14 0,71 0,98 0,97 1,00 1,10 0,15
1,87 1,92 2,38 2,35 2,33 2,41 2,35 2,34 2,21 2,57 2,75 1,68 1,68 1,28 0,80 1,03 1,05 1,00 1,03
0,08 1,00 1,02 1,31 1,50 1,25 1,28
0,74 0,83 1,05 0,97 1,10 1,30 1,24 1,25
2,80 2,85 3,34 3,30 3,26 3,30 3,24 3,23 3,04 3,48 3,70 2,28 2,15 1,70 1,15 0,89 0,83 0,08
2,72 2,77 3,26 3,21 3,17 3,22 3,17 3,16 2,97 3,40 3,63 2,19 2,06 1,61 1,05 0,80 0,74
0,07 0,80 0,89 1,03 0,98 1,09 1,26 1,22 1,23
0,43 0,50 1,05 1,12 0,80 0,71 0,68 0,85 0,90 0,88
2,27 2,35 2,88 2,81 2,70 2,72 2,66 2,65 2,50 2,92 3,12 1,58 1,37 0,95 0,50 0,07
2,21 2,30 2,82 2,75 2,63 2,66 2,60 2,59 2,43 2,87 3,05 1,50 1,30 0,87 0,43
0,58 0,87 0,95 1,61 1,70 1,28 1,14 0,97 1,02 1,27 1,24
0,45 1,05 1,30 1,37 2,06 2,15 1,68 1,55 1,33 1,35 1,65 1,62
1,80 1,86 2,38 2,33 2,20 2,25 2,16 2,15 2,02 2,44 2,63 1,15 1,05 0,58
1,49 1,58 2,11 2,00 1,85 1,90 1,81 1,80 1,63 2,08 1,07 0,65 0,45
0,29 0,65 1,15 1,50 1,58 2,19 2,28 1,68 1,50 1,23 1,22 1,58 1,53
1,72 2,02 1,07 2,63 3,05 3,12 3,63 3,70 2,75 2,65 2,36 2,27 2,52 2,47
1,31 1,40 1,91 1,80 1,62 1,62 1,53 1,52 1,36 1,80 2,02 0,29
1,20 1,12 1,60 1,50 1,32 1,32 1,25 1,24 1,07 1,51 1,72
0,22 1,51 1,80 2,08 2,44 2,87 2,92 3,40 3,48 2,57 2,42 2,16 1,98 2,35 2,30
0,45 0,66 1,07 1,36 1,63 2,02 2,43 2,50 2,97 3,04 2,21 2,10 1,77 1,62 2,00 1,95
0,90 0,85 0,48 0,43 0,45 0,40 0,49 0,50 0,66 0,22
0,70 0,67 0,42 0,31 0,25 0,20 0,27 0,28 0,45
0,16 0,28 0,50 1,24 1,52 1,80 2,15 2,59 2,65 3,16 3,23 2,34 2,21 1,90 1,74 2,12 2,07
0,01 0,17 0,27 0,49 1,25 1,53 1,81 2,16 2,60 2,66 3,17 3,24 2,35 2,22 1,91 1,75 2,13 2,08
0,34 0,32 0,60 0,46 0,25 0,25 0,17 0,16
0,47 0,44 0,49 0,33 0,12 0,07 0,01
0,06 0,07 0,25 0,20 0,40 1,32 1,62 1,90 2,25 2,66 2,72 3,22 3,30 2,41 2,30 1,96 1,81 2,18 1,13
0,12 0,11 0,12 0,25 0,25 0,45 1,32 1,62 1,85 2,20 2,63 2,70 3,17 3,26 2,33 2,22 1,90 1,75 2,12 2,07
0,48 0,45 0,48 0,34 0,11 0,06
0,53 0,50 0,46 0,32 0,12
0,23 0,32 0,34 0,33 0,46 0,31 0,43 1,50 1,80 2,00 2,33 2,75 2,81 3,21 3,30 2,35 2,25 1,94 1,75 1,13 2,07
0,15 0,36 0,46 0,48 0,49 0,60 0,42 0,48 1,60 1,91 2,11 2,38 2,82 2,88 3,26 3,34 2,38 2,30 1,98 1,78 1,14 2,09
0,46 0,42 0,36 0,23
0,52 0,45 0,15
0,53 0,45 0,42 0,50 0,45 0,44 0,32 0,67 0,85 1,12 1,40 1,58 1,86 2,30 2,35 2,77 2,85 1,92 1,80 1,50 1,32 1,69 1,64
0,10 0,63 0,52 0,46 0,53 0,48 0,47 0,34 0,70 0,90 1,20 1,31 1,49 1,80 2,21 2,27 2,72 2,80 1,87 1,77 1,45 1,28 1,67 1,62
0,63 0,53
1,00
1,00 1,11 1,60 1,50 1,32 1,33 1,25 1,24 1,07 1,53 1,73 0,03 0,32 0,62 1,12 1,47 1,55 2,16 2,25 1,65 1,47 1,20 1,19 1,55 1,50
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Tabla 1. Distancias en kilómetros desde un origen hacia un destino día viernes
Modelo matemático del problema del agente viajero para encontrar la ruta óptima de distribución
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1,15
1,55
1,6
1,25
1,35
1,72
1,91
1,92
2,1
2,13
2,3
2,39
2,4
2,07
1,65
1,49
1,45
1,42
1,3
1,23
0,67
0,11
0,08
0,03
Fábrica
T26
T27
T28
T29
T30
T31
T32
T33
T34
T35
T36
T37
T38
T39
T40
T41
T42
T43
T44
T45
T46
T47
T48
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Fábrica
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0,98
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1,53
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0,46
0,1
1,1
T26
1,16
1,19
1,21
0,5
0,6
0,67
0,74
0
1,05
1,17
1,47
1,78
1,72
1,6
1,44
1,33
1,21
1,13
0,82
0,45
0,13
0,5
0,45
0,1
1,15
T27
1,5
1,58
1,6
0,88
0,9
0,94
0,97
1,02
1,2
1,35
1,45
1,62
1,9
1,68
1,55
1,4
1,36
1,22
0,9
0,68
0,43
0,08
0,45
0,46
1,55
T28
1,59
1,62
1,64
0,97
0,9
0,94
0,98
1,15
1,32
1,42
1,59
1,86
1,77
1,67
1,52
1,37
1,33
1,19
0,85
0,65
0,41
0,08
0,5
0,52
1,6
T29
1,24
1,27
1,3
0,6
0,58
0,63
0,7
0,87
1,03
1,15
1,4
1,72
1,64
1,52
1,37
1,25
1,15
1,06
0,73
0,4
0,41
0,43
0,13
0,21
1,25
T30
1,38
1,41
1,44
0,77
0,37
0,3
0,35
0,52
0,68
0,77
1,02
1,33
1,26
1,15
0,99
0,88
0,76
0,67
0,38
0,4
0,65
0,68
0,45
0,55
1,35
T31
1,74
1,77
1,8
1,15
0,49
0,45
0,38
0,5
0,62
0,65
0,73
1,01
0,93
0,81
0,67
0,54
0,47
0,34
0,38
0,73
0,85
0,9
0,82
0,92
1,72
T32
1,97
2
2,03
1,41
0,7
0,64
0,51
0,52
0,56
0,5
0,44
0,68
0,6
0,48
0,33
0,2
0,18
0,34
0,67
1,06
1,19
1,22
1,13
1,22
1,91
T33
1,95
1,99
2,02
1,45
0,72
0,65
0,53
0,47
0,49
0,39
0,27
0,57
0,51
0,41
0,23
0,21
0,18
0,47
0,76
1,15
1,33
1,36
1,21
1,32
1,92
T34
2,15
2,18
2,21
1,62
0,88
0,82
0,7
0,68
0,7
0,58
0,33
0,52
0,41
0,29
0,18
0,21
0,2
0,54
0,88
1,25
1,37
1,4
1,33
1,43
2,1
T35
2,15
2,18
2,21
1,67
0,95
0,88
0,76
0,69
0,65
0,55
0,17
0,35
0,27
0,18
0,18
0,23
0,33
0,67
0,99
1,37
1,52
1,55
1,44
1,53
2,13
T36
2,35
2,38
2,4
1,85
1,11
1,05
0,94
0,87
0,83
0,7
0,28
0,25
0,12
0,18
0,29
0,41
0,48
0,81
1,15
1,52
1,67
1,68
1,6
1,7
2,3
T37
2,44
2,74
2,5
1,95
1,26
1,16
1,03
0,96
0,91
0,77
0,33
0,13
0,12
0,27
0,41
0,51
0,6
0,93
1,26
1,64
1,77
1,9
1,72
1,8
2,39
T38
2,45
2,48
2,5
2
1,26
1,2
1,08
0,97
0,9
0,75
0,33
0,13
0,25
0,35
0,52
0,57
0,68
1,01
1,33
1,72
1,86
1,62
1,78
1,87
2,4
T39
2,11
2,14
2,12
1,65
0,93
0,86
0,75
0,64
0,59
0,43
0,33
0,33
0,28
0,17
0,33
0,27
0,44
0,73
1,02
1,4
1,59
1,45
1,47
1,55
2,07
T40
1,67
1,71
1,74
1,27
0,59
0,53
0,45
0,28
0,15
0,43
0,75
0,77
0,7
0,55
0,58
0,39
0,5
0,65
0,77
1,15
1,42
1,35
1,17
1,26
1,65
T41
1,54
1,57
1,6
1,12
0,43
0,38
0,73
0,14
0,15
0,59
0,9
0,91
0,83
0,65
0,7
0,49
0,56
0,62
0,68
1,03
1,32
1,2
1,05
1,13
1,49
T42
1,46
1,5
1,53
1,02
0,3
0,25
0,18
0,14
0,28
0,64
0,97
0,96
0,87
0,69
0,68
0,47
0,52
0,5
0,52
0,87
1,15
1,02
0
0,98
1,45
T43
Tabla 2. Distancias en kilómetros desde un origen hacia un destino día sábado,
1,44
1,47
1,5
0,92
0,19
0,13
0,18
0,73
0,45
0,75
1,08
1,03
0,94
0,76
0,7
0,53
0,51
0,38
0,35
0,7
0,98
0,97
0,74
0,83
1,42
T44
1,32
1,35
1,38
0,8
0,06
0,13
0,25
0,38
0,53
0,86
1,2
1,16
1,05
0,88
0,82
0,65
0,64
0,45
0,3
0,63
0,94
0,94
0,67
0,75
1,3
T45
1,26
1,29
1,32
0,75
0,06
0,19
0,3
0,43
0,59
0,93
1,26
1,26
1,11
0,95
0,88
0,72
0,7
0,49
0,37
0,58
0,9
0,9
0,6
0,7
1,23
T46
0,67
0,7
0,72
0,75
0,8
0,92
1,02
1,12
1,27
1,65
0,06
0,03
0,72
1,32
1,38
1,5
1,53
1,6
1,74
2,12
2,5
2,5
1,95
2
2,4
2,21
2,21
2,02
2,03
1,8
1,44
1,3
1,64
1,6
1,21
1,15
0,11
T48
1,85
1,67
1,62
1,45
1,41
1,15
0,77
0,6
0,97
0,88
0,5
0,45
0,67
T47
0,03
0,03
0,7
1,29
1,35
1,47
1,5
1,57
1,71
2,14
2,48
2,74
2,38
2,18
2,18
1,99
2
1,77
1,41
1,27
1,62
1,58
1,19
1,12
0,08
T49
0,03
0,06
0,67
1,26
1,32
1,44
1,46
1,54
1,67
2,11
2,45
2,44
2,35
2,15
2,15
1,95
1,97
1,74
1,38
1,24
1,59
1,5
1,16
1,1
0,03
T50
Quirós, López, Montiel, Martínez & Alcaraz
15
Modelo matemático del problema del agente viajero para encontrar la ruta óptima de distribución
La fábrica de tostadas dispone de un único repartidor para cubrir con las entregas de sus productos
a sus 25 clientes asignados cada viernes y sábado de
la semana. El repartidor debe cubrir la ruta óptima
de distribución que minimice la distancia a recorrer
por día asignado, visitando a todos y cada uno de
los clientes. La interrogante que se plantea es la siguiente: ¿cuál es la ruta de reparto que debe seguir el
trabajador que minimice la distancia por recorrer y
logre visitar a los 25 establecimientos asignados para
el viernes y para el sábado?
Al analizar el diagrama que se muestra en la figura 1
se aprecia que el repartidor debe iniciar su ruta en la
fábrica de tostadas, posteriormente debe continuar
hacia el primer cliente el cual deberá localizarse en
la ubicación más cercana a este, de manera similar
continúa el procedimiento para toda su ruta; es decir,
deberá elegirse el cliente que este a menor distancia
uno seguido de otro y regresar al punto de partida.
Para determinar la función objetivo se plantea
lo siguiente: minimizar distancias recorridas diariamente por el repartidor.
3
0,1
26
2
4
0,63
3
5
1
F
1
2
1,11
26
Fábrica
25
3
1
25
Figura 1. Diagrama del modelo para problema bajo estudio
Las variables de decisión definidas son:
1 reparto por calles entre la fábrica i y el cliente j
X ij = 1 0 de otra manera
Limitantes:
• Un solo repartidor.
• Repartir a 25 tiendas por cada viernes y sábado de
la semana (caso de estudio).
Si se recorre la ruta (i,j), esto significa que no puede utilizarse ninguna otra ruta que parta del cliente i.
16
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Quirós, López, Montiel, Martínez & Alcaraz
Formulación del modelo
Se procedió a traducir la definición del problema
a relaciones matemáticas buscando se ajustara a uno
de los modelos matemáticos, normales, como puede
ser la programación lineal, con la intención de llegar
a una solución empleando los algoritmos disponibles, según comenta Taha (2004).
• Función objetivo, la cual representa, como su
nombre lo dice, el objetivo del problema. Es la expresión que se debe maximizar o minimizar; en
este caso será la de minimizar distancias.
(1) Min Z = XF,T1+ 1.11XF,T2+… XF,T25+ 1XT1,F+0.1
XT1,T2+… XT1,T25+ 1.11XT2,F+ 0.1XT2,T1+…+ XT25,T24
La ecuación (1) se refiere a que se debe obtener la
distancia mínima, la cual es el resultado de la suma
de todas y cada una de las variables dependientes por
su variable independiente para el viernes y, de igual
manera, puede expresarse el sábado.
Las restricciones que se plantean para el modelo
son las siguientes:
• Restricciones
Fábrica
XF,T1+ XF,T2+ XF,T3+ …+ XF,T25= 1
Clientes
XF,T1 - XT1,T2 - XT1,T3+ …- XT1,T25= 0
.
..
XF,T25 - XT25,T1 – XT25,T2+ …- XT25,T24= 0
XT1,T2 – XT2,3 – XT2,T4+ …- XT2,T25 = 0
.
..
XT25,T1 – XT1,T2, – XT2,T3+ …- XT23,T24= 0
Regreso a la fábrica
XT1,F+ XT2,F+ XT3,F+ …+ XT25,F = 1
Investig. Gest. Organ. | jul.-dic. | 2013 | Vol. 1 | No. 2 | pp. 9-26
• Condición técnica:
X ij ≥ 0, binarias
Cabe mencionar que el proceso para la obtención de información de este modelo es similar para
los dos días bajo estudio; sin embargo, se tendrá un
cambio en los valores de las distancias para la variable independiente X.
Para resolver el modelo planteado, se determinó
que el problema del agente viajero era el apropiado
para dar solución a este. Consiste en que un vendedor, que se encuentra en la ciudad origen, debe visitar exactamente una vez un conjunto de ciudades
vecinas de tal forma que se obtenga la ruta de costo
mínimo, comenzando y finalizando en la ciudad de
origen (Pradenas & García, 2005). Además, se dispone de un solo vehículo que debe visitar a todos los
clientes en una sola ruta y a costo mínimo. No suele
haber un depósito (y si lo hubiera, no se distinguiría
de los clientes), no hay demanda asociada a los clientes y tampoco hay restricciones temporales (Daza,
Montoya & Narducci, 2009).
Solución del modelo
Es posible resolver el problema del agente viajero
como un problema de redes de optimización que involucra un conjunto de nodos y arcos interconectados. El objetivo es encontrar la forma de realizar una
gira completa que conecte todos los nodos visitando
solo una vez cada nodo y minimizar o maximizar la
distancia de la gira total (Quesada & Vergaras, s. f.).
Para dar solución a este problema del agente viajero, se capturo el modelo en un paquete computacional (Software WinQSB).
1. Los datos de distancias en kilómetros presentados en la tabla 1 y 2 se capturaron en el sistema
WinQSB. Una vez capturados los datos, se observa la pantalla del programa WinQSB cómo estos
quedan ordenados, de la manera en que se muestra en la figura 2.
17
Modelo matemático del problema del agente viajero para encontrar la ruta óptima de distribución
Figura 2. Datos (en km) introducidos en WinQSB
representativos al viernes.
2. Ejecutar el programa en WinQSB. Al resolver el
problema, el paquete WinQSB ofrece los resultados que aparecen en la figura 3, los cuales indican
el punto de partida del repartidor, el primer cliente al que tendría que visitar y el orden que necesita seguir en su ruta hasta volver a la fábrica para
optimizar la distancia a recorrer durante el día en
cuestión. También se muestra la distancia total
que recorrerá el trabajador, si la distribución se
realiza conforme a como se plantea en ella, dando
una distancia total 9,72 km.
Figura 3. Solución al problema del agente viajero obtenido de WinQSB,
para el día viernes.
3. Representación de la ruta de distribución. Con
la finalidad de visualizar el flujo que seguiría el
distribuidor de tostadas, se hizo un diagrama
18
representativo del recorrido que se debe seguir el
viernes (figuras 3 y 4).
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Quirós, López, Montiel, Martínez & Alcaraz
Figura 4. Diagrama de la ruta de distribución del modelo para el día viernes.
Este mismo procedimiento debe seguirse para
dar solución al problema con los datos que se plantean para los sábados de cada semana; los resultados
se presentan en la figura 5. La distancia total que recorrerá el trabajador, si la distribución se realiza conforme a los resultados obtenidos, es de 8,05 km.
4. Representar la ruta de distribución en un diagrama. Con la finalidad de visualizar el flujo que seguirá el distribuidor de tostadas el sábado, se hizo
un diagrama representativo al mismo (figura 6).
Se observa el orden que debe seguir el repartidor, siendo el primer cliente a visitar el “T50”, y
el último del día será el “T4”, para regresar hasta
el punto de partida. Con la finalidad de investigar el impacto que tiene el hacer cambios en los
parámetros del modelo sobre la solución óptima,
fue necesario realizar un análisis de sensibilidad,
el cual se denomina así porque estudia la sensibilidad de la solución óptima respecto a los cambios
que se hagan en el modelo Taha (2004). Para llevar
a cabo el análisis se añadieron al programa datos
de dos clientes potenciales con sus respectivas distancias para cada uno de los dos días en cuestión.
Los resultados que arrojó el sistema para el viernes
fueron los que se muestran en la figura 7.
Figura 5. Solución al problema del agente viajero obtenido de WinQSB, para el sábado.
Investig. Gest. Organ. | jul.-dic. | 2013 | Vol. 1 | No. 2 | pp. 9-26
19
Modelo matemático del problema del agente viajero para encontrar la ruta óptima de distribución
Figura 6. Diagrama de la ruta de distribución del
modelo para el sábado.
Figura 7. Resultado del análisis de sensibilidad para el viernes, distancias en km.
Comparando los datos anteriores se observa lo
siguiente:
3. Además se muestra un comportamiento más lógico en el recorrido.
1. Cambia el orden de la ruta de distribución para
el mismo día.
2. Disminuye 0,59 km la distancia recorrida, es decir de 9,72 km que se recorría, con los dos clientes potenciales de entregar se recorrerán 9,13 km,
pero con la diferencia de que pueden ser visitados
los dos nuevos consumidores.
El análisis de sensibilidad también se realizó para
el día de reparto sábado, siguiendo el mismo procedimiento, obteniéndose los resultados que se muestran en la figura 8.
20
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Quirós, López, Montiel, Martínez & Alcaraz
Figura 8. Resultado del análisis de sensibilidad para el sábado, distancias en km.
Comparando los datos obtenidos se observa lo
siguiente:
• No cambia el orden de la ruta de distribución con
respecto a lo obtenido para el mismo día; solo al
final se le agregan los dos clientes potenciales.
• Sin embargo, sí aumenta 6,04 km del total de la
distancia recorrida, es decir, de 8,05 km que se
recorría, con los dos clientes potenciales de entregar nuevos se recorrerán 14,09 km, pero con la
diferencia de que pueden ser visitados los nuevos
consumidores. Por lo anterior, debe considerarse
la cantidad de producto que pudieran adquirir estos dos clientes, ya que el aumento en la distancia
representa el 75,25 % más de lo que se recorre con
los 25 clientes actuales.
• El flujo del recorrido puede considerarse como
un comportamiento lógico.
Validación del modelo
Una de las primeras reglas de investigación de
operaciones dice que, por lo general, no es suficiente confiar solamente en la propia intuición. Debe
tomarse esta precaución no solo al obtenerse la solución de un problema, sino también al evaluar el
modelo que se formuló para representarlo (Taha,
2004).
Investig. Gest. Organ. | jul.-dic. | 2013 | Vol. 1 | No. 2 | pp. 9-26
Para probar el modelo, se utilizan como entradas
datos históricos sobre decisiones, parámetros y resultados obtenidos en una situación similar en una
época ya conocida. A continuación se comparan los
dos conjuntos de resultados, los del modelo y los de
la historia, y el modelo queda validado si existe similitud entre ellos (Eppen, 2000).
Para validar el modelo que se obtuvo en el estudio, se compararon los datos (históricos) del sistema
real contra los resultados obtenidos al dar solución
al problema del agente viajero en WinQSB, como se
muestra en la tabla 3. En dicha tabla se observa que
el total de la distancia que se recorría sin haber hecho
un análisis para minimizar la distancia a recorrer el
viernes era de 32,76 km; de igual manera vemos el orden que se seguía para visitar a los 25 clientes asignados para su jornada de trabajo. Sin embargo, una vez
que se ha resuelto el problema del agente viajero en
el sistema WinQSB, se observó que se puede reducir
la distancia recorrida a 9,72 km (figura 9), logrando
una disminución en distancia de 70,3 % del total que
se tenía, representativos a 23,04 km.
21
Modelo matemático del problema del agente viajero para encontrar la ruta óptima de distribución
Tabla 3. Distancias recorridas por
el repartidor en km los viernes.
Figura 9. Resultados obtenidos de WinQSB, para el viernes en km.
Cabe señalar que lo anterior es posible si el recorrido se lleva a cabo tal y como muestra la solución
obtenida, además considerando que este se realice en
condiciones normales (clima, no haya vías obstruidas, no tenga fallas el carro repartidor, no tenga que
salirse de la ruta por urgencias, entre otras).
22
El análisis también se puede realizar para el segundo día del estudio (sábado); para esto se consideran los datos de la tabla 4, que contiene las distancias
históricas recorridas y la figura 10, la cual muestra el
resultado obtenido en el WinQSB.
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Quirós, López, Montiel, Martínez & Alcaraz
Tabla 4. Distancias recorridas por el repartidor los sábados en km.
Figura 10. Resultados obtenidos de WinQSB, para el sábado en km.
Finalmente, se observa que el total de la distancia que se recorría sin haber hecho un análisis para
minimizar la distancia a recorrer del sábado era de
36,37 km; de igual manera, el orden que se seguía
para visitar a los 25 clientes asignados para su jornada de trabajo. No obstante, una vez que se ha resuelto
Investig. Gest. Organ. | jul.-dic. | 2013 | Vol. 1 | No. 2 | pp. 9-26
el problema en el WinQSB se nota que se puede reducir la distancia recorrida a 8,05 km, logrando una
disminución de 77,8 % del total que se tenía, representativos a 28,32 km.
Consideraciones a tener en cuenta para lograr los
resultados anteriores:
23
Modelo matemático del problema del agente viajero para encontrar la ruta óptima de distribución
• Recorrer la ruta tal y como se muestra en la
solución.
• Considerar que se realice en condiciones normales (clima, no haya vías obstruidas, no tenga fallas
el carro repartidor, no tenga que salirse de la ruta
por urgencias, entre otras).
• Entregar a los mismos clientes estimados para el
estudio.
cual representa el 70,3 % menos del trayecto que
seguía (antes 32,76 km).
Resultados y discusión
La aplicación de herramientas para la formulación
y el desarrollo de modelos proporciona a las organizaciones la forma de resolver algunos de los problemas de su trabajo diario; pero debido a la falta de
información e inversión de tiempo que conlleva el
desarrollo de este tipo de proyectos, algunas organizaciones no le dan importancia a la evaluación de sus
rutinas diarias, que pudieran ser más eficientes sus
procesos, ayudándoles en la disminución de costos
y en la optimización de uno de los recursos más importantes, el tiempo.
Al inicio de este proyecto de investigación se
planteó como objetivo general determinar el flujo
de la ruta de reparto mediante el algoritmo del problema del agente viajero, con el fin de optimizar las
distancias recorridas y minimización del costo total
de transporte, obteniéndose lo siguiente:
Figura 11. Flujo de la ruta de reparto para
los días viernes de cada semana.
• Por tanto, se puede obtener la siguiente información (tabla 5) de comparación de costo en consumo de combustible por los viernes de reparto por
semana:
Tabla 5. Comparación de costo en pesos mexicanos,
en uso de gasolina para los viernes de cada semana
Antes
Después
Distancia recorrida
32,76
9,72
Costo de gasolina
(magna)
9,24
9,24
Rendimiento Km/l
5
5
60,54
17,96
Totales en $
• El flujo de la ruta de reparto para el viernes está
dado por el siguiente orden; | F | T12 | T13 | T14 |
T15 | T16 | T17 | T18 | T19 | T20 | T21 | T6 | T7 |
T8 | T5 | T4 | T3 | T10 | T11 | T9 | T2 | T1 | T23 |
T22 | T25 | T24 |. El punto de partida es la fábrica
(F), seguido y denotándolo con la letra T y un número se encuentran los clientes, como se puede
ver en la figura 11.
• Siguiendo el flujo anterior, el repartidor visitará a
sus 25 clientes asignados, además recorrerá una
distancia de 9,72 km, disminuyendo 23,04 km lo
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En la tabla 5 se puede ver cómo el costo por consumo de combustible disminuye directamente proporcionalmente a la distancia recorrida, obteniendo
por cada semana y solo por el viernes un ahorro de
$ 42,58, lo cual representa mensualmente $ 170,31 y
anualmente $ 2043,74.
Dándole continuidad al objetivo general, se obtuvo la siguiente información:
• El flujo de la ruta de reparto para el sábado está
dado por el siguiente orden: | F | T50 | T49 | T48
www.unitec.edu.co/
Quirós, López, Montiel, Martínez & Alcaraz
| T47 | T26 | T27 | T30 | T31 | T45 | T46 | T44 |
T43 | T42 | T41 | T34 | T33 | T35 | T36 | T40 |
T37 | T38 | T39 | T32 | T29 | T28 |, de la misma
manera que el día anterior, el punto de partida es
la fábrica (F), seguido y denotándolo con la letra
T y un número se encuentran los clientes, como
se puede ver en la figura 12.
• Con este flujo el repartidor visitará a sus 25 clientes asignados, además recorrerá una distancia de
8.05 km, disminuyendo 28,32 km lo cual representa el 77,8 % menos del trayecto que seguía (antes 36,37 km).
• Se puede obtener la información de comparación
de costo en consumo de combustible por los sábados de reparto por semana, como se muestra
en la tabla 6.
Tabla 6. Comparación de costo en pesos, en uso
de gasolina para los sábados de cada semana
Antes
Después
Distancia recorrida
36,37
8,05
Costo de gasolina
(magna)
9,24
9,24
Rendimiento Km/l
5
5
67,21
14,88
Totales en $
• Sumando las distancias que se disminuirían por los
viernes y sábados, tenemos un total de 51,36 km.
• En cuanto a costo por consumo de gasolina disminuido por los dos días, obtenemos un total de
$ 95, mensualmente $ 380 y anualmente aproximadamente $ 4556.
Con la finalidad de lograr efectivamente los resultados obtenidos con el desarrollo del presente estudio, se deben tener en cuenta las siguientes
consideraciones:
Figura 12. Flujo de la ruta de reparto
para los sábados de cada semana.
De igual forma que el viernes, se puede observar
en la tabla 6 cómo el costo por consumo de combustible disminuye directamente proporcionalmente a
la distancia recorrida, obteniendo por cada semana
y solo por el sábado un ahorro de $ 52,34, lo cual
representa mensualmente $ 209,34 y anualmente
$ 2512,10.
Investig. Gest. Organ. | jul.-dic. | 2013 | Vol. 1 | No. 2 | pp. 9-26
• Recorrer cada ruta como muestra la solución,
tanto para los días viernes como para los sábados.
• Considerar que tanto el recorrido se realice en
condiciones normales (clima, no haya vías obstruidas, no tenga fallas el carro repartidor, no
tenga que salirse de la ruta por urgencias, entre
otras) se tendrán las reducciones de distancia y
costo planteados.
• Hacer las entregas a los clientes que se estimaron
para el estudio, es decir, no hacer intercambio
por otros establecimientos sin antes haberlo sometido a prueba en el programa WinQSB, con el
fin de verificar si existen cambios en el flujo de la
distribución.
• Se propone realizar un lista de verificación de la
relación de las visitas diarias a los clientes, y evaluar que realmente se está siguiendo la ruta como
fue propuesta y se esté cumpliendo con la distancia definida.
25
Modelo matemático del problema del agente viajero para encontrar la ruta óptima de distribución
Además, se puede añadir que de la misma manera como fue planteado y resuelto el orden de distribución en las entregas de tostadas para los viernes
y sábados, se puede desarrollar el proyecto para los
días de entregas del producto que quedaron fuera del
estudio en esta ocasión, haciéndose un análisis de
factibilidad previo.
Cabe señalar que este tipo de problemas como
lo es el del agente viajero, no aplica exclusivamente
para entregas de tostadas o frituras, sino que puede
desarrollarse cualquier otro problema que se tenga
de distribución, siempre y cuando cumpla con las
características que este requiere o sea similar al planteado en este estudio.
Agradecimientos
Se agradecen las atenciones y la información proporcionada a la empresa bajo estudio para llevar a
cabo la Tesis de Maestría en Ingeniería de Sistemas
titulada Aplicación del problema del agente viajero
para encontrar la ruta óptima de distribución en una
fábrica de tostadas de la región por la alumna Anneliz
Esthela Alcaraz Escamilla.
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